要题随堂演练
1．(2019·株洲中考)在平面直角坐标系中，点A(2，－3)位于哪个象限？( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点M的坐标是( )
A．(2，－3) B．(－3，2)
C．(3，－2) D．(－2，3)
3．在平面直角坐标系内，点P(a，a＋3)的位置一定不在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(2019·包头中考)在函数y＝－中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞－1 B．x≥－1
C．x＞－1且x≠2 D．x≥－1且x≠2
5．(2019·黄冈中考)已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是( )
INCLUDEPICTURE"20BZTASX130.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZTASX130.TIF" \* MERGEFORMAT
A．体育场离林茂家2.5 km
B．体育场离文具店1 km
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50 m/min
D．林茂从文具店回家的平均速度是60 m/min
6．(2019·武汉中考)“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是( )
INCLUDEPICTURE"20BZTASX131.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZTASX131.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"20BZTASX132.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZTASX132.TIF" \* MERGEFORMAT
7．(2019·菏泽中考)如图，正方形ABCD的边长为2 cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1 cm/s的速度运动，到达点C运动终止．连接PQ，设运动时间为x s，△APQ的面积为y cm2，则下列图象能大致表示y与x的函数关系的是( )
INCLUDEPICTURE"20ZT16DSSX170.TIF" INCLUDEPICTURE "20ZT16DSSX170.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"20ZT16DSSX171.TIF" INCLUDEPICTURE "20ZT16DSSX171.TIF" \* MERGEFORMAT
8．(2019·临沂中考)在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的坐标是________．
9．(2019·济宁中考)已知点P(x，y)位于第四象限，并且x≤y＋4(x，y为整数)，写出一个符合上述条件的点P的坐标________．
10．(2019·乐山中考)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，直线l⊥AB.当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E，F.设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2，则四边形ABCD的周长是________．
INCLUDEPICTURE"20BZTASX133.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZTASX133.TIF" \* MERGEFORMAT
参考答案
1．D 2.C 3.D 4.D 5.C 6.A 7.A
8．(－2，2) 9.(1，－2)(答案不唯一) 10.10＋2
第一节 平面直角坐标系与函数初步
姓名：______ 班级：______ 用时：______分钟
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF" INCLUDEPICTURE "基础训练.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(2020·原创题)在平面直角坐标系中，点A(－1，3)位于哪个象限( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2019·无锡中考)函数y＝中的自变量x的取值范围是( )
A．x≠ B．x≥1 C．x＞ D．x≥
3．(2020·原创题)点P(－3，2)关于原点对称的点是( )
A．(3，2) B．(－3，－2)
C．(3，－2) D．(2，－3)
4．(2019·重庆中考B卷)根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是－2，若输入x的值是－8，则输出y的值是( )
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW386.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW386.TIF" \* MERGEFORMAT
A．5 B．10 C．19 D．21
5．(2019·赤峰中考)如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图(滴水速度保持不变)，能正确反映容器中水的高度(h)与时间(t)之间对应关系的大致图象是( )
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW388.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW388.TIF" \* MERGEFORMAT
6．(2019·广元中考)如图，点P是菱形ABCD边上的动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为( )
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW670.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW670.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW671.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW671.TIF" \* MERGEFORMAT
7．(2019·哈尔滨中考)在函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
8．(2020·原创题)已知AB∥x轴，点A的坐标为(－3，2)，并且AB＝4，则点B的坐标为________．
9．(2020·原创题)平面直角坐标系中，在y轴的右边有一点P，点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，点P向左平移2个单位长度得到点P1，则点P1关于原点对称的点P2的坐标是________．
INCLUDEPICTURE"拔高训练.TIF" INCLUDEPICTURE "拔高训练.TIF" \* MERGEFORMAT
10．(2020·改编题)在平面直角坐标系中，把点P(－3，2)绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为( )
A．(3，2) B．(2，－3)
C．(－3，－2) D．(3，－2)
11．(2019·自贡中考)均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的( )
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW390.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW390.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW391.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW391.TIF" \* MERGEFORMAT
12．(2019·达州中考)如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是( )
INCLUDEPICTURE"20BZTASX223.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZTASX223.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"20BZTASX224.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZTASX224.TIF" \* MERGEFORMAT
13．(2019·衢州中考)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C，设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是( )
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW393.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW393.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW394.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW394.TIF" \* MERGEFORMAT
14．(2020·改编题)如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(3，1)，B(1，3)，C(4，4)．
(1)将△ABC顶点的横坐标都加1，纵坐标不变，分别得到点A1，B1，C1，依次连接A1，B1，C1各点，所得△A1B1C1与△ABC的大小、形状和位置有什么关系；并在坐标系中画出△A1B1C1；
(2)在平面直角坐标系中画出将△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；
(3)在平面直角坐标系中画出与△A2B2C2关于y轴对称的△A3B3C3.
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW395.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW395.TIF" \* MERGEFORMAT
参考答案
【基础训练】
1．B 2.D 3.C 4.C 5.D 6.A
7．x≠ 8.(1，2)或(－7，2) 9.(－2，－3)或(－2，3)
【拔高训练】
10．D 11.D 12.C 13.C
14．解：(1)所得到的△A1B1C1与△ABC的大小、形状完全相同，△A1B1C1可以看作将△ABC向右平移1个单位长度得到．作图如图所示．
(2)作图如图所示．
(3)作图如图所示．
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW396.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW396.TIF" \* MERGEFORMAT
(共16张PPT)
第三章 函 数
第一节 平面直角坐标系与函数初步
考点一 平面直角坐标系中点的坐标特征 (5年2考)
例1 (2018·东营中考)在平面直角坐标系中，若点P(m－2，m＋1)在第二象限，则m的取值范围是( )
A．m<－1 B．m>2
C．－1－1
【分析】根据第二象限点的坐标特征即可求解．
【自主解答】∵点P(m－2，m＋1)在第二象限，
∴ 即－11．(2019·甘肃中考)已知点P(m＋2，2m－4)在x轴上，则点P的坐标
是( )
A．(4，0) B．(0，4)
C．(－4，0) D．(0，－4)
2．(2019·武威中考)中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0，－2)，“马”位于点(4，－2)，则“兵”位于点________．
(－1，1)
考点二 点的对称与平移 (5年0考)
例2 (2019·枣庄中考)在平面直角坐标系中，将点A(1，－2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标
是( )
A．(－1，1) B．(3，1)
C．(4，－4) D．(4，0)
【分析】根据纵坐标上移加，横坐标左移减，即可解答．
【自主解答】∵将点A(1，－2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，
∴点A′的横坐标为1－2＝－1，纵坐标为－2＋3＝1，
∴点A′的坐标为(－1，1)．故选A.
3．在平面直角坐标系中，点A(－1，5)，将点A向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点A1，点A1关于y轴与A2对称，则A2的坐标
为( )
A．(2，－1) B．(1，2)
C．(－1，2) D．(－2，1)
考点三 函数自变量的取值范围 (5年0考)
例3 已知函数y＝ ，则自变量x的取值范围是( )
A．－1＜x＜1 B．x≥－1且x≠1
C．x≥－1 D．x≠1
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，即可求解．
【自主解答】根据题意得
解得x≥－1且x≠1.故选B.
与二次根式有关的函数自变量
当二次根式在分子位置时，需要满足被开方数(式)是非负数；而二次根式在分母位置时，需要满足被开方数(式)是正数，这是最容易出错的地方．
4．在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是( )
A. x>－5 B．x≥－5
C．x>0 D．x≥0
考点四 函数图象的分析与判断 (5年0考)
例4 (2018·东营中考)如图，在△ABC中，BC＝12，BC边上的高
h＝6，D为BC边上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F.设点
E到边BC的距离为x，则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为( )
【分析】可过点A向BC作AG⊥BC于点G，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【自主解答】如图，过点A作AG⊥BC，交BC于点G，交EF于点H.
