22.1 平行四边形的性质
一、选择题
1．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对边相等
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，图中全等三角形有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
（第2题图） （第3题图）
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BC相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知平行四边形ABCD的一条边长是5，则两条对角线的长可能是（ ）
A．6和16 B．6和6 C．5和5 D．8和18
5．将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种
6．在平行四边形ABCD中，若∠A=30°，AB边上的高为8，则BC=（ ）
A．8 B．8 C．8 D．16
7．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若CD=10，AD=16，则EC为（ ）
A．10 B．16 C．6 D．13
8．如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=45°，AD=，则AB与CD之间的距离为（ ）
A． B． C． D．3
（第8题图） （第9题图） （第10题图）
9．如图，在平行四边形ABCD中，已知AC=3cm，若△ABC的周长为8cm，则平行四边形的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．16cm D． 11cm
10．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，若∠B=45°，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
二、填空题
11．平行四边形的对角线_________．
12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AO=4，BO=3，则CO=______，BD=________．
（第12题图） （第13题图） （第14题图）
13．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB≌△_______，△AOD≌△_______．
14．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，若AO=2cm，△ABC的周长为13cm，则平行四边形ABCD的周长为______cm．
15．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若△AOB的面积为3，则平行四边形ABCD的面积为______．
16．平行四边形的两组对边分别_________．
17．夹在两平行线的平行线段_______，夹在两平行线间_______相等．
18．在 ABCD中，若AB=3cm，AD=4cm，则它的周长为________cm．
19．已知平行四边形ABCD的周长为26，若AB=5，则BC=________．
20．在平行四边形ABCD中，若AB：BC=2：3，周长为30cm，则AB=______cm，BC=______cm．
三、解答题
21．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AD=4，DO=3．（1）求△COD的周长；（2）直接写出ABCD的面积．
（第21题图）
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM∥DN．
（第22题图）
参考答案
一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.B 9.B 10.B
二、11．互相平分 12．4，8 13．COD，COB 14．18 15．12 16．相等
17．相等，的垂线段 18．14 19．8 20．6，9
三、21．（1）8+2；（2）24
22．提示：证△ABM≌△CDN，得∠BMA=∠DNC，于是∠BMN=∠DNM，所以BM∥DN.
22.2 平行四边形的判定
一．选择题（共6小题）
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
（第1题图）
A．6 B．12 C．20 D．24
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
（第2题图）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．下列说法中错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
（第4题图）
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=OD
C．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC
5．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
6．在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．∠A=∠C，∠B=∠D
B．∠A=∠B=∠C=90°
C．∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
D．∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°
二．填空题（共6小题）
7．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
（第7题图）
8．如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB=CD，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
（第8题图）
9．将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则四边形ABCD为平行四边形，请你写出判断的依据 ．
（第9题图）
10．如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF
⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形：④图中共有四对全等三角形．其中正确结论是 （填序号）
（第10题图）
11．如图，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要添加的条件是 （只需写出一个即可）
（第11题图）
12．如图，在?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，则需添加的一个条件可以是 ．（只添加一个条件）
（第12题图）
三．解答题（共12小题）
13．如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC的延长线交于点F，连接DF．求证：四边形ACFD为平行四边形．
（第13题图）
14．在?ABCD中，∠DAB与∠DCB的角平分线AE，CF分别与对角线BD交于点E与点F，连接AF，CE．
求证：四边形AECF是平行四边形．
（第14题图）
15．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB∥DC，AC=10，BD=8．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．
（第15题图）
参考答案
一．1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D
二．7． BO=DO．（答案不唯一） 8． AB∥CD或AD=BC（答案不唯一）
9．两组对边分別平行的四边形是平行四边形；两组对边分別相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（写出一种即可） 10．①②③
11． AD=BC或AB∥CD 12． BF=DE
三．13．证明：∵在?ABCD中，AD∥BF．
∴∠ADC=∠FCD．
∵E为CD的中点，
∴DE=CE．
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AD=FC．
又∵AD∥FC，
∴四边形ACFD是平行四边形．
14．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠DAB=∠DCB，
∴∠ADB=∠DBC.
∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，
∴∠DAE=∠DAB，∠BCF=∠DCB，
∴∠DAE=∠BCF，
∵∠DAE=∠DCF，∠ADB=∠DBC，AD=BC.
