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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第7讲 平行线的性质专题精讲（培优版）
授课主题 第07讲---平行线的性质
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 认识并掌握平行线的性质； 运用平行线的性质进行简单的推理及有条理的表达； 掌握尺规作图的基本方法。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架 二、知识概念 （一）平行线的性质1、性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简称为：两直线平行，同位角相等。 2、性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简称为：两直线平行，内错角相等。3、性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简称为：两直线平行，同旁内角互补。（二）平行线的性质和判定的区别与联系 平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相等，内错角相等或同旁内角互补，推出两直线平行，这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，这是平行线的性质。二者的因果关系如下： 两直线平行。（三）尺规作图1、尺规作图：在几何作图中，只用圆规和没有刻度的直尺来作图，称为尺规作图。2、利用尺规作一个角等于已知角： 已知∠AOB，如右图所示，求作∠，使∠=∠AOB。 作法如下：①做射线； ②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D； ③以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于点； ④以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前面的弧于点； ⑤过点作射线，∠即为所求。 3、利用尺规作图比较两个角的大小。作法跟利用尺规作一个角等于已知角类似，只是把两个角的一条边重合在一起。 考点一：平行线的性质例1、如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ） A．30° B．35° C．40° D．50°例2、将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=（ ） A．73° B．56° C．68° D．146° 例3、如图，已知AC∥ED，AB∥FD，∠A=65°，求∠EDF的度数 例4、如图，直线a∥b，BC平分∠ABD，DE⊥BC，若∠1=70°，求∠2的度数 例5、如图，CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD，求证：EF平分∠BED 例6、如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，l4和l1，l2相交于C，D两点，点P在直线AB上 （1）当点P在A，B两点间运动时，问∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？并说明理由； （2）如果点P在A，B两点外侧运动时，试探究∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的关系，并说明理由． 例7、已知如图，AB∥CD，试解决下列问题： （1）∠1+∠2= ； （2）∠1+∠2+∠3= ； （3）∠1+∠2+∠3+∠4= ； （4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= ． 考点二： 尺规作图例1、尺规作图是指（ ） A．用量角器和刻度尺作图 B．用圆规和有刻度的直尺作图 C．用圆规和无刻度的直尺作图 D．用量角器和无刻度的直尺作图例2、下列各说法一定成立的是（ ） A．画直线AB=10厘米 B．已知A、B、C三点，过这三点画一条直线 C．画射线OB=10厘米 D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行例3、如图，△ABC中，AB=AC． （1）以点B为顶点，作∠CBD=∠ABC（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，证明：AC∥BD． 例4、作图题：已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=2∠AOB
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的平分线（ ） A．互相平行 B．互相垂直 C．交角是锐角 D．交角是钝角2、下列说法错误的是（ ） A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同角的补角相等 D．相等的角是对顶角 3、如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为（ ） A．60° B．50° C．40° D．30°4、如图AB∥CD，∠E=40°，∠A=110°，则∠C的度数为（ ） A．60° B．80° C．75° D．70° 5、如图，已知DB∥FG∥EC，∠ABD=70°，∠ACE=36°，AP是∠BAC的平分线．求∠PAG的度数 6、如图，∠CAB=100°，∠ABF=130°，AC∥MD，BF∥ME，求∠DME的度数 7、如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF （1）求∠EOB的度数； （2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值． （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由． 8、如图，在∠A中，B是AC边上一点． （1）以B为顶点，BC为一边，利用尺规作图作∠EBC，使∠EBC=∠A；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，EB与AD平行吗？说明理由． 课后反击1、如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是（ ） A．∠EMB=∠END B．∠BMN=∠MNC C．∠CNH=∠BPG D．∠DNG=∠AME2、如图，直线AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，则∠1的度数是（ ） A．80° B．85° C．90° D．