8.1 不等式的基本性质
一．选择题（共6小题）
1．数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
（第1题图）
A．a＞b B．ab＞0 C．a+b＞0 D．a+b＜0
2．2015年深圳空气质量优良指数排名入围全国城市前十，空气污染指数API值不超过50时，说明空气质量为优，相当于达到国家空气质量一级标准，其中API值不超过50时可以表示为（ ）
A．API≤50 B．API≥50 C．API＜50 D．API＞50
3．已知实数a，b，若a＞b，则下列结论错误的是（ ）
A．a﹣7＞b﹣7 B．6+a＞b+6 C． D．﹣3a＞﹣3b
4．如果x＜y，那么下列各式中正确的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1 B．﹣2x＜﹣2y C．﹣x＞﹣y D．＞
5．若a＜b，则下列各不等式中一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣a＜﹣b C． D．ac＜bc
6．如果a＞b，则下列不等式正确的是（ ）
A．﹣a＞﹣b B．a+3＞b+3 C．2a＜2b D．＞
二．填空题（共9小题）
7．2x+1≠0是不等式； ．
8．当a满足条件 时，由ax＞8可得．
9．由2a＞3，得； ．
10．由2﹣a＞0，得a＞2； ．
11．若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＞，则a的取值范围是 ．
12．如果a＞b，c＜0，则ac3＞bc3． ．
三．解答题（共3小题）
13．已知x=3是关于x的不等式的解，求a的取值范围．
14．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x﹣17＜﹣5；
（2）＞﹣3．
15．在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x＜﹣2；
（第15题图①）
（2）x≥1.
（第15题图②）
参考答案
一．1．D 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B
二．14．√ 15．a＜0 16．√ 17．错误 18．a＜1 19．×
三．23．解：，解得（14﹣3a）x＞6.
当a＜，x＞，又x=3是关于x的不等式的解，则＜3，解得a＜4；
当a＞，x＜，又x=3是关于x的不等式的解，则＞3，解得a＜4（与所设条件不符，舍去）．
综上所述， a的取值范围是a＜4．
24．解：（1）移项合并，得x＜12；
（2）两边乘以﹣2，得x＜6．
25．解：（1）如答图.
；
（第）
（2）如答图．
．
8.2 一元一次不等式
一．选择题（共3小题）
1．已知（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．4 B．±4 C．3 D．±3
2．下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A．x2﹣9x≥x2+7x﹣6 B．x+1=0
C．x+y＞0 D．x2+x+9≥0
3．下列式子①7＞4；②3x≥2π+1；③x+y＞1；④x2+3＞2x；⑤＞4中，是一元一次不等式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共1小题）
4．若（m﹣2）x|3﹣m|+2≤7是关于x的一元一次不等式，则m= ．
三．解答题（共12小题）
5．若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．
6．解不等式：2（x+1）﹣1≥3x+2.
7．解不等式3（x﹣1）＜4（x﹣）﹣3，并把它的解集在数轴上表示出来．
8．解不等式：≥，并把它的解集表示在数轴上．
9．已知关于x的方程3x﹣（2a﹣3）=5x+3（a+2）的解是非正数，求字母a的取值范围．
10．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣3，其中m是非负整数，求m的值．
11．解不等式：≤3．
12．解一元一次不等式x﹣2＜x+3．
13．解不等式：3﹣≥，并把解集在数轴上表示出来．
14．已知关于x、y的二元一次方程组.
（1）若方程组的解满足x﹣y=4，求m的值；
（2）若方程组的解满足x+y＜0，求m的取值范围．
15．若不等式＜+1的最小整数解是方程2x﹣ax=4的解，求a的值．
16．解不等式.
（1）+2＜x；
（2）6（x﹣1）≥3+4x；
（3）﹣＜1 ；
（4）求不等式≥﹣1的非负整数解．
参考答案
一．1．A 2．A 3．D
二．4．4
三．5．解：由不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，得
m=0，n﹣3≠0．
解得n≠3．
6．解：2（x+1）﹣1≥3x+2，
2x+2﹣1≥3x+2，
2x﹣3x≥2﹣2+1，
﹣x≥1，
x≤﹣1．
7．解：3（x﹣1）＜4（x﹣）﹣3，
去括号3x﹣3＜4x﹣2﹣3，
移项得3x﹣4x＜﹣2﹣3+3，
合并同类项，得﹣x＜﹣2，
未知数的系数化为1x＞2，
所以原不等式的解是x＞2，
在数轴上表示为
（第7题答图）
8．解：≥，
2（1﹣2x）≥4﹣3x，
2﹣4x≥4﹣3x，
﹣4x+3x≥4﹣2，
﹣x≥2，x≤﹣2.
