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【专题讲义】北师大版八年级数学下册
第13讲 平行四边形专题精讲（提高版）
温故知新
我们已经简单的学习了平行四边形以及平行线
（1）平行四边形的面积公式？
（2）直线平行的判定方法有哪些？
智慧乐园
问题1：你能利用手中两张全等的三角形纸板拼出平行四边形吗？
请同学将拼出的六种形状不同的四边形展示在黑板上．
问题2：观察拼出的这个四边形的对边有怎样的位置关系？说说你的理由．
结合拼出的这个特殊四边形，给出平行四边形定义．
定义的几何语言表述
∵ AB∥CD AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
问题3：黑板上展示的图形中，哪些是平行四边形呢？
问题4：根据定义画一个平行四边形．
知识要点一
平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示方法：用符号“”表示，平行四边形记作“”。
（2）平行四边形的边、角性质
边的性质：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等。
角的性质：①平行四边形的对角相等；②平行四边形的邻角互补。
（3）两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的
距离，叫做这两条平行线之间的距离。
（4）平行四边形的对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。、
（5）平行四边形的周长与面积
①面积公式：平行四边形的面积=底高；
②等底等高的平行四边形的面积相等；
③平行四边形的周长等于两邻边和的2倍。
典例分析
例1、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（ ）
A．150° B．130°
C．120° D．100°
例2、如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A．13 B．17
C．20 D．26
例3、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE=DC B．OA=OC
C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE
例4、如图，在?ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为 ．
例5、如图，在?ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为 ．
例6、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
举一反三
1、如图，在?ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
2、如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）
A．3cm B．4cm
C．5cm D．8cm
3、如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
知识要点二
平行四边形的判定及中位线
1、判定方法
（1）从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）从角看：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）从对角线看：①对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2、三角形的中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；
（2）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的
一半。
典例分析
例1、在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边相等，一组对角相等
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
例2、能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
例3、如图，DE是△ABC的中位线，若BC=8，则DE的长为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
例4、如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：BE=（AB+AC）．
举一反三
1、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA=OC，OB=OD B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD=BC D．AB=CD，AO=CO
2、如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．EF=CF B．EF=DE
C．CF＜BD D．EF＞DE
3、如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
课堂闯关
初出茅庐
建议用时：10分钟
1、如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（ ）
A．10 B．14
C．20 D．22
2、如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66° B．104°
C．114° D．124°
3、能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3
C．1：2：2：1 D．1：2：1：2
4、某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（ ）
A．3300m B．2200m
C．1100m D．550m
5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，点E是边CD上一点，连接BE，并延长与AD的延长线相交于点F，请你只添加一个条件： ，使四边形BDFC为平行四边形．
6、如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，且∠A+∠B=136°，则∠ANM= °．
优学学霸
建议用时：15分钟
1、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t= s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
2、如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
3、如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．
考场直播
1、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是 ．（填写一组序号即可）
2、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
自我挑战
建议用时：30分钟
1、如图，在?ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（ ）
A．45° B．55°
C．65° D．75°
2、如图，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠B=150°，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．3
C． D．6
3、下列结论中一定成立的是（ ）
A．如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．如果四边形ABCD的对角线AC平分BD，那么四边形ABCD是平行四边形
D．三条边相等的四边形是平行四边形
4、如图，在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分线，E是AB边的中点．则DE的长是（ ）
A．6 B．5
C．4 D．3
5、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是 cm．
6、如图所示，在?ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．
7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当= 时，四边形ADFE是平行四边形．
8、如图，已知?ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．
（1）求证：△ADG≌△FDM．
（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．
9、如图，已知点E，C在线段BF上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．
学霸说：
（1）熟练掌握平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质及内角和定理；
（2）熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定、勾股定理与平行四边行的综合运用；
套路揭密：
（1）平行四边形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、平行线的判定是常考的知识点；
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【专题讲义】北师大版八年级数学下册
