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【专题讲义】北师大版八年级数学下册
第11讲 分式方程与简单应用专题精讲（提高版）
温故知新
一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程时，一般要通过去分母、 、 、 、未知数的系数化为1等步骤，把一个方程化为“x=a”的形式。具体做法如下：
变形名称 变形根据 具体做法 注意事项
去分母 等式的基本性质2 在方程两边同乘各分母的最小公倍数 不要漏乘不含分母的项
去括号 分配律、去括号法则 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 不要漏乘项、注意符号
移项 等式的基本性质1 将含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边 移项注意变号
合并同类项 合并同类项法则 把方程化成ax=b（a≠0）的形式 系数相加，字母指数不变
未知数系数化1 等式的基本性质2 在方程两边同除以未知数的系数a 分子、分母位置不要颠倒
课堂导入
请同学们解一下这个方程:
知识要点一
一．分式方程
1.定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。
2.注意未知数和字母的区别：
未知数是字母，但字母不一定是未知数。例如，解关于的方程，这里的是未知数，但字母不是未知数，它是系数，故该方程不是分式方程。
二．解分式方程的步骤：
（1）去分母，即在方程两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于的根是原方程的根，否则，便是增根，必须舍去。
典例分析
例1.判断下列关于、的方程中，是分式方程的有 。（填正确的序号）
①；②；③（、为常数）④
例2.下列关于的方程中，其中是分式方程的有 。
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。
例3.解下列关于方程
（1）； （2）。
举一反三
1.给出下列关于方程中，是分式方程的有 。
①；②；③；④；⑤； ⑥。
2.在下列关于方程中，是分式方程的是（ ）
A. B. C. D.
3.解下列关于的方程
（1） （2）
（3） （4）
知识要点二
一．增根和无解问题
把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母等于的根是原方程的增根。
方程无解问题：一是方程解出来，不存在，二是解出来的是增根
二．分式方程的解在某个范围时，求参数的范围
典例分析
例1．当为何值时,解方程会产生增根?
例2.为何值时，方程无解。
例3.若关于的方程的解不大于13，求的取值范围。
举一反三
1．当为何值时,关于的方程会产生增根？
2.若关于的分式方程无解，求常数的值?
3.若关于的方程的解不小于,求的取值范围。
课堂闯关
初出茅庐
建议用时：10分钟
1.下列各方程是关于的分式方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2.如果方程的解是，则 。
3.方程的解是 。
4.满足方程的值是( )
A. 1 B. C. D. 没有
5.关于的方程，下列说法中不正确的是（ ）
A. 最简公分母是
B.方程两边同乘以得整式方程
C. 解该分式方程对应的整式方程得
D. 原方程的解为
6.若方程有增根，求的值。
优学学霸
建议用时：15分钟
1．若方程无解,则m=______。
2. 如果关于x的方程无解，则的值为（ ）
A. B. C. D. 3
3. 解答题：
（1） 若 是正整数，关于 的分式方程 的解为非负数，求 的值；
（2）若关于 的分式方程 总无解，求 的值．
考场直播
1．若分式方程=有增根，则增根为（ ）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0
2．对于实数a、b，定义一种新运算“?”为：a?b=，这里等式右边是实数运算．例如：1?3=．则方程x?（﹣2）=﹣1的解是（ ）
A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7
自我挑战
建议用时：30分钟
1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）
A．3x= B．=2 C．= D．3x﹣2y=1
2．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
3．在下列方程①x2﹣x+；②﹣3=a+4；③+5x=6；④+=1中，是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
5．分式方程=的解是（ ）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3
6．若关于x的方程+=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣
7．分式方程的解为（ ）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x=﹣ D．x=
8．从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．
9．用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（ ）
A．y﹣﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0
10．已知﹣x2=2+x，则代数式2x2+2x的值是（ ）
A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2或6
11.关于x的方程有增根，那么a=（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
12.方程的解是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
13.在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 ．
14．下列方程：（1）=2；（2）=；（3）+=1（a，b为已知数）；（4）+=4．其中是分式方程的是 ．
15.解分式方程：+=1．
16. 若解分式方程 时产生增根，则 的值为多少？
关于 的方程 无解，则 的值为多少？
18. 已知关于x的方程+1=无解，求a的值．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0即可． 弧长公式中圆心角为弧度制弧长公式中圆心角为弧度制
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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第11讲 分式方程与简单应用专题精讲（解析版）
典例分析
例1.判断下列关于、的方程中，是分式方程的有 。（填正确的序号）
①；②；③（、为常数）④
【解析】①④
例2.下列关于的方程中，其中是分式方程的有 。
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。
【解析】④⑤⑥⑦
【例3】解下列关于方程
（1）； （2）。
【解析】,(增根）
举一反三
1.给出下列关于方程中，是分式方程的有 。
①；②；③；④；⑤； ⑥。
【解析】②⑥
2.在下列关于方程中，是分式方程的是（ ）
A. B. C. D.
【解析】B
3.解下列关于的方程
（1） （2）
【解析】，
（3） （4）
【解析】(增根），(增根）
典例分析
例1．当为何值时,解方程会产生增根?
