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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第5讲 两条直线的位置专题精讲（培优版）
授课主题 第05讲---两条直线的位置关系
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角，理解其性质并会运用解决实际问题； 理解两条直线互相垂直的含义，掌握垂线的性质； 逐渐建立发展空间观念、推理能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架二、知识概念 （一）相交线1、相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O 2、对顶角的概念及性质概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角。性质：对顶角相等。3、互补与互余互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补。互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余。 性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等。（二） 垂直 1、垂直的概念及表示。两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O。垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角） 2、 垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。3、点到线的距离：如右图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段。（三）平行线1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。表示方法：我们通常用“∥”表示平行，如下图所示，AB与CD平行，记作AB∥CD或CD∥AB。平行线：①在同一个平面内；②两条直线；③不相交。三者缺一不可。 考点一： 相交线、对顶角、余角补角例1、同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（ ） A．0个或1个 B．1个或2个 C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 例2、已知1条直线将平面分割为2个区域，2条直线两两相交最多可将平面分割成4个区域，则10条直线两两相交最多可将平面分割成 个区域．例3、下列说法正确的个数是（ ） ① 连接两点的线中以线段最短；② 两条直线相交，有且只有一个交点； ③ 若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；④ 若AB+BC=AC，则A、B、C三点共线 A．1 B．2 C．3 D．4 例4、如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD=2：3，则∠BOD=（ ） A．30° B．36° C．45° D．72° 例5、在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则= ． 例6、如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM=90°． （1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数； （2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数． 考点二：垂直例1、已知∠α的两边分别与∠β的两边垂直，且∠α=20°，则∠β的度数为（ ） A．20° B．160° C．20°或160° D．70°例2、已知：如图，AB⊥CD于O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是（ ） A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等例3、下列说法：（1）同角的余角相等（2）相等的角是对顶角（3）在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短中。正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4、在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例5、如图，能表示点到直线的距离的线段共有（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条例6、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD=70°，求∠AOF度数 例7、O为直线DA上一点，OB⊥OF，EO是∠AOB的平分线． （1）如图（1），若∠AOB=130°，求∠EOF的度数； （2）若∠AOB=α，90°＜α＜180°，求∠EOF的度数； （3）若∠AOB=α，0°＜α＜90°，请在图（2）中画出射线OF，使得（2）中∠EOF的结果仍然成立． 考点三： 平行线例1、在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行、相交或垂直例2、下列说法中正确的是（ ） A．如果同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线所在直线互相平行 B．不相交的两条直线一定是平行线 C．同一平面内两条射线不相交，则这两条射线互相平行 D．同一平面内有两条直线不相交，这两条直线一定是平行线例3、如图，在立方体中和AB平行的棱有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 例4、下列语句中：① 一条直线有且只有一条垂线；② 不相等的两个角一定不是对顶角 ③ 两条不相交的直线叫做平行线 ④ 两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等； ⑤ 不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥ 如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角。