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【专题讲义】北师大版八年级数学下册
第3讲 垂直平行线与角平分线专题精讲（提高版）
授课主题 第03讲-垂直平分线与角平分线
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理以及三角形三边的垂直平分线的性质定理； 掌握角平分线的性质定理、判定定理以及相关结论；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 1、线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。4、尺规作图 5、角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。6、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。7、三角形三内角的角平分线性质性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。 考点一：线段垂直平分线的性质例1、到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点例2、下列命题中正确的命题有（ ） ①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等； ②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等； ③经过线段中点的直线只有一条； ④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线； ⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ） A．13 B．15 C．17 D．19 例4、如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ） A．90° B．95° C．100° D．105° 例5、如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 ． 例6、两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有 ．（填序号）． ①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°； ⑤筝形ABCD的面积为． 例7、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm． （1）求BC的长； （2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE． 考点二：角平分线的性质例1、到三角形三条边的距离相等的点是三角形（ ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ） A．15 B．30 C．45 D．60例3、如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 ． 例4、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知∠A=∠ABD，CD=1，AD=2，则 （1）点D到直线AB的距离是 ； （2）BC的长度为 ．例5、证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB 求证： PD=PE ． 请你补全已知和求证，并写出证明过程．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、到三角形三个顶点距离相等的点是（ ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条高线的交点 C．三条边的中线的交点 D．三条角平分线的交点 2、如图，点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF，则点P是（ ） A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点 3、如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ） A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD 4、如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（ ） A．58 B．59 C．61 D．62 5、如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（ ） A．24° B．30° C．32° D．36° 6、如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ） A．65° B．60° C．55° D．45° 7、如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD= 度． 8、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是 ． 9、如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为 ． 10、如图，Rt△ABC中∠A=90°，∠C=30°，BD平分∠ABC且与AC边交于点D，AD=2，则点D到边BC的距离是 ． 11、如图，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数． 12、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E． 求证：△DBE的周长等于AB． 课后反击1、三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（ ） A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上 C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上 2、观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ） A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE 3、如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ） A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD 4、如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ） A．50° B．100° C．120° D．130° 5、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（ ） A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm 6、如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC= cm． 7、如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB，若∠A=40°，则∠EBC= °． 8、如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么△ADC的周长为 ． 9、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．已知BD：CD=3：2，点D到AB的距离是6，则BC的长是 ． 10、如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE． （1）若∠BAE=40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长． 1、如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 ． 2、如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC； （3）求证：AB+CD=AC．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。4、角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。5、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。6、三角形三内角的角平分线性质性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。1、不注意运用分类讨论思想，漏掉某些符合条件的情况或者结论。 2、受全等思维定式的影响，不习惯用角平分线的性质定理证明。本节课我学到 我需要努力的地方是
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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第3讲 垂直平行线与角平分线专题精讲（解析版）
参考答案
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授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理以及三角形三边的垂直平分线的性质定理； 掌握角平分线的性质定理、判定定理以及相关结论；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 1、线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。4、尺规作图 5、角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。6、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。7、三角形三内角的角平分线性质性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。 考点一：线段垂直平分线的性质例1、到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【解析】到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，选：D．例2、下列命题中正确的命题有（ ） ①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等； ②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等； ③经过线段中点的直线只有一条； ④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线； ⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确； ②错误；这是对线段垂直平分线的误解； ③有无数条，错误； ④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；如图 ⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；故选A．例3、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ） A．13 B．15 C．17 D．19 【解析】∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点， ∴AD=DC，AE=CE=4，即AC=8， ∵△ABC的周长为23，∴AB+BC+AC=23，∴AB+BC=23﹣8=15， ∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选B． 例4、如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ） A．90° B．95° C．100° D．105° 【解析】∵CD=AC，∠A=50°，∴∠ADC=∠A=50°， 根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴∠BCD=∠B， ∴∠B=∠ADC=25°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选D．例5、如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 13 ． 【解析】∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA=EB， 则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13．例6、两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有 ①③⑤ ．（填序号）． ①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°； ⑤筝形ABCD的面积为． 【解析】∵在△ABC与△ADC中，， ∴△ABC≌△ADC（SSS）． ∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD．故③正确； ∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形， ∴AC、BD互相垂直，但不平分．故①正确，②错误； 当AC2≠AB2+BC2时，∠ABC≠90°．同理∠ADC≠90°．故④错误； ∵AC、BD互相垂直，∴筝形ABCD的面积为：AC?BO+AC?OD=AC?BD．故⑤正确； 综上所述，正确的说法是①③⑤．故答案是：①③⑤．例7、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm． （1）求BC的长； （2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE． 【解析】（1）∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，∴AE=BE， ∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC， ∵AC=15cm，∴BC=25﹣15=10cm； （2）证明：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°， ∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A， 由三角形的外角性质得，∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°，∴∠BEC=∠C，∴BC=BE． 考点二：角平分线的性质例1、到三角形三条边的距离相等的点是三角形（ ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【解析】选：A．例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ） A．15 B．30 C．45 D．