苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：12函数的表示方法(提高)

函数的表示方法

【学习目标】
了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域；掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单的应用。
【典型例题】
类型一、判断两函数是否为同一个函数
例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1），；
（2），
（3），（n∈N*）；
（4），；
（5），
【思路点拨】要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。
【解析】（1）由于，，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.
（2）由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数.
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴，，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.
（4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
【答案】（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数
【总结升华】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，，都可视为同一函数.
举一反三：
【变式】下列函数中与函数相同的是( )
A .y = ()2 ; B. y = ; C. y = ; D. y=
【答案】B；
【解析】因为y = ，所以应选择B

例2．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.
【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是
【解析】
(1) 的定义域不同，前者是，后者是，因此是不同的函数；
(2)，因此的对应关系不同，是不同的函数；
(3) 的对应关系不同，因此是不相同的函数；
(4) 的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.
【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.
(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.
举一反三：
【变式】判断下列命题的真假
(1)y=x-1与是同一函数；
(2)与y=|x|是同一函数；
(3)是同一函数；
(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.
【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.
类型二、函数定义域的求法
例3.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)； (2)；　　　　(3).
【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
(1)的定义域为x2-3≠0，；
(2)；
(3).
【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.
举一反三：
【变式】求下列函数的定义域（用区间表示）：
(1)； (2)；（3）.
【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）；（3）．
【解析】
(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，无意义，当|x-1|-2≠0，即x≠-1且x≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；
(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；
(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为.
【总结升华】小结几类函数的定义域：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)
(5)满足实际问题有意义.
例4.（1）已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
（2）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
（3）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
【思路点拨】（1）若的定义域为，则在中，，从中解得的取值范围即为的定义域．（2）若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域．
【答案】（1）[1，]；（2）[3，5]；（3）[2，3]．
【解析】（1）设，由于函数定义域为[1，2]，，故，即，解得，所以函数的定义域为[1，].
（2）设，因为，所以，即，函数的定义域为[3，5] .由此得函数的定义域为[3，5] .
（3）因为函数的定义域为[1，2]，即，所以，所以函数的定义域为[3，5]，由，得，所以函数的定义域为[2，3] .
【总结升华】求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的.
举一反三：
【变式】已知的定义域为，求的定义域.
【答案】
【解析】的定义域为，，，，解得：或，所以的定义域为.
例5.设，则的定义域为（ ）
A. ；B. ；C. ；D.
【思路点拨】要求复合函数的定义域，应先求的定义域。
【解析】由得，的定义域为，故
解得。故的定义域为.选B.
【总结升华】求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。
例6.已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
【思路点拨】确定的取值范围，使之对任意，都有，即方程无实根.
【答案】
【解析】
当时，对任意恒成立.
当时，要使恒成立，即方程无实根.只需判别式，于是.
综上，的取值范围是.
【总结升华】（1）函数有意义，分母恒成立，转化为时，二次方程无实根是关键一步.（2）由于判别式是对二次方程的实系数而言，所以这里应分、两种情况讨论.（3）本题是求定义域的逆向问题，即已知函数的定义域求解析式中所含字母的取值范围.
举一反三：
【变式1】定义在上的函数的值域为，则函数的值域为( )
A．；B．；C．；D．无法确定
【答案】B；
【解析】函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的
【变式2】若函数的定义域是，则函数的定义域是

