2020年春北师大八年级数学下册-第02讲-直角三角形（提高）-学案（3课时 无答案）

学科教师辅导讲义
学员编号：
年 级：八年级(下)
课 时 数：3
学员姓名：
辅导科目：数 学
学科教师：
授课主题
第02讲-直角三角形
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
掌握直角三角形的性质与判定方法；
进一步掌握推理证明的方法，培养演绎推理能力；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理
1、直角三角形的性质和判定方法
定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
4、逆命题、逆定理
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。
5、斜边、直角边定理
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。
考点一：直角三角形全等的判定
例1、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和它所对的锐角对应相等 D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
例2、下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．斜边相等 B．面积相等
C．两对锐角对应相等 D．两对直角边对应相等
　
例3、在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　）
A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上
C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点
例4、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动　 分钟后△CAP与△PQB全等．
例5、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
考点二：直角三角形的性质
例1、如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于（　　）
A．60° B．70°
C．50° D．40°
例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，D为线段AB的中点，则∠ACD=　 ．
　
例3、如图，已知∠AOD=30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为　 　°．
例4、如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
考点三：含30度角的直角三角形
例1、如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（　　）
A．6 B．6
C．6 D．12
例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为　 ．
例3、如图，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD=　 ．
考点四：直角三角形斜边上的中线
例1、Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为（　　）
A．10 B．3 C．4 D．5
例2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D是斜边BC的中点，若AD=5，则AC等于（　　）
A．8 B．64
C．5 D．6
例3、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于　 度．
例4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E=35°，求∠BDA的度数．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击
1、下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等
2、如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　）
A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BD
C．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确
3、如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（　　）
A．35° B．55°
C．60° D．70°
4、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（　　）
A．3 B．6
C． D．12
5、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于（　　）
A．5 B．6
C．7 D．8
6、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件　．（只需写出符合条件一种情况）
7、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=　 　时，△AOP为直角三角形．
8、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于　 ．
9、底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是　 　．
10、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
11、如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．
课后反击
1、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（　　）
①有两条直角边对应相等； ②有两个锐角对应相等；
③有斜边和一条直角边对应相等； ④有一条直角边和一个锐角相等；
⑤有斜边和一个锐角对应相等； ⑥有两条边相等．
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
2、如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（　　）
A．HL B．AAS
C．SSS D．ASA
3、直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（　　）
A．90° B．135°
C．120° D．45°或135°
4、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的长（　　）
A．4 B．6
C．8 D．10
5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=（　　）
A．30° B．45°
C．60° D．75°
6、如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（　　）
A．10 B．6
C．8 D．5
7、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是　 　．
8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′=　 　．
9、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为　 　．
10、如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由．
11、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DCE的度数．
（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC．
12、已知：如图，在△ABC，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC的中点，BF⊥CA延长线于点F．求证：∠CBF=∠ADE．
1、【?丹东】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．
2、【靖江】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD=MB；
（2）MN⊥BD．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、直角三角形的性质和判定方法
定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
1、在运用勾股定理的逆定理判定直角三角形时，误认为a,b一定是直角边，c一定是斜边。
2、在直角三角形中，不能确定第三边是直角边还是斜边时，需要分类讨论。
3、忽略用HL定理证明三角形全等的前提条件。
本节课我学到
我需要努力的地方是