北师大版九年级数学下册 3.9《弧长及扇形的面积》同步练习题（解析版）

北师大版九年级下学期3.9《弧长及扇形的面积》同步练习题
一．选择题（共10小题）
1．已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（　　）
A．9 B．3 C． D．
2．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4
3．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则劣弧的长为（　　）

A． B． C．2π D．
4．已知扇形的弧长为2π，半径为10，则此扇形的面积为（　　）
A．20π B．5π C．10π D．12π
5．若一个扇形的弧长l＝，面积S＝2π，则这个扇形的圆心角为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则的长等于（　　）

A． B． C． D．
7．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝CD，以点D为圆心，BD长为半径作，若AC＝6，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．2π﹣3 B．2π+3 C．π﹣ D．π+
8．如图，每个圆的半径都是1cm，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）

A．π B．π C．π D．π
9．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OC＝2，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π﹣2 B．π﹣4 C． D．
10．如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（　　）

A．2+π B．2++π C．4+π D．2+π
二．填空题（共5小题）
11．如图，AB是半圆O的直径，OA＝2，∠BAC＝30°，则的长为　 　．

12．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为　 　．

13．60°的圆心角所对的弧长为2πcm，则此弧所在圆的半径为　 　．
14．已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则扇形的面积是　 　．
15．若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是　 　．
三．解答题（共5小题）
16．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．

17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AB＝2，AC＝．
（1）求∠BAC的度数．
（2）求的长．
（3）求阴影部分的面积．

18．如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm，P是直径AB上的任意一点．
（1）求的长；
（2）求阴影部分的面积．

19．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．

20．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°．求
（1）⊙D的半径；
（2）圆中阴影部分的面积（结果保留根号和π）


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（　　）
A．9 B．3 C． D．
【分析】根据弧长的公式进行计算即可．
【解答】解：设半径为r，
∵扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，
∴＝3π，
∴r＝，
故选：C．
2．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4
【分析】把已知数据代入弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：扇形的弧长＝＝2π，
故选：B．
3．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则劣弧的长为（　　）

A． B． C．2π D．
【分析】先计算圆心角为120°，根据弧长公式＝，可得结果．
【解答】解：连接OD，
∵∠ABD＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴的长＝＝，
故选：D．

4．已知扇形的弧长为2π，半径为10，则此扇形的面积为（　　）
A．20π B．5π C．10π D．12π
【分析】由扇形的弧长为2π，半径为10，利用S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长），即可求得此扇形面积．
【解答】解：∵扇形的弧长为2π，半径为10，
∴此扇形的面积为：×2π×10＝10π，
故选：C．
5．若一个扇形的弧长l＝，面积S＝2π，则这个扇形的圆心角为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】设扇形的半径为r，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r，再利用弧长公式求出圆心角即可．
【解答】解：设扇形的半径为r，圆心角为n°．
由题意：??r＝2π，
∴r＝3，
∴＝，
∴n＝80，
故选：D．
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则的长等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接OB、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据圆周角定理求出∠AOC，根据等腰三角形的性质求出∠BOC，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OB、OC，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝50°，
∴∠AOC＝100°，
∴∠EOC＝80°，
∵AO⊥BC，OB＝OC，
∴∠BOC＝2∠EOC＝160°，
∴的长＝＝π，
故选：D．

7．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝CD，以点D为圆心，BD长为半径作，若AC＝6，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．2π﹣3 B．2π+3 C．π﹣ D．π+
【分析】根据题意可以求得OC和BD的长，从而可以得到阴影部分的面积是△CDB与扇形CDB的面积之差，从而可以解答本题．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝CD，AC＝6，
∴AC⊥BD，OC＝3，BD＝CD＝BC，BD＝2OB，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，OB＝，
∴BD＝2，
∴图中阴影部分的面积是：S阴＝S扇形CDB﹣S△CDB＝﹣×2×3＝2π﹣3，
故选：A．
8．如图，每个圆的半径都是1cm，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）

A．π B．π C．π D．π
【分析】根据三角形的内角和是180°和扇形的面积公式进行计算．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴阴影部分的面积＝＝π．
故选：B．
9．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OC＝2，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π﹣2 B．π﹣4 C． D．
【分析】根据S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC，计算即可．
【解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝﹣×2×2＝π﹣2，
故选：A．
10．如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（　　）

