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【专题讲义】北师大版八年级数学下册
第2讲 直角三角形专题精讲（提高版）
授课主题 第02讲-直角三角形
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握直角三角形的性质与判定方法； 进一步掌握推理证明的方法，培养演绎推理能力；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。4、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。5、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。考点一：直角三角形全等的判定例1、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ） A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条直角边和它所对的锐角对应相等 D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等例2、下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（ ） A．斜边相等 B．面积相等 C．两对锐角对应相等 D．两对直角边对应相等例3、在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ） A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上 C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点 例4、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 分钟后△CAP与△PQB全等． 例5、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2． （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由； （2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 考点二：直角三角形的性质例1、如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于（ ） A．60° B．70° C．50° D．40°例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，D为线段AB的中点，则∠ACD= ． 例3、如图，已知∠AOD=30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为 °． 例4、如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数． 考点三：含30度角的直角三角形例1、如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ） A．6 B．6 C．6 D．12例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为 ． 例3、如图，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD= ． 考点四：直角三角形斜边上的中线例1、Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为（ ） A．10 B．3 C．4 D．5例2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D是斜边BC的中点，若AD=5，则AC等于（ ） A．8 B．64 C．5 D．6 例3、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于 度． 例4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E=35°，求∠BDA的度数．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ） A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等 2、如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ） A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BD C．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确3、如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（ ） A．35° B．55° C．60° D．70° 4、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（ ） A．3 B．6 C． D．12 5、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件 AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA ．（只需写出符合条件一种情况） 7、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A= 时，△AOP为直角三角形． 8、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于 ． 9、底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是 ． 10、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性． 11、如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D． （1）求证：∠ACD=∠B； 若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE． 课后反击1、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ） ①有两条直角边对应相等； ②有两个锐角对应相等； ③有斜边和一条直角边对应相等； ④有一条直角边和一个锐角相等； ⑤有斜边和一个锐角对应相等； ⑥有两条边相等． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2、如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（ ） A．HL B．AAS C．SSS D．ASA 3、直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（ ） A．90° B．135° C．120° D．45°或135° 4、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的长（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 6、如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（ ） A．10 B．6 C．8 D．5 7、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是 ． 8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′= ． 9、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为 ． 10、如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由． 11、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线． （1）求∠DCE的度数． （2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC． 12、已知：如图，在△ABC，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC的中点，BF⊥CA延长线于点F．求证：∠CBF=∠ADE． 1、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E． 求证：AD=BE． 2、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明： （1）MD=MB； （2）MN⊥BD．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。1、在运用勾股定理的逆定理判定直角三角形时，误认为a,b一定是直角边，c一定是斜边。 2、在直角三角形中，不能确定第三边是直角边还是斜边时，需要分类讨论。 3、忽略用HL定理证明三角形全等的前提条件。 本节课我学到 我需要努力的地方是
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实战演练
直击中考
重点回顾
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【专题讲义】北师大版八年级数学下册
第2讲 直角三角形专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第02讲-直角三角形
