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【专题讲义】北师大版八年级数学下册
第1讲 等腰三角形专题精讲（提高版）
授课主题 第01讲-等腰三角形
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握等腰三角形、等边三角形的性质、判定定理； 掌握含30°角的直角三角形的性质定理及其证明； 能够用综合法证明等腰三角形的有关性质及其判定定理。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理1、等腰三角形的性质定理 （1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） （2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。 （3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。 （4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2、等腰三角形的判定定理 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。 （3）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。考点一：等腰三角形的性质例1、一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ） A．12 B．16 C．20 D．16或20例2、等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 例3、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ） A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°例4、在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（ ） A．110° B．120° C．130° D．140°例5、如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= ． 例6、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形底边长为 ． 例7、如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O （1）求证：OB=OC； （2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数． 例8、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明． 考点二：等腰三角形的判定 例1、在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（ ） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=60° C．∠A=20°，∠B=80° D．∠A=40°，∠B=80° 例2、对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（ ） A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等 B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 D．以上说法都是正确的例3、△ABC的三边长a，b，c满足关系式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，则这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定例4、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个例5、如图，△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②∠DFB=∠EFC； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF=CF． 其中正确的是 ．（填序号，错选、漏选不得分） 例6、如图，已知AB∥CD，AC∥BD，CE平分∠ACD． （1）求证：△ACE是等腰三角形； （2）求证：∠BEC＞∠BDC．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（ ） A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm 2、等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ） A．40°，40° B．80°，20° C．50°，50° D．50°，50°或80°，20° 3、如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ） A．40° B．30° C．70° D．50° 4、如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（ ） A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180° 5、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC；④OE=OD．从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 6、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°， 当∠A= 时，△AOP为直角三角形； 当∠A= 时，△AOP为等腰三角形． 7、如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB=BD=DC，且∠C=40°，那么∠A= °． 8、如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1= 度，图中有 个等腰三角形． 9、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F． 求证：DE=DF． 10、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数． 11、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：△ABC是等腰三角形． 课后反击1、已知等腰三角形的一个底角的度数为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ） A．55°，55° B．70°，40° C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对 2、等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ） A．42° B．60° C．36° D．46° 3、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ） A．44° B．66° C．88° D．92° 4、如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β．若α=10°，则β的度数是（ ） A．40° B．50° C．60° D．不能确定 5、如图，在△ABC，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，若△ABD的周长为12，△ABC的周长为16，则AD的长为 ． 7、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）： ． 8、如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是 ． 9、如下图中，在△ABC中，有AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若有∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）． 1、下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4 C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：2 2、如下图中，将△ABC沿BD对折，使得点C落在AB上的点C′处，且∠C=2∠CBD，已知 ∠A=36°． （1）求∠BDC的度数； （2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明）
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、等腰三角形的性质定理 （1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） （2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。 （3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。 （4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2、等腰三角形的判定定理 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。 （3）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 1、涉及等腰三角形腰上的高的问题时，需要注意分类讨论； 2、等腰三角形“三线合一”的成立的条件一定要明确； 3、等腰三角形需要满足一般三角形的性质。本节课我学到 我需要努力的地方是
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【专题讲义】北师大版八年级数学下册
第1讲 等腰三角形专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第01讲-等腰三角形