【解析】；因为的定义域为，所以对，但故
【变式3】若函数的值域是，则函数的值域
是
【答案】；
【解析】可以视为以为变量的函数，令，则
，所以，在上是减函数，在上是增函数，故的最大值是，最小值是2
类型三、求函数的值域
例7. 已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：
(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))
【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．
【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x2-46x+40，4x2-6x-55．
【解析】
(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；
(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；
(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；
g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.
【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.
例8. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，①；②；.
【答案】（1）[3，12]；（2）；（3）(-∞，1)∪(1，+∞).
【解析】(1)法一：配方法求值域．
，①当时，，∴值域为[7，28]；②当时，，∴值域为[3，12]．
法二：图象法求值域
二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以①当时，值域为[7，28]；②当时，值域为[3，12]．
(2)；
(3)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).
【总结升华】（1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．
（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．
举一反三：
【变式1】 求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1），即所求函数的值域为；
（2），，，即函数的值域为；
（3）
函数的定义域为
，，，即函数的值域为．
（4）
所求函数的值域为．
类型四、函数解析式的求法
例9. 求函数的解析式
(1)已知是二次函数，且，求；
(2)若f(2x-1)=x2，求f(x)；
（3）已知，求.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】求函数的表达式可由两种途径.
(1)设，由得
由，得恒等式2ax+a+b=x-1,得，故所求函数的解析式为.
(2) ∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则
（3）因为，①
用代替得，②
由①②消去，得.
【总结升华】（1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择.
（2）已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法，如本例（2）.
（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程.
举一反三：
【变式】（2019 江苏盐城期末）求下列函数的解析式
（1）已知，求；（2）已知，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）令，则
∴
∴
（2）将已知式子中的x换成得
消去，得
【总结升华】求函数解析式常用方法：
(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.
例10.已知=，则的解析式可取为
【思路点拨】这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法
【解析】令，则，∴ .∴.
故应填
【总结升华】求函数解析式的常用方法有：① 换元法（ 注意新元的取值范围）；② 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整体代换（配凑法）；④构造方程组（如自变量互为倒数、已知为奇函数且为偶函数等）。
类型七、分段函数
例11.设函数，在区间上画出函数的图像。
【思路点拨】需将来绝对值符号打开，即先解，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。
【解析】,如右上图.
【总结升华】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。
举一反三：
【变式1】已知函数，则
【答案】2；
【解析】由已知得到
【变式2】设则不等式的解集为
【答案】；
【解析】当时，由得，得
当时，由得，得
例12.（2019 广西桂林期中）设函数若，则= ．
【思路点拨】这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换．
【答案】
【解析】由题意，当时，，则
又，∴ （舍）或
∴ ，∴ （舍负）
∴
【总结升华】分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
例13．如图所示，等腰梯形的两底分别为，作直线交于，交折线于.设试将梯形位于直线左侧的面积表示为的函数.
【思路点拨】此题是应用型问题，要求函数的表达式，这样就需准确揭示之间的变化关系.依题意，可知随着直线的移动，点分别落在梯形的边、及边上，有三种情况，所以需要分类解答.
【答案】
【解析】
作，为垂足，，为垂足，依题意，则有
（1）当位于点的左侧时，，
由于
（2）当位于点、之间时，由于
（3）当位于点的右侧时，
由于
=
=
综上有
【总结升华】（1）由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可.
（2）注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数.
举一反三：
【变式1】如图，在边长为4的正方形的边上有一点，沿着边线
由（起点）向（终点）运动.设点运动的路程为，的面积为.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）画出的图象.
【解析】（1）
（2）当点在边上运动时，即当时，
当点在边上运动时，即当时，
当点在边上运动时，即当时，，故为分段函数.
【巩固练习】
1．函数的定义域是(　 )
A． B．　 C． D．
2．（2019 福建南安期中）函数的值域为 （ ）
A．[0,3] B．[-1,0] C．[-1,3] D．[0,2]
3．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝(　　)
A．x－1 B．x＋1
C．2x＋1 D．3x＋3
4．设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有 ( )个．
A．1个 B．2个　　　 C．3个 D．4个
5．（2019 浙江台州期末）设函数则的值为
A． B． C． D．
6．已知函数定义域是，则的定义域是( )
A． B． C．  D． 
7．向高为的水瓶里注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是图中的（ ）
8．已知函数，则的值是（ ）
A．2008 B．2009 C． D． 2010
9．若函数的定义域是，则函数的定义域是
．
10．已知，则不等式的解集是 ．
11．设函数则的值域是（ ）．
12．已知，则= ．
13．（2019 湖南张家界期末）
设函数 ．
（1）若，求方程的解；
（2）若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围；并证明： ．
14．已知函数，且满足求的值域．
15．设两地相距260，汽车以的速度从A地到B地，在B地停留后，再以的速度返回到A地．试将汽车离开A地后行走的路程表示为时间的函数．
16．已知函数对任意的实数，都有成立．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案与解析】
1．【答案】D．
【解析】由题意1-x≥0且x≥0，解得，故选D．
2．【答案】C
【解析】
又，
∴ 当x=2时，y=－1
当x=0时，y=3
∴ －1≤y≤3
即 ，故选C
3．【答案】B．
【解析】解析：在2f(x)－f(－x)＝3x＋1①
将①中x换为－x，则有2f(－x)－f(x)＝－3x＋1②
①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，
∴f(x)＝x＋1.
4．【答案】A．
【解析】由函数的定义知选A．
5．【答案】D
【解析】该分段函数的二段各自的值域为，
∴ ，故选D．
6．【答案】A．
【解析】 ；
7．【答案】B.
【解析】观察函数的图象发现，图象开始“增得快”，后来“增得慢”，A、C、D都不具备此特性．也就是由函数的图象可知，随高度的增加，体积V也增加，并且随单位高度的增加，选项A的体积V的增加量变大；选项B的体积V的增加量变小；选项C的体积V的增加量先变小后变大；选项D的体积V的增加量不变，故选B.
8．【答案】C．
【解析】，．
9．【答案】
解不等式组得，又．
10．【答案】
【解析】当
当，
∴.
11．【答案】
【解析】．
令，即，解得或．令，而，解得，故函数当或时，函数；当时，函数，即．故函数的值域是．
12．【答案】4020
【解析】 令，则由
可得即
分别令，
则
=2+2+2+…+2=2010×2=4020
13．【答案】（1）或；（2）略
【解析】（1）时：
当时，，由
得（舍去）， 故
当时， ， 由得
故当时，方程的解是或
（2）不妨设，
　 　
　　 若，与矛盾，
　 且有 ① ， ②
　　 由①得：， 由②得：
　　 的取值范围是
联立①、②消去得：

14．【答案】
【解析】由得，从而
由得
整理得，，，解得.
，的值域为.
15．【答案】
16．【解析】（1）不妨设
则应用
从而得，设，
则应有
.
（2）证明：当时，注意到，于是，而
所以.
（3）题设中有，因此需将36转化，注意到36=，因此，=.