第13讲 平行四边形专题精讲（解析版）
温故知新
我们已经简单的学习了平行四边形以及平行线
（1）平行四边形的面积公式？
（2）直线平行的判定方法有哪些？
智慧乐园
问题1：你能利用手中两张全等的三角形纸板拼出平行四边形吗？
请同学将拼出的六种形状不同的四边形展示在黑板上．
问题2：观察拼出的这个四边形的对边有怎样的位置关系？说说你的理由．
结合拼出的这个特殊四边形，给出平行四边形定义．
定义的几何语言表述
∵ AB∥CD AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
问题3：黑板上展示的图形中，哪些是平行四边形呢？
问题4：根据定义画一个平行四边形．
知识要点一
平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示方法：用符号“”表示，平行四边形记作“”。
（2）平行四边形的边、角性质
边的性质：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等。
角的性质：①平行四边形的对角相等；②平行四边形的邻角互补。
（3）两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的
距离，叫做这两条平行线之间的距离。
（4）平行四边形的对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。、
（5）平行四边形的周长与面积
①面积公式：平行四边形的面积=底高；
②等底等高的平行四边形的面积相等；
③平行四边形的周长等于两邻边和的2倍。
典例分析
例1、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（ ）
A．150° B．130°
C．120° D．100°
【解析】选C．
例2、如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A．13 B．17
C．20 D．26
【解析】选：B．
例3、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE=DC B．OA=OC
C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，
又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，
∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；
∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D．
例4、如图，在?ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为 110° ．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠1=20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，
∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．故答案为：110°．
例5、如图，在?ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为 36° ．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，
∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，∴∠FED′=108°﹣72°=36°；故答案为：36°．
例6、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE?BF=×4×2=4．
举一反三
1、如图，在?ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，
同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．
2、如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）
A．3cm B．4cm
C．5cm D．8cm
【解析】∵?ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，
∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B
3、如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，∴∠ABE=∠FCE，
∵E为BC中点，∴BE=CE，
在△ABE与△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB=FC；
（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，∴AD=DF，
∵△ABE≌△FCE，∴AE=EF，∴DE⊥AF．
知识要点二
平行四边形的判定及中位线
1、判定方法
（1）从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）从角看：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）从对角线看：①对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2、三角形的中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；
（2）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的
一半。
典例分析
例1、在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边相等，一组对角相等
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
【解析】选C．
例2、能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
【解析】选C．
例3、如图，DE是△ABC的中位线，若BC=8，则DE的长为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】∵DE是△ABC的中位线，BC=8，∴DE=BC=4，故选B．
例4、如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：BE=（AB+AC）．
【解析】证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．
（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，
∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，
∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵EM∥CG，∴=，∵BM=CM，
∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．
举一反三
1、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA=OC，OB=OD B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD=BC D．AB=CD，AO=CO
【解析】选：D
2、如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE
【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE=EC，
∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，∵，
∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．
3、如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
【解析】（1）在△ABC中，∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，∴DE=BC，∵CF=BC，∴DE=CF．
（2）∵AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB，∵BC=4，BD=2，∴CD==2，
∵DE∥CF，DE=CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴EF=CD=2．
（3）过点D作DH⊥BC于H．∵∠DHC=90°，∠DCB=30°，∴DH=DC=，
∵DE=CF=2，∴S四边形DEFC=CF?DH=2×=2．
课堂闯关
初出茅庐
建议用时：10分钟
1、如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（ ）
A．10 B．14
C．20 D．22
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周长是：14．故选：B．
2、如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66° B．104°
C．114° D．124°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，
∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．
3、能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3
C．1：2：2：1 D．1：2：1：2
【解析】选D．
