苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：18《函数》全章复习与巩固(提高)

函数》全章复习与巩固

【学习目标】
1. 体会函数式描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念.
2. 了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域；掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解分段函数，并能简单地应用.
3. 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性；了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性，能证明一些简单函数的奇偶性；学会运用函数的图象理解和研究函数的性质。
4. 了解映射的概念，进一步了解函数是非空集合到非空集合的映射。
【知识网络】
【典型例题】
类型一、映射的概念
例1．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）
A．；B．；C．；D．
【思路点拨】密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。
【解析】当接收方收到密文14，9，23，28时，
有，解得，解密得到的明文为C．
【总结升华】理解映射的概念，应注意以下几点：
（1）集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统；
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；
（3）集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；
（4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
举一反三：
【变式】集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.
【解析】9 , 8；从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射.
例2．若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.
【解析】a=2，k=5，A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}；
∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1）或（2）
∵a∈N，∴方程组（1）无解.
解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.
∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.
类型二、函数的概念
例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1），；
（2），
（3），（n∈N*）；
（4），；
（5），
【思路点拨】要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。
【答案】（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数
【解析】（1）由于，，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.
（2）由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数.
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴，，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.
（4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
【总结升华】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，，都可视为同一函数.
举一反三：
【变式1】下列函数中与函数相同的是( )
A .y = ()2 B. y = C. y = D. y=
【答案】B；
【解析】因为y = ，所以应选择B
【变式2】下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A、， B、，
C、， D、，
【答案】C；
【解析】A中两函数的定义域不同，的定义域不含；B中两函数的定义域也不同，的定义域为，而的定义域为R；D中的对应法则不同。
【变式3】下列各组函数的图象相同的是（ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】D；
【解析】实质为函数相同。A、C中两个函数的定义域不同；B中的对应法则不同。
类型三、函数的定义域、值域
例4．求函数的定义域
（1）； （2）函数．
【思路点拨】求给定解析式的函数的定义域的依据是使式子有意义，如分式的分母不为0，偶次方根的被开方数大于或等于0，零指数幂的底数不为等等。建议写成不等式组的形式，以免遗漏。
【解析】（1）由得，
所以函数的定义域为：。
（2）由函数解析式可知6－x－x2>0，即x2＋x－6<0，故－3所以函数的定义域为：(－3,2)
【总结升华】求具体函数的定义域往往转化为解不等式组,此时要细心，首先要找齐约束条件，借助数轴时要注意端点值或边界值。
举一反三：
【变式】已知函数的定义域是R，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】由的定义域是R，则恒成立，
当时，显然成立；
当时，；
当时，，
综上，选C。
例5．已知的定义域为，求的定义域.
【解析】∵中,
∴中，即，解得或
∴所求定义域是.
【总结升华】有关复合函数的定义域问题，要明确：
（1）定义域是指单一的自变量的取值范围.如本题中的定义域为即；而的定义域，同样只指中的单一的自变量的取值范围.
（2）在同一法则之下，括号内的整体范围是一致的。如本题中，应是函数的自变量的范围，同时也是括号内的整体范围；而要求解的的定义域是中的取值范围，此处的取值范围已不是中的的取值范围；但中的与中的的整体范围是相同的，可以此为桥梁求解。
（3）求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。
举一反三：
【变式1】若的定义域为，求的定义域。
【答案】；
【解析】本题的实质是求在时的值域。
令，当时，。
故的定义域为。
【变式2】已知函数的定义域为，求函数的定义域。
【答案】由
【变式3】若函数的定义域是，则函数的定义域是

【答案】
【解析】；因为的定义域为，所以对，但故
例6．已知函数，若恒成立，求的值域
【思路点拨】应先由已知条件确定取值范围，然后再将中的绝对值化去之后求值域
【解析】依题意，恒成立，则，解得，
所以，从而，，所以的值域是
【总结升华】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。
举一反三：
【变式1】定义在上的函数的值域为，则函数的值域为( )
A．；B．；C．；D．无法确定
【答案】 B；
【解析】函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的
【变式2】若函数的值域是，则函数的值域
是
【答案】；
【解析】可以视为以为变量的函数，令，则
，所以，在上是减函数，在上是增函数，故的最大值是，最小值是2
例7．已知函数，求：
（1）的值；（2）的定义域、值域。
【思路点拨】 求解分段函数的问题，应该按、、分别求，然后再得到答案。
【解析】（1）∵， ∴
∴
（2）的定义域为，即
当时，；
当时，；
当时，；
综上可得的值域为。
【总结升华】分段函数分段讨论，先局部后整体；结果应当要并。
举一反三：
【变式】设，，则 ， .