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.
又∵BC＝12，AG＝h＝6，
∴EF＝12－2x，
∴y关于x的函数图象为选项D中的图象．故选D.
5.如图，正三角形ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点(不与
点B，C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，
则y关于x的函数图象大致是( )
6．(2019·新泰模拟)如图，菱形ABCD的边长是4 cm，∠B ＝60°，动点P以1 cm/s的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2 cm/s的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t s，记△BPQ的面积为S cm2.下列图象能表示S与t之间的函数关系的是( )
要题随堂演练
1．(2019·陕西中考改编)若正比例函数y＝－2x的图象经过点A(a－1，4)，则a的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．(2019·大庆中考)正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x＋k的图象大致是( )
INCLUDEPICTURE"20BZTASX134.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZTASX134.TIF" \* MERGEFORMAT
3．(2019·荆门中考)如果函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是( )
A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0
C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0
4．(2019·陕西中考)在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为( )
A．(2，0) B．(－2，0)
C．(6，0) D．(－6，0)
5．(2019·娄底中考)如图，直线y＝x＋b和y＝kx＋2与x轴分别交于点A(－2，0)，点B(3，0)，则的解集为( )
INCLUDEPICTURE"20BZTASX135.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZTASX135.TIF" \* MERGEFORMAT
A．x＜－2 B．x＞3
C．x＜－2或x＞3 D．－2＜x＜3
6．(2019·临沂中考)下列关于一次函数y＝kx＋b(k<0，b>0)的说法，错误的
是( )
A．图象经过第一、二、四象限
B．y随x的增大而减小
C．图象与y轴交于点(0，b)
D．当x>－时，y>0
7．(2019·潍坊中考)当直线y＝(2－2k)x＋k－3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是________．
8．(2019·滨州中考)如图，直线y＝kx＋b(k<0)经过点A(3，1)，当kx＋bINCLUDEPICTURE"20ZT16DSSX51.TIF" INCLUDEPICTURE "20ZT16DSSX51.TIF" \* MERGEFORMAT
9．(2019·上海中考)在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A(2，3)，与x轴交于点B.
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
INCLUDEPICTURE"19QDSXJ-30.TIF" INCLUDEPICTURE "19QDSXJ-30.TIF" \* MERGEFORMAT
参考答案
1．A 2.A 3.B 4.B 5.D 6.D
7．13
9．解：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b.
∵一次函数的图象平行于直线y＝x，
∴k＝.
∵一次函数的图象经过点A(2，3)，
∴3＝×2＋b，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝x＋2.
(2)由y＝x＋2，令y＝0，得x＋2＝0，
∴x＝－4，
∴一次函数的图象与x轴的交点为B(－4，0)．
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为(0，y)．
∵AC＝BC，
∴＝，
∴y＝－.
∴点C的坐标是(0，－ )．
第二节 一次函数的图象与性质
姓名：______ 班级：______ 用时：______分钟
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF" INCLUDEPICTURE "基础训练.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(2019·广安中考)一次函数y＝2x－3的图象经过的象限是( )
A．一、二、三 B．二、三、四
C．一、三、四 D．一、二、四
2．(2020·改编题)直线y＝2x向下平移2个单位长度得到的直线是( )
A．y＝2(x＋2) B．y＝2(x－2)
C．y＝2x－2 D．y＝2x＋2
3．(2019·杭州中考)已知一次函数y1＝ax＋b和y2＝bx＋a(a≠b)，函数y1和y2的图象可能是( )
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW397.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW397.TIF" \* MERGEFORMAT
4．(2019·毕节中考)已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是( )
A．kb>0 B．kb<0
C．k＋b>0 D．k＋b<0
5．(2019·苏州中考)若一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，则不等式kx＋b＞1的解集为( )
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
6．(2020·改编题)如图，在矩形AOBC中，A(－4，0)，B(0，2)．若正比例函数y＝kx的图象经过点C，则k的值为( )
INCLUDEPICTURE"19练SN443.TIF" INCLUDEPICTURE "19练SN443.TIF" \* MERGEFORMAT
A．－ B. C．－2 D．2
7．(2019·邵阳中考)一次函数y1＝k1x＋b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x＋b2.下列说法中错误的是( )
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW398.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW398.TIF" \* MERGEFORMAT
A．k1＝k2 B．b1＜b2
C．b1＞b2 D．当x＝5时，y1＞y2
8．(2019·黔东南州中考)如图所示，一次函数y＝ax＋b(a，b为常数，且a＞0)的图象经过点A(4，1)，则不等式ax＋b＜1的解集为__________．
9．(2019·贵阳中考)在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是______．
10．(2020·改编题)点P(x，y)在第一象限，且x＋y＝8，点A的坐标为(6，0)．设△OPA的面积为S.
(1)用含x的式子表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图象；
(2)当S的值为12时，求P点坐标．
INCLUDEPICTURE"拔高训练.TIF" INCLUDEPICTURE "拔高训练.TIF" \* MERGEFORMAT
11．(2019·枣庄中考)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是( )
INCLUDEPICTURE"20ZT16DSSX3.TIF" INCLUDEPICTURE "20ZT16DSSX3.TIF" \* MERGEFORMAT
A．y＝－x＋4 B．y＝x＋4
C．y＝x＋8 D．y＝－x＋8
12．(2019·徐州中考)函数y＝x＋1的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有 ______ 个．
13．(2019·盐城中考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－1的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是________．
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW403.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW403.TIF" \* MERGEFORMAT
14．(2019·乐山中考)如图，已知过点B(1，0)的直线l1与直线l2：y＝2x＋4相交于点P(－1，a)．
(1)求直线l1的解析式；
(2)求四边形PAOC的面积．
INCLUDEPICTURE"19QDSXL-3.TIF" INCLUDEPICTURE "19QDSXL-3.TIF" \* MERGEFORMAT
15．(2019·攀枝花中考)在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，2)，动点P在y＝x的图象上运动(不与点O重合)，连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ.
(1)求线段AP长度的取值范围；
(2)试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值，如果不是，请说明理由；
(3)当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．
INCLUDEPICTURE"19JXSXL-77.TIF" INCLUDEPICTURE "19JXSXL-77.TIF" \* MERGEFORMAT
参考答案
【基础训练】
1．C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B
8．x＜4 9.
10．解：(1)S＝×6×(－x＋8)＝－3x＋24(0＜x＜8)．
画出图象如下：
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW401.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW401.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)当S＝－3x＋24＝12时，解得x＝4，∴y＝4，
∴P点坐标为(4，4)．
【拔高训练】
11．A 12.3 13.y＝x－1
14．解：(1)∵点P(－1，a)在直线l2：y＝2x＋4上，
∴2×(－1)＋4＝a，即a＝2，
则点P的坐标为(－1，2)，
设直线l1的解析式为：y＝kx＋b(k≠0)，
那么
解得：
∴l1的解析式为：y＝－x＋1.
(2)∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为(0，1)，
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为(－2，0)，则AB＝3，
而S四边形PAOC＝S△PAB－S△BOC，
∴S四边形PAOC＝×3×2－×1×1＝.
15．解：(1)由y＝x知∠POQ＝30°，
∴当AP⊥OP时，线段PA取得最小值，
最小值为OAsin60°＝，
∴AP的取值范围是AP≥.