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握等腰三角形、等边三角形的性质、判定定理； 掌握含30°角的直角三角形的性质定理及其证明； 能够用综合法证明等腰三角形的有关性质及其判定定理。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理1、等腰三角形的性质定理 （1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） （2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。 （3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。 （4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2、等腰三角形的判定定理 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。 （3）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。考点一：等腰三角形的性质例1、一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ） A．12 B．16 C．20 D．16或20 【解析】①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意． 故此三角形的周长=8+8+4=20．故选C． 例2、等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 【解析】故选B．例3、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ） A．15° B．17.5° C．20° D．22.5° 【解析】∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC， 即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A， ∴2∠1=2∠3+∠A， ∵∠1=∠3+∠D， ∴∠D=∠A=×30°=15°．故选A． 例4、在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（ ） A．110° B．120° C．130° D．140° 【解析】∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°， 又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB， ∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°， ∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．例5、如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= 66° ． 【解析】∵OA=AC， ∴∠ACO=∠AOC=×（180°﹣∠A）=×（180°﹣48°）=66°． ∵AC∥BD，∴∠D=∠C=66°．故答案为：66°．例6、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形底边长为 16或8 ． 【解析】∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x， 又知BD将三角形周长分为15和21两部分，∴可知分为两种情况 ①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16； ②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8． 经验证，这两种情况都是成立的． ∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．例7、如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O （1）求证：OB=OC； （2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数． 【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC=∠BDE=90°，∴△BEC≌△BDC，∴∠DBC=∠ECB，BE=CD。 在△BOE和△COD中，∵∠BOE=∠COD，BE=CD，∠BEC=∠BDE=90°∴△BOE≌△COD，∴OB=OC； （2）∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠DOE+∠A=180° ∴∠BOC=∠DOE=180°﹣80°=100°．例8、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明． 【解析】△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD． 以△ABE≌△ACE为例，证明如下： ∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE． 在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS）． 考点二：等腰三角形的判定 例1、在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（ ） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=60° C．∠A=20°，∠B=80° D．∠A=40°，∠B=80° 【解析】故选C．例2、对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（ ） A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等 B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 D．以上说法都是正确的 【解析】选C． 例3、△ABC的三边长a，b，c满足关系式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，则这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 【解析】∵△ABC的三边长a，b，c，∴a、b、c都是正数．由（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，得 ①a﹣b=0，即a=b，△ABC是等腰三角形；②b﹣c=0，即b=c，△ABC是等腰三角形； ③c﹣a=0，即c=a，△ABC是等腰三角形； ④a﹣b=0，b﹣c=0且c﹣a=0，即a=b=c，△ABC是等边三角形； 等边三角形是特殊的等腰三角形．综上所述，△ABC一定是等腰三角形．故选A．例4、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解析】共有5个． （1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形； （2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD， ∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形； （3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°， 又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形； 同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．例5、如图，△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②∠DFB=∠EFC； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF=CF． 其中正确的是 ①③ ．（填序号，错选、漏选不得分） 【解析】①∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB， ∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB， ∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形． ∴①正确； ②∵△ABC不是等腰三角形，∴②∠DFB=∠EFC，是错误的； ③∵△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC， ∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC． ∴③正确，共2个正确的； ④∵△ABC不是等腰三角形，∴∠ABC≠∠ACB，∴∠FBC≠∠FCB，∴BF=CF是错误的； 故答案为：①③．例6、如图，已知AB∥CD，AC∥BD，CE平分∠ACD． （1）求证：△ACE是等腰三角形； （2）求证：∠BEC＞∠BDC． 【解析】（1）∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD， ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD， ∴∠AEC=∠ECA，∴AC=AE，∴△ACE是等腰三角形； （2）∵AB∥CD，AC∥BD，∴四边形ABDC为平行四边形，∴∠CAE=∠BDC， ∵∠BEC＞∠CAE，∴∠BEC＞∠BDC．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（ ） A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm 【解析】选C． 2、等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ） A．40°，40° B．80°，20° C．50°，50° D．50°，50°或80°，20° 【解析】选D． 3、如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ） A．40° B．30° C．70° D．50° 【解析】∵AD∥BC，∴∠C=∠1=70°， ∵AB=AC，∴∠B=∠C=70°， ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=40°． 故选A． 4、如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（ ） A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180° 【解析】∵∠1=∠3，∠B=∠C，∠1+∠B+∠3=180°，∴2∠1+∠C=180°， ∴2∠1+∠1﹣∠2=180°，∴3∠1﹣∠2=180°．故选B． 5、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC；④OE=OD．从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 【解析】选①②可根据AAS证△EBO和△DCO全等，推出OB=OC，再得出∠CBO=∠BCO，两角相加得出∠ABC=∠ACB，正确；①③根据OB=OC，∠EBO=∠DCO，两角相加得出∠ABC=∠ACB，正确；③④根据SAS证△EBO和△DCO全等，推出∠EBO=∠DCO根据OB=OC，∠EBO=∠DCO，两角相加得出∠ABC=∠ACB，正确；②③不能证明出△EBO和△DCO全等，错误；故选D． 