【答案】：。
【解析】，；
，.

【变式2】对定义域是、的函数、，规定：函数
。
（1）若函数，，写出函数的解析式；
（2）求问题（1）中函数的值域.
【答案】
(1)；
(2) 当时，,
时, （当且仅当时等号成立），则,
时, （当且仅当时等号成立），则.
∴函数的值域是.
类型四、函数的单调性
例8．求证：（1）函数在区间上是单调递增函数；
（2） 函数在上是单调递减函数；
（3）函数在区间和上都是单调递增函数．
【思路点拨】利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．
【证明】（1）对于区间内的任意两个值，，且，
因为
，
又，则，，得，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数．
（2）对于上的任意两个值，，且，
因为
，
又，则，，
得，故，即．
所以，函数在上是单调减函数．
（3）对于区间内的任意两个值，，且，
因为，
又，则，，得，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数．
同理，对于区间，函数是单调增函数；
所以，函数在区间和上都是单调增函数．
【总结升华】利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值，；（2）作差，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．
例9．函数在区间的最大值记为，求的表达式．
【思路点拨】二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．
【解析】∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
（2）当时，，，有=2；
（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，．
综上所述，有=．
【总结升华】解答本题应注意两点：一是对时不能遗漏；二是对时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及在区间上的单调性．
例10．已知函数．
（1）讨论函数在区间上的单调性，并证明；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值；
（3）试求函数的最小值．
【思路点拨】本题先研究函数的单调性，再利用单调性解决最值问题．
【解析】（1）对于区间内的任意两个值，，且，
则，
当，则，，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调减函数；
当，则，，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数；
综上所述，函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．
（2）由（1）知，函数在上是单调递减，上是单调递增；
所以，的最小值为，此时；
又，所以的最大值为，此时或．
（3）令，则，
由（1）知，在上单调递增，所以，y的最小值为．
例11．已知函数在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．
【思路点拨】由函数在[－1，1]上是增函数，建立不等关系．
【解析】
①当时，在[－1，1]上是增函数，
②当时，对称轴方程为，
ⅰ）当时，，解得；
ⅱ）当时， ，解得；
．
【总结升华】由单调性求参数的范围，应注意分类讨论．
例12．求函数的单调区间
【思路点拨】该函数整体来说是一个二次根式，首先要考虑被开方数大于等于零，在此基础上求被开方函数的单调性即可．
【解析】设y=，u=x2+x-6 ．
由x2+x-6≥0，得x≤-3或x≥2，
结合二次函数图象可知，函数u=x2+x-6在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．
又∵函数y=是递增的，∴函数在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．
例13．已知函数f(x)对于任意x，y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2) 求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值．
【思路点拨】用定义法判断抽象函数的单调性；求函数的最值需借助函数的单调性进行。
【解析】(1)方法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，
令x=y=0，得f(0)=0．再令y=-x，得f(-x)=-f(x)．在R上任取x1＞x2，则Δx=x1-x2＞0，
Δy=f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(Δx),
又∵x＞0时，f(x)＜0．而Δx＞0，
∴f(Δx)＜0，即Δy<0．
因此f(x)在R上是减函数．
方法二：在R上任取x1，x2，
不妨设x1＞x2，
则Δx=x1-x2>0,Δy=f(x1)-f(x2)
=f(x1-x2+x2)-f(x2)
=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)
=f(x1-x2)=f(Δx)
又∵x＞0时，f(x)＜0，而Δx＞0，
∴f(Δx)＜0，即Δy<0．
因此f(x)在R上是减函数.
(2)∵f(x)在R上为减函数，
∴f(x)在［-3，3］上也为减函数，
∴f(x)在［-3，3］上的最大值为f(-3)、最小值为f(3)，
而f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=
3f(1)=-2，
∵0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3),
∴f(-3)=-f(3)=2,
因此，f(x)在［-3，3］上的最大值为2，最小值为-2.