其中错误的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个例5、下列说法正确的是（ ） A．两点之间的距离是两点间的线段 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．与同一条直线垂直的两条直线也垂直 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、观察左边图形： 第一个图2条直线相交，最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交，最多有6个交点，…，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是（ ） A．435 B．450 C．465 D．4062、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠DOE=36°，则∠BOC的度数为（ ） A．72° B．90° C．108° D．144° 3、下列说法错误的是（ ） A．一个角的补角比它的余角大 B．若两角相等，则它们的补角也相等 C．相等的角是对顶角 D．两个钝角不能互补4、已知点C在直线a外，点A在直线a上，且AC=2厘米． （1）设d是点C到直线a的距离，求d的取值范围； （2）若直线BD垂直于直线a，垂足为B．则直线BD与直线AC有怎样的位置关系，请画示意图表示（每种位置关系画一个示意图）． 5、如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOB，∠EOC=28°25′ （1）求∠AOD的度数； （2）判断∠AOD与∠COB的大小关系，并说理由． 6、如图① ② 所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，像图① ② 那样放置． （1）若∠BOC=60°，如图①，猜想∠AOD的度数； （2）若∠BOC=70°，如图②，猜想∠AOD的度数； （3）猜想∠AOD和∠BOC的关系，并写出理由． 7、如图，已知：点A、点B及直线 （1）请画出从点A到直线的最短路线，并写出画图的依据． （2）请在直线上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出画图的依据 8、如图，点A在直线l1上，点B，C分别在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB=4，BC=3，AC=5则下列说法正确的是（ ） A．点B到直线 l1的距离等于4 B．点C到直线l1的距离等于5 C．直线l1，l2的距离等于4 D．点B到直线AC的距离等于3 9、若A、B、C是直线上的三点，P是直线外一点，且PA=6cm，PB=5cm，PC=4cm，则点P到直线的距离（ ） A．等于4cm B．大于4cm而小于5cm C．不大于4cm D．小于4cm课后反击1、下列说法正确的是（ ） A．三条直线两两相交，交点必定是3个 B．射线OA和射线AO是同一条射线 C．一点与一条直线有两种位置关系 D．如果线段AB=BC，则点B叫线段AC的中点 2、观察图形，并阅读相关的文字：那么8条直线相交，最多可形成交点的个数是（ ） A．21 B．28 C．36 D．453、如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC， （1）图中∠AOF的余角是 （把符合条件的角都填出来）； （2）如果∠AOC=160°，那么根据 可得∠BOD= 度； （3）如果∠1=32°，求∠2和∠3的度数． 4、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE=54°，则∠AOC等于（ ） A．54° B．46° C．36° D．26°5、如图，把一张报纸的一角斜折过去，使A点落在E点处，BC为折痕，BD是∠EBM的平分线，则∠CBD= ． 6、如图，已知AB⊥BD，BC⊥CD，AD=a，CD=b，则BD的长的取值范围为（ ） A．大于b B．小于a C．大于b且小于a D．无法确定 7、关于点到直线的距离的四种说法正确的是（ ） A．连接直线外的点和直线上的点的线段叫做点到直线的距离 B．连接直线外的点和直线上的点的线段的长度叫做点到直线的距离 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离 8、如图的长方体中，与AA′平行的棱有哪几条？与AB平行的棱有哪几条？分别用符号把它们表示出来． 9、（1）已知OA⊥OC，∠BOC=30°，且OD、OE分别为∠AOB、∠BOC的角平线，请求出∠DOE度数． （2）如果把（1）中“∠BOC=30°”改成“∠BOC=x（0°＜x＜90°）”，其他条件都不变，则∠DOE度数变化吗？请说明理由 1、已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（ ） A． B． C． D．2、已知：如图直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE=60°，则∠BOD等于 度． 3、在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时， ∠BOD的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或90° D．60°或120°
S(Summary-Embedded)——归纳总结
相交线1、相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O 2、对顶角的概念及性质概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角。性质：对顶角相等。3、互补与互余 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补。互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余。 性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等。 垂直 1、垂直的概念及表示。两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如上图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O。垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角） 2、 垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 3、点到线的距离：如右图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第5讲 两条直线的位置专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第05讲---两条直线的位置关系
