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【专题讲义】北师大版八年级数学下册
第9讲 因式分解专题精讲（提高版）
温故知新
回忆：运用之前所学的知识填空：
（1）2（x＋3）＝_________________；
（2）x2（3＋x）＝________________；
（3）m（a＋b＋c）＝______________.
智慧乐园
探究活动：我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式，反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，本节课我们一起来探究这种变形：
1、探索：你会做下面的填空吗？
（1）2x＋6＝（ ）（ ）；
（2）3x2＋x3＝（ ）（ ）；
（3）ma＋mb＋mc＝（ ）2.
2、归纳：“回忆”的是已熟悉的 运算，而要“探索”的问题，其过程正好与“回忆” ，它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是 （也叫做把这个多项式 ）
知识要点一
因式分解
1、因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
注意：（1）因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式；
（2）因式分解是有范围的，现阶段在有理数范围内进行；
（3）因式分解的结果要以积的形式表示，每个因式必须是整式；
（4）因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。
2、因式分解与整式乘法的关系
如果把整式乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的因式分解看成一个变形过程，那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。
典例分析
例1、将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a
C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
例2、下列从左到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2 B．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1）
C．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z D．﹣8x2+8x﹣2=﹣2（2x﹣1）2
例3、（x+3）（2x﹣1）是多项式 因式分解的结果．
举一反三
1、下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．6a2b2=3ab?2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1
C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4） D．
2、多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m= ．
3、若多项式2x2﹣5x+m有一个因式为（x﹣1），那么m= ．
知识要点二
因式分解的方法
一、提公因式法
1、公因式的定义：
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、确定公因式的方法：
确定公因式的一般步骤：（1）如果多项式的第一项系数是负数，应把公因式的符
号取“—”；（2）确定公因式的数字因数：当各项系数都是整数时，取多项式各项系
数的最大公约数为公因式的系数；（3）确定公因式的字母及其指数：取多项式各项都
含有的相同字母（或因式），其指数取最低次。
3、提公因式法：
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多
项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
提公因式法的依据是乘法的分配律，它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的
“逆用”。
二、公式法
1、用平方差公式因式分解
把乘法公式中的反过来，就可得：
2、用完全平方公式因式分解
把乘法公式中的完全平方公式反过来，就可得：
3、因式分解的一般步骤
步骤：（1）有公因式先提公因式；
（2）没有公因式，可以尝试公式法因式分解；
（3）如果上述方法都不可以，可以先整理多项式，然后分解；
（4）必须分解到最后。
典例分析
例1、把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
例2、多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（ ）
A．x﹣1 B．x+1
C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
例3、把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2
C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）
例4、把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（ ）
A．2a（4a2﹣4a+1） B．8a2（a﹣1）
C．2a（2a﹣1）2 D．2a（2a+1）2
例5、如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式 ．
例6、分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= ．
例7、（1）因式分解：（x﹣y）（3x﹣y）+2x（3x﹣y）；
（2）设y=kx，是否存在实数k，使得上式的化简结果为x2？求出所有满足条件的k的值．
若不能，请说明理由．
例8、因式分解：
（1）6xy2﹣9x2y﹣y3 （2）（p﹣4）（p+1）+3p．
举一反三
1、把（x﹣a）3﹣（a﹣x）2分解因式的结果为（ ）
A．（x﹣a）2（x﹣a+1） B．（x﹣a）2（x﹣a﹣1）
C．（x﹣a）2（x+a） D．（a﹣x）2（x﹣a﹣1）
2、分解因式：4x2﹣4xy+y2= ．
3、先化简，再求值：
（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．
（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．