(2)如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，交过点A平行于x轴的直线于点G，
∵AP⊥PQ，
∴∠APQ＝90°，
∴∠GAP＋∠APG＝90°，∠APG＋∠QPH＝90°，
∴∠QPH＝∠PAG，∴△PAG∽△QPH.
∴tan∠PAQ＝＝，∴∠QAP＝30°.
∴＝＝.
(3)当点Q在x轴正半轴时，设OQ＝m(m>0)，
则AQ2＝m2＋4＝4PQ2，则PQ2＝.
如图2，过点Q作QN⊥OP于点N，
∵∠POQ＝30°，∴NQ＝m，ON＝m，PN2＝PQ2－NQ2＝－＝1，
则OP2＝(ON＋NP)2＝(1＋m)2＝m2＋m＋1，
①当OQ＝PO时，m2＋m＋1＝m2，解得m＝2＋4；
②当PO＝PQ时，m无解；
③当PQ＝OQ时，点Q在OP的垂直平分线上，则m＝，
点Q在x轴负半轴时，则OQ＝－m.
同理可得m＝2－4或m＝－2.
综上可知，点Q的坐标为(2＋4，0)，(2－4，0)，(－2，0)或(，0)．
INCLUDEPICTURE"19JXSXL-533.TIF" INCLUDEPICTURE "19JXSXL-533.TIF" \* MERGEFORMAT 图1
INCLUDEPICTURE"19JXSXL-534.TIF" INCLUDEPICTURE "19JXSXL-534.TIF" \* MERGEFORMAT 图2
(共28张PPT)
第二节 一次函数的图象与性质
考点一 一次函数的图象与性质 (5年3考)
命题角度? 一次函数的图象
例1 若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )
【分析】先根据一元二次方程根的情况得出k，b的关系，再结合图象即可得解．
【自主解答】∵一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4－4(kb＋1)>0，即kb<0，结合函数图象可知B选项正确．故选B.
1．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x－1的图象是( )
2．(2019·辽阳中考)若ab<0且a>b，则y＝ax＋b的图象可能是( )
命题角度? 一次函数的性质
例2 已知一次函数y＝kx－m－2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是( )
A．k<2，m>0 B．k<2，m<0
C．k>2，m>0 D．k<0，m<0
【分析】先将一次函数整理为一般形式，再根据“与y轴的负半轴相交”“函数值y随自变量x的增大而减小”分别列出不等式，从而得出结论．
【自主解答】∵一次函数y＝kx－m－2x＝(k－2)x－m，它的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，∴k－2＜0，－m＜0，∴k＜2，m＞0.故选A.
3．(2018·常德中考)若一次函数y＝(k－2)x＋1的函数值y随x的增大而增大，则( )
A．k＜2 B．k＞2
C．k＞0 D．k＜0
4．(2018·济宁中考)在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝－2x＋1的图象经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若x1＜x2，则y1______y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
＞
考点二 确定一次函数的表达式 (5年3考)
命题角度? 待定系数法
例3 在平面直角坐标系中，一条直线经过A(－1，5)，P(－2，a)，B(3，－3)三点．
(1)求a的值；
(2)设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．
【分析】(1)根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出表达式，根据点P在直线上可求出a的值；
(2)求出点D的坐标，再利用三角形面积公式解答即可．
【自主解答】解：(1)设直线AB的表达式为y＝kx＋b.
∴直线AB的表达式为y＝－2x＋3.
∵点P(－2，a)在直线y＝－2x＋3上，
∴－2×(－2)＋3＝a，即a＝7.
(2)由(1)得点P的坐标为(－2，7)，
直线AB的表达式为y＝－2x＋3.
令x＝0，则y＝3，
∴直线AB与y轴的交点D的坐标为(0，3)，
∴S△OPD＝ ×3×2＝3.
5．已知直线y＝－ x＋8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的函数表达式是( )
6．如图，过点A(2，0)的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在
原点上方，点C在原点下方，已知AB＝ .
(1)求点B的坐标；
(2)若△ABC的面积为4，求直线l2的表达式．
解：(1)∵点A(2，0)，AB＝ ，
∴BO＝ ＝3，
∴点B的坐标为(0，3)．
(2)∵△ABC的面积为4，
∴ BC·AO＝4，
即 BC×2＝4，解得BC＝4.
∵BO＝3，∴CO＝4－3＝1，∴C(0，－1)．
设直线l2的表达式为y＝kx＋b，
命题角度? 图象的平移或旋转
例4 (2018·重庆中考A卷节选)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3过点A(5，m)且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点C.过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D.求直线CD的表达式．
【分析】先把A(5，m)代入y＝－x＋3得A(5，－2)，再利用点的平移规律得到C(3，2)，接着利用两直线平行的性质设直线CD的表达式为y＝2x＋b，然后把C点坐标代入求出b，即可得到直线CD的表达式．
【自主解答】解：把A(5，m)代入y＝－x＋3得m＝－5＋3＝－2，
则A(5，－2)．
∵点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点C，
∴C(3，2)．
∵过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D，
∴直线CD的表达式可设为y＝2x＋b，
把C(3，2)代入得6＋b＝2，解得b＝－4，
∴直线CD的表达式为y＝2x－4.
混淆图象的平移规律
一次函数图象的平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项．此处需要注意的是一次函数y＝kx＋b向左、向右平移n(n>0)个单位长度，得到y＝k(x±n)＋b，而不是y＝kx±n＋b.
7．(2019·梧州中考)直线y＝3x＋1向下平移2个单位长度所得直线的表达式是( )
A．y＝3x＋3 B．y＝3x－2
C．y＝3x＋2 D．y＝3x－1
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，0)的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D，C.
(1)若OB＝4，求直线AB的表达式；
(2)连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．
解：(1)∵OB＝4，
∴B(0，4)．
∵A(－2，0)，设直线AB的表达式为y＝kx＋b，
∴直线AB的表达式为y＝2x＋4.
(2)设OB＝m，则AD＝m＋2.
∵△ABD的面积是5，
考点三 一次函数与方程(组)、不等式的关系 (5年1考)
例5 如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是________．
【分析】方法一：利用已知求出k，b的值，然后解不等式；方法二：利用图象确定x的取值范围．
【自主解答】方法一：∵直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，
∴k＝－ ，b＝2.解不等式x＋2>－ x＋6得x>3.故答案为x>3.
方法二：∵直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，且当x>3时，y＝x＋b对应的图象高于y＝kx＋6对应的图象，
∴x的取值范围为x>3.故答案为x>3.
两直线与不等式的关系
已知两条直线l1：y1＝k1x＋b1与l2：y2＝k2x＋b2在坐标系中的位置，当直线l1在直线l2上方时，y1＞y2；当直线l1在直线l2下方时，y1＜y2.这是解决此类问题的一个解题技巧，也是最容易犯错的地方．
9．(2019·泰山区模拟)如图，一次函数y＝－x－2与y＝2x＋m的图象相交
于点P(n，－4)，则关于x的不等式组 的解集为
________．
－2要题随堂演练
1．(2019·陕西中考)根据记录，从地面向上11 km以内，每升高1 km，气温降低6 ℃；又知在距离地面11 km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m(℃)，设距地面的高度为x( km)处的气温为y(℃)．
(1)写出距地面的高度在11 km以内的y与x之间的函数表达式．
(2)上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为－26 ℃时，飞机距离地面的高度为7 km，求当时这架飞机下方地面的气温．小敏想，假如飞机当时在距离地面12 km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12 km时，飞机外的气温．
2．(2019·济宁中考)小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
(1)小王和小李的速度分别是多少？
(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
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3.某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(立方米)的函数，其图象如图所示．
(1)若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？
(2)求当x＞18时，y关于x的函数表达式．若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？
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4．(2019·广安中考)为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
5．(2019·雅安中考)某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：
商品 甲 乙
进价(元/件) x＋60 x
售价(元/件) 200 100
若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．
(1)求甲、乙两种每件商品的进价分别是多少元．
(2)若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件(a≥30)，设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值．
参考答案
1．解：(1)根据题意得：y＝m－6x(0≤x≤11)．
(2)将x＝7，y＝－26代入y＝m－6x，得－26＝m－42，∴m＝16，
∴当时地面气温为16 ℃，
∵x＝12＞11，
∴y＝16－6×11＝－50(℃)．
假如当时飞机距地面12 km时，飞机外的气温为－50 ℃.