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角，理解其性质并会运用解决实际问题； 理解两条直线互相垂直的含义，掌握垂线的性质； 逐渐建立发展空间观念、推理能力。
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T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架二、知识概念 （一）相交线1、相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O 2、对顶角的概念及性质概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角。性质：对顶角相等。 3、互补与互余互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补。互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余。 性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等。（二） 垂直 1、垂直的概念及表示。两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O。垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角） 2、 垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 3、点到线的距离：如右图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段。（三）平行线1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。表示方法：我们通常用“∥”表示平行，如下图所示，AB与CD平行，记作AB∥CD或CD∥AB。平行线：①在同一个平面内；②两条直线；③不相交。三者缺一不可。 考点一： 相交线、对顶角、余角补角例1、【解析】D 例2、【解析】1条直线，将平面分为两个区域； 2条直线，较之前增加1条直线，增加1个交点，增加了2个平面区域； 3条直线，与之前两条直线均相交，增加2个交点，增加了3个平面区域； 4条直线，与之前三条直线均相交，增加3个交点，增加了4个平面区域； … n条直线，与之前n﹣1条直线均相交，增加n﹣1个交点，增加n个平面区域； 所以n条直线分平面的总数为2+（2+3+4+5+6+7+8+…n）=1+（1+2+3+4+5+6+7+8+…n）=1+， 把n=10代入得有56个区域例3、【解析】D例4、【解析】∵∠EOC：∠EOD=2：3 ∴∠EOC=180°×=72° ∵OA平分∠EOC ∴∠AOC=∠EOC=×72°=36° ∴∠BOD=∠AOC=36° 例5、【解析】2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2个交点； 4条直线相交有1+2+3个交点；5条直线相交有1+2+3+4个交点； 6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；… n条直线相交有1+2+3+…+n﹣1=． 则=+++…+ =2[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣） =2×（1﹣）=． 故答案是： 例6、【解析】解（1）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM ∴∠AOC=∠AOM=×90°=45° ∵∠AOC+∠AOD=180° ∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣45°=135° 即∠AOD的度数为135° （2）∵∠BOC=4∠NOB ∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x° ∴∠CON=∠COB﹣∠BON=4x°﹣x°=3x° ∵OM平分∠CON ∴∠COM=∠MON=∠CON=x° ∵∠BOM=x+x=90° ∴x=36° ∴∠MON=x°=×36°=54° 即∠MON的度数为54° 考点二：垂直例1、【解析】∵β的两边与α的两边分别垂直 ∴α+β=180° 故β=160° 在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直 故此时∠β=180°﹣20°=160° 综上可知：∠β=20°或160°，故选：C例2、【解析】∵AB⊥CD， ∴∠BOD=90°． 又∵EF为过点O的一条直线， ∴∠1+∠2=180°﹣∠BOD=90°，即∠1与∠2互余 故选：A例3、【解析】C例4、【解析】D例5、【解析】D 例6、【解析】∵∠B0C=∠AOD=70° 又∵OE平分∠BOC ∴∠BOE=∠BOC=35° ∵OF⊥OE ∴∠EOF=90° ∴∠AOF=180°﹣∠EOF﹣∠BOE=55°例7、【解析】（1）∵∠AOB=130°，EO是∠AOB的平分线 ∴=65° ∵OB⊥OF ∴∠BOF=90° ∴∠AOF=∠AOB﹣∠BOF=130°﹣90°=40° ∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=65°﹣40°=25° （2）∵∠AOB=α，90°＜α＜180°，EO是∠AOB的平分线 ∴∠AOE= ∵∠BOF=90° ∴∠AOF=α﹣90° ∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=﹣（α﹣90°）=90 （3）∵∠AOB=α，0°＜α＜90° ∴∠BOE=∠AOE= ∵∠BOF=90° ∴∠EOF=∠BOF﹣∠BOE=90考点三： 平行线例1、【解析】C例2、【解析】D例3、【解析】C例4、【解析】C例5、【解析】D