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握直角三角形的性质与判定方法； 进一步掌握推理证明的方法，培养演绎推理能力；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。4、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。5、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。考点一：直角三角形全等的判定例1、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ） A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条直角边和它所对的锐角对应相等 D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等 【解析】选B．例2、下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（ ） A．斜边相等 B．面积相等 C．两对锐角对应相等 D．两对直角边对应相等 【解析】选：D．例3、在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ） A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上 C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点 【解析】选D．例4、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 4 分钟后△CAP与△PQB全等． 【解析】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°， 设运动x分钟后△CAP与△PQB全等； 则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m， 分两种情况： ①若BP=AC，则x=4，AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP≌△PBQ； ②若BP=AP，则12﹣x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等； 综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4． 例5、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2． （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由； （2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 【解析】（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE， ∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC； （2）是直角三角形，理由是：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3=∠4， ∵∠3+∠5=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠DEC=90°，∴△CDE是直角三角形． 考点二：直角三角形的性质例1、如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于（ ） A．60° B．70° C．50° D．40° 【解析】如图所示：根据题意得：∠1=∠2=∠3， ∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠AOB=20°， ∴∠3=90°﹣20°=70°，∴∠1=70°；故选：B． 例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，D为线段AB的中点，则∠ACD= 50° ． 【解析】如图，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，∴∠A=50°． ∵D为线段AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠A=50°．故答案是：50°．例3、如图，已知∠AOD=30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为 60°或90° °． 【解析】∵在△AOC中，∠AOC=30°，∴△AOC恰好是直角三角形时，分两种情况：①如果∠A是直角，那么∠A=90°；②如果∠ACO是直角，那么∠A=90°﹣∠AOC=60°．故答案为60°或90°．例4、如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数． 【解析】在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高， ∴∠EBF=20°，∠ECA=20°， 又∵∠BCE=30°，∴∠ACB=50°，∴在Rt△BCF中∠FBC=40°． 考点三：含30度角的直角三角形例1、如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ） A．6 B．6 C．6 D．12 【解析】∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=AB=12×=6，选A．例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为 4或6 ． 【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AD⊥AB， ∴∠ACD=∠ABC=30°，∴AC=BC=2，∴AD=AC=， ①当AP=AB=4时，∴PD==3， ∵BD=BC=3，∴PB==6， ②当PB=AB=4，综上所述：PB=4或6．故答案为：4或6． 例3、如图，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD= 5cm ． 【解析】过M作MF⊥AC于F，∵AM是∠BAC的角平分线， ∴MD=MF，∠BAM=∠CAM，∵ME∥BA，∴∠AME=∠BAM， ∴∠CAM=∠AME=∠BAC=×30°=15°， ∵∠CEM是△AME的外角，∴∠CEM=∠CAM+∠AME=15°+15°=30°， 在Rt△MEF中，∠FEM=30°，∴MF=ME=×10=5cm，∴MD=MF=5cm．故答案为5cm． 考点四：直角三角形斜边上的中线例1、Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为（ ） A．10 B．3 C．4 D．5 【解析】已知两直角边为6、8，则斜边长为=10，故斜边的中线长为×10=5，故选D． 例2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D是斜边BC的中点，若AD=5，则AC等于（ ） A．8 B．64 C．5 D．6 【解析】∵在Rt△BAC中，∠BAC=90°，D为斜边BC的中点，AD=5， ∴BC=2AD=10，由勾股定理得：AC===8，故选A．例3、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于 30 度． 【解析】∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴AE=CE，∴∠A=∠ACE， ∵△CED是由△CBD折叠而成，∴∠B=∠CED， ∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A，∴∠B=2∠A， ∵∠A+∠B=90°，∴∠A=30°．故答案为：30． 例4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E=35°，求∠BDA的度数． 【解析】∵ED⊥BC，∠E=35°，∴∠B=55°． ∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线， ∴AD=BD． ∴∠BAD=∠B=55°．∴∠BDA=70°．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ） A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等 【解析】选：D． 2、如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ） A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BD C．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确 【解析】从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边． 跟据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，故选B．3、如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（ ） A．35° B．55° C．60° D．70° 【解析】∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°﹣55°=35°， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．故选D． 4、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（ ） A．3 B．6 C． D．12 【解析】∵∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，∴AC=2BD， ∵BD=6cm，∴AC=12cm，故选：D． 5、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】∵△ABC中，CD⊥AB于D，∴∠ADC=90°．∵E是AC的中点，DE=5，∴AC=2DE=10． ∵AD=6，∴CD===8．故选D． 6、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件 AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA ．（只需写出符合条件一种情况） 【解析】∵AC⊥BC，AD⊥DB，∴∠C=∠D=90° ∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD ∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD． 7、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A= 60°或90° 时，△AOP为直角三角形． 