课堂闯关
初出茅庐
建议用时：10分钟
1、下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） D．ax+by+c=x（a+b）+c
2、对多项式3x2﹣3x因式分解，提取的公因式为（ ）
A．3 B．x
C．3x D．3x2
3、下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+9=（x+3）2 B．a2+2a+4=（a+2）2
C．a3﹣4a2=a2（a﹣4） D．1﹣4x2=（1+4x）（1﹣4）
4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m+n的值为 ．
6、如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m= ，n= ．
7、分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= ．
8、分解因式：x2﹣4x+4= ．
优学学霸
建议用时：15分钟
1、在实数范围内分解因式：x2﹣5．
2、阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，
即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）x2+4x+3=x2+（1+3）x+1×3=（x+1）（x+3）；
（2）x2﹣4x﹣5=x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）=（x+1）（x﹣5）．
请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x2﹣7x﹣18．
3、若a、b、c为△ABC的三边．
（1）判断代数式a2﹣2ab﹣c2+b2的值与0的大小关系，并说明理由；
（2）满足a2+b2+c2=ab+ac+bc，试判断△ABC的形状。
考场直播
1、下列从左到右的变形：是因式分解的个数是 （ ）
（1）15x2y=3x?5xy； （2）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；
（3）a2﹣2a+1=（a﹣1）2； （4）x2+3x+1=x（x+3+）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2、若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为 ．
3、分解因式：x2﹣（x﹣3）2= ．
·自我挑战
建议用时：30分钟
1、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2﹣9+6x=（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）=x2+3x﹣10
C．x2﹣8x+16=（x﹣4）2 D．6ab=2a?3b
2、若（x﹣3）（x+5）是x2+px+q的因式，则p为（ ）
A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2
3、把多项式a2﹣9a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣9） B．a（a+3）（a﹣3）
C．（a+3）（a﹣3） D．（a﹣3）2﹣9
4、因式分解2x+x3的正确结果是（ ）
A．2（x+x3） B．x（2+x2）
C．2x（1+x） D．x（2+x3）
5、下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）
A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2
C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4
6、分解因式：16﹣x2=（ ）
A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4）
C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2
7、下列分解因式正确的是（ ）
A．﹣ma﹣m=﹣m（a﹣1） B．a2﹣1=（a﹣1）2
C．a2﹣6a+9=（a﹣3）2 D．a2+3a+9=（a+3）2
8、甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b= ．
9、如果x﹣3是多项式2x2﹣11x+m的一个因式，则m的值 ．
10、因式分解：x2﹣2x= ．
11、把下列各式分解因式：
（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）； （2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3．
12、已知：x+y=2，xy=7，求x3y+xy3的值．
13、已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求x2﹣6xy+9y2的值．
学霸说：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；
套路揭密：
（1）掌握因式分解的定义及意义；
（2）因式分解中，提公因式及公式法需要熟练的掌握应用。
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【专题讲义】北师大版八年级数学下册
第9讲 因式分解专题精讲（解析版）
参考答案
典例分析
例1、将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
【解析】选：C．
例2、下列从左到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2 B．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1）
C．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z D．﹣8x2+8x﹣2=﹣2（2x﹣1）2
【解析】选：D．
例3、（x+3）（2x﹣1）是多项式 2x2+5x﹣3 因式分解的结果．
【解析】（x+3）（2x﹣1）=2x2+5x﹣3，故答案为：2x2+5x﹣3．
举一反三
1、下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．6a2b2=3ab?2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1