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、【解析】解：∵第一个图2条直线相交，最多有1个交点， 第二个图3条直线相交最多有3个交点， 第三个图4条直线相交，最多有6个， 而3=1+2，6=1+2+3， ∴第四个图5条直线相交，最多有1+2+3+4=10个， ∴30条直线相交，最多交点的个数是1+2+3+…+29=（1+29）×29÷2=435 故选A．2、【解析】∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠DOE=2×36°=72°， ∵∠BOC与∠AOE是对顶角， ∴∠BOC的度数为72°，故选A3、【解析】C 4、【解析】（1）∵当AC⊥直线a时，A为垂足，此时d=AC=2厘米 ∴0＜d≤2 （2） 如图所示：分别是重合、相交（两种）、平行．标出AC与BD交于点E 5、【解析】（1）∵直线AB、CD相交于点O， ∴∠AOB=∠COD=180°， ∵OE平分∠AOB， ∴∠AOE=∠BOE=90°， ∴∠AOD=180°﹣∠AOE﹣∠EOC=180°﹣90°﹣28°25′=61°35′； （2）∠AOD=∠COB． 因为∠BOC与∠AOD是对顶角所以相等 6、【解析】（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=60° ∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=90°﹣60°=30° 又∵∠COD=90° ∴∠AOD=∠AOC+∠COD=30°+90°=120° （2）∵∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD=360° ∠AOB=90°，∠COD=90°，∠BOC=70° ∴∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣70°=110° （3）猜想：∠AOD+∠BOC=180°． 理由：如图① ∵∠AOD=∠AOC+∠COD=∠AOC+90°， ∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，∠AOC=∠BOD， ∴∠AOD+∠BOC=180°7、【解析】（1）如图所示：过A作AE⊥，点E为所求，根据垂线段最短 （2）如图所示：连接AB，与交点就是O，根据两点之间线段最短 8、【解析】B 10、【解析】C课后反击1、【解析】C 2、【解析】观察图形可得：n条直线相交最多可形成的交点个数为 ∴8条直线相交，最多可形成交点的个数为====28．选B3、【解析】解：（1）∵OF⊥OC， ∴∠COF=∠DOF=90°， ∴∠AOF+∠BOC=90°，∠AOF+∠AOD=90°， ∴∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD；故答案为：∠BOC、∠AOD； （2）∵∠AOC=160°， ∴∠BOD=∠AOC=160°； 故答案为：对顶角相等； 160； （3）∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠1=64°，∴∠2=∠AOD=64°，∠3=90°﹣64°=26°4、【解析】∵OE⊥CD， ∴∠DOE=90°． 又∵∠BOE=54°， ∴∠BOD=90°﹣∠BOE=36°， ∴∠AOC=∠BOD=36°．故选C 5、【解析】∵把A折过去与E重合， ∴∠ABC=∠CBE=∠ABE， ∵BD是∠EBM的平分线， ∴∠EBD=∠DBM=∠EBM， 又∵∠ABE+∠EBM=180°， ∴∠CBD=∠CBE+∠EBD=∠ABE+∠EBM=（∠ABE+∠EBM）=×180°=90°6、【解析】在Rt△BCD中，BD＞CD ∵CD=b ∴BD＞b 在Rt△BAD中，AD＞BD ∵AD=a ∴DB＜a ∴b＜DB＜a 故选：C 7、【解析】D 8、【解析】由图可知，和棱AB平行的棱有CD，A′B′，C′D′； 与棱AA′平行的棱有DD′，BB′，CC′ 9、【解析】（1）OA⊥OC ∠AOC=90°，∠BOC=30° ∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°+30°=120° OD、OE分别为∠AOB、∠BOC的角平分线 ∠BOD=∠AOB=60°，∠BOE=∠BOC=15° ∠DOE=∠BOD﹣∠BOE=60°﹣15°=45° （2）∠DOE度数不变 OA⊥OC ∠AOC=90°，∠BOC=x ∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°+x=90°+x OD、OE分别为∠AOB、∠BOC的角平分线 ∠BOD=∠AOB=45°+，∠BOE=∠BOC= ∠DOE=∠BOD﹣∠BOE=（45°+）﹣=45° 1、【解析】C2、【解析】30 3、【解析】① 当OC、OD在AB的一旁时 ∵OC⊥OD，∠COD=90°，∠AOC=30° ∴∠BOD=180°﹣∠COD﹣∠AOC=60° ② 当OC、OD在AB的两旁时， ∵OC⊥OD，∠AOC=30°， ∴∠AOD=60°， ∴∠BOD=180°﹣∠AOD=120°． 故选D．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
相交线1、相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O 2、对顶角的概念及性质概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角。性质：对顶角相等。 3、互补与互余 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补。互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余。 性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等。 垂直 1、垂直的概念及表示。两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如上图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O。垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角） 2、 垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 3、点到线的距离：如右图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
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