人教版九年级数学下册27．2．2：相似三角形的性质及应用 学案（无答案）

相似三角形的性质及应用
课前自主复习
1.相似三角形的性质
已知两个相似三角形的相似比为，则对应高的比为 ，对应中线的比为 ，对应角平分线的比为 ，周长的比为 ，面积的比为 .
2.相似多边形的周长比等于 ，相似多边形的面积比等于相似比的 .
3.已知D、E、F分别是△ABC三边的中点，若△ABC的周长为cm，则△DEF的周长为
Cm；若△ABC的面积为cm?，则△DEF的面积为 cm?
4.双直角三角形（射影定理）
如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，则
由Rt△ABD∽Rt△CAD可得 ；
由Rt△ABD∽Rt△CBA可得 ；
由Rt△CAD∽Rt△CBA可得 ；

5.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做 .这个点叫 ，这时的相似比又称为 .
课前基础自测
1.如图□ABCD，F为BC中点，延长AD至点E，使DE：AD=1:3，连接EF交DC于点G，则（ ）
A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:9

2.如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D.在点从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.一直变大 D.保持不变
3.如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AE，BE交于点G，则 .

4.如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.若四边形BDFE的面积为6，则△ABD的面积= .
5.如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG的长最小值为 .

课堂讲练结合
例1.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在轴、轴上，对角线BD∥轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E.若点A（2,0），D（0,4），则的值为（ ）
A.16 B.20 C.32 D.40

例1图 例2图

例2.如图，已知□ABCD中，AE：EB=1:2.则（1）△AEF与△CDF的周长之比为 ；（2）如果cm?，那么 cm?.

【跟进训练1】如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则的值为（ ）
A.1:3 B.1:5 C.1:6 D.1:11

【跟进训练2】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为 .

例3.如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在BC，AD上，MN，EF交于点P，记若的值为3，当点N是矩形的顶点且∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：b的值.













【跟进训练3】如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一直线上，求EE1的长.

例4.小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展.
（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在边AB，AC上，若BC=6，AD=4，求正方形PQMN的边长；
（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点，画正方形，使点在BC边上，点在△ABC内，连接并延长交AC于点，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN.小波把线段BN称为“波利亚线”
（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形；
（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE=NM，连接EQ，EM（如图3）.当tan∠NBM=时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明.请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题











课内巩固训练
1.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3.若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF的长为（ ）
A. B. C. D.

2.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A.1:2 B.1:4 C.1:5 D.1:6

3.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是 .






4.如图，在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=6，P是BC边上的一动点（P不与B、C重合），连接AP，∠B=∠APE，边PE与AC交于点D，当△APD为等腰三角形时，则PB之长为 ；



5.如图，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN.
（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；
（2）若MN与AD相交于点T，且，求tan∠ABM的值；


















课后作业
A组（基础训练）
1.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，且，那么AE：AC等于（ ）
A.1:9 B.1:3 C.1:8 D.1:2

2.如图，在边长为1的正方形ABCD中，已知点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，，则线面函数图象中，大致能反映与之间函数关系是（ ）


3.两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为（ ）
A.14cm B.16cm C.18cm D.30cm
4.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，，则 ；

5.如图，在△ABC中，已知D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC= ，△ADE与△ABC的周长之比为 ，△CFG与△DFB的面积之比为 .

6.如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的a、b应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.

7.如图，已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F.成立吗？请说明理由.




















8.定义：在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，若△DEF∽△ABC（点D、E、F的对应点分别为点A、B、C），则称△DEF是△ABC的子三角形，如图.
（1）已知：如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，且AD=BE=CF.求证：△DEF是△ABC的子三角形.
（2）已知：如图2，△DEF是△ABC的子三角形，且AB=AC，∠A=90°，若BE=，求CF和AD的长.







9.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为，AD原中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，求AD的长











B组（能力提高）
10.如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AB⊥BC，BC⊥CD，E为AD中点，F为BE上的点，且FE=BE，则点F到边CD的距离是 .

11.如图，△ABC是等边三角形，，点D是边BC上一点，连接BH、CH，当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH= .

12.已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点E.（1）如图（1），若∠ABC=∠ADC=90°，求证：；（2）如图（2），若∠ABC=120°，cos∠ADC=，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；（3）如图（3），另一组对边AB，DC的延长线相交于点F，若cos∠ABC=cos∠ADC=，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）.












13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC，BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC相交于点M，DE与BC交于点N.（1）如图（1），若CE=CF，求证：DE=DF；（2）如图（2），在∠EDF绕点D旋转的过程中；①探究三条线段AB、CE、CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE=4，CF=2，求DN的长.





14.如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO=30°，∠AOB=∠COD=90°，M为OA的中点，OA=6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是
.

















15.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（），连接MN.
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）如图（2），连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值.