【解析】若∠APO是直角，则∠A=90°﹣∠AON=90°﹣30°=60°， 若∠APO是锐角，∵∠AON=30°是锐角，∴∠A=90°， 综上所述，∠A=60°或90°．故答案为：60°或90°． 8、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于 30° ． 【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，又CD=AC， ∴△ADC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠B=90°﹣∠A=30°． 故答案为：30°． 9、底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是 a2 ． 【解析】如图，过点A作AD⊥BC于D， ∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD， ∵底角∠B=30°，∴AD=AB=a， 由勾股定理得，BD==a，∴BC=2BD=a， ∴三角形的面积=×a×a=a2．故答案为a2． 10、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性． 【解析】猜想：BF⊥AE． 理由：∵∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠BCD=90°． 又BC=AC，BD=AE， ∴△BDC≌△AEC（HL）． ∴∠CBD=∠CAE． 又∴∠CAE+∠E=90°． ∴∠EBF+∠E=90°． ∴∠BFE=90°，即BF⊥AE． 11、如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D． （1）求证：∠ACD=∠B； （2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE． 【解析】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B； （2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE． 又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE， 又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．课后反击1、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ） ①有两条直角边对应相等； ②有两个锐角对应相等； ③有斜边和一条直角边对应相等； ④有一条直角边和一个锐角相等； ⑤有斜边和一个锐角对应相等； ⑥有两条边相等． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【解析】故选B 2、如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（ ） A．HL B．AAS C．SSS D．ASA 【解析】∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°， 又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．故选A． 3、直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（ ） A．90° B．135° C．120° D．45°或135° 【解析】如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°， 两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补， 根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°， ∴∠EOD=180°﹣45°=135°，故选B． 4、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的长（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，又CD是高， ∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4cm， ∵∠A=30°，∴AB=2BC=8cm，故选：C． 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴AC=AB， 又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分， ∴AD=BD∴AC=AD，∵∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠CDA=60°． 6、如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（ ） A．10 B．6 C．8 D．5 【解析】∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴BD=DC， ∵E为AC的中点，∴DE=AB=×10=5，故选D． 7、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是 AC=DE ． 【解析】AC=DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC=∠DBE=90°， 在Rt△ABC和Rt△DBE中，， ∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC=DE． 8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′= 10° ． 【解析】∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°， ∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD， ∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°， 由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°， ∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°． 9、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为 6 ． 【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°， ∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD为∠BAC的角平分线， ∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3， ∵∠B=30°，∴BD=2DE=6， 故答案为：6． 10、如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由． 【解析】AC=ED，理由如下： ∵AB⊥BC，DC⊥AC，ED⊥BC，∴∠B=∠EFC=∠DCE=90°． ∴∠A+∠ACB=90°，∠CEF+∠ACB=90°．∴∠A=∠CEF． 在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（ASA）． ∴AC=ED（全等三角形的对应边相等）． 11、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线． （1）求∠DCE的度数． （2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC． 【解析】∵∠B=30°，CD⊥AB于D，∴∠DCB=90°﹣∠B=60°． ∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，∴∠ECB=∠ACB=45°， ∴∠DCE=∠DCB﹣∠ECB=60°﹣45°=15°； （2）∵∠CEF=135°，∠ECB=∠ACB=45°，∴∠CEF+∠ECB=180°，∴EF∥BC． 12、已知：如图，在△ABC，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC的中点，BF⊥CA延长线于点F．求证：∠CBF=∠ADE． 【解析】证明： ∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴∠ADC=90°， 又∵E是AC的中点，∴AE=DE，∴∠ADE=∠EAD=90°﹣∠C， ∵BF⊥CA延长线于点F， ∴∠CBF=90°﹣∠C，∴∠CBF=∠ADE． 1、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E． 求证：AD=BE． 【解析】证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC． ∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°． ∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC． ∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE． 2、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明： （1）MD=MB； （2）MN⊥BD． 【解析】证明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点， ∴BM=AC，DM=AC， ∴DM=BM； （2）由（1）可知DM=BM， ∵N是BD的中点， ∴MN⊥BD．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。1、在运用勾股定理的逆定理判定直角三角形时，误认为a,b一定是直角边，c一定是斜边。 2、在直角三角形中，不能确定第三边是直角边还是斜边时，需要分类讨论。 3、忽略用HL定理证明三角形全等的前提条件。 本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
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