把它的解集表示在数轴上为
（第8题答图）
9．解：3x﹣（2a﹣3）=5x+3（a+2），
移项，得3x﹣5x=3a+6+2a﹣3，
合并同类项，得﹣2x=5a+3，
系数化为1，得x=﹣.
∵方程的解是非正数，
∴﹣≤0，
解得a，
即字母a的取值范围为a．
10．解：方程组
①+②，得3x+3y=﹣3m﹣3，
∴x+y=﹣m﹣1.
∵x+y＞﹣3，
∴﹣m﹣1＞﹣3，
∴m＜2.
∵m是非负整数，
∴m=1或m=0．
11．解：不等式两边同时乘3，得﹣2x+5≤9，
移项，得﹣2x≤9﹣5，
合并同类项，得﹣2x≤4，
系数化为1，得x≥﹣2，
即不等式的解集为x≥﹣2．
12．解：去分母，得9x﹣12＜4x+18，
移项，得9x﹣4x＜18+12，
合并同类项，得5x＜30，
化系数为1，得x＜6．
13．解：（1）3﹣≥，
24﹣5（x+3）≥2（3x﹣1），
24﹣5x﹣15≥6x﹣2，
﹣5x﹣6x≥﹣2﹣24+15，
﹣11x≥﹣11，
解得x≤1，
在数轴上表示为
（第13题答图）
14．解：（1），
解得，
代入x﹣y=4得m+2=4，
解得m=2，
故m的值为2.
（2）把x=2m﹣2，y=m﹣4代入x+y＜0，得3m﹣6＜0，
解得m＜2，
故m的取值范围为m＜2．
15．解：由不等式＜+1，得
x＞﹣5，
所以最小整数解为x=﹣4，
将x=﹣4代入2x﹣ax=4中，
解得a=3．
16．解：（1）去分母，得x+10＜5x，
移项，得x﹣5x＜﹣10，
合并同类项，得﹣4x＜﹣10，
系数化为1，得x＞2.5；
（2）去括号，得6x﹣6≥3+4x，
移项，得6x﹣4x≥3+6，
合并同类项，得2x≥9，
系数化为1，得x≥4.5；
（3）去分母，得3x﹣4x＜6，
合并同类项，得﹣x＜6，
系数化为1，得x＞﹣6；
（4）去分母，得3（3x﹣2）≥5（2x+1）﹣15，
去括号，得9x﹣6≥10x+5﹣15，
移项，得9x﹣10x≥5﹣15+6，
合并同类项，得﹣x≥﹣4，
系数化为1，得x≤4，
则不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．
8.3 列一元一次不等式解应用题
一．选择题（共3小题）
1．小红准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小红最多能买甲种饮料的瓶数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．某品牌电脑的成本价为2400元，售价为2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于5%，如果将这种品牌的电脑打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ）
A．2 800x≥2400×5%
B．2800x﹣2400≥2400×5%
C．2 800×≥2400×5%
D．2 800×﹣2400≥2400×5%
3．南江县出租车收费标准为：起步价3元（即行驶距离小于或等于3千米时都需要付费3元），超过3千米以后每千米加收1.5元（不足1千米按1千米计），在南江，冉丽一次乘出租车出行时付费9元，那么冉丽所乘路程最多是（ ）千米．
A．6 B．7 C．8 D．9
二．填空题（共5小题）
4．商家花费1900元购进某种水果100千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为 元/千克．
5．小明用30元钱购买矿泉水和冰激凌，每瓶矿泉水2元，每支冰激凌3.5元，他买了6瓶矿泉水和若干支冰激凌，他最多能买 支冰激凌．
6．步步高超市在2018年初从科沃斯商城购进一批智能扫地机器人，进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打 折．
7．在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是：胜一场积3分，平一场积1分；负一场积0分．某校足球队共比赛9场，以负1场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于21分，则该校足球队获胜的场次最少是 场．
8．商家花费380元购进某种水果40千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为 元/千克．
三．解答题（共4小题）
9．某商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元，
（1）甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）商场决定购进甲、乙两种纪念品若干件，购进甲种纪念品比购进乙种纪念品多用45元，且购进两种纪念品的总资金不超过8355元，则最多购进甲种纪念品多少件？