∴△DEB≌△BFC，
∴AE=CF，∠DEA=∠CFB，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF.
又∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
15．证明：（1）∵AB∥DC，
∴∠OAB=∠OCD，∠AOB=∠COD，
又∵AO=CO，
∴△AOB≌△COD，
∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴平行四边形ABCD的面积为S=AC×BD=40．
22.3 三角形的中位线
一．选择题
1．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（ ）
（第1题图）
A． B．2 C． D．3
2．如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（ ）
（第2题图）
A．∠ECD=112.5° B．DE平分∠FDC
C．∠DEC=30° D．AB=CD
3．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
（第3题图）
A．6 B．12 C．18 D．24
4．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（ ）
（第4题图）
A．5 B．7 C．9 D．11
二．填空题
5．如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6cm，则DE的长度是 cm．
（第5题图）
6．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
（第6题图）
7．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ．
（第7题图）
8．在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件 ，使△BED与△FDE全等．
（第8题图）
9．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是 ．
（第9题图）
10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE的面积是 ．
（第10题图）
三．解答题（共12小题）
11．如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．
（第11题图）
12．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：BE=（AB+AC）．
（第12题图）
13．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
（第13题图）
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点，（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AC=6，AB=10，连接CD，则DE= ，CD= ．
（第14题图）
15．观察探究，完成证明和填空．
如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
（第15题图）
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
16．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
（第16题图）
参考答案
一．1． C 2． C 3．B 4．B
二．5． 3 6．18 7． 8．D是BC的中点 9．40° 10．6
三．11．解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．
（第11题答图）
（2）∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵DE=4，
∴BC=8．
12．证明：（1）∵DA平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD∥EM，
∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．
∵EF∥CG，
∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，
∵∠AEF=∠AFE，
∴∠G=∠ACG，
∴AG=AC，
∵EM∥CG，
∴=，∵BM=CM，
∴BE=EG，
∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．
（第12题答图）
13．（1）证明：∵AN平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵BN⊥AN
∴∠ANB=∠AND=90°
在△ABN和△ADN中，
∵，
∴△ABN≌△ADN（ASA），
∴BN=DN．
（2）解：∵△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=10，
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线，
∴CD=2MN=6，
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．
14．解：（1）如答图．
（第14题答图）
（2）∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=AC，
∵AC=6，
∴DE=3，
∵AB=10，CD是Rt△斜边上的中线等于斜边的一半，
∴CD=5.
15．（1）证明：连接BD，如答图.
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH=BD，EH∥BD．
同理得FG=BD，FG∥BD．
∴EH=FG，EH∥FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；
（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
（第15题答图）
16．解：（1）FH与FC的数量关系是FH=FC．
证明如下：延长DF交AB于点G.
由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且，
∴DG为△ABC的中位线，
∴．
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC﹣DE=DG﹣DF，
即EC=FG．
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2．
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF=FH．
（2）FH与FC仍然相等．
理由：由题意可得出：DF=DE，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵DF∥BC，
∴∠CBA=∠FGB=45°，
∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵点D为AC的中点，DF∥BC，
∴DG=BC，DC=AC，
∴DG=DC，
∴EC=GF，
∵∠DFC=∠FCB，
∴∠GFH=∠FCE，
在△FCE和△HFG中
，
∴△FCE≌△HFG（ASA），
∴HF=FC．
（第16题答图）
22.4 矩形
一．选择题
1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕FG交BC于G．交AB于F，若∠AEF=30°，则∠FGB的度数为（ ）
（第1题图）
A．25° B．30° C．35° D．40°
2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC=120°，BO=4，则矩形的边BC的长是（ ）
（第2题图）
A．6 B．8 C．6 D．4
3．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角都相等
D．菱形的对角线互相垂直平分且平分一组对角
4．如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM，DM．过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为（ ）
（第4题图）
A．1 B． C． D．
5．关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
6．矩形具有下列性质（ ）
A．对角线相互垂直
B．对角线相等
C．一条对角线平分一组对角
D．面积等于两条对角线乘积的一半
7．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
（第7题图）
A． B． C． D．不确定
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC的度数是（ ）
（第8题图）
A．30° B．45° C．50° D．55°
9．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C．测量两条对角线是否互相平分
D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直
10．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（ ）
（第10题图）
A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形
B．若BE=CE时，四边形BHCG为矩形
C．若HE=CE，则四边形BHCG为平行四边形