【总结升华】求函数最值(值域)常用的方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4) 换元法：对比较复杂的函数可通过换元转
化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
类型五、函数的奇偶性
例14．判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）
【思路点拨】判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．
【解析】（1）定义域为，关于原点对称；,
所以为偶函数．
（2）定义域为，不关于原点对称；故既不是奇函数也不是偶函数．
（3）定义域为，关于原点对称；，，则且，故既不是奇函数也不是偶函数．
（4）定义域为，关于原点对称；
，又，
，故为奇函数．
【总结升华】判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即或判断，注意定义的等价形式或．
例15．已知定义在上的函数满足条件：对于任意的，都有．当时，．
（1）求证：函数是奇函数；
（2）求证：函数在上是减函数；
（3）解不等式．
【思路点拨】赋值法是解决抽象函数有关问题的常用方法．
【解析】（1）证明：令，则，得．
令，则，即．故函数是奇函数．
（2）证明：对于上的任意两个值，，且，
则，
又，则，又当时，．
， 即．故函数在上是减函数．
（3）解：由（2）知：函数在R上是减函数．
，．
，解得．又所以解集为．
【总结升华】本题实质是过原点的一次函数模型，可结合一次函数模型分析，求解．在解决第（3）问时，应注意定义域的范围．
举一反三：
【变式】已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y，恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，又.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在[-3，6]上的最大值与最小值．
【解析】
(1)令x=y＝0，可得f(0)+f(0)=f(0+0)，从而f(0)＝0．
令y＝-x，可得f(x)+f(-x)=f(x-x)＝0，即f(-x)＝-f(x)，
故f(x)为奇函数。
(2)设x1、x2∈R，且xl＞x2，则x1—x2＞0，于是f(xl-x2)＜0．
从而f(x1)-f(x2)=f[(xl-x2)+x2]-f(x2)＝f(xl-x2)+f(x2)-f(x2)＝f(xl-x2)＜0．
所以f(x) 在R上是减函数。
(3)由(2)知，所求函数的最大值为f(-3)，最小值为f(6)．
f(-3)＝-f(3)=-[f(2)+f(1)]＝-2f(1)-f(1)=-3f(1)＝2，
f(6)＝-f(-6)＝-[f(-3)+f(-3)]=-4．
于是，f(x)在[-3，6]上的最大值为2，最小值为-4．
【总结升华】对于抽象函数问题的求解，一般方法是取特例进行归纳与验证，也可联想满足该性质的函数，如f(x)＝kx(k＞0)，即满足上述条件．
例16．设为实数，函数，．
（1）讨论的奇偶性；
（2）若时，求的最小值．
【思路点拨】先去绝对值，再对参数a进行讨论．
【解析】（1）当时，函数
此时，为偶函数．
当时，，，
，．
此时既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）
由于在上的最小值为，在内的最小值为．
故函数在内的最小值为．
【总结升华】注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值．
类型六、函数的周期性
例17．已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ).
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.
【总结升华】本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.
举一反三：
【变式】若y=f(2x)的图像关于直线和对称，则f(x)的一个周期为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为y=f(2x)关于对称，所以f(a+2x)=f(a－2x)。
所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。
同理，f(b+2x) =f(b－2x)，
所以f(2b－2x)=f(2x)，
所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。
所以f(2x)的一个周期为2b－2a，
故知f(x)的一个周期为4(b－a)。选项为D。
【总结升华】考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称（a≠b），则这个函数是周期函数，其周期为2（b－a）
例18．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。
①证明：；
②求的解析式；
③求在上的解析式。
【解析】∵是以为周期的周期函数，
∴，
又∵是奇函数，
∴，
∴。
②当时，由题意可设，
由得，
∴，
∴。
③∵是奇函数，
∴，
又知在上是一次函数，
∴可设，而，
∴，∴当时，，
从而当时，，故时，。
∴当时，有，
∴。
当时，，
∴
∴。
【总结升华】该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征.
