17.4 一元二次方程的根与系数的关系课件 (共21张PPT)

(共21张PPT)
17.4一元二次方程根与系数的关系
沪科版 八年级下
新知导入
问题：1.一元二次方程根的情况如何确定？
答：①当 >0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当 =0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
③当 <0时，一元二次方程没有实数根。
2.一元二次方程根与根之间有什么关系呢？
新知讲解
探究：先解方程再填表：
根与系数有什么关系？
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+2x-15=0
-5
3
-2
-15
3x2-4x+1=0
1
1/3
4/3
1/3
2x2-5x+2=0
2
1/2
5/2
1
新知讲解
根据你的观察，猜想：方程ax2+bx+c=0 (a≠0）的根如果是x1，x2，那么x1+x2=——，x1x2=———.
你能证明上面的猜想吗？
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）的两根为：
x1= x2 =
所以x1+x2= + =
新知讲解
x1x2= . =
由此得出，一元二次方程根与系数之间存在下列关系：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）的根是x1，x2，
那么x1+x2=——————，x1x2=———————.
这个关系通常称为韦达定理。
当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x2+px+q=0设两根是x1，x2，这时韦达定理应是：x1+x2=- p， x1x2=q.
新知讲解
例1.已知关于X的一元二次方程2x2+kx-4=0的一个根是-4，求另一个根及k的值.
解：设方程的另一根是x2，则
解得：
答：方程的另一根是1/2，k=7
-4+x2=-k/2
-4x2=-4/2
x2=1/2
k=7
新知讲解
例2.方程x2-3x-4=0的两个根记作x1，x2，不解方程，求下列各式的值。
（1）x12+x22 （2）（x1+1）（x2+1）
（3）1/ x2+1/x1 （4）x12x2+x1x22
（5） x1-x2 （6）x12-x22
解：由韦达定理得：x1+x2= 3 x1x2=-4
（1）x12+x22=（x1+x2）2-2 x1x2=32-2×（-4）=17
新知讲解
（2）（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=-4+3+1=0
（3）1/ x2+1/x1 =（x12+x22）/x1x2=-17/4
（4）x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=-4×3=-12
（5） x1-x2
（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=9+16=25，故x1-x2=±5
（6）x12-x22 =（x1+x2）（x1-x2）=3×（±5）=±15
新知讲解
例3.若长方形的长和宽是方程4x2-12x+3=0的两个根，求该长方形的周长和面积。
解：设长方形的长和宽分别是a,b.
根据韦达定理得：
故长方形的周长为C=2(a+b)=2×3=6
长方形的面积为S=ab=3/4
a+b=3
ab=3/4
新知讲解
例4.已知两数的和为2，积为-2，求这两个数。
解：设这两个数分别为a，b.
由题意得：
所以a，b是一元二次方程x2-2x-2=0的两个根.
解这个方程得：
所以这两个数分别为1+ 和1-
a+b=2
ab=-2
课堂练习
1.一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是（ ）
A. -1 B. -2 C. 1 D.2
2.一元二次方程x2+4x-3=0的两根为x1，x2，则x1x2的值为（ ）
A. 4 B. -4 C. 3 D.-3
3.已知方程2x2+4x-3=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为————.
B
D
-2
课堂练习
4.已知-1是方程x2+bx+1=4的一个根，求它的另一个根及b的值.
解：设另一个根为a,原方程可化为x2+bx-3=0
根据韦达定理得：
解得：a=3，b=-2
所以原方程的另一个根a=3及b的值为-2.
-1+a=-b
-1×a=-3
课堂练习
5.若x1，x2是一元二次方程x2+2x-2017=0的两根，求下列各式的值：
（1）x12+x22 （2）（x1-5）（x2-5） （3）│x1-x2│
解:根据韦达定理得：x1+x2=-2， x1x2=-2017
（1）x12+x22=（x1+x2）2-2 x1x2=（-2）2-2×（-2017）=4038
（2）（x1-5）（x2-5）=x1x2-5（x1+x2）+25=-2017-5×（-2）+25=-1982
（3）（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=4-4×（-2017）=8072，
故│x1-x2│=8072
拓展提高
6.已知x1，x2是关于X的方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根.
（1）（x1-1）（x2-1）=28，求m的值.
（2）已知等腰 ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是 ABC另外两边的长求这个三角形的周长。
解：根据韦达定理得：x1+x2=2（m+1）， x1x2=m2+5
（1）（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=m2+5-2（m+1）+1=28
原式可化为：m2-2m-24=0
拓展提高
解方程得m1=6,m2=-4
∵原方程有两个实数根，
∴ =4（m+1）2-4（m2+5）=4m2+8m+4-4m2-20
=8m-16≥0
∴m≥2 ∴m=6
（2）当m=6时，原方程可化为x2-14x+41=0
由题意得：x1+x2=14
∴这个三角形的周长为C=7+14=21
中考链接
7.(湘潭.中考)已知关于X方程x2-3x+m=0有两个不相等实数根x1，x2.
（1）求m的取值范围；
（2）当x1=1时，求另一个根x2的值.
解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根
∴ =（-3）2-4m=9-4m>0
∴m<9/4.
（2）根据韦达定理得：x1+x2=3，
当x1=1时，另一个根x2的值为2
课堂总结
本节课你有什么收获？
韦达定理：
1.如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）的根是x1，x2，
那么x1+x2=——————，x1x2=———————.
2.当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x2+px+q=0设两根是x1，x2，这时韦达定理应是：
x1+x2=- p， x1x2=q.
板书设计
17.4一元二次方程根与系数的关系
1.韦达定理：
2.例1... 例2.... 例3.... 例4...
作业布置
课本 P40 页
习题17.4第1----5题
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