北师大版八年级下册数学1.2 直角三角形 同步练习题（解析版）

北师大版八年级下册1.2 直角三角形 同步练习题
一．选择题（共7小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4cm，则AB等于（　　）

A．9 cm B．8 cm C．7cm D．6cm
2．有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高为（　　）cm．
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，D为斜边上的中点，AB＝10cm，则CD为（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．无法确定
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若AB＝8，则CD的长是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠A＝30°，则下列结论中正确的是（　　）

A．AD＝2CD B．CD＝2BD C．AC＝2BC D．AB＝4BD
6．不能判断两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．两锐角对应相等的两个直角三角形
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形
D．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BDC＝30°，AD＝2BC，则∠A＝（　　）

A．15° B．20° C．16° D．18°
二．填空题（共6小题）
8．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是3cm和4cm，则它的面积是　 　．
9．如图，BC⊥AC，DE⊥AC，AD＝BD，∠A＝30°，DE＝3.6，则AB＝　 　．

10．如图所示，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D，若OE＝4，∠AOB＝60°，则DE＝　 　．

11．直角三角形斜边上的中线长为5，斜边上的高是4，直角三角形的面积是　 　．
12．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为　 　．

13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝a，则AB的长为　 　．

三．解答题（共7小题）
14．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．作AB的中垂线l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE． 求证：EF＝2DE．

15．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则求CD的长．

16．如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．

17．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝30m，AB＝20m，∠BAC＝150°，这种每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？

18．如图，公路上A、B两站相距25km，在公路AB附近有C、D两学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B．已知DA＝15km，CB＝10km，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两学校到E的距离相等，则E应建在距A多远处？

19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A＝30°，CD＝2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求AC的长度．

20．已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DE⊥AC．
（1）求证：AE＝EC；
（2）若DE＝2，求BC的长．







参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4cm，则AB等于（　　）

A．9 cm B．8 cm C．7cm D．6cm
【分析】根据题意和在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可以求得AB的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4cm，
∴AB＝2BC＝8cm，
故选：B．
2．有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高为（　　）cm．
A． B． C． D．
【分析】根据题目画出相应的图形，由题意可以求得BC、AC的长，由∠A＝30°，CD⊥AB，可以求得CD的长，从而可以解答本题．
【解答】解：如下图所示：

∠A＝30°，CD⊥AB于点D，AB＝1cm，∠ACB＝90°．
∵∠A＝30°，AB＝1cm，∠ACB＝90°，
∴BC＝cm，AC＝．
∵CD⊥AB，∠A＝30°，
∴CD＝．
故选项A错误，选项B错误，选项C正确，选项D错误．
故选：C．
3．如图，在Rt△ABC中，D为斜边上的中点，AB＝10cm，则CD为（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．无法确定
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，D为斜边上的中点，AB＝10cm，
∴CD＝AB＝5cm．
故选：B．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若AB＝8，则CD的长是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AB＝×8＝4．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠A＝30°，则下列结论中正确的是（　　）

A．AD＝2CD B．CD＝2BD C．AC＝2BC D．AB＝4BD
【分析】根据直角三角形的性质可得在直角三角形ACB中AB＝2BC，在直角△CDB中BB＝2BD，进而得到AB＝4BD．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴△ACB是直角三角形，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC，
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDA＝90°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠DCB＝30°，
∴BC＝2DB，
∴AB＝4BD．
故选：D．
6．不能判断两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．两锐角对应相等的两个直角三角形
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形
D．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形
【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．逐条排除．
【解答】解：A、两锐角对应相等的两个直角三角形，是AAA，不能判定全等．
B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，符合AAS，能判定全等．
C、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合SAS，能判定全等．
D、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合HL，能判定全等．
故选：A．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BDC＝30°，AD＝2BC，则∠A＝（　　）

A．15° B．20° C．16° D．18°
【分析】根据在△ABC中，∠C＝90°，∠BDC＝30°，AD＝2BC，可以求得DB与BC的关系，从而可以求得∠A与∠DBA的关系，进而可以求得∠A的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC，
又∵AD＝2BC，
∴AD＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠BDC＝∠A+∠DBA，∠BDC＝30°，
∴∠A＝15°．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
8．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是3cm和4cm，则它的面积是　12cm2　．
【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出AB，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】
解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CE是△ACB中线，CE＝4cm，
∴AB＝2CE＝8cm，
∴△ACB的面积是×AB×CD＝×8cm×3cm＝12cm2，
故答案为：12cm2．
9．如图，BC⊥AC，DE⊥AC，AD＝BD，∠A＝30°，DE＝3.6，则AB＝　14.4　．

