高中数学人教新课标A版选修3-1第八讲　对无穷的深入思考一 古代的无穷观念(共28张PPT)

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第八讲 对无穷的深入思考
—康托尔的集合论
全体的自然数指的是什么呢？
自然数定义的发展变化.
以前的自然数集合指的是正整数集合.
现在规定0也属于自然数集 .
真子集：若集合A中的元素全部包含在集合B中，而集合B中存在元素不在集合A中，则称集合A为集合B的真子集.
1638年，意大利著名科学家伽利略提出一个问题：
全体自然数与它们的平方数，哪个多哪个少？
你想过吗？
不同观点：
自然数的平方仍是自然数，所以自然数集中的元素个数应该多于其平方数.
无论是自然数的平方还是自然数，都是无穷多个，所以自然数的元素个数应该等于其平方数.
伽利略本人对此问题困惑不解，不知道如何作答，因为不管如何回答都会自相矛盾.后来人们把这个问题称为伽利略悖论.
悖论：我们把自相矛盾的命题称为悖论。
数学家们为了解决类似的“悖论”，200多年后诞生了整个数学基础的学科——集合论.
一. 古代的无穷观念
芝诺提出的与无穷有关的悖论.
了解亚里士多德关于无穷的观点.
知道数学家对无穷的探索.
通过社会背景了解当时人们的无穷观念.
查阅课外资料学习数学家们对无穷的探索.
伽利略的悖论让当时的人们迷茫，古代的数学家们对于无穷的观点也各执一词，但人们始终坚持着探索 .
哲学家对无穷观念认识的发展.
芝诺的二分说和阿基里斯追龟说.
比较一下
﹛1，2，3，4，5，6﹜
﹛1，2，3，4，5，6，7﹜
哪个集合中的元素多？
很简答哦
像﹛1，2，3，4，5，6，…﹜和﹛1，4，9，16，…﹜这种无法确定元素个数的集合，我们成为无穷集合 .
芝诺提出了与无穷有关的最早的记录.
??芝诺（埃利亚的）（Zeno of Elea，约公元前490前425），希腊数学家、哲学家.生于卢卡尼亚（Lucania）的埃利亚
（Elea），是埃利亚学派的代表人物，巴门尼德斯（Parmenides）的学生和友.在哲学上被誉为辩证法的创始人.?
1． 一物从甲地到乙地，永远不能到达.因要想从甲到乙，首先要通过路径的一半.但要通过这一半，必须通过一半的一半，这样直至无穷，物体根本不能前进一步.
2． 阿基里斯（荷马史诗《伊里亚特》中的善跑英雄）追龟说.阿基里斯追乌龟，永远追不上.因当他在追乌龟的出发点时，乌龟向前爬行了一段，他再追完这一段，乌龟又向前爬行了一段，这样永远重复下去，总也追不上.
芝诺的这些悖论是亚里士多德作为批判的对象记录下来的，但是芝诺把数学中的重大问题揭露出来，迫使人们去思考，对数学的发展起到了毋庸置疑的影响.
对芝诺的评价及其对后世的影响
亚里士多德认为，集合只能是潜无穷，而不可能是实无穷.
古希腊数学家普罗克洛斯接受亚里士多德的观点.
在古代中国很早就有无穷的观念，比如“苦海无边”，“学海无涯”，以及“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，都蕴含着无穷的观念.
伽利略
不能比较大小
《两门新科学》
德国哲学家康德（1724—1804）认为无穷像一个梦，看不到尽头，尽头是摔了一跤或者晕倒下去，但是，尽管摔了一跤或者晕倒下去，也不可能达到无穷的尽头.
一方面由于当时人们的认识有限，没有深层认识无穷的能力.

另一方面人类知识体系处于发展阶段，对无穷观念的需求尚不强烈.
艰难探索的原因
无穷问题困扰了数学家两千多年，人们采取回避的态度.

微积分的创立促进了无穷问题的解决，使人们不得不面对无穷集合的许多问题.
19世纪末，年轻的德国数学家康托尔用智慧拨去了笼罩在无穷集合上的重重迷雾，终于使人们看清了“无穷”的真面目，并且建立了“无穷集合论”.
伽利略悖论的由来 .
古代的无穷观念：二分说，阿基里斯追龟说 .
对芝诺悖论的评价及其对后世的影响.
数学家对无穷的探索.
对无穷集合问题艰难探索的原因.
建立“无穷集合论”的数学家是 （ ）
A.费马 B.欧拉 C.高斯 D.康托尔
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