北师大版八年级下册第4章因式分解训单元练习题（含答案）

第4章 因式分解
一．选择题（共8小题）
1．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
2．下列各式分解因式结果是（a﹣2）（b+3）的是（　　）
A．﹣6+2b﹣3a+ab B．﹣6﹣2b+3a+ab
C．ab﹣3b+2a﹣6 D．ab﹣2a+3b﹣6
3．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1
C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2
4．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（　　）
A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2
C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1）
5．下列因式分解正确的是（　　）
A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）
B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）
C．x2﹣7x﹣10＝（x﹣2）（x﹣5）
D．10x2y﹣5xy2＝5xy（2x﹣y）
6．下列多项式不能分解的是（　　）
A．（ab+cd）2+（bc﹣ad）2 B．x2﹣y2﹣6x+9
C．x2﹣2xy﹣3y2+4x+8y﹣5 D．x2+2x+4
7．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　）
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
8．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（2）＝②F（24）＝③F（27）＝3；④若n是一个整数的平方，则F（n）＝1．其中正确说法的有（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
二．填空题（共5小题）
9．已知多项式x2+7xy+my2﹣5x+43y﹣24可分解成x、y的两个一次因式，则实数m＝　 　．
10．多项式m（m﹣3）+2（3﹣m），m2﹣4m+4，m4﹣16中，它们的公因式是　 　．
11．多项式x6﹣2x4+6x3+x2﹣6x+9可分解成几个因式的积的形式，这几个因式为　 　．
12．运用公式“a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）”计算：9992﹣1＝　 　，99982＝　 　．
13．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）＝　 　．
三．解答题（共7小题）
14．分解因式：（1）x2y﹣xy；（2）x2﹣4y2．
15．在学习中，小朋发现：当n＝1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小朋猜想：当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．小朋的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
16．对于实数a，b，表示运算：2a+b，如：
（1）列式计算：

（2）将式子分解因式．
17．把下列各式分解因式：
（1）2x2﹣5x﹣3
（2）a2（x﹣2a）2﹣a（2a﹣x）3
（3）（x2﹣3）2﹣4x2
（4）a2﹣2a+b2﹣2b+2ab+1
（5）（x﹣y）（x2+3xy+y2）﹣5xy（x﹣y）
（6）（a﹣3b）2﹣4c2+12ab
18．【问题提出】：分解因式：（1）2x2+2xy﹣3x﹣3y；（2）a2﹣b2+4a﹣4b
【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：
探究1：分解因式：（1）2x2+2xy﹣3x﹣3y
分析：该多项式不能直接使用提取公因式法，公式法进行因式分解．于是仔细观察多项式的特点．甲发现该多项式前两项有公因式2x，后两项有公因式﹣3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解．
解：2x2+2xy﹣3x﹣3y＝（2x2+2xy）﹣（3x+3y）＝2x（x+y）﹣3（x+y）＝（x+y）（2x﹣3）
另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式y，第一项和第三项含有公因式x，把y、x提出来，剩下的是相同因式（2x﹣3），可以继续用提公因式法分解．
解：2x2+2xy﹣3x﹣3y＝（2x2﹣3x）+（2xy﹣3y）＝x（2x﹣3）+y（2x﹣3）＝（2x﹣3）（x+y）
探究2：分解因式：（2）a2﹣b2+4a﹣4b
分析：该多项式亦不能直接使用提取公因式法，公式法进行因式分解，于是若将此题按探究1的方法分组，将含有a的项分在一组即a2+4a＝a（a+4），含有b的项一组即﹣b2﹣4b＝﹣b（b+4），但发现a（a+4）与﹣b（b+4）再没有公因式可提，无法再分解下去．于是再仔细观察发现，若先将a2﹣b2看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式4，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．
解：a2﹣b2+4a﹣4b＝（a2﹣b2）+（4a﹣4b）＝（a+b）（a﹣b）+4（a﹣b）＝（a﹣b）（4+a+b）
【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可考虑把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运动公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法．
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，而是通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用“基本方法”分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用“基本方法”进行分解因式的目的．
【学以致用】：尝试运动分组分解法解答下列问题：
（1）分解因式：x3﹣x2﹣x+1；
（2）分解因式：4x2﹣y2﹣2yz﹣z2
【拓展提升】：
（3）尝试运用以上思路分解因式：m2﹣6m+8．
19．在实数范围内因式分解：4x2+4xy﹣5y2．
20．阅读：材料1：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，最高次项的系数不为零，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有一种解法是利用因式分解来解的．如解方程：x2﹣3x+2＝0，左边分解因式得（x﹣1）（x﹣2）＝0，所以x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以原方程的解是x＝1或x＝2．
材料2：立方和公式用字母表示为：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2），
（1）请利用材料1的方法解方程：x2﹣4x+3＝0；
（2）请根据材料2类比写出立方差公式：x3﹣y3＝　 　；（提示：可以用换元方法）
（3）结合材料1和2，请你写出方程x6﹣7x3﹣8＝0所有根中的两个根．