【解析】
例2.为何值时，方程无解。
【解析】
例3.若关于的方程的解不大于13，求的取值范围。
【解析】
举一反三
1．当为何值时,关于的方程会产生增根？
【解析】
2.若关于的分式方程无解，求常数的值?
【解析】
3.若关于的方程的解不小于,求的取值范围。
【解析】
课堂闯关
初出茅庐
建议用时：10分钟
1.下列各方程是关于的分式方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】C
如果方程的解是，则 。
【解析】
方程的解是 。
【解析】
4.满足方程的值是( )
A、1 B、 C、 D、没有
【解析】C
5.关于的方程，下列说法中不正确的是（ ）
A、最简公分母是
B、方程两边同乘以得整式方程
C、解该分式方程对应的整式方程得
D、原方程的解为
【解析】D
6.若方程有增根，求的值。
【解析】
优学学霸
建议用时：15分钟
若方程无解,则m=______。
【解析】1
2. 如果关于x的方程无解，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、3
【解析】B
3. 解答题：
（1） 若 是正整数，关于 的分式方程 的解为非负数，求 的值；
（2）若关于 的分式方程 总无解，求 的值．
【解析】（1） 由 得 ，
化简得 ，
因为 为非负数，所以 ，即 ．
又 是正整数，所以 ．
且当 时 时原方程是非负解．
??????（2） 去分母，得
即
若 ，显然方程无解；
若 ，
当 时， 不存在；
当 时，．
综上： 的值 ，．
考场直播
1．若分式方程=有增根，则增根为（ ）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0
【解答】解：∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，
解得x=1．
故选：B．
2．（2016?梅州）对于实数a、b，定义一种新运算“?”为：a?b=，这里等式右边是实数运算．例如：1?3=．则方程x?（﹣2）=﹣1的解是（ ）
A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7
【解答】解：根据题意，得=﹣1，
去分母得：1=2﹣（x﹣4），
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故选B．
自我挑战
建议用时：30分钟
1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）
A．3x= B．=2 C．= D．3x﹣2y=1
【解答】解：A、C、D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故是分式方程，
故选B．
2．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【解答】选C．
3．在下列方程①x2﹣x+；②﹣3=a+4；③+5x=6；④+=1中，是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】选：B．
4．下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
B、该方程属于无理方程，故本选项正确；
C、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
D、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
故选：B．
5．分式方程=的解是（ ）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3
【解答】选：D．
6．若关于x的方程+=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣
【解答】选：B．
7．分式方程的解为（ ）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x=﹣ D．x=
【解答】选B
8．从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．
【解答】解：解得，
∵不等式组无解，
∴a≤1，
解方程﹣=﹣1得x=，
∵x=为整数，a≤1，∴a=﹣3或1或﹣1，
∵a=﹣1时，原分式方程无解，故将a=﹣1舍去，
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2，
故选B．
9．用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（ ）
A．y﹣﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0
【解答】选：B．
10．已知﹣x2=2+x，则代数式2x2+2x的值是（ ）
A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2或6
【解答】解：设x2+x=a，则原方程可化为﹣a﹣2=0，
去分母得，﹣a2﹣2a+3=0，解得a=1或a=﹣3．
当a=1时，x2+x﹣1=0，△=1+4=5＞0，此时x有解，原式=2（x2+x）=2a=2；
当a=﹣3时，x2+x+3=0，△=1﹣12=﹣11＜0，此时x无解．
故选A．
11.关于x的方程有增根，那么a=（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【解答】选D
12.方程的解是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
【解答】选A
13.在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 3 ．
【解答】解：分式方程有：③④⑤，
故答案为3．
14．下列方程：（1）=2；（2）=；（3）+=1（a，b为已知数）；（4）+=4．其中是分式方程的是 （1），（4） ．
15.解分式方程：+=1．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣3），
得：2﹣x﹣1=x﹣3，
整理解得：x=2，
经检验：x=2是原方程的解．
16. 若解分式方程 时产生增根，则 的值为多少？
【解析】去分母，得 ．增根为 ，
．
关于 的方程 无解，则 的值为多少？
2. ，
【解答】去分母，得 .增根为 ， .
19. 已知关于x的方程+1=无解，求a的值．
【解答】解：由原方程，得3﹣2x+x﹣3=ax+12，
整理，得（a+1）x=﹣12．
当整式方程无解时，a+1=0即a=﹣1，
当分式方程无解时：①x=3时，a=﹣5，
所以a=﹣1或﹣5时，原方程无解．
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