60 【解析】由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E， 又∵∠C=90°，∴DE=CD， ∴△ABD的面积=AB?DE=×15×4=30．故选B． 例3、如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 30 ． 【解析】如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3， ∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3， ∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3 =20×3=30， 故答案为：30． 例4、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知∠A=∠ABD，CD=1，AD=2，则 （1）点D到直线AB的距离是 1 ；（2）BC的长度为 ． 【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，∴DE=CD=1， 即点D到直线AB的距离是1，故答案为：1． （2）∵∠ABC=2∠ABD，∠ABD=∠A，∴∠ABC=2∠A， ∵∠C=90°，∴∠A=∠DBC=30°，∴BC=CD=．故答案为：． 例5、证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB 求证： PD=PE ． 请你补全已知和求证，并写出证明过程． 【解析】已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：PD=PE．故答案为：PD=PE． ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°， 在△PDO和△PEO中，，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、到三角形三个顶点距离相等的点是（ ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条高线的交点 C．三条边的中线的交点 D．三条角平分线的交点 【解析】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．故选：A． 2、如图，点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF，则点P是（ ） A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点 【解析】∵点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF， ∴点P是△ABC三条角平分线的交点． 故选B． 3、如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ） A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD 【解析】∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D， ∴PC=PD，故A正确；在Rt△OCP与Rt△ODP中，， ∴△OCP≌△ODP，∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误． 4、如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（ ） A．58 B．59 C．61 D．62 【解析】∵BD是∠ADE的角平分线，∴∠1=∠2， ∵DE是BC的中垂线，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3，又∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠1=∠2=∠3=60°，∴∠4=∠C=90°﹣60°=30°， ∴∠ABD=180°﹣∠A﹣∠4﹣∠C=180°﹣58°﹣30°﹣30°=62°．故选：D． 5、如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（ ） A．24° B．30° C．32° D．36° 【解析】∵EF是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB， ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB， ∵∠BAC=60°，∠ACE=24°，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=（180°﹣60°﹣24°）=32°．故选C． 6、如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ） A．65° B．60° C．55° D．45° 【解析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线， 则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°， ∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A． 7、如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD= 35 度． 【解析】∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=35°， ∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°，故答案为：35． 8、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是 4 ． 【解析】∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，∴OC=OB， 在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SAS）； 同理：△COD≌△BOD， 在△AOC和△AOB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS）； ∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，∠OEA=∠OEC=90°， 在Rt△OAE和Rt△OCE中，，∴Rt△OAE≌Rt△OCE（HL）． 故答案为：4． 9、如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为 22 ． 【解析】∵BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，∴BE=EC，BC=2BD=8； 又∵△ABE的周长为14，∴AB+AE+BE=AB+AE+EC=AB+AC=14； ∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=14+8=22；故答案是：22． 10、如图，Rt△ABC中∠A=90°，∠C=30°，BD平分∠ABC且与AC边交于点D，AD=2，则点D到边BC的距离是 2 ． 【解析】过D作DE⊥BC于E，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴DE=AD=2， 故答案为：2． 11、如图，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数． 【解析】∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠C=75°， ∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=30°， ∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=45°． 12、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E． 求证：△DBE的周长等于AB． 【解析】证明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DC=DE； ∴BD+DE=BD+CD=BC；∵AC2=AD2﹣CD2，AE2=AD2﹣DE2，∴AC=AE，而AC=BC， ∴BC=AE， ∴BD+DE+BE=AE+BE=AB，即△DBE的周长等于AB．课后反击1、三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（ ） A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上 C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上 【解析】选D． 2、观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ） A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE 【解析】根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．故选C． 3、如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ） A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD 【解析】选D． 4、如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ） A．50° B．100° C．120° D．130° 【解析】∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DA=DC，∴∠DCA=∠A=50°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，故选：B． 5、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（ ） A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm 【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，AE=CE=AC， ∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm， ∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，∴AC=6cm，∴AE=3cm，故选A． 6、如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC= 6 cm． 【解析】∵MN是线段BC的垂直平分线，∴CD=BD， ∵△ADB的周长是10cm，∴AD+BD+AB=10cm，∴AD+CD+AB=10cm， ∴AC+AB=10cm，∵AB=4cm，∴AC=6cm，故答案为：6． 7、如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB，若∠A=40°，则∠EBC= 30 °． 【解析】∵DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点， ∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=30°．故答案为：30． 8、如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么△ADC的周长为 19 ． 【解析】∵BC的垂直平分线交AB于点D，∴DB=DC，∴∠DCB=∠B=40°， ∵∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACB=60°，∴∠ACD=20°，∴∠ADC=80°， ∴CA=CD=DB=8，∴△ADC的周长=AD+AC+CD=19，故答案为：19． 9、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．已知BD：CD=3：2，点D到AB的距离是6，则BC的长是 15 ． 【解析】作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB， ∴CD=DE=6，又BD：CD=3：2，∴BD=9，∴BC=BD+DC=15，故答案为：15． 10、如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE． （1）若∠BAE=40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长． 【解析】（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC， ∴AB=AE=EC，∴∠C=∠CAE， ∵∠BAE=40°，∴∠AED=70°，∴∠C=∠AED=35°； ∵△ABC周长13cm，AC=6cm，∴AB+BE+EC=7cm，即2DE+2EC=7cm，∴DE+EC=DC=3.5cm． 1、如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 22cm ． 【解析】∵DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，∴AC=2AE=8cm，AD=DC， ∵△ABD的周长为14cm，∴AB+AD+BD=14cm， ∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，故答案为：22cm 2、如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC； （3）求证：AB+CD=AC． 【解析】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E， ∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE， ∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD； （2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC； （3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE， ∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。4、角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。5、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。6、三角形三内角的角平分线性质性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。1、不注意运用分类讨论思想，漏掉某些符合条件的情况或者结论。 2、受全等思维定式的影响，不习惯用角平分线的性质定理证明。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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