参考答案
一．选择题（共8小题）
1．A．
2.B．
3． B．
4． C．
5． D．
6． D．
7． B．
8.C
二．填空题（共5小题）
9．﹣18．
10． m﹣2．
11．x3﹣x+3．
12． 998000，99960004．
13．（y﹣1）2（x﹣1）2．
三．解答题（共7小题）
14．解：（1）x2y﹣xy，
＝xy（x﹣1）．

解：（2）x2﹣4y2，
＝x2﹣（2y）2，
＝（x+2y）（x﹣2y）．
15．解：小明的猜想不对．
∵n2﹣6n＝n（n﹣6），
当n≤0，或n≥6时，n2﹣6n≥0，
∴小明的说法不对．
16．解：（1）①原式＝2×（﹣3）+2＝﹣4；
②原式＝2×π0+＝2×1﹣3＝﹣1
（2）原式＝4ax2﹣2ax+a﹣2ax
＝a（4x2﹣4x+1）
＝a（2x﹣1）2．
17．解：（1）2x2﹣5x﹣3，
＝（x﹣3）（2x+1）；
（2）a2（x﹣2a）2﹣a（2a﹣x）3，
＝a（x﹣2a）2（2a+x﹣2a），
＝ax（x﹣2a）2；
（3）（x2﹣3）2﹣4x2，
＝（x2﹣3）2﹣（2x）2，
＝（x2﹣2x﹣3）（x2+2x﹣3），
＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）（x+3）；
（4）a2﹣2a+b2﹣2b+2ab+1，
＝（a2+2ab+b2）﹣（2a+2b）+1，
＝（a+b）2﹣2（a+b）+1，
＝（a+b﹣1）2；
（5）（x﹣y）（x2+3xy+y2）﹣5xy（x﹣y），
＝（x﹣y）（x2+3xy+y2﹣5xy），
＝（x﹣y）3；
（6）（a﹣3b）2﹣4c2+12ab，
＝a2﹣6ab+9b2﹣4c2+12ab，
＝（a2+6ab+9b2）﹣（2c）2，
＝（a+3b﹣2c）（a+3b+2c）．
18．【学以致用】：
解：（1）x3﹣x2﹣x+1
＝（x3﹣x2）﹣（x﹣1）
＝x2（x﹣1）﹣（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2﹣1）
＝（x﹣1）（x+1）（x﹣1）
＝（x﹣1）2（x+1）
（2）解：4x2﹣y2﹣2yz﹣z2
＝4x2﹣（y2+2yz+z2）
＝（2x）2﹣（y+z）2
＝（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）′
【拓展提升】：
（3）解：m2﹣6m+8
＝m2﹣6m+9﹣1
＝（m﹣3）2﹣1
＝（m﹣2）（m﹣4）．
19．解：4x2+4xy﹣5y2
＝4x2+4xy+y2﹣6y2
＝（2x+y）2﹣6y2
＝（2x+y﹣y）（2x+y+y）
＝[2x+（1﹣）y][2x+（1+）y]．
20．解：（1）∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝1或x＝3；
（2）∵x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2），
∴x3﹣y3＝x3+（﹣y）3＝[x+（﹣y）][x2﹣x（﹣y）+（﹣y）2]＝（x﹣y）（x2+xy+y2 ）；
（3）∵x6﹣7x3﹣8＝0，
∴（x3）2﹣7x3﹣8＝0，
∴（x3﹣8）（x3+1）＝0，
∴x3﹣8＝0或x3+1＝0，
∴x＝2或x＝﹣1