北师大版数学八年级下册 1．4 角平分线 同步课时练习题 含答案

第1章 三角形的证明 1.4 角平分线 三角形的内角平分线

1. 下列关于三角形角平分线的说法错误的是( )
A．两角平分线交点到三个顶点的距离相等
B．两角平分线的交点在第三个角的平分线上
C．两角平分线交点到三边距离相等
D．两角平分线交点在三角形内
2. 如图，O为△ABC内一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( )

A．AD＝AE B．△BOD≌△BOF C．∠COE＝∠COF D．∠OAD＝∠OBF
3. 如图，D、E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处，若∠A=46°，有下列结论：
①DE∥AB；②∠APD=46°；③∠ADP=88°；④△PEB是等腰三角形，
正确的是( )

A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④
4. 如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有( )

A．2处 B．3处 C．4处 D．5处
5. 在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F是垂足，且AB＝5，BC＝4，AC＝3，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别是( )
A．1，1，1 B．1，1.5，2 C．2，2，2 D．无法确定
6. 在三角形中，到三边距离相等的点是( )
A．三条中线的交点 B．三条高线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
7. 三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三个顶点的距离也相等，则这个三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．以上都不对
8. 如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m，按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是( )

A．6m B．9m C．12m D．3m
9. 如图，CE是正六边形ABCDEF的一条对角线，过顶点A作直线l∥CE，则∠1的度数为 .

10. 如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点I，连接AI，则∠BAI＝_______________．

11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是_____________________．(填所有正确说法的序号)

12. 如图，O是△ABC内的一点，且点O到△ABC三边AB，BC，AC的距离OE＝OD＝OF，若∠A＝70°，则∠BOC＝______________．

13. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .

14. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝__________cm．

15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.
求证：(1)DE＝DC；(2)BD＝DF.






16. 如图，∠A=50°，∠ABC=60°．
（1）若BD为∠ABC平分线，求∠BDC．
（2）若CE为∠ACB平分线且交BD于E，求∠BEC．









17. 如图所示，有一块三角形的空地，其三边长分别为20 m，30 m，40 m，现在要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同的花．请你设计出一个方案，并说明你的理由．






18. 如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF.求证：∠BPC＝90°＋∠BAC.









19. 如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于点D，△ABC的周长是20，OD＝5，求△ABC的面积．





20. 已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.
(1)如图1，若点O在边BC上，求证：∠ABC＝∠ACB；
(2)如图2，若点O在△ABC的内部，则∠ABC＝∠ACB成立吗？并说明理由；
(3)若点O在△ABC的外部，则∠ABC＝∠ACB成立吗？请画图表示．









答案：
1—8 ADDCB CCA
9. 30°
10. 35°
11. ① ② ③ ④
12. 125°
13. 360°
14. 2.4
15. 证明：(1)∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DC.
(2)∵DE＝DC，∠C＝∠DEB＝90°，BE＝CF，∴△DCF≌△DEB(SAS)，∴BD＝DF.
16. 解： （1）∵BD为∠ABC平分线，
∴∠ABD=∠ABC=×60°=30°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=50°+30°=80°．
（2）∵∠ACB=180°∠A∠ABC=180°50°60°=70°，
又∵CE为∠ACB平分线，
∴∠DCE=∠ACB=×70°=35°，
∴∠BEC=∠DCE+∠BDC=35°+80°=115°．
17. 解：方案：如图，分别作∠C和∠B的平分线，它们相交于点P，连接PA，

则△PAB，△PAC，△PBC的面积之比就是2∶3∶4.理由：如图，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H.∵点P是∠C和∠B的平分线上的点，
∴PE＝PF＝PH.∴S△ABP＝AB×PE＝10PE，S△BCP＝BC×PH＝20PH，
S△ACP＝AC×PF＝15PF，∴S△ABP∶S△ACP∶S△BCP＝10PE∶15PF∶20PH＝2∶3∶4.
18. 证明：∵PD⊥AC，PF⊥BC，PD＝PF，
∴∠BCP＝∠ACB，同理∠PBC＝∠ABC，
∴∠BCP＋∠PBC＝(∠ACB＋∠ABC)＝(180°－∠A)，
∴∠BPC＝180°－(∠BCP＋∠PBC)＝180°－(180°－∠BAC)
＝90°＋∠BAC.
19. 解：连接AO，图略．∵O是△ABC的角平分线的交点，
OD⊥BC，∴O与三角形三边距离相等，均为5，
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝(AB＋BC＋AC)·OD＝×20×5＝50.
20. 解：(1)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，点E，F分别为垂足，图略．则OE＝OF，在Rt△OEB和Rt△OFC中，∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL)，
∴∠ABC＝∠ACB.
(2)过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，点E，F分别为垂足，图略．则OE＝OF，易证Rt△OEB≌Rt△OFC，从而易推出∠ABC＝∠ACB.
(3)不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，∠ABC＝∠ACB，否则∠ABC≠∠ACB，图略．