2．解：(1)由题图可得小王的速度为30÷3＝10(km/h)，
小李的速度为：(30－10×1)÷1＝20(km/h)．
答：小王和小李的速度分别是10 km/h，20 km/h.
(2)小李从乙地到甲地用的时间为：30÷20＝1.5(h)，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10×1.5＝15(km)，
∴点C的坐标为(1.5，15)．
设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b，
代入B(1，0)和C(1.5，15)，得 解得
即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是y＝30x－30(1≤x≤1.5)．
3．解：(1)由函数图象看出，某月用水量为18立方米，则应交水费45元．
(2)由81元＞45元，得用水量超过18立方米，设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b(x＞18)．
∵函数图象经过点(18，45)，(28，75)，
∴解得
∴y关于x的函数表达式为y＝3x－9(x＞18)．
当y＝81时，3x－9＝81，
解得x＝30.
答：这个月用水量为30立方米．
4．解：(1)设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，则
解得，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元．
(2)设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯(200－a)只，费用为w元，
w＝5a＋7(200－a)＝－2a＋1 400，
∵a≤3(200－a)，
∴a≤150，
∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1 100，200－a＝50.
答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．
5．解：(1)依题意可得方程 ＝，
解得x＝60，
经检验，x＝60是方程的根，且符合题意．
∴x＋60＝120(元)．
答：甲、乙两种商品每件的进价分别是120元，60元．
(2)∵销售甲种商品为a件(a≥30)，
∴销售乙种商品为(50－a)件．
根据题意得：w＝(200－120)a＋(100－60)(50－a)＝40a＋2 000(a≥30)．
∵40＞0，
∴w的值随a值的增大而增大，
∴当a＝30时，w最小值＝40×30＋2 000＝3 200(元)．
第三节 一次函数的实际应用
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2019·聊城中考)某快递公司每天上午9：00－10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示，那么两仓库快递件数相同时，此刻的时间为( )
A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30
2．(2019·金华中考)元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是________ .
3．(2020·改编题)某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s(千米)随行驶时间t(小时)变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间(含10点和11点)追上甲车，则乙车的速度v(单位：千米/小时)的范围是__________________．
4．(2019·天门中考)某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折，设一次购买量为x千克，付款金额为y元．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？
5．(2019·山西中考)某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元)．
(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；
(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱？
6．(2019·连云港中考)某工厂计划生产甲、乙两种产品共2 500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x(吨)，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(万元)．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1 000吨，其他原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
7．(2019·淮安中考)快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．途中快车休息1.5小时，慢车没有休息，设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米，如图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．请解答下列问题：
(1)求快车和慢车的速度；
(2)求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；
(3)线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
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8．(2019·襄阳中考)襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：
有机蔬菜种类 进价(元/kg) 售价(元/kg)
甲 m 16
乙 n 18
(1)该超市购进甲种蔬菜10 kg和乙种蔬菜5 kg需要170元；购进甲种蔬菜6 kg和乙种蔬菜10 kg需要200元．求m，n的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100 kg进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20 kg，且不大于70 kg.实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60 kg的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y(元)与购进甲种蔬菜的数量x(kg)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润额y(元)取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a的最大值．
参考答案
1．B 2.(32，4 800) 3.60≤v≤80
4．解：(1)根据题意得
①当0≤x≤5时，y＝20x；
②当x>5时，y＝20×0.8(x－5)＋20×5＝16x＋20.
(2)把x＝30代入y＝16x＋20，
∴y＝16×30＋20＝500.
∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元．
5．解：(1)当游泳次数为x时，
方式一的总费用为：y1＝30x＋200，
方式二的总费用为：y2＝40x；
(2)由y1＜y2得：30x＋200＜40x，
解得x＞20，
当x＞20时，选择方式一比方式二省钱．
6．解：(1)y＝0.3x＋0.4(2 500－x)＝－0.1x＋1 000，
因此y与x之间的函数解析式为y＝－0.1x＋1 000.
(2)由题意得
∴1 000≤x≤2 500.
又∵k＝－0.1＜0，
∴y随x的增大而减少，
∴当x＝1 000时，y最大，此时2 500－x＝1 500.
答：该工厂生产甲种产品1 000吨，乙种产品1 500吨时，能获得最大利润．
7．解：(1)由题意可知，快车2小时行驶了180千米，
∴快车的速度为180÷2＝90千米/小时；
慢车3小时行驶了180千米，
∴慢车的速度为180÷3＝60千米/小时．
(2)∵快车中途休息了1.5小时，即AE段，
∴点E的坐标为(3.5，180)，
快车再行驶360－180＝180(千米)到达乙地，所用时间为2小时，则点C的坐标为(5.5，360)，
设EC的函数表达式为y1＝kx＋b，
则解得
∴线段EC的函数表达式为y1＝90x－135(3.5≤x≤5.5)．
(3)∵OD的函数解析式为y2＝60x，
∴联立得解得
∴点F的坐标为(4.5，270)，
∴点F表示的实际意义是：经过4.5小时，两车均行驶了270千米．
8．解：(1)由题意可得解得
答：m的值是10，n的值是14.
(2)当20≤x≤60时，y＝(16－10)x＋(18－14)(100－x)＝2x＋400；
当60＜x≤70时，y＝(16－10)×60＋(16×0.5－10)×(x－60)＋(18－14)(100－x)＝－6x＋880，
由以上可得y＝；
(3)当20≤x≤60时，y＝2x＋400，则当x＝60时，y取得最大值，此时y＝520；
当60＜x≤70时，y＝－6x＋880，则y＜－6×60＋880＝520.
由上可得，当x＝60时，y取得最大值，此时y＝520，
∵在(2)的条件下，超市在获得的利润额y(元)取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于20%，
∴≥20%，解得a≤1.8，
即a的最大值是1.8.
(共18张PPT)
第三节 一次函数的实际应用
核心考点 一次函数的实际应用
1．命题规律分析：
2．命题研究专家点拨：
(1)对于一次函数实际应用问题，解决问题的关键在于读懂题意，确定题目中的自变量和因变量之间的关系，正确列出关系式；
(2)对于由图象给出信息的实际问题，一定要抓住图象中的重要信息，如图象与坐标轴的交点、图象上的拐点，两条直线的交点，平行于x轴的图象等；
(3)解决实际问题时，一定要注意自变量的取值范围，虽然部分试题不要求写出取值范围，但是常在解决问题时，需要通过自变量取值范围进行分类讨论．
百变例题 (2017·青岛中考)A，B两地相距60 km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系．请结合图象解答下列问题：
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是______(填l1或l2)，甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h；
(2)甲出发多少小时两人恰好相距5 km?
【分析】(1)观察图象可知乙的函数图象为l2，根据速度＝ ，利用图中信息即可解决问题；(2)根据相遇前和相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题．
【自主解答】解：(1)l2 30 20
(2)设直线l1的表达式为s1＝k1t＋b1.
∴直线l1的表达式为s1＝－30t＋60.