4、某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（ ）
A．3300m B．2200m
C．1100m D．550m
【解析】选：B．
5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，点E是边CD上一点，连接BE，并延长与AD的延长线相交于点F，请你只添加一个条件： BC=DF ，使四边形BDFC为平行四边形．
【解析】∵四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥DF，∴当BC=DF时，四边形BDFC是平行四边形．
故答案为：BC=DF．
6、如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，且∠A+∠B=136°，则∠ANM= 44 °．
【解析】在△ABC中，∵∠A+∠B=136°，
∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣136°=44°，
∵△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，∴MN∥BC，
∠ANM=∠ACB=44°．故答案为：44．
优学学霸
建议用时：15分钟
1、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t= 2或6 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【解析】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BC﹣BF=6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，即t=6﹣2t，解得：t=2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BF﹣BC=2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t=2t﹣6，解得：t=6；
综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为：2或6．
2、如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
【解析】∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，∴∠PMN==25°．
3、如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．
【解析】证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．
∵点E是AD的中点，∴在△ABD中，EM∥AB，EM=AB，
∴∠MEF=∠P，同理可证：FM∥CD，FM=CD．
∴∠MGH=∠DFH．又∵AB=CD，∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，∴∠P=∠CQF．．
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1、【2016春?深圳期末】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是 ①③ ．（填写一组序号即可）
【解析】可选条件①③，
∵AD∥BC，∴∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴DO=BO，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为：①③．
2、【2015?深圳】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
【解析】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．
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1、如图，在?ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（ ）
A．45° B．55°
C．65° D．75°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD=135°，
∴∠MCD=180°﹣∠DCB=180°﹣135°=45°．故选A．
2、如图，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠B=150°，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．3
C． D．6
【解析】选B．
3、下列结论中一定成立的是（ ）
A．如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．如果四边形ABCD的对角线AC平分BD，那么四边形ABCD是平行四边形
D．三条边相等的四边形是平行四边形
【解析】选A．
4、如图，在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分线，E是AB边的中点．则DE的长是（ ）
A．6 B．5
C．4 D．3
【解析】∵在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分线，
∴D是AC的中点．∵E是AB边的中点，∴DE=BC=×10=5．故选B．
5、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是 5 cm．
【解析】如上图所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，
同理有EF=AB，DF=BC，
∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．
6、如图所示，在?ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 50° ．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，
∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．
∵EF⊥BF，∴∠F=90°，
∴∠BEF=90°﹣40°=50°．
故答案是：50°．
7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当= 时，四边形ADFE是平行四边形．
【解析】当=时，四边形ADFE是平行四边形．
理由：∵=，∴∠CAB=30°，
∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，
∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，
∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；
∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，
∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为：．
8、如图，已知?ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．
（1）求证：△ADG≌△FDM．
（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAF=∠DFA，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=FD，
∵DE⊥BC，DH⊥AB，∴∠ADG=∠FDM=90°，
在△ADG和△FDM中，，∴△ADG≌△FDM（ASA）．
（2）AB=DG+EC．证明：延长GD至点N，使DN=CE，连接AN，
∵DE⊥BC，AD∥BC，∴∠ADN=∠DEC=90°，
在△ADN和△DEC中，，∴△ADN≌△DEC（SAS），
∴∠NAD=∠CDE，AN=DC，∵∠NAG=∠NAD+∠DAG，∠NGA=∠CDE+∠DFA，
∴∠NAG=∠NGA，∴AN=GN=DG+CE=DC，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∴AB=DG+EC．
9、如图，已知点E，C在线段BF上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．
【解析】证明：（1）∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，
∵BE=EC=CF，∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF．
四边形AECD的形状是平行四边形，
证明：
∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，
∵∠ACB=∠F，
∴AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=CF，
∵EC=CF，∴AD∥EC，AD=CE，∴四边形AECD是平行四边形．
学霸说：
（1）熟练掌握平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质及内角和定理；
（2）熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定、勾股定理与平行四边行的综合运用；
套路揭密：
（1）平行四边形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、平行线的判定是常考的知识点；
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