高中数学人教新课标A版选修3-1第八讲　对无穷的深入思考三 集合论的进一步发展和完善(共31张PPT)

(共31张PPT)
第八讲 对无穷的深入思考
—康托尔的集合论
两个元素能够一一对应的集合，称为是 等价的或具有相同的“势”.
集合为一些确定的﹑不同的东西的总 体，这些东西人们能意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.
比较两个集合的势的大小，势的概念可 以应用于有限集合.
康托尔证明了有理数是可数集.
康托尔的集合论思想.
进入20世纪，康托尔的集合论得到人们的普遍接受.
英国的逻辑学家罗素大加赞赏了集合论.
虽然集合论成为了整个数学理论的基石，但是集合论并不完善.
无理数的发现.
什么是无穷——关于微积分基础的问题.
解决过程产生了集合论（朴素集合论）.
罗素悖论：解决结果产生了公理集合论.
三. 集合论的进一步发展和完善
知道罗素提出了“理发师悖论”.
罗素悖论对于研究数学的影响.
科学家为消除悖论所作的尝试.
在集合论被人们接受的时候时，罗素
提出了悖论.
数学家们勇于探索真理，我们要学习数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神.
罗素悖论与康托尔悖论的影响.
罗素悖论的定义.
罗素简介
　　伯特兰?罗素（Bertrand Russell，1872-1970）系第三代罗素伯爵是二十世纪英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家，无神论或者不可知论者，也是上世纪西方最著名、影响最大的学者和和平主义社会活动家.　
1950年，罗素获得诺贝尔文学奖.
罗素悖论简介
1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式.此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论. 这些悖论在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动. 触发了第三次数学危机 .
1.罗素悖论
1902年，罗素提出了一个悖论：
罗素悖论定义：
把所有集合分为两类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：
　P={A∣A∈A}
　Q={A∣A￠A}（￠：不属于的符号）
　问，Q∈P 还是 Q∈Q？
　这就是著名的“罗素悖论” .
早在1895年，康托尔发现过一个悖论：
任意集合的所有子集构成的集合（即幂集）的元素个数大于原来集合的元素个数（康托尔定理）.
2.康托尔悖论
罗素的悖论动摇了集合论的概念，它的提出说明了集合论本质上是包含矛盾的，因此以集合论为基础的数学体系是不可能完美无缺的.导致了数学史上的第三次数学危机.
康托尔发现的悖论仅涉及到集合论中的一些技术性的问题，但只要做适当的技术改正，集合论仍不失为数学的基础.
1919年，罗素为他的悖论发表了一个通俗版，这就是著名的“理发师悖论”.
“理发师悖论”就是罗素悖论的一种通俗表达方式.
你听说过吗？
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸”.可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？
如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸.
理发师悖论与罗素悖论是等价的：
　 因为如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象. 那么理发师宣称他的元素都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他. 那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论，反过来的变换也是成立的.
消除悖论的初步成功
集合论是一切数学的基础.对于数学有非常重要的基础意义，基础中出现问题必然引起整个数学的动摇.因此，发现集合论悖论的同时，人们就开始了与悖论的不懈斗争.
罗素悖论提出，数学家纷纷提出自己的解决方案.人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则.
想想会有什么原则
“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来.”
综上所述，解决这一悖论在本质上存在两种选择：the Zermelo-Fraenkel alternative 和 the von Neumann-Bernays alternative .
1908年，德国数学家策梅罗（Ernst Zermelo，1871—1953）在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷 .
数学家的努力
公理化集合论体系系统在通过德国数学家弗兰克尔（Abraham Fraenkel）和挪威数学家斯克朗（T.Skolen）的改进后被称为 ZF （Zermelo-Fraenkel）系统或者ZFS系统.
ZF的评价
为数学建立了严格的基础.
ZF系统的无矛盾性保证了数学的无矛盾性.
ZF系统自身的无矛盾性没有得到证明.
无法保证该体系不会出现悖论.
1931年，年仅25岁的奥地利数学家哥德尔（K.Godel，1906—1978）证明了后来所称的“哥德尔不完全性定理”.
该定理表明：任何形式系统都不能完全刻画数学理论 .
数学家的努力
解决悖论的意义
（1）从数学上看，悖论迫使人们从逻辑和哲学的角度对数学基础问题重新进行了全面而深入的研究 .
（2）从哲学上看，人们在解决悖论的努力中使自己的认识不断深化 .
罗素悖论的提出 .
罗素悖论与康托尔悖论的影响.
科学家们消除悖论的初步成功.
1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，（ ）就是罗素悖论的一种通俗表达方式.此外还有（ ）、布拉利—福尔蒂悖论 .
理发师悖论
康托尔悖论