A．2+π B．2++π C．4+π D．2+π
【分析】连接OB、OC，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为60度，即可求出半径的长2，利用三角形和扇形的面积公式即可求解；
【解答】解：作OD⊥BC，则BD＝CD，连接OB，OC，
∴OD是BC的垂直平分线，
∵＝，
∴AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∴A、O、D共线，
∵∠ACB＝75°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴OD＝OB＝，
∴AD＝2+，
∴S△ABC＝BC?AD＝2+，S△BOC＝BC?OD＝，
∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，
故选：A．

二．填空题（共5小题）
11．如图，AB是半圆O的直径，OA＝2，∠BAC＝30°，则的长为　　．

【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OC，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．

12．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为　　．

【分析】先计算圆心角为120°，根据弧长公式＝，可得结果．
【解答】解：连接OD，
∵∠ABD＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴的长＝＝，
故答案为：．

13．60°的圆心角所对的弧长为2πcm，则此弧所在圆的半径为　6cm　．
【分析】根据弧长公式求解即可．
【解答】解：∵l＝，
∴r＝═＝6cm，
故答案为6cm．
14．已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则扇形的面积是　12π　．
【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
【解答】解：设扇形的半径为r．
则＝4π，
解得r＝6，
∴扇形的面积＝＝12π，
故答案为：12π．
15．若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是　2π　．
【分析】根据弧长的公式l＝进行计算即可．
【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为120°，
∴此扇形的弧长＝＝2π．
故答案为：2π
三．解答题（共5小题）
16．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB为半圆⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝45°；
（2）∵AB＝2，
∴阴影部分的面积＝2×1﹣＝1﹣．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AB＝2，AC＝．
（1）求∠BAC的度数．
（2）求的长．
（3）求阴影部分的面积．

【分析】（1）根据题意可以求得BC的长和∠ACB的度数，从而可以求得∠BAC的度数；
（2）根据（1）中的结果可以求得∠COD的度数，从而可以求得弧CBD的长；
（3）根据图形可知，弓形CBD的面积等于扇形CBD与△COD的面积之差，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）连接BC，BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝2，AC＝，
∴BC＝1，
∴∠BAC＝30°；
（2）连接OC，OD，
∵CD⊥AB、AB是直径，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴的长是：＝π；
（3）∵OC＝OA＝1，∠BOC＝60°，
∴CP＝OC?sin60°＝1×＝，OP＝OC?cos60°＝，
∴CD＝2CP＝，
∴弓形阴影部分的面积是：﹣×＝﹣．

18．如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm，P是直径AB上的任意一点．
（1）求的长；
（2）求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD＝60°，△OCD是等边三角形，由此即可解决问题；
（2）将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可；
【解答】解：（1）如图，连接OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD＝∠AOC＝60°，OC＝CD＝8，
∴的长＝＝cm

（2）∵∠OCD＝∠AOC＝60°
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD＝S△PCD，
∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．

19．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可．
（2）根据S阴＝S扇形OAD﹣S△ADO计算即可．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED；

（2）连接CD，OD，

∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，
∵∠COD＝2∠CBD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAD﹣S△ADO＝﹣?4×2＝﹣4
20．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°．求
（1）⊙D的半径；
（2）圆中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

【分析】（1）连接AB，根据∠AOB＝90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA＝∠C＝30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，则可得出圆D的半径长；
（2）根据S阴影＝S半圆﹣S△ABO即可得出结论．
【解答】解：（1）连结AB，

∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D直径
∵∠ABO与∠C是同弧所对圆周角，
∴∠ABO＝∠C＝30°
∴AB＝2OA，
∵B点坐标为（0，），
∴OB＝，
在直角三角形AOB中，AB2＝OA2+OB2，
∴AB2＝（AB）2+（2）2
∵AB＞0，
∴AB＝4，即⊙D的半径为2；
（2）圆中阴影部分的面积为：S阴影＝S半圆﹣S△ABO＝﹣×2×2＝2π﹣2．