【分析】在直角△ADE中，根据直角三角形的性质：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AD的长，则AB即可求解．
【解答】解：∵直角△ADE中，∠A＝30°，
∴AD＝2DE＝2×3.6＝7.2，
又∵AD＝BD
∴AB＝2AD＝2×7.2＝14.4．
故答案是：14.4．
10．如图所示，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D，若OE＝4，∠AOB＝60°，则DE＝　2　．

【分析】解直角三角形求出EC，再利用角平分线的性质定理即可解决问题．
【解答】解：∵OE平分∠AOB
∴∠DOE＝30°
∴DE＝OE＝×4＝2．
故答案为2．
11．直角三角形斜边上的中线长为5，斜边上的高是4，直角三角形的面积是　20　．
【分析】根据直角三角形的斜边上中线性质求出斜边的长，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：
∵CD是Rt△ACB斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝2×5＝10，
∴Rt△ACB的面积S＝AB×CE＝×4×10＝20．
故答案是：20．
12．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为　2　．

【分析】本题给出了折叠要注意找准相等的量，题目利用折痕和角平分线的性质即可求得．
【解答】解：由题意可得，BE平分∠ABC，DE＝CE
又∠A＝30°，AC＝6
可得DE＝AE
∴DE＝（6﹣DE）
则DE＝2．
故答案为2．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝a，则AB的长为　4a　．

【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵CD是高，∠A＝30°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD＝2a，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4a，
故答案为：4a．
三．解答题（共7小题）
14．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．作AB的中垂线l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE． 求证：EF＝2DE．

【分析】由∠C＝90°，∠A＝30°，根据三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，由AB的中垂线，得到EA＝EB，即求出∠2和∠1的度数，进一步求出∠F＝30°，根据含30°的直角三角形的性质得到BE＝2DE，根据等腰三角形的性质得到EF＝BE，即可推出答案．
【解答】证明：如图，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°．
∵DF是AB的中垂线，
∴EA＝EB，∠A＝∠2＝30°，
∴∠1＝60°﹣∠2＝30°，
∵∠3＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠ABC＝30°＝∠1，
∴EF＝BE＝2DE，
即EF＝2DE．

15．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则求CD的长．

【分析】（1）根据垂直的定义和条件可求得∠A+∠ACD＝∠A+∠B，可证得结论；
（2）利用面积相等可求得CD．
【解答】（1）证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AB?CD＝AC?BC，
∴CD＝＝＝2.4．
16．如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．

【分析】（1）先由∠ACB＝90°，得出∠1+∠BCD＝90°，而∠1＝∠B，等量代换得到∠B+∠BCD＝90°，再根据三角形内角和定理求出∠BDC＝90°，根据垂直的定义即可证明CD⊥AB；
（2）根据三角形的面积公式可得S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，那么CD＝，将数值代入计算即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，
∵∠1＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；

（2）解：∵S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，
∴CD＝＝＝4.8．
17．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝30m，AB＝20m，∠BAC＝150°，这种每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？

【分析】求出三角形地的面积即可求解．如图所示，作BD⊥CA交CA延长线于点D点．在Rt△ABD中，利用30度角所对的直角边是斜边的一半求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．
【解答】解：如图所示，作BD⊥CA于D点．
∵∠BAC＝150°，
∴∠DAB＝30°，
∵AB＝20m，
∴BD＝AB＝10m，
∴S△ABC＝×30×10＝150（m2）．
已知这种草皮每平方米a元，
所以一共需要150a元．

18．如图，公路上A、B两站相距25km，在公路AB附近有C、D两学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B．已知DA＝15km，CB＝10km，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两学校到E的距离相等，则E应建在距A多远处？

【分析】设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km．根据勾股定理列出关于x的方程，通过解方程求得x，即AE的长度即可．
【解答】解：设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km；
由勾股定理，得
AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝CE2，
则x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得x＝10，
∴E应建在距A 10km处．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A＝30°，CD＝2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求AC的长度．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出AD＝BD，求出∠DBA＝∠A＝30°，根据三角形外角的性质求出即可；
（2）求出∠CBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BD，即可求出AC．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴BD＝AD，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠DBA+∠A＝60°；

（2）∵∠C＝90°，∠BDC＝60°，
∴∠CBD＝90°﹣∠BDC＝30°，
∴BD＝2CD＝4，
∴AD＝BD＝4．
∴AC＝AD+DC＝6．
20．已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DE⊥AC．
（1）求证：AE＝EC；
（2）若DE＝2，求BC的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明；
（2）根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，∠BAC＝120°，
∵AB⊥AD，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴DA＝DC，
∵DE⊥AC，
∴AE＝EC；
（2）∵∠C＝30°，DE⊥AC，
∴DC＝2DE＝4，
∵AB⊥AD，∠B＝30°，
∴BD＝2DC＝8，
∴BC＝12．