95° 3、将一副三角板，如图所示放置，使点A落在DE边上，BC∥DE，AB与EF相交于点H，则∠AHF的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．75°4、如图：AB∥DE，∠B=30°，∠C=110°，∠D的度数为（ ） A．115° B．120° C．100° D．80° 5、如图，已知AB∥CD，若∠C=40°，∠E=20°，求∠A的度数 6、如图，DE⊥AB，垂足为D，EF∥AC，∠A=30°， （1）求∠DEF的度数 （2）连接BE，若BE同时平分∠ABC和∠DEF，问EF与BF垂直吗？为什么？ 7、如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=50°，∠BDC=75°．求∠BED的度数 8、如图，AB∥CD，P为定点，E、F分别是AB、CD上的动点． （1）求证：∠P=∠BEP+∠PFD； （2）若M为CD上一点，如图2，∠FMN=∠BEP，且MN交PF于N．试说明∠EPF与∠PNM关系，并证明你的结论； （3）移动E、F使得∠EPF=90°，如图3，作∠PEG=∠BEP，求∠AEG与∠PFD度数的比值． 1、直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ） A．26° B．36° C．46° D．56°2、已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A．100° B．110° C．120° D．130°
S(Summary-Embedded)——归纳总结
平行线的性质1、性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简称为：两直线平行，同位角相等。 2、性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简称为：两直线平行，内错角相等。3、性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简称为：两直线平行，同旁内角互补。 平行线的性质和判定的区别与联系 平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相等，内错角相等或同旁内角互补，推出两直线平行，这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，这是平行线的性质。二者的因果关系如下： 两直线平行。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
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性质
判定
典例分析
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第7讲 平行线的性质专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第07讲---平行线的性质
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教学目标 认识并掌握平行线的性质； 运用平行线的性质进行简单的推理及有条理的表达； 掌握尺规作图的基本方法。
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一、知识框架 二、知识概念 （一）平行线的性质1、性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简称为：两直线平行，同位角相等。 2、性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简称为：两直线平行，内错角相等。3、性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简称为：两直线平行，同旁内角互补。（二）平行线的性质和判定的区别与联系 平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相等，内错角相等或同旁内角互补，推出两直线平行，这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，这是平行线的性质。二者的因果关系如下： 两直线平行。（三）尺规作图1、尺规作图：在几何作图中，只用圆规和没有刻度的直尺来作图，称为尺规作图。 2、利用尺规作一个角等于已知角： 已知∠AOB，如右图所示，求作∠，使∠=∠AOB。 作法如下：①做射线； ②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D； ③以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于点； ④以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前面的弧于点； ⑤过点作射线，∠即为所求。 3、利用尺规作图比较两个角的大小。作法跟利用尺规作一个角等于已知角类似，只是把两个角的一条边重合在一起。 考点一：平行线的性质例1、【解析】C例2、【解析】A例3、【解析】∵AC∥ED ∴∠BED=∠A=65° ∵AB∥FD ∴∠EDF=∠BED=65°例4、【解析】∵直线a∥b ∴∠1=∠ABD=70° ∵BC平分∠ABD ∴∠EBD=ABD=35° ∵DE⊥BC ∴∠2=90°﹣∠EBD=55°例5、【解析】先根据平行线的性质得出∠BEF=∠BCD，∠FED=∠EDC，∠EDC=∠DCA，∠FED=∠DCA，故可得出∠FED=∠DCA，再根据CD平分∠ACB可知∠DCA=∠BCD，故可得出结论． 证明：∵EF∥CD ∴∠BEF=∠BCD，∠FED=∠EDC 又∵DE∥AC ∴∠EDC=∠DCA ∴∠FED=∠DCA ∵CD平分∠ACB ∴∠DCA=∠BCD ∴∠BEF=∠FED，即EF平分∠BED 例6、【解析】（1）如图1，过点P作PQ∥l1， ∵PQ∥l1 ∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等） ∵PQ∥l1，l1∥l2（已知） ∴PQ∥l2（平行于同一条直线的两直线平行） ∴∠5=∠2（两直线平行，内错角相等） ∵∠3=∠4+∠5 ∴∠3=∠1+∠2（等量代换） （2）如图2，过P点作PF∥BD交CD于F ∵AC∥BD ∴PF∥AC ∴∠ACP=∠CPF，∠BDP=∠DPF ∴∠CPD=∠DPF﹣∠CPF=∠BDP﹣∠ACP 同理，如图③，∠CPD=∠ACP﹣∠BDP 例7、【解析】（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） （2）过点E作一条直线EF平行于AB ∵AB∥CD ∵AB∥EF，CD∥EF ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180° ∴∠1+∠2+∠3=360° （3）过点E、F作EG、FH平行于AB ∵AB∥CD ∵AB∥EG∥FH∥CD ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180° ∴∠1+∠2+∠3+∠4=540° （4）中，根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补． 即可得到n个角的和是180°（n﹣1）考点二： 尺规作图例1、【解析】C例2、【解析】D 例3、【解析】（1）解：如图，∠CBD为所作； （2）证明：由（1）得∠CBD=∠ABC 又∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∴∠CBD=∠C ∴AC∥BD 例4、【解析】先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，图中最大的角就是所求的角 解：作法： ① 做∠DO'B'=∠AOB； ② 在∠DO'B'的外部做∠A'OD=∠AOB，∠A'O'B'就是所求的角