10．为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，水价分为三个阶梯，价格表如下表所示：
某市自来水销售价格表
类别 月用水量 （立方米） 供水价格 （元/立方米） 污水处理费 （元/立方米）
居民生活用水 阶梯一 0～18（含18） 1.90 1.00
阶梯二 18～25（含25） 2.85
阶梯三 25以上 5.70
（注：居民生活用水水价=供水价格+污水处理费）
（1）当居民月用水量在18立方米及以下时，水价是 元/立方米．
（2）4月份小明家用水量为20立方米，应付水费为：18×（1.90+1.00）+2×（2.85+1.00）=59.90（元），预计6月份小明家的用水量将达到30立方米，请计算小明家6月份的水费．
（3）为了节省开支，小明家决定每月用水的费用不超过家庭收入的1%，已知小明家的平均月收入为7530元，请你为小明家每月用水量提出建议．
11．为培养学生的特长爱好，提髙学生的综合素质，某校音乐特色学习班准备从京东商城里一次性购买若干个尤克里里和竖笛（每个尤克里里的价格相同，每个竖笛的价格相同），购买2个竖笛和1个尤克里里共需290元；竖笛单价比尤克里里单价的一半少25元．
（1）求竖笛和尤克里里的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买竖笛和尤克里里共20个，但要求购买竖笛和尤克里里的总费用不超过3450元，则该校最多可以购买多少个尤克里里？
12．为了美化市容市貌，政府决定将城区旁边一块162亩的荒地改建为湿地公园，规划公园分为绿化区和休闲区两部分．
（1）若休闲区面积是绿化区面积的20%，求改建后的绿化区和休闲区各有多少亩？
（2）经预算，绿化区的改建费用平均每亩35000元，休闲区的改建费用平均每亩25000元，政府计划投入资金不超过550万元，那么绿化区的面积最多可以达到多少亩？
参考答案
一．1．B 2．D 3．B
二．4．20 5．5 6．7 7．7 8．10
三．9．解：（1）设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，
根据题意，得
，
解得，
答：甲种纪念品每件需要140元，乙种纪念品每件需要15元，
（2）设购进甲种纪念品a件，花了140a元，则购进乙种纪念品件，
乙种纪念品花了（140a﹣45）元，
根据题意，得
140a+（140a﹣45）≤8355，
解得a≤30.
∵a为整数，
∴a最大为30，
当a=30时，乙种纪念品的件数为：=277，是整数，
∴a最大为30，
答：最多购进甲种纪念品30件．
10．解：（1）1.90+1.00=2.90（元）．
（2）18×（1.90+1.00）+（25﹣18）×（2.85+1.00）+（30﹣25）×（5.70+1.00），
=52.2+26.95+33.5，
=112.65（元）．
答：小明家6月份的水费为112.65元．
（3）小明家月用水费用应不超过：7530×1%=75.3（元）
设小明家的月用水量为x立方米．
根据题意，得①当x≤18时，用水费用为（1.90+1.00）x（元），
当x为18时，用水费用为52.20元；
②当18＜x≤25时，用水费用为（x﹣18）×（2.85+1.00）+18×（1.90+1.00）（元），
当x=25时，用水费用为79.15元，超出预计费用，
∴用水量不能超过25立方米，
即（x﹣18）×（2.85+1.00）+18×（1.90+1.00）≤75.3，
解得x≤24（立方米）．
综上所述，建议小明家月用水量不超过24立方米．
11．解：（1）设竖笛的单价是x元、尤克里里的单价是y元，依题意有
，
解得．
故竖笛的单价是60元，尤克里里的单价是170元．
（2）设该校购买a个尤克里里，则购买竖笛（20﹣a）个，依题意有
170a+60（20﹣a）≤3450，
解得a≤20，
∵a为正整数，
∴a最大为20．
∴该校最多可以购买20个尤克里里．
12．解：（1）设改建后的绿化区面积为x亩．
由题意，得x+20%?x=162，
解得x=135，
162﹣135=27，
答：改建后的绿化区面积为135亩和休闲区面积有27亩．
（2）设绿化区的面积为m亩．
由题意，得35000m+25000（162﹣m）≤5500000，
解得m≤145，
答：绿化区的面积最多可以达到145亩．
8.4 一元一次不等式组
一．选择题（共12小题）
1．下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若关于x的不等式组有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4
4．若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
5．不等式组的解集是（ ）
A．无解 B．x＜﹣1 C．x≥ D．﹣1＜x≤