设直线l2的表达式为s2＝k2t＋b2.
∴直线l2的表达式为s2＝20t－10.
∵两人恰好相距5 km，∴s1－s2＝5或s1－s2＝－5，
即－30t＋60－(20t－10)＝5或－30t＋60－(20t－10)＝－5，
解得t＝1.3或t＝1.5.
答：甲出发1.3 h或1.5 h时，两人恰好相距5 km.
百变一：销售、利润问题
1．(2019·青岛模拟)5月13日是母亲节，为了迎接母亲节的到来，利客来商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1 000元，求商场共有几种进货方案；
(3)在(2)条件下，若每件甲种玩具售价30元，每件乙种玩具售价45元，请求出卖完这批玩具获利W(元)与甲种玩具进货量m(件)之间的函数关系式，并求出最大利润为多少．
解：(1)设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40－x)元/件．
根据题意得
解得x＝15.
经检验x＝15是原方程的解．
则40－x＝25.
答：甲、乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件．
(2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(48－m)件．
由题意，得
解得20≤m＜24.
∵m是整数，
∴m取20，21，22，23，
故商场共有四种进货方案：
方案一：购进甲种玩具20件，乙种玩具28件；
方案二：购进甲种玩具21件，乙种玩具27件；
方案三：购进甲种玩具22件，乙种玩具26件；
方案四：购进甲种玩具23件，乙种玩具25件．
(3)由题意知购进乙种玩具为(48－m)件，
根据题意得：W＝(30－15)m＋(45－25)(48－m)＝－5m＋960，
∵－5＜0，
∴W随着m的增大而减小，
∴当m＝20时，W最大＝－5×20＋960＝860.
故W＝－5m＋960，最大利润为860元．
百变二：阶梯收费问题
2．(2019·德州中考)下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式：
收费方式 月通话
费/元 包时通话
时间/h 超时费/
(元/min)
A 30 25 0.1
B 50 50 0.1
C 100 不限时
(1)设月通话时间为x h，则方案A，B，C的收费金额y1(元)，y2(元)，y3(元)都是x(h)的函数，请分别求出这三个函数解析式．
(2)填空：
若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为________；
若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为________；
若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为________；
(3)小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．
解：(1)∵0.1元/min＝6元/h，
∴由题意可得
y3＝100(x≥0)．
(2)作出函数图象如图：
结合图象可得：
若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为0≤
若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为
若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为
故答案为
(3)∵小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，
∴结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B.
将y＝80分别代入y2＝ 可得
6x－250＝80，
解得x＝55.
故小王该月的通话时间为55 h.
要题随堂演练
1．(2019·柳州中考)反比例函数y＝的图象位于( )
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第一、二象限 D．第二、四象限
2．(2019·广西中考)若点(－1，y1 (2，y2 (3，y3)在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
3．(2019·淮安中考)当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是( )
4．(2019·枣庄中考)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝(x>0)的图象上．若AB＝1，则k的值为( )
INCLUDEPICTURE"20ZT16DSSX6.TIF" INCLUDEPICTURE "20ZT16DSSX6.TIF" \* MERGEFORMAT
A．1 B. C. D．2
5．(2019·鸡西中考)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是( )
INCLUDEPICTURE"20BZTASX136.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZTASX136.TIF" \* MERGEFORMAT
A. B.
C．4 D．6
6．(2019·绍兴中考)如图，矩形ABCD的顶点A，C都在双曲线y＝(常数k＞0，x＞0)上，若顶点D的坐标为(5，3)，则直线BD的函数表达式是________．
INCLUDEPICTURE"20BZTASX137.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZTASX137.TIF" \* MERGEFORMAT
7．(2019·潍坊中考)如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝(x>0)与y＝(x<0)的图象上，则tan∠BAO的值为________．
INCLUDEPICTURE"20ZT16DSSX79.TIF" INCLUDEPICTURE "20ZT16DSSX79.TIF" \* MERGEFORMAT
8．(2019·雅安中考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋m的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于A，B两点，已知A(2，4)．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求B点的坐标；
(3)连接AO，BO，求△AOB的面积．
INCLUDEPICTURE"20BZTASX138.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZTASX138.TIF" \* MERGEFORMAT
9．(2019·杭州中考)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位：小时)，行驶速度为v(单位：千米/时)，且全程速度限定为不超过120千米/时．
(1)求v关于t的函数表达式．
(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围；
②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
参考答案
1．A 2.C 3.B 4.A 5.C 6.y＝x 7.
8．解：(1)将A(2，4)代入y＝－x＋m与y＝(x＞0)中得4＝－2＋m，4＝，
解得m＝6，k＝8，
∴一次函数的解析式为y＝－x＋6，
反比例函数的解析式为y＝.
(2)由题意，得解得或
∴B(4，2)．
(3)如图，设直线y＝－x＋6与x轴，y轴交于点C，D，
∴D(0，6)，∴OD＝6，
∴S△AOB＝S△DOB－S△AOD＝×6×4－×6×2＝6.
INCLUDEPICTURE"20BZTASX139.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZTASX139.TIF" \* MERGEFORMAT
9．解：(1)∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/时，
∴v关于t的函数表达式为v＝(t≥4)．
(2)①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，
将t＝6代入v＝得v＝80；将t＝代入v＝得v＝100.
∴小汽车行驶速度v的范围为80≤v≤100.
②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：
8点至11点30分时间长为小时，将t＝代入v＝得v＝＞120，超速了．
故方方不能在当天11点30分前到达B地．
第四节 反比例函数
姓名：______ 班级：______ 用时：______分钟
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF" INCLUDEPICTURE "基础训练.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(2020·原创题)反比例函数y＝(k＜0)，当x＞0时，图象在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2019·鄂州中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝－x＋k与y＝(k为常数，且k≠0)的图象大致是( )
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW405.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW405.TIF" \* MERGEFORMAT
3．(2019·海南中考)如果反比例函数y＝(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是( )
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
4．(2019·哈尔滨中考)点(－1，4)在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )
A．(4，－1) B．(－，1)
C．(－4，－1) D．(，2)
5．(2019·广州中考)若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
6．(2019·赤峰中考)如图，点P是反比例函数y＝(k≠0)的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M.若△POM的面积等于2，则k的值等于( )
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW406.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW406.TIF" \* MERGEFORMAT
A．－4 B．4 C．－2 D．2
7．(2019·温州中考)验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为( )
近视眼镜的度数y(度) 200 250 400 500 1 000
镜片焦距x(米) 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A.y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
8．(2019·衡阳中考)如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m为常数且m≠0)的图象都经过A(－1，2)，B(2，－1)，结合图象，则不等式kx＋b＞的解集是( )
A．x＜－1
B．－1＜x＜0
C．x＜－1或0＜x＜2
D．－1＜x＜0或x＞2
9．(2019·北京中考)在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)(a＞0，b＞0)在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1＋k2的值为______.
10．(2019·常德中考)如图，一次函数y＝－x＋3的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，a)和B两点，与x轴交于点C.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW410.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW410.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"拔高训练.TIF" INCLUDEPICTURE "拔高训练.TIF" \* MERGEFORMAT
11．(2020·易错题)若反比例函数y＝－的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y＝－x＋m的图象上，则m的取值范围是( )
A．m＞2
B．m＜－2
C．m＞2或m＜－2
D．－2＜m＜2
12．(2019·咸宁中考)在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝－(x＜0)，y＝(x＞0)的图象上，则sin∠ABO的值为( )
A.
B.
C.
D.