C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4） D．
【解析】选C．
2、多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m= ﹣5 ．
【解析】答案为：﹣5．
3、若多项式2x2﹣5x+m有一个因式为（x﹣1），那么m= 3 ．
【解析】答案为：3．
典例分析
例1、把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
【解析】a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．
例2、多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
【解析】选：A．
例3、把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2
C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）
【解析】x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故选A
例4、把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（ ）
A．2a（4a2﹣4a+1） B．8a2（a﹣1）
C．2a（2a﹣1）2 D．2a（2a+1）2
【解析】选：C．
例5、如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式 am+bm+cm=m（a+b+c） ．
【解析】由题意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）．答案为：am+bm+cm=m（a+b+c）．
例6、分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= （m+3）（m﹣3） ．
【解析】（m+1）（m﹣9）+8m=m2﹣9m+m﹣9+8m=m2﹣9=（m+3）（m﹣3）．
答案为：（m+3）（m﹣3）．
例7、（1）因式分解：（x﹣y）（3x﹣y）+2x（3x﹣y）；
（2）设y=kx，是否存在实数k，使得上式的化简结果为x2？求出所有满足条件的k的值．
若不能，请说明理由．
【解析】（1）原式=（3x﹣y）（x﹣y+2x）=（3x﹣y）（3x﹣y）=（3x﹣y）2；
（2）将y=kx代入上式得：（3x﹣kx）2=[（3﹣k）x]2=（3﹣k）2 x2；
令（3﹣k）2=1，3﹣k=±1，解得：k=4或2．
例8、因式分解：
（1）6xy2﹣9x2y﹣y3 （2）（p﹣4）（p+1）+3p．
【解析】（1）6xy2﹣9x2y﹣y3=﹣y（y2﹣6xy+9x2）
=﹣y（3x﹣y）2；
（2））（p﹣4）（p+1）+3p=p2﹣3p﹣4+3p
=（p+2）（p﹣2）．
举一反三
1、把（x﹣a）3﹣（a﹣x）2分解因式的结果为（ ）
A．（x﹣a）2（x﹣a+1） B．（x﹣a）2（x﹣a﹣1）
C．（x﹣a）2（x+a） D．（a﹣x）2（x﹣a﹣1）
【解析】原式=（x﹣a）3﹣（x﹣a）2=（x﹣a）2（x﹣a﹣1），选B
2、分解因式：4x2﹣4xy+y2= （2x﹣y）2 ．
【解析】4x2﹣4xy+y2=（2x）2﹣2×2x?y+y2=（2x﹣y）2．
3、先化简，再求值：
（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．
（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．
【解析】（1）原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，
当a+b=2，ab=2时，原式=2×22=8；
（2）原式=4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2）=5x2﹣5y2，
当x=2，y=1时，原式=5×22﹣5×12=15．
课堂闯关
初出茅庐
建议用时：10分钟
1、下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） D．ax+by+c=x（a+b）+c
【解析】选：C．
2、对多项式3x2﹣3x因式分解，提取的公因式为（ ）
A．3 B．x C．3x D．3x2
【解析】3x2﹣3x=3x（x﹣1），
则对多项式3x2﹣3x因式分解，提取的公因式为3x，故选C
3、下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+9=（x+3）2 B．a2+2a+4=（a+2）2
C．a3﹣4a2=a2（a﹣4） D．1﹣4x2=（1+4x）（1﹣4）
【解析】故选C
4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选：C．
5、把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m+n的值为 ．
【解析】由x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），得x2+4mx+5=（x+5）（x+n），
（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，x2+4mx+5=x2+（n+5）x+5n．
4m=n+5，5n=5．解得n=1，m=，m+n=1+=，故答案为：．
6、如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m= ﹣2 ，n= 2 ．
【解析】x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），得x2﹣3x+n=x2+（m﹣1）x﹣m．
m﹣1=﹣3，n=﹣m．解得m=﹣2，n=2，故答案为：﹣2，2．
7、分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= （b+c）（2a﹣3） ．
【解析】原式=（b+c）（2a﹣3），
故答案为：（b+c）（2a﹣3）．
8、分解因式：x2﹣4x+4= （x﹣2）2 ．
【解析】x2﹣4x+4=（x﹣2）2．
优学学霸
建议用时：15分钟
1、在实数范围内分解因式：x2﹣5．
【解析】x2﹣5=（x﹣）（x+）．
2、阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，
即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）x2+4x+3=x2+（1+3）x+1×3=（x+1）（x+3）；