D．若CH=3，CG=4，则CE=2.5
11．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
（第11题图）
A．3 B． C． D．4
二．解答题
12．如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点．
（1）求证：F是AB的中点；
（2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由．
（第12题图）
13．如图，在?ABCD中，AC=8，BD=12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形．
（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．
（第13题图）
14．如图，平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，EF⊥BD于点O，EF分别交AD，BC于点E，F．且AE=EO=DE，那么平行四边形ABCD是否是矩形，为什么？
（第14题图）
参考答案
一．1． B 2． D 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C
11．C
二．12．证明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC
∴四边形DBCE是平行四边形
∴DB=EC，
∵E是AC中点
∴AE=EC
∵AE=EC，AC∥DB
∴四边形ADBE是平行四边形
∴AF=BF，即F是AB中点．
（2）添加AB=BC
∵AB=BC，AE=EC
∴BE⊥AC
∴平行四边形DBEA是矩形．
13．证明：在?ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠EBC=∠ADF，
由题意知，BE=DF，
在△BEC与△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=AF，
同理可得AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）当t=2或t=10时以点A，C，E，F为顶点的四边形为矩形；
（第13题答图）
理由：由矩形的性质知 OE=OF、OA=OC，要使∠EAF是直角，只需OE=OF=OA=AC=4cm．
则∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°
即∠EDF=90°．
此时BE=DF=（BD﹣EF）=（12﹣8）=2cm或BE=DF=12﹣2=10cm
14．解：平行四边形ABCD是矩形．
如图所示，取DE的中点G，连接OG，
∵EF⊥BD，
∴Rt△DOE中，OG=DE=EG=DG，
∵AE=EO=DE，
∴EO=OG=EG，
∴△OEG是等边三角形，
∴∠AEO=∠DGO=120°，
又∵AE=DG，OE=OG，
∴△AOE≌△DOG，
∴AO=DO，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO=2DO=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（第14题答图）
22.5 菱形
一．选择题（共6小题）
1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（ ）
（第1题图）
A．8 B．7 C．4 D．3
2．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
（第2题图）
A．24 B．18 C．12 D．9
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ）
（第3题图）
A．20 B．24 C．40 D．48
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（ ）
（第4题图）
A．52 B．48 C．40 D．20
5．菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
二．填空题
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为 ．
（第6题图）
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为 ．
（第7题图）
8．如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE=AB，CF=CB，AG=AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于 ．
（第8题图）
9．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为 ．
（第9题图）
10．已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是 ．
三．解答题（共11小题）
11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若AC=2，求BD的长．
（第11题图）
12．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．
（1）求证：△APD≌△BQC；
（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．
（第12题图）
13．如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．
（第13题图）
14．如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．
（第14题图）
15．如图，在?ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．
（第15题图）
参考答案
一．1． A 2．A 3．A 4．A 5．B
二．6． 7．3 8．27 9．（2，﹣3）10． 2．
三．11．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，
∴菱形ABCD的周长为：8；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2
∴AC⊥BD，AO=1，
∴BO=，
∴BD=2
12．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵CQ∥DB，
∴∠BCQ=∠DBC，
∴∠ADB=∠BCQ
∵DP=CQ，
∴△ADP≌△BCQ．
（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ=DP，
∴四边形CQPD是平行四边形，
∴CD=PQ，CD∥PQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AB=PQ，AB∥PQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∵△ADP≌△BCQ，
∴∠APD=∠BQC，
∵∠APD+∠APB=180°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AB=AP，
∴四边形ABQP是菱形．
13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BF，
∴AE=CF，∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
14．（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵AF=CD，
∴AF+FC=CD+FC，
即AC=DF，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF．
（2）如图，连接EB交AD于O．
在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，
∴DF==5，
∵四边形EFBC是菱形，
∴BE⊥CF，∴EO==，
∴OF=OC==，
∴CF=，
∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．
15．证明：∵在?ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
22.6 正方形
一．选择题（共5小题）
1．如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（ ）
（第1题图）
A．（﹣6，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，2）
2．关于?ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则?ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则?ABCD是正方形
C．若AC=BD，则?ABCD是矩形
D．若AB=AD，则?ABCD是正方形
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．相等的角是对顶角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
4．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（ ）
（第4题图）
A． B．2 C．2 D．1
5．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
（第5题图）
A．16 B．17 C．18 D．19
二．填空题（共3小题）