13．(2019·郴州中考)如图，点A，C分别是正比例函数 y＝x 的图象与反比例函数y＝的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为______．
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW414.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW414.TIF" \* MERGEFORMAT
14．(2019·玉林中考)如图，一次函数y1＝(k－5)x＋b的图象在第一象限与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜4，则k＝__________．
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW413.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW413.TIF" \* MERGEFORMAT
15．(2019·内江中考)如图，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于第二、四象限内的点A(a，4)和点B(8，b)．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4.
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出mx＋n＜的解集；
(3)在x轴上取点P，使PA－PB取得最大值时，求出点P的坐标．
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW415.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW415.TIF" \* MERGEFORMAT
16．(2019·鄂尔多斯中考)教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30 ℃时接通电源，水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所示：
(1)分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
(2)怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
INCLUDEPICTURE"19QDSXL-4.TIF" INCLUDEPICTURE "19QDSXL-4.TIF" \* MERGEFORMAT
参考答案
【基础训练】
1．D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.A 7.A 8.C 9.0
10．解：(1)把点A(1，a)代入y＝－x＋3得a＝2，
∴A(1，2)．
把A(1，2)代入反比例函数y＝得
k＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)∵一次函数y＝－x＋3的图象与x轴交于点C，∴C(3，0)．
设P(x，0)，
∴PC＝|3－x|，∴S△APC＝|3－x|×2＝5，
∴x＝－2或x＝8，∴P的坐标为(－2，0)或(8，0)．
【拔高训练】
11．C 12.D 13.8 14.4
15．解：(1)∵点A(a，4)，∴AC＝4.
∵S△AOC＝4，即OC·AC＝4，∴OC＝2.
∵点A(a，4)在第二象限，∴a＝－2，A(－2，4)．
将A(－2，4)代入y＝得k＝－8，
∴反比例函数的关系式为y＝－.
把B(8，b)代入得b＝－1，
∴B(8，－1)，
因此a＝－2，b＝－1.
(2)由图象可以看出mx＋n＜的解集为－2＜x＜0或x＞8.
(3)如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′与x轴交于P，此时PA－PB最大．
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW416.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW416.TIF" \* MERGEFORMAT
∵B(8，－1)，
∴B′(8，1)．
设直线AP的关系式为y＝kx＋b，将 A(－2，4)，B′(8，1)代入得
解得
∴直线AP的关系式为y＝－x＋.
当y＝0时，即－x＋＝0，解得x＝，
∴P(，0)．
16．解：(1)观察图象，可知：当x＝7(min)时，水温y＝100(℃)
当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，
得
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x＋30，
当x＞7时，设y＝，
100＝，得a＝700，
即当x＞7时，y关于x的函数关系式为y＝，
当y＝30时，x＝，
∴y与x的函数关系式为y＝
y与x的函数关系式每分钟重复出现一次；
(2)将y＝50代入y＝10x＋30，得x＝2，
将y＝50代入y＝，得x＝14，
∵14－2＝12，－12＝，
∴怡萱同学想喝高于50 ℃的水，她最多需要等待min.
(共30张PPT)
第四节 反比例函数
考点一 反比例函数的图象与性质 (5年2考)
例1 (2019·天门中考)反比例函数y＝－ ，下列说法不正确的是( )
A．图象经过点(1，－3)
B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称
D．y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【自主解答】由点(1，－3)的坐标满足反比例函数y＝－ ，故A不符合题意；由k＝－3＜0，双曲线位于第二、四象限，故B不符合题意；
由反比例函数的对称性，可知反比例函数y＝－ 关于y＝x对称是正确的，故C不符合题意；由反比例函数的性质知k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D符合题意．故选D.
对于反比例函数y＝ (k≠0)，k的符号、图象所在的象限、函数的增减性这三者，知道其中一个，另外两个都可以推出，即k>0?图象在第一、三象限?在每个象限内y随x的增大而减小；k<0?图象在第二、四象限?在每个象限内y随x的增大而增大．
1．(2019·东平一模)已知抛物线y＝x2＋2x－m－1与x轴没有交点，则函
数y＝ 的大致图象是( )
2．(2018·滨州中考)若点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)都在反比例
函数y＝ (k为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为
_______________．
y2＜y1＜y3
考点二 确定反比例函数的表达式 (5年3考)
例2 (2018·东营中考)如图，B(3，－3)，C(5，0)，以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的表达式为________．
【分析】根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出表达式即可．
【自主解答】∵四边形OABC是平行四边形，B(3，－3)，C(5，0)，
∴A(3－5，－3)，即A(－2，－3)，
∴过点A的反比例函数的表达式为y＝ .
3．(2018·青岛中考)已知反比例函数的图象经过三个点A(－4，－3)，B(2m，y1)，C(6m，y2)，其中m＞0.
(1)当y1－y2＝4时，求m的值；
(2)如图，过点B，C分别作x轴，y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P的坐标(不需要写解答过程)．
解：(1)设反比例函数的解析式为y＝ .
∵反比例函数的图象经过点A(－4，－3)，
∴k＝－4×(－3)＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝ .
∵反比例函数的图象经过点B(2m，y1)，C(6m，y2)，
经检验，m＝1是原方程的解，
故m的值是1.
(2)如图，设BD与x轴交于点E.
∵点 过点B，C分别作x轴，y轴的垂线，两垂线相交于
点D，
∵△PBD的面积是8，
∴PE＝4m.
∵E(2m，0)，点P在x轴上，
∴点P的坐标为(－2m，0)或(6m，0)．
考点三 比例系数k的几何意义 (5年1考)
例3 (2017·青岛中考)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A(－1，
－4)，B(2，2)两点，P为反比例函数y＝ 图象上一动点，O为坐标原
点，过点P作y轴的垂线，垂足为C，则△PCO的面积为( )
A．2 B．4 C．8 D．不确定
【分析】根据待定系数法，可得k，b，根据反比例函数图象上的点垂直于
坐标轴得到的三角形的面积等于|k|的一半，可得答案．
【自主解答】将A(－1，－4)，B(2，2)代入函数解析式，得
解得 P为反比例函数 图象上一动点，反比例函数的解析式
为 P为反比例函数 图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴
的垂线，垂足为点C，则△PCO的面积为 故选A.
确定k值时忽略图象所在的象限
过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线，垂线段与两坐标轴
围成的矩形面积等于|k|，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形面
积等于 .但是需要注意的是，确定k值时，还要结合具体的函数图象所
在的象限，这是最易出错的地方．
4．(2019·滨州中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝ (x>0)的图象经过对角线OB的中点D和顶点C.若菱形OABC的面积为12，则k的值为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
考点四 反比例函数与一次函数的综合 (5年1考)
例4 (2015·青岛中考)如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝
的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围
是( )
A．x＜－2或x＞2
B．x＜－2或0＜x＜2
C．－2＜x＜0或0＜x＜2
D．－2＜x＜0或x＞2
【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点的横坐标，再由函数图象即可得出结论．
【自主解答】∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A，B两点关于原点对称．
∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为－2.
∵由函数图象可知，当－2＜x＜0或x＞2时，函数y1＝k1x的图象在y2＝
的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是－2＜x＜0或x＞2.
故选D.
(1)对于不等式ax＋b> 的解集，从函数图象上反映为一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即x>xA或xB(2)对于不等式ax＋b< 的解集，从函数图象上反映为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分，即05．(2019·泰安中考)已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的
图象交于点A，与x轴交于点B(5，0)，若OB＝AB，且S△OAB＝ .
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
解：(1)如图，过点A作AD⊥x轴于点D.
