高中数学人教新课标A版选修3-1八讲　对无穷的深入思考二 无穷集合论的创立(共31张PPT)

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第八讲 对无穷的深入思考
—康托尔的集合论
无穷集合（元素个数无穷）——一个“矛盾”的集合.
以前的自然数集合指的是正整数集合;现在规定0也属于自然数集 .
Aristotle（亚里士多德）考虑过无穷集合，他认为潜在的无穷（大）需要和真实的无穷（大）加以区别.
微积分——重建数学基础.
微积分理论遇到严重的逻辑困难.
对微积分基础的严密论证成为集合论产生的一个重要原因.
悖论：我们把自相矛盾的命题称为悖论.
数学家们为了解决类似的“悖论”，200多年后诞生了整个数学基础的学科——集合论.
二. 无穷集合论的创立
了解集合的概念.
能够比较两个集合的势的大小.
康托尔的集合论思想.
通过社会背景了解当时人们的无穷观念.
查阅课外资料理解康托尔的集合论思想.
学习数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神，培养创造性思维力.
康托尔的集合论思想.
比较两个集合的势的大小.
1.建立集合理论的最早尝试
在重建微积分理论的过程中，Bolzano
（波尔查诺）是第一个朝着建立集合的明
确理论方向采取了积极步骤的人.
波尔查诺（B.Bolzano，1781-1848）——捷克著名的数学家.早在康托尔之前，就已经为建立集合论作出了努力.
波尔查诺的观点：
支持实无穷集合的观点.
强调两个集合等价的概念.
对于无穷集合，可以指定一种数叫超限数，使不同的无穷集合有不同的超限数.
无限集合的部分子集可以等价于整体，例如0到5之间的实数可以通过公式 与0到12间的实数构成一一对应，虽然和第二个数集包含了第一个数集，但是他同样也遇到了一些问题在他看来属于悖论的，因此他认为这些不必深入研究.
x y
0 0
1 2.4
2.5 6
0.5 1.2
5 12
2.康托尔的集合论思想
1874年开始，康托尔的集合论思想的文章分别发表在《克雷尔数学杂志》和《数学年鉴》上.
康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德） 德国数学家，集合论的创始者 .1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷.其父为迁居俄国的丹麦商人.康托尔11岁时移居德国,在德国读中学.1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学 .
给出了集合（set）的概念
集合为一些确定的﹑不同的东西的总体，这些东西人们能意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.
明确指出那些认为只有潜无穷集合的
人是错误的.
如果一个集合能够和它的一部分构成
一一对应，那么它就是无穷的.
将集合论的概念推广到了n维欧几里得
空间的点集.
两个元素能够一一对应的集合，称为是等价的或具有相同的“势”.
“势”的概念可以应用于有限集合.
如果两个有限集合的元素个数相同，就可以说他们是等价的或等势的.
有两个集合M和N，如果在M和N这两个集合中，N能与M的一个子集构成一一对应，而M不可能与N的任何子集构成一一对应，就说M的势大于N的势.
过去数学家认为靠得住的只有限，而康托尔把无穷分成许多“层次”.在最初阶段，康托尔主要证明了无穷之间也有差别，既存在可数的无穷，比如自然数集，也存在那种像实数集合那样不可数的无穷.
3.不朽的康托尔
康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者.是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一.
他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造.
中学阶段便激发了对数学的热爱，定下决心投身纯粹数学，并为之不断努力.中学毕业时，学校的评语是这样的：
“六年一班学生康托尔是一个有很高天赋，发展全面的学生，在数学方面尤为突出，具备了出色的从事自然科学研究的预备知识和能力.”
“离经叛道”的理论受到来自四面八方的攻击
克罗内克
vs
希尔伯特
康托尔
彭加勒
菲利克斯．克莱因
坚持科学所付出的代价

在40岁的时候，他患了精神分裂症，在他生命的最后几十年里，这种精神病时时发作，使他不得不经常住到精神病院的疗养所去.长期的精神折磨所造成的危害是不容忽视的.由于健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈雷大学附属精神病院去世.
康托尔创造的精神乐园
康托尔的集合论为数学史翻开了崭新的一页.集合论是现代数学中重要的基础理论.如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解.所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响.
“康托尔不朽的功绩在于向无限冒险前进.”
————科尔莫格洛夫
“我的理论坚如磐石，任何想要动摇它的人都将搬起石头砸自己的脚…更重要的是，我已追溯到这一理论最终无可怀疑的根源.”
————康托尔
波尔查诺关于集合的观点.
康托尔提出的“集合”的概念.
比较两个集合的势的大小.
两个元素能够一一对应的集合，称为是等价的或具有相同的“势”.
比较两个集合的势的大小.
康托尔证明了有理数是可数集.
康托尔的一生.
建立“无穷集合论”的数学家是 （ ）
A.费马 B.欧拉 C.高斯 D.康托尔
D