【巩固练习】
1．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．|f(x)|－g(x)是奇函数
B．|f(x)|＋g(x)是偶函数
C．f(x)－|g(x)|是奇函数
D．f(x)＋|g(x)|是偶函数
2．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝(　　)
A．4 B．2
C．0 D．不确定
3．若函数为奇函数，则a＝(　　)
A. B. C. D．1
4．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，
f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
5．设f(x)＝g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是(　　)
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
6．已知f(x)＝，则如图中函数的图象错误的是(　　)
7．已知f(x－)＝x2＋，则函数f(3)＝________.
8．设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝，则a的取值范围是________．
9．设函数f(x)＝(x＋|x|)，则函数f[f(x)]的值域为________．
10．已知函数f(x)＝ (a≠1)，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
11．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)>2x＋5.
12．函数f(x)对一切实数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝x(x＋2y＋1)成立，且f(1)＝0，
(1)求f(0)的值；
(2)试确定函数f(x)的解析式．
13．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)．
15．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．
16．我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数．
2．【答案】C
【解析】∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.
∴f(4)＝f(2－2)＝f(0)＝0.
3．【答案】A
【解析】法一：由已知得定义域关于原点对称，由于该函数定义域为
，知a＝
法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
又f(x)＝则＝在函数的定义域内恒成立，∴1－2a＝0，可得a＝
4．【答案】B
【解析】由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图象与x轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．
5．【答案】C
【解析】由f(x)≥0，可得x≥0或x≤－1，且x≤－1时，f(x)≥1；x≥0时，f(x)≥0.
又g(x)为二次函数，其值域为(－∞，a]或[b，＋∞)型，而f(g(x))的值域为[0，＋∞)，可知g(x)≥0.
6．【答案】D
【解析】因f(x)＝
其图象如图，验证知f(x－1)，f(－x)，
f(|x|)的图象均正确，只有|f(x)|的图象错误．
7．【答案】11
【解析】∵f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，
∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.
8．【答案】(－∞，－1)∪(0，＋∞)
【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.
∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝>－1.
即>0，解得a>0或a<－1.
9．【答案】[0，＋∞)
【解析】先去绝对值，当x≥0时，f(x)＝x，故f[f(x)]＝f(x)＝x，当x<0时，f(x)＝0，故f[f(x)]＝f(0)＝0，
即f[f(x)]＝，易知其值域为[0，＋∞)．
10．【答案】(－∞，0)∪(1,3]
【解析】当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，
则需3－a×1≥0，此时1当a－1<0，即a<1时， 要使f(x)在(0,1]上是减函数，
则需－a>0，此时a<0
所以，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]
11．【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有
a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
∴2ax＋a＋b＝2x.
∴a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，
解得x>4或x<－1.
故原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．
12．【解析】(1)令x＝1，y＝0，得
f(1)－f(0)＝2.
又∵f(1)＝0，
∴f(0)＝－2.
(2)令y＝0，则
f(x)－f(0)＝x(x＋1)，
由(1)知，f(1)＝x(x＋1)＋f(0)
＝x(x＋1)－2
＝x2＋x－2.
13．【解析】(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
14．【解析】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得
f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)
＝(x－4)2＋2(x－4)
＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，
f(1)＝1，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋
f(2 011)＋f(2 012)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝0.
15．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．
【解析】(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0
?2a2－a－3＝0?a＝－1或a＝
(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，
∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0?－1≤a≤，
∴a＋3>0.
∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2
＝－（a+)2＋,
∵二次函数g(a)在上单调递减，
∴g≤g(a)≤g(－1)，即－≤g(a)≤4.
∴g(a)的值域为
16．【解析】(1)证明：任取x1，x2∈R, 且x1∵f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，
又x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，即f(x2)>f(x1)．
∴f(x)是R上的增函数．
(2)令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝2f(2)－1，
∴f(2)＝3，
而f(3m2－m－2)<3，∴f(3m2－m－2)又f(x)在R上是单调递增函数，
∴3m2－m－2<2.
∴3m2－m－4<0，解得－1故原不等式的解集为(－1，)．
17．【解析】设y表示本季度应缴纳的水费(元)，
当0当55与(x－5)分别计算，第一部分为基本
消费1.3×5，第二部分由基本消费与加价消费组成，即
1．3×(x－5)＋1.3(x－5)×200%
＝3.9x－19.5，
此时y＝1.3×5＋3.9x－19.5
＝3.9x－13，
当6综上可知：
y＝