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的平分线（ ） A．互相平行 B．互相垂直 C．交角是锐角 D．交角是钝角2、下列说法错误的是（ ） A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同角的补角相等 D．相等的角是对顶角 3、【解析】D4、【解析】D 5、【解析】利用两直线平行，同旁内角互补以及角平分线的定义进行做题 ∵DB∥FG∥EC， ∴∠BAG=∠ABD=70°，∠GAC=∠ACE=36° ∴∠BAC=∠BAG+∠GAC=106° ∵AP是∠BAC的平分线 ∴∠PAC=∠BAC=53° ∴∠PAG=∠PAC﹣∠GAC=53°﹣36°=17° 6、【解析】根据平行线的性质求出∠BMD和∠BME，即可求出答案 ∵∠CAB=100°，AC∥MD ∴∠BMD=∠CAB=100° ∵BF∥ME，∠ABF=130° ∴∠BME=180°﹣∠ABF=50° ∴∠DME=∠BMD﹣∠BME=100°﹣50°=50° 7、【解析】（1）∵CB∥OA ∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80° ∵OE平分∠COF ∴∠COE=∠EOF ∵∠FOB=∠AOB ∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40° （2）∵CB∥OA ∴∠AOB=∠OBC ∵∠FOB=∠AOB ∴∠FOB=∠OBC ∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC ∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值 （3）在△COE和△AOB中 ∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB ∴∠COE=∠AOB ∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线 ∴∠COE=∠AOC=×80°=20° ∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60° 故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60° 8、【解析】（1）利用作一角等于已知角的方法得出图形，注意当EB在AC上方或在AC的下方 解：（1）如图所示：∠EBC=∠A=∠E′BC； （2）① 当EB在AC上方时，EB∥AD， 理由：同位角相等，两直线平行； ② 当E′B在AC下方时，EB与AD不平行课后反击1、【解析】D2、【解析】B3、【解析】D4、【解析】C 5、【解析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 解：如图，∵AB∥CD， ∴∠1=∠C=40°， ∴∠A=∠1﹣∠E=40°﹣20°=20° 6、【解析】（1）如图，∵DE⊥AB，∠A=30° ∴∠AOD=60° ∵∠COE=∠AOD=60°，EF∥AC ∴∠DEF+∠COE=180° ∴∠DEF=120° （2）EF与BF垂直．理由如下： 由（1）知，∠DEF=120° ∵BE平分∠DEF ∴∠BEF=∠BED=DEF=60° 又∵DE⊥AB ∴∠DBE=30° ∵AE平分∠ABC ∴∠EBF=30° ∴∠F=180°﹣∠EBF﹣BEF=90° 即EF与BF垂直 7、【解析】∵DE∥BC， ∴∠C=∠ADE，∠AED=∠ABC，∠EDB=∠CBD， 又∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=∠EDB， 设∠CBD=α，则∠AED=2α． ∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠ADE+∠EDB+∠BDC=180°， ∴∠A+∠AED=∠EDB+∠BDC，即50°+2α=α+75°， 解得：α=25°． 又∵∠BED+∠AED=180°， ∴∠BED=180°﹣∠AED=180°﹣25°×2=130° 8、【解析】（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB．则∠1=∠BEP 又∵AB∥CD ∴PG∥CD ∴∠2=∠PFD ∴∠EPF=∠1+∠2= ∠BEP+∠PFD，即∠EPF=∠BEP+∠PFD （2）∠EPF=∠PNM．理由如下： 由（1）知，∠EPF=∠BEP+∠PFD． 如图2，∵∠FMN=∠BEP， ∴∠EPF=∠FMN+∠PFD． 又∵∠PNM=∠FMN+∠PFD． ∴∠EPF=∠PNM； （3）如图，∵由（1）知∠1+∠2=90°． ∴∠1=90°﹣∠2． 又∵∠1=∠3， ∴∠4=180°﹣2∠1=2∠2， ∴∠4：∠2=2：1．即∠AEG与∠PFD度数的比值为2：1 1、【解析】B2、【解析】D
S(Summary-Embedded)——归纳总结
平行线的性质1、性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简称为：两直线平行，同位角相等。 2、性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简称为：两直线平行，内错角相等。3、性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简称为：两直线平行，同旁内角互补。 平行线的性质和判定的区别与联系 平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相等，内错角相等或同旁内角互补，推出两直线平行，这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，这是平行线的性质。二者的因果关系如下： 两直线平行。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
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