6．若无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a≤﹣2 C．a＞﹣2 D．a≥﹣2
7．关于x的不等式组的解集为x＞3，那么a的取值范围为（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
8．满足不等式组的整数解是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
9．不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5
10．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．a＜﹣3 D．﹣4＜a＜
11．不等式组的最小整数解是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
12．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为x，则列式正确的是（ ）
A．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 B．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
C．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
二．填空题（共4小题）
13．关于x的不等式组的解集中每一个值均不在﹣1≤x≤5的范围中，则a的取值范围是 ．
14．已知|x﹣7|=7﹣x，|2x+1|=2x+1，则x的取值范围是 ．
15．满足﹣1≤＜3的整数x有 个．
16．不等式组有2个整数解，则实数a的取值范围是 ．
三．解答题（共6小题）
17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
（第17题图）
18．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
19．已知关于x，y的二元一次方程组，当A=x﹣2y且﹣1＜t≤2，求A的取值范围．
20．求不等式组的整数解．
21．求不等式组：的解集，在数轴上表示解集，并写出所有的非负整数解．
（第21题图）
22．随着人们生活水平的不断提高，人们对生活饮用水质量要求也越来越高，更多的居民选择购买家用净水器．一商家抓住商机，从生产厂家购进了A，B两种型号家用净水器．已知购进2台A型号家用净水器比1台B型号家用净水器多用200元；购进3台A型号净水器和2台B型号家用净水器共用6600元，
（1）求A，B两种型号家用净水器每台进价各为多少元？
（2）该商家用不超过26400元共购进A，B两种型号家用净水器20台，再将购进的两种型号家用净水器分别加价50%后出售，若两种型号家用净水器全部售出后毛利润不低于12000元，求商家购进A，B两种型号家用净水器各多少台？（注：毛利润=售价﹣进价）
参考答案
一．1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B
11．B 12．C
二．13． a≥4.5或a≤1 14．﹣≤x≤7 15．3 16．8≤a＜13
三．17．解：解不等式x﹣1≤2﹣2x，得x≤1；
解不等式＞，得x＞﹣3.
将解集表示在数轴上如下：
（第17题答图）
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
18．解：解不等式①，得x＞﹣4，
解不等式②，得x≤2，
把不等式①②的解集在数轴上表示如答图.
（第18题答图）
原不等式组的解集为﹣4＜x≤2．
19．解：，
①﹣②，得2x﹣4y=2t+4，
∴x﹣2y=t+2，
∵﹣1＜t≤2，
∴1＜t+2≤4，
∵A=x﹣2y=t+2，
∴1＜A≤4．
20．解：解不等式2x+5≤3（x+2），得x≥﹣1，
解不等式3x﹣1＜5，得x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
所以不等式组的整数解为x=﹣1，0，1．
21．解：，
由①解，得x≥﹣1，
由②解，得x＜4，
所以不等式组的解集为﹣1≤x＜4，
在数轴上表示为
所有的非负整数解为0，1，2，3．
22．解：（1）设A型号家用净水器每台进价为x元，B型号家用净水器每台进价为y元，
根据题意，知，
解得.
答：A型号家用净水器每台进价为1000元，B型号家用净水器每台进价为1800元；
（2）设商家购进A型号家用净水器m台，则购进B型号家用净水器（20﹣m）台，
根据题意，得，
解得12≤m≤15.
因为m为整数，
所以m=12或13或14或15，
则商家购进A型号家用净水器12台，购进B型号家用净水器8台；
购进A型号家用净水器13台，购进B型号家用净水器7台；
购进A型号家用净水器14台，购进B型号家用净水器6台；
购进A型号家用净水器15台，购进B型号家用净水器5台．