∵y＝kx＋b经过点A，点B，
(2)本题分三种情况：
如图，①当以AB为腰，且点B为顶角顶点时，可得点P的坐标为P1(0，0)，P2(10，0)；
②当以AB为腰，且以点A为顶角顶点时，点B关于AD的对称点即为所求的点P3(13，0)；
③当以AB为底时，作线段AB的中垂线交x轴于点P4，交AB于点E，则点P4即为所求，
考点五 反比例函数的实际应用 (5年2考)
例5 (2015·青岛中考)把一个长、宽、高分别为3 cm，2 cm，1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为________．
【分析】利用长方体的体积＝圆柱体的体积，进而得出等式求出即可．
【自主解答】由题意可得Sh＝3×2×1，则S＝ .故答案为S＝ .
6．(2016·青岛中考)某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系：
月产销量y(个) … 160 200 240 300 …
每个玩具的固定成本Q(元) … 60 48 40 32 …
(1)写出月产销量y(个)与销售单价x (元)之间的函数关系式；
(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间的函数关系式；
(3)若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？
(4)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？
解：(1)由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月产销量y(个)
与销售单价x (元)之间存在一次函数关系，不妨设y＝kx＋b，则(280，
300)，(279，302)满足函数关系式，得
∴销量y(个)与销售单价x (元)之间的函数关系式为y＝－2x＋860.
(2)观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q(元)与月产销
量y(个)之间存在反比例函数关系，不妨设Q＝ ，将Q＝60，y＝160代入
得到m＝9 600，此时Q＝ .
(3)当Q＝30时，y＝320，由(1)可知y＝－2x＋860，所以x＝270，即销售
单价为270元．
∵ ∴成本占销售价的 .
(4)若y≤400，则Q≥ ，即Q≥24，固定成本至少是24元，
400≥－2x＋860，解得x≥230，即销售单价最低为230元．
要题随堂演练
1．(2019·荆门中考)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．(2019·沈阳中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
INCLUDEPICTURE"20BZTASX140.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZTASX140.TIF" \* MERGEFORMAT
A．abc＜0
B．b2－4ac＜0
C．a－b＋c＜0
D．2a＋b＝0
3．(2019·青岛中考)已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2－2x和一次函数y＝bx＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
INCLUDEPICTURE"19QDSXJ-37.TIF" INCLUDEPICTURE "19QDSXJ-37.TIF" \* MERGEFORMAT
4．(2019·雅安中考)在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中错误的是( )
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
5．(2019·日照中考)如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，下列结论中：①abc>0；②a－b＋c<0；③ax2＋bx＋c＋1＝0有两个相等的实数根；④－4aINCLUDEPICTURE"20ZT16DSSX523.TIF" INCLUDEPICTURE "20ZT16DSSX523.TIF" \* MERGEFORMAT
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
6．(2018·广州中考)已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而________．(填“增大”或“减小”)
7．(2019·荆州中考)二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是________．
8．(2019·宜宾中考)将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为________．
9．(2018·自贡中考)若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为________．
10．(2019·云南中考)已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值；
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
参考答案
1．C 2.D 3.C 4.C 5.D
6．增大 7.7 8.y＝2(x＋1)2－2 9.－1
10．解：(1)∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，
∴k2＋k－6＝0，解得k1＝－3，k2＝2.
当k＝2时，y＝x2＋6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去；
当k＝－3时，y＝x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，∴k＝－3.
(2)∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或－2.
当x＝2时，y＝－5，
当x＝－2时，y＝－5，
∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5)．
第五节 二次函数的图象与性质
姓名：______ 班级：______ 用时：______分钟
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF" INCLUDEPICTURE "基础训练.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(2019·衢州中考)二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是( )
A．(1，3) B．(1，－3)
C．(－1，3) D．(－1，－3)
2．(2019·温州中考)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最大值－1，有最小值－2
B．有最大值0，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1
D．有最大值7，有最小值－2
3．(2019·兰州中考)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( )
A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1
C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2
4．(2019·河池中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是( )
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW418.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW418.TIF" \* MERGEFORMAT
A．ac＜0 B．b2－4ac＞0
C．2a－b＝0 D．a－b＋c＝0
5．(2019·通辽中考)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现给出以下结论：①abc＜0；②c＋2a＜0；③9a－3b＋c＝0；④a－b≥m(am＋b)(m为实数)；⑤4ac－b2＜0.
其中错误结论的个数有( )
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW419.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW419.TIF" \* MERGEFORMAT
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．(2019·徐州中考)已知二次函数的图象经过点P(2，2)，顶点为O(0，0)，将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为______．
7．(2020·改编题)若二次函数y＝4x2－6x－3的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)两点，则＋的值为________.
8．(2019·天水中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b，则M，N的大小关系为M______N__(填“＞”“＝”或“＜”)
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW420.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW420.TIF" \* MERGEFORMAT
9．(2019·凉山州中考)当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝(x－1)2－3有交点，则a的取值范围是________________.
10．(2019·湖州中考)已知抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点．
(1)求c的取值范围；
(2)若抛物线y＝2x2－4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由．
INCLUDEPICTURE"拔高训练.TIF" INCLUDEPICTURE "拔高训练.TIF" \* MERGEFORMAT
11．(2019·攀枝花中考)在同一坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是( )
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW672.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW672.TIF" \* MERGEFORMAT
12．(2019·泸州中考)已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点，且当x＜－1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a＞－1
C．－1＜a≤2 D．－1≤a＜2
13．(2020·创新题)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2＋2x＋c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是( )
A．c＜－3 B．c＜－2
C．c＜ D．c＜1
14．(2019·广元中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)，(0，2)，且顶点在第一象限，设M＝4a＋2b＋c，则M的取值范围是________．
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW422.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW422.TIF" \* MERGEFORMAT
15．(2019·赤峰中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a－b＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜－1或x＞3时，y＞0.上述结论中正确的是__________．(填上所有正确结论的序号)
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW423.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW423.TIF" \* MERGEFORMAT
16．(2019·泰州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，该图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求tan∠ABC.
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW424.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW424.TIF" \* MERGEFORMAT
参考答案
【基础训练】
1．A 2.D 3.A 4.C 5.A
6．y＝(x－4)2 7.－2 8.＜ 9.－3≤a≤1
10．解：(1)∵抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2－4ac＝16－8c＞0，∴c＜2.
(2)∵抛物线y＝2x2－4x＋c的对称轴为直线x＝1，
∴A(2，m)和B(3，n)都在对称轴的右侧．
当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴m＜n.
【拔高训练】
11．C 12.D 13.B
14．－6＜M＜6 15.②③④
16．解：(1)由题意可设抛物线解析式为y＝a(x－4)2－3(a≠0)．
把A(1，0)代入得0＝a(1－4)2－3，
解得a＝，
故该二次函数解析式为y＝(x－4)2－3.
(2)令x＝0，则y＝(0－4)2－3＝，
则OC＝.
∵二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，A(1，0)，点B与点A关于直线x＝4对称，
∴B(7，0)，∴OB＝7，
∴tan∠ABC＝＝＝，即tan∠ABC＝.
(共15张PPT)
第五节 二次函数的图象与性质
考点一 二次函数的图象与性质 (5年2考)
命题角度? 判断函数图象
例1 (2018·青岛中考)已知一次函数y＝ x＋c的图象如图，则二次函数y＝ax2＋bx＋c在平面直角坐标系中的图象可能是( )
【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出 ＜0，c＞0，由此即
可得出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴x＝－ ＞0，与y轴的交
点在y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【自主解答】观察一次函数图象可知 ＜0，c＞0，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴x＝－ ＞0，与y轴的交点在y轴
正半轴．故选A.
命题角度? 二次函数的对称性、最值、增减性
例2 (2018·成都中考)关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的
是( )
A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为－3
【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【自主解答】∵y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3，
∴当x＝0时，y＝－1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x＝－1，故选项B错误，
当x＜－1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x＝－1时，y取得最小值，此时y＝－3，故选项D正确，
故选D.