6．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为 ．
（第6题图）
7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是 ．
8．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．
其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．
（第8题图）
三．解答题（共4小题）
9．已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N．
（1）求证：△ABE≌△BCN；
（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE．
（第9题图）
10．如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD的度数．
（第10题图）
11．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形．
（第11题图）
12．如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE．
（第12题图）
参考答案
一．1． B 2．C 3．D 4．B 5．B
二．6．（﹣1，） 7．①③④ 8．①②④
三．9．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC，∠A=∠CBN=90°，∠1+∠2=90°
∵CM⊥BE，
∴∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
在△ABE和△BCN中
∴△ABE≌△BCN（ASA）；
（2）∵N为AB中点，
∴BN=AB
又∵△ABE≌△BCN，
∴AE=BN=AB
在Rt△ABE中，tan∠ABE═．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，
在△DAF和△ABE中，，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，
∴∠ADF=∠BAE，
∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，
∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．
11．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，
∵∠CEF=45°，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFD=∠AEB=180°﹣45°﹣60°=75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形．
12．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE．
22.7 多边形的内角和与外角和
一．选择题
1．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
2．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α﹣5的值是（ ）
（第2题图）
A．35° B．40° C．50° D．不存在
3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（ ）
（第3题图）
A．∠A+∠D﹣45° B．（∠A+∠D）+45°
C．180°﹣（∠A+∠D） D．∠A+∠D
4．如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
（第4题图）
A．180° B．270° C．360° D．450°
5．一个多边形的内角和等于360°，它是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
6．如果某多边形的每个内角的大小都是其相邻外角的3倍，那么这个多边形是（ ）
A．六边形 B．八边形 C．正六边形 D．正八边形
7．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ）
A．460° B．540° C．900° D．1260°
8．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
9．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）边形．
A．三 B．四 C．五 D．六
10．四边形的四个内角可以都是（ ）
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．以上答案都不对
二．11．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．小明一共走了 米？这个多边形的内角和是 度？
（第11题图）
12．一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是 ．
13．在图中，x的值为 ．
（第13题图）
14．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ．
（第14题图
15．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是 ．
（第15题图）
三．解答题（共3小题）
16．如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？
（第16题图）
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1=∠2．
（1）求证：EF∥BD；
（2）若DB平分∠ABC，∠A=130°，∠C=70°，求∠CFE的度数．
（第17题图）
18．解答题：
（第18题图）
（1）如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．
（2）如图②③，四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：
①如图②，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用α，β的代数式表示）
②如图③，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P= ．（用α，β的代数式表示）（作图2分，写出结果）
参考答案
一．1．D 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．B 10．B
二．11． 120；3960 12．五 13． 135 14．360° 15．10
三．16．解：如答图.
由三角形的外角性质，得∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，
∵∠1+∠2+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
（第16题答图）
17．解：（1）如答图.
（第17题答图）
∵AD∥BC（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠2（等量代换）．
∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：∵AD∥BC（已知），
∴∠ABC+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A=130°（已知），
∴∠ABC=50°．
∵DB平分∠ABC（已知），
∴∠3=∠ABC=25°．
∴∠2=∠3=25°．
∵在△CFE中，∠CFE+∠2+∠C=180°（三角形内角和定理），∠C=70°，
∴∠CFE=85°．
18．解：（1）如答图1中，结论：2∠P=∠A．
（第18题答图）
理由：∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，
∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，
∴2∠PCD=∠ACD，2∠PBC=∠ABC，
∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC，
2∠P+2∠PBC=∠A+∠ABC，
2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC，
∴2∠P=∠A；
（2）①如答图2中，
解法一：由四边形内角和定理得，∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
由三角形的外角性质得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，
∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCE=∠DCE，
∴∠P+∠PBC=（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）=（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，
∴∠P=（∠A+∠D）﹣90°，
∵∠A=α，∠D=β，
∴∠P=（α+β）﹣90°；
解法二：延长BA交CD的延长线于点F．
∵∠F=180°﹣∠FAD﹣∠FDA=180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）=α+β﹣180°，
由（1）可知，∠P=∠F，
∴∠P=（α+β）﹣90°；
②如图3，延长AB交DC的延长线于F．
∵∠F=180°﹣α﹣β，∠P=∠F，
∴∠P=（180°﹣α﹣β）=90°﹣α﹣β
