苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：20分数指数幂(提高)

分数指数幂

【学习目标】
理解分数指数的含义，了解实数指数幂的意义，理解n次方根，n次根式的概念，熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根；能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化。
【典型例题】
类型一、根式
例1.计算：（1）；
（2）.
【答案】
【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.
（1）
=+-
=
=||+||-||
=+-（）
=2
（2）
=
=
=
【点评】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以.
举一反三：
【变式1】化简：（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）。
类型二、指数运算、化简、求值
例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）。
【答案】；；；
【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。
（1）
（2）；
（3）；
（4）解法一：从里向外化为分数指数幂
==
=
=
=
解法二：从外向里化为分数指数幂。
=
==
=
=
【点评】此类问题应熟练应用。当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。
举一反三：

【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）；
【答案】（1）；（2）。
【变式2】把下列根式化成分数指数幂：
（1）；（2）；（3）；（4）。
【答案】；；；
【解析】（1）=；
（2）；
（3）；
（4）=
=。
例3.计算：
(1)；
(2)
(3)。
【答案】3；0；2
【解析】(1)原式=；
(2)原式=；
(3)原式=-5+6+4--(3-)=2；
【点评】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.
举一反三：
【变式1】计算下列各式：
(1)；　　(2).
【答案】(1)112 （2）
【解析】(1)原式=；
(2)原式.
例4.化简下列各式.
(1) ；　　(2)；　　(3).
【答案】；；0.09
【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.
(1)
(2)
(3)
举一反三：
【变式1】化简
【答案】
【解析】应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，
原式
.
【点评】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.
【变式2】化简下列式子：
(1) (2) (3)
【答案】；；
【解析】(1)原式
(2)
∴由平方根的定义得：
(3)
.

例5．已知，求的值。
【答案】
【解析】从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值。
，，
，
=
=
【点评】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。本题的关键是先求及的值，然后整体代入。
举一反三：
【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.
(2)已知x+y=12， xy=9，且x【答案】；
【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3
(2)
又∵ x+y=12， xy=9， ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
又 ∵ x【点评】(1)对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式.
(2)一般不采用分别把x， y， 2x的值求出来代入求值的方法，应先将原式进行分母有理化，并用乘法公式变形，把2x+2-x，x+y及xy整体代入后再求值.
例6．已知，求的值
【答案】
【解析】先把化成，然后利用“整体代换”的方法去求值.
由，所以

=
例7. 已知a=,b=9.求：
（1）
（2）.
【解析】（1）原式=.÷［a·］?
= =a.?
∵a=，∴原式=3.?
（2）方法一 化去负指数后解.?
∵a=∴a+b=
方法二 利用运算性质解.?
∵a=∴a+b=
【巩固练习】
1.化简，结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A.32 B.16 C. 64 D.128
3.若，且，则的值等于（ ）
A. B. C. D.2
4.下列各式中错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.、、这三个数的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足
，若，则（ ）
A. 2 B. C. D.
7. .
8.= .
9.若，则= .
10.已知，则= .
11.计算：
（1）；
（2）.
12.计算下列各式：
（1）；
（2）．
13. 计算： 14.已知.
求证：为定值.
15.（1）化简：；
（2）已知，求的值.
【答案与解析】
1. A 原式=
=
=
=
2. A ，故选A。
3. C 因为，所以，即．同理，又因为，所以，故．
4.D D中左边=
5. B ，，．，．
6．B 因为，又是奇函数，是偶函数，所以，所以，，两式联立解得，进一步求得．
7. 原式=.
8. 原式=.
9.-23 原式===4-27=-23.
10. 因为，所以．
11.解：（1）原式=.
（2）原式=
=
=
=
=
12.解：（1）原式=
=
=.
（2）原式=
=-（）
=0
13. 原式=
=
=
=0
14．证明：
同理
原式=2，结论得证．
15．解：（1）原式==+
=
（2）因为，
所以 ，
所以

故当 a>b时， =a-b.当a=b时，=0.当a