【人教版八年级数学下册同步精选】18.2.1 矩形同步精选练习(含解析)

18.2.1矩形同步精选练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列性质中,矩形具有而一般平行四边形不具有的是（ ）。
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行
2．下列判断一个四边形为矩形的命题中真命题的是：（ ）
A．对角线互相平分且有一个内角为直角的四边形是矩形.
B．对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是矩形.
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
D．对角线互相平分且互相垂直的四边形是矩形.
3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于(??? )
A．110° B．115° C．120° D．125°
4．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（ ）
A．34 B．26 C．6.5 D．8.5
5．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．在ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）
A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
7．如图，矩形ABCD中，，，则AC的长是　　
A．2 B． C．4 D．8
8．如图,把一个矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′为（ ）。
A．70° B．65° C．50° D．25°
二、填空题
9．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，若∠ADB=36°，则∠E=____________.
10．如图，把一张宽度相等的纸条按图上所示的方式折叠，则∠1的度数等于___________°.
11．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为 cm．
12．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为______ ．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AF垂直平分OB，交OB于点E，若AB＝6，则CF的长为_____．
14．若直角三角形的斜边长为 10 cm，则斜边上的中线长为_____cm.
三、解答题
15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．
16．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE．求证：△BEC≌△DFA．
17．已知:如图,AC,BD是平行四边形ABCD的对角线,且AC=BD,若AB=4,BD=8,
求:平行四边形ABCD的周长.
18．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC＝10，AB＝8
求．（1）FC的长
（2）EC的长．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵矩形的对边相等，对角相等，对角线互相平分且相等；
平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质；熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解决问题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
对角线相等且有一个内角为直角的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，据此可判断A、C选项；根据类似的方法，结合各种特殊四边形对角线的特征，即可判断B、D选项.
【详解】
对于A，对角线相等且有一个内角为直角的四边形不一定是矩形，故原说法错误；
对于B，对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，故原说法错误；
对于C，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法正确；
对于D，对角线相等且互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误.
故选C.
【点睛】
此题考查矩形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
3．A
【解析】
【分析】
由矩形的对角线互相平分得，OA=OB，再由三角形的外角性质得到∠AOD等于∠BAO和∠ABO之和即可求解.
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=55°，
∴∠AOD=∠BAO+∠ABO =55°+55°=110°.
故答案为：A
【点睛】
本题考查了矩形的性质及外角的性质，熟练利用外角的性质求角度是解题的关键.
4．C
【解析】
【分析】
利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
解：由勾股定理得，斜边＝122+52=13，
所以，斜边上的中线长＝12×13＝6.5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10．
设BE＝a，则CE＝8﹣a，
根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∴FC＝4．
在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，
∴CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，
解得：a＝3，
∴8﹣a＝5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．
6．B
【解析】
试题分析：根据对角线相等的平行四边形是矩形的判定直接得到：添加条件AC=BD，即可推出ABCD是矩形. 故选B.
考点：矩形的判定.
7．D
【解析】
【分析】
由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝4，由AC＝2OA，即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
∴AC＝2OA＝8；
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠EFB=∠FED=65°，
由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°，
∴∠AED′=180°-2∠FED=50°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了长方形的性质与折叠的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
9．18°．
【解析】
【分析】
连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=36°，可得∠E度数．
【详解】
解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=36°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=36°，∴∠E=18°．
故答案为：18°．
【点睛】
本题考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题的关键．
10．65°
【解析】
【分析】
利用翻折不变性，平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．
【详解】
由翻折不变性可知：∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2，∵∠4=180°?130°=50°，∴∠1=∠2= (180°?50°)=65°，故答案为65°.
【点睛】
本题考查翻折、平行线的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握翻折、平行线的性质和三角形的内角和定理.
11．4.
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，BD=AC=8cm，
∴OA=OB=4cm，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=4cm．
考点：矩形的性质．
12．4.8
【解析】
【分析】
首先证明三角形PDO与三角形OEM全等，得到PO=OM，从而得到PE=DM=PA，在设PA为x，在直角三角形CMB中运用勾股定理解得x的值即可.
【详解】
如图所示，EB交DC与点M.
在三角形DOP与三角形EOM中

则(AAS)
则PO=OM
∴PO+OE=OM+OD
即DM=PE
又PE=AP
∴DM=AP
设AP=x，则CM=DC-DM=8-x，MB=EB-EM=AB-DP=8-(6-x)=2+x
在直角三角形CMB中
即
解得：
则AP=4.8
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与勾股定理的运用，解题关键在于构造出直角三角形，根据全等对应边相等，折叠对应边相等得到边与边直接的关系，从而运用勾股定理建立等式求解.
13．4
【解析】
【分析】
由题意可证△ABO是等边三角形，可得∠BAO=60°，∠BAF=∠CAF=30°，由直角三角形的性质和等腰三角形性质可得BC=AB=6，AF=FC，由勾股定理可求FC的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝BO＝CO＝DO，∠ABC＝90°
∵AF垂直平分OB，
∴AB＝AO，BE＝EO，AF⊥BO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，∠BAF＝∠CAF＝30°
∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝30°
∴∠FAC＝∠ACF＝30°，BC＝AB＝6，
∴AF＝FC，
在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，
∴CF2＝（6﹣CF）2+36
∴CF＝4.
故答案是：4.
【点睛】
考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明AF=FC是本题的关键．
14．5
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可得出.
【详解】
∵直角三角形斜边长为10cm
∴斜边上的中线长为5cm
故答案为：5.
【点睛】
本题考查直角三角形斜边中线定理，具体内容为：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
15．证明见解析．
【解析】
试题分析：证得FA∥CE后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断即可．
试题解析：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵矩形ABCD中，AB∥DC，
∴∠DCE=∠CEB，
∵∠DCE=∠BAF，
∴∠CEB=∠BAF，
∴FA∥CE，
又矩形ABCD中，
FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的性质．
16．见解析
【解析】
【分析】
利用矩形的性质可得AD=BC ，BE=DF，可证△BEC≌△DFA.
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
又∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴BE=DF，
∵在△BEC和△DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA (SAS)
【点睛】
本题考查矩形的性质和全等三角形的判定，熟练掌握基础知识是解题关键.
17．平行四边形ABCD的周长为83+8.
【解析】
【分析】
先证明平行四边形ABCD是矩形，再根据勾股定理求得AD=43 ，进一步得到平行四边形ABCD的周长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，∴AD=BD2-AB2 =43，∴平行四边形ABCD的周长是83+8．
故答案为：平行四边形ABCD的周长是83+8．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，关键是证明平行四边形ABCD是矩形，用勾股定理求得AD=43．
18．（1）4；（2）3
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质可得AD＝BC＝10，∠B＝90°，根据折叠可得AD＝AF＝10，再利用勾股定理可得BF长，进而可得FC长；
（2）根据矩形的性质可得AB＝CD＝8，∠C＝90°，设ED＝x，则EF＝x，EC＝8﹣x，再在Rt△EFC利用勾股定理可得方程x2＝（8﹣x）2+42，解出x的值，进而可得EC长．
【详解】
解：（1）根据折叠可得AD＝AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，∠B＝90°，
∴AF＝10，
∴BF＝，
∴FC＝4；
（2）根据折叠可得ED＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，∠C＝90°，
设ED＝x，则EF＝x，EC＝8﹣x，
在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，
x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴EC＝8﹣5＝3．
【点睛】
本题考查矩形折叠的问题,关键在于熟记矩形和图形折叠的性质.