6、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°， 当∠A= 60°或90° 时，△AOP为直角三角形； 当∠A= 30°或75°或120° 时，△AOP为等腰三角形． 【解析】①∵∠AON=30°，∴当∠A=60°时，∠APO=90°，此时△AOP是直角三角形， 当∠A=90°时，△AOP是直角三角形，故答案为60°或90°， ②当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°，当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°， 当点P为顶点时，∠A=30°，故答案为30°或75°或120°． 7、如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB=BD=DC，且∠C=40°，那么∠A= 80 °． 【解析】∵AB=BD=DC，∠C=40°， ∴∠DBC=∠C=40°，∠A=∠ADB， ∴∠BDC=180°﹣40°﹣40°=100°， ∴∠ADB=180°﹣100°=80°，∴∠A=80°．故答案为：80． 8、如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1= 72 度，图中有 3 个等腰三角形． 【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC==72°， ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°， ∴AD=BD，△ADB是等腰三角形， ∴∠1=180°﹣36°﹣72°=72°=∠C， ∴BC=BD，△CDB是等腰三角形， 图中共有3个等腰三角形．故填3． 9、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F． 求证：DE=DF． 【解答】证明：连接AD．∵AB=AC，点D是BC边上的中点 ∴AD平分∠BAC（三线合一性质）， ∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F． ∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 10、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数． 【解析】∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°， ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=35°， ∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°． 11、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：△ABC是等腰三角形． 【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF， 在Rt△BDE和Rt△CDF中，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF）， ∴∠B=∠C， ∴△ABC为等腰三角形．课后反击1、已知等腰三角形的一个底角的度数为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ） A．55°，55° B．70°，40° C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对 【解析】选B． 2、等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ） A．42° B．60° C．36° D．46° 【解析】如图：△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高． ∵∠A=84°，且AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣84°）÷2=48°； 在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠C=48°；∴∠DBC=90°﹣48°=42°．故选A． 3、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ） A．44° B．66° C．88° D．92° 【解析】∵PA=PB，∴∠A=∠B， 在△AMK和△BKN中，， ∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN， ∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D． 4、如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β．若α=10°，则β的度数是（ ） A．40° B．50° C．60° D．不能确定 【解析】∵AB=AD，∴∠B=∠ADB， ∵α=10°，∠ADB=α+∠C，∴∠C=β﹣10°， ∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°， 即β+β﹣10°=90°，解得β=50°， 故选B． 5、如图，在△ABC，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】∵∠A=36°，∠B=72°，∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°， ∴∠ACB=∠B，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形， ∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠ACE=∠A=36°．∴AE=CE， ∴△ACE是等腰三角形，∴∠AEC=180°﹣36°﹣36°=108°， ∴∠BEC=72°．∴∠BEC=∠B，∴CE=BC．∴△BEC是等腰三角形， ∴等腰三角形有△ABC，△ABE，△BEC，故选：B． 6、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，若△ABD的周长为12，△ABC的周长为16，则AD的长为 4 ． 【解析】∵△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD=CD． ∵△ABD的周长为12，∴AB+BD+AD=12，∴2AB+2BD+2AD=24，∴AB+AC+BC+2AD=24， ∵△ABC的周长为16，∴AB+AC+BC=16，∴16+2AD=24，∴AD=4．故答案为4． 7、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）： ①③ ． 【解析】由①③条件可判定△ABC是等腰三角形． 证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等），BE=CD，∴△EBO≌△DCO， ∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形． 8、如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是 6 ． 【解析】∵∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠BAC=120°，∠B=30°，∠C=30°，∵AD，AE将∠BAC三等分，∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=30°， ∴∠ADE=∠AED=∠BAE=∠CAD=60°，∴AD=BD，AD=AE，AE=CE，AB=AC，AB=BE，AC=CD， ∴△ABD，△ADE，△AEC，△ABC，△ABE，△ACD是等腰三角形，∴图中等腰三角形的个数是6， 9、如下图中，在△ABC中，有AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若有 ∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）． 【解析】∠EAC=75°，∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°， ∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=35°， ∵AE∥BD，∴∠E=∠EAB=35°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°．1、下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4 C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：2 【解析】选B．2、如下图中，将△ABC沿BD对折，使得点C落在AB上的点C′处，且∠C=2∠CBD，已知 ∠A=36°． （1）求∠BDC的度数； （2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明） 【解析】由折叠的性质可得：∠CBD=∠C′BD，∴∠ABC=2∠CBD， ∵∠C=2∠CBD，∴∠C=∠ABC，△ABC中，∠A=22°， ∴∠C=∠ABC==72°，∴∠CBD=36°，∴∠BDC=180°﹣3×36°=72°． （2）∵∠C=∠ABC=∠BDC=∠BDC′=∠BC′D=72°，∴AB=AC，BC=BD=BC′， ∴△ABC，△BCD，△BC′D是等腰三角形， ∵∠ABC=∠BDC=∠BDC′=∠BC′D=72°， ∴∠ABD=∠ADC′=A=36°， ∴AD=BD，AC′=DC′， ∴△ABD，△ADC′是等腰三角形 所以等腰三角形有△ABC，△ABD，△BCD，△BDC′，△ADC′．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、等腰三角形的性质定理 （1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） （2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。 （3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。 （4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2、等腰三角形的判定定理 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。 （3）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。1、涉及等腰三角形腰上的高的问题时，需要注意分类讨论； 2、等腰三角形“三线合一”的成立的条件一定要明确； 3、等腰三角形需要满足一般三角形的性质。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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