（2）x2﹣4x﹣5=x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）=（x+1）（x﹣5）．
请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x2﹣7x﹣18．
【解析】x2﹣7x﹣18=x2+（﹣9+2）x+（﹣9）×2=（x﹣9）（x+2）．
3、若a、b、c为△ABC的三边．
（1）判断代数式a2﹣2ab﹣c2+b2的值与0的大小关系，并说明理由；
（2）满足a2+b2+c2=ab+ac+bc，试判断△ABC的形状．
【解析】（1）a2﹣2ab﹣c2+b2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）
∵a+c＞b，a＜b+c，∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴a2﹣2ab﹣c2+b2＜0
（2）∵a2+b2+c2=ab+ac+bc，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，
∴a﹣b=0，b﹣c=0，a﹣c=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．
考场直播
1、下列从左到右的变形：是因式分解的个数是 （ ）
（1）15x2y=3x?5xy； （2）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；
（3）a2﹣2a+1=（a﹣1）2； （4）x2+3x+1=x（x+3+）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选B．
2、若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为 ﹣1 ．
【解析】由题意得：x2+kx+b=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，∴k=﹣4，b=3，
则k+b=﹣4+3=﹣1．故答案为：﹣1
3、分解因式：x2﹣（x﹣3）2= 3（2x﹣3） ．
【解析】原式=（x+x﹣3）（x﹣x+3）=3（2x﹣3），故答案为：3（2x﹣3）
自我挑战
建议用时：30分钟
1、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2﹣9+6x=（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）=x2+3x﹣10
C．x2﹣8x+16=（x﹣4）2 D．6ab=2a?3b
【解析】选：C．
2、若（x﹣3）（x+5）是x2+px+q的因式，则p为（ ）
A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2
【解析】∵（x﹣3）（x+5）=x2+2x﹣15，∴p=2，q=﹣15；故选D．
3、把多项式a2﹣9a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣9） B．a（a+3）（a﹣3）
C．（a+3）（a﹣3） D．（a﹣3）2﹣9
【解析】原式=a（a﹣9）．故选：A．
4、因式分解2x+x3的正确结果是（ ）
A．2（x+x3） B．x（2+x2） C．2x（1+x） D．x（2+x3）
【解析】2x+x3=x（2+x2）．故选：B．
5、下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）
A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2
C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4
【解析】选A
6、分解因式：16﹣x2=（ ）
A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4）
C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2
【解析】16﹣x2=（4﹣x）（4+x）．故选：A．
7、下列分解因式正确的是（ ）
A．﹣ma﹣m=﹣m（a﹣1） B．a2﹣1=（a﹣1）2
C．a2﹣6a+9=（a﹣3）2 D．a2+3a+9=（a+3）2
【解析】选C
8、甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b= 15 ．
【解析】分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，因此a+b=15．故应填15．
9、如果x﹣3是多项式2x2﹣11x+m的一个因式，则m的值 15 ．
【解析】把x=3代入方程2x2﹣11x+m=0中得18﹣33+m=0，解得：m=15．故答案为：15．
10、因式分解：x2﹣2x= x（x﹣2） ．
【解析】原式=x（x﹣2），故答案为：x（x﹣2）
11、把下列各式分解因式：
（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3．
（2）直接提取公因式﹣4ab，进而分解因式得出答案．
【解析】（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）=2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]
=2m（m﹣n）（5m﹣n）；
（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3=﹣4ab（2a﹣3b+a2b2）．
12、已知：x+y=2，xy=7，求x3y+xy3的值．
【解析】∵x+y=2，xy=7，
∴x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2﹣2xy]
=7×（22﹣2×7）=﹣70．
13、已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求x2﹣6xy+9y2的值．
【解析】∵x2+y2﹣4x+6y+13=（x﹣2）2+（y+3）2=0，
∴x﹣2=0，y+3=0，即x=2，y=﹣3，
则原式=（x﹣3y）2=112=121．
学霸说：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；
套路揭密：
（1）掌握因式分解的定义及意义；
（2）因式分解中，提公因式及公式法需要熟练的掌握应用。
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