命题角度? 二次函数图象与系数a，b，c的关系
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图象如图所示，顶点为(－1，0)，下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＝0；③a＞2；④4a－2b＋c＞0.其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数的图象逐个分析即可得出答案．
【自主解答】由抛物线图象可知a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，∴结论①不正确；
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝b2－4a(c＋2)＝0，∴b2－4ac＝8a＞0，
∴结论②不正确；
∵b2－4ac＝8a，∴4a2－4ac＝8a，∴a＝c＋2.
∵c＞0，∴a＞2，∴结论③正确；
∵对称轴是x＝－1，而且x＝0时，y＞2，
∴x＝－2时，y＝4a－2b＋c＋2＞2，
∴4a－2b＋c＞0，∴结论④正确．故选B.
考点二 确定二次函数的表达式 (5年4考)
例4 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴交于点C(0，－6)，与x轴交于点A(－2，0)，B.求二次函数解析式．
【分析】根据题意，点A，C的坐标满足二次函数解析式，从而代入列方程组可确定其解析式．
【自主解答】解：将点A(－2，0)，C(0，－6)代入二次函数解析式得
∴二次函数解析式为y＝x2－x－6.
求二次函数表达式的方法
(1)待定系数法： 若已知任意三点坐标，则设一般式； 若已知顶点坐标，则设顶点式； 若已知与x轴交点坐标，则设交点式．
(2)图象法： 化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定a，h，k，求出变化后的表达式，如平移变换a不变；关于x轴对称后变为y＝－a(x－h)2－k；关于y轴对称后变为y＝a(x＋h)2＋k；绕顶点旋转180°后变为y＝－a(x－h)2＋k；绕原点旋转180°后变为y＝－a(x＋h)2－k.
1．(2019·哈尔滨中考)将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )
A．y＝2(x＋2)2＋3 B．y＝2(x－2)2＋3
C．y＝2(x－2)2－3 D．y＝2(x＋2)2－3
2．已知二次函数图象的顶点为(2，4)，与y轴的交点为(0，0)，求该二次函数的解析式．
解：∵该二次函数的图象的顶点为(2，4)，
∴设该二次函数解析式为y＝a(x－2)2＋4，
将点(0，0)代入得
a(0－2)2＋4＝0，
解得a＝－1，
∴该二次函数解析式为y＝－(x－2)2＋4.
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点(0，3)．
求该二次函数的解析式．
解：∵二次函数与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)，
∴设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
将点(0，3)代入得
a(0＋1)(0－3)＝3，
解得a＝－1，
∴二次函数解析式为y＝－(x＋1)(x－3)，
即y＝－x2＋2x＋3.
考点三 二次函数与方程、不等式的关系 (5年3考)
例5 (2017·青岛中考)若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是________．
【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系，根据一元二次方程根的判别式Δ＜0列不等式求解即可．
【自主解答】∵抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，
∴Δ＝(－6)2－4m＜0，解得m＞9，
∴m的取值范围是m＞9.故答案为m＞9.
4．(2016·青岛中考)已知二次函数y＝3x2＋c与正比例函数y＝4x的图象
只有一个交点，则c的值为________．
5．(2019·济宁中考)如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A
(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c>n的解集是___________．
x<－3或x>1
要题随堂演练
1．(2017·青岛中考)青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
淡季 旺季
未入住房间数 10 0
日总收入(元) 24 000 40 000
(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？
2．(2019·市南区二模)如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y＝－x＋5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y＝－x2＋bx＋c表示．
INCLUDEPICTURE"19QDSXJ-43.TIF" INCLUDEPICTURE "19QDSXJ-43.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE"19QDSXJ-44.TIF" INCLUDEPICTURE "19QDSXJ-44.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求抛物线的函数关系式(不必写自变量取值范围)；
(2)求水柱离坡面AB的最大铅直高度；
(3)在斜坡上距离A点2米的C处有一棵3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？
3．(2019·东营中考)已知抛物线y＝ax2＋bx－4经过点A(2，0)，B(－4，0)，与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为点D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
INCLUDEPICTURE"19QDSXJ-45.TIF" INCLUDEPICTURE "19QDSXJ-45.TIF" \* MERGEFORMAT
图1
INCLUDEPICTURE"19QDSXJ-46.TIF" INCLUDEPICTURE "19QDSXJ-46.TIF" \* MERGEFORMAT
图2
参考答案
1．解：(1)设该酒店豪华间有x间，淡季每间价格为y元，则旺季每间价格为(1＋)y元．
由题意可得解得
∴(1＋)y＝800.
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元．
(2)设该酒店豪华间的价格上涨x元时，豪华间的日总收入为y元．由题意可得
y＝(800＋x)(50－)＝－(x－225)2＋42 025，
∴当x＝225时，y最大为42 025.
答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入为42 025元．
2．解：(1)∵AB＝10，∠OAB＝30°，
∴OB＝AB＝5，OA＝ABcos∠OAB＝10×＝5.
∴A(5，0)，B(0，5)，
将A，B坐标代入y＝－x2＋bx＋c，
得，
解得
∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋5.
(2)水柱离坡面的铅直高度d＝－x2＋x＋5－(－x＋5)
＝－x2＋x
＝－(x2－5x)
＝－(x－)2＋，
∴当x＝时，水柱离坡面的铅直高度最大，最大铅直高度为.
INCLUDEPICTURE"19QDSXJ-79.TIF" INCLUDEPICTURE "19QDSXJ-79.TIF" \* MERGEFORMAT
(3)如图，过点C作CD⊥OA于点D，
∵AC＝2，∠OAB＝30°，
∴CD＝1，AD＝，∴OD＝4，
当x＝4时，y＝－×(4)2＋×4＋5＝5>1＋3.5，
∴水柱能越过树．
3．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－4经过点A(2，0)，B(－4，0)，
∴解得
∴这条抛物线的解析式为y＝x2＋x－4.
(2)如图1，连接OP，设点P(x，x2＋x－4)，其中－4INCLUDEPICTURE"19QDSXJ-80.TIF" INCLUDEPICTURE "19QDSXJ-80.TIF" \* MERGEFORMAT
图1
∴S＝S△AOC＋S△OCP＋S△OBP
＝×2×4＋×4(－x)＋×4×(－x2－x＋4)
＝4－2x－x2－2x＋8
＝－x2－4x＋12
＝－(x＋2)2＋16.
∵－1＜0，开口向下，S有最大值，
∴当x＝－2时，四边形ABPC的面积最大，
此时y＝x2＋x－4＝－4，即P(－2，－4),
∴当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为(－2，－4)．
(3)∵y＝x2＋x－4＝(x＋1)2－，
∴顶点M(－1，－)．
如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．
设直线AM的函数解析式为y＝kx＋b，且过点A(2，0)，M(－1，－)，
根据题意得解得
∴直线AM的函数解析式为y＝x－3.
在Rt△AOC中，AC＝＝＝2.
INCLUDEPICTURE"19QDSXJ-81.TIF" INCLUDEPICTURE "19QDSXJ-81.TIF" \* MERGEFORMAT
图2
∵D为AC的中点，
∴AD＝AC＝.
∵△ADE∽△AOC，
∴＝，
∴＝，∴AE＝5，∴OE＝AE－AO＝5－2＝3，
∴E(－3，0)．
由图可知D(1，－2)，
设直线DE的函数解析式为y＝mx＋n，且过D(1，－2)，E(－3，0)，
根据题意得解得
∴直线DE的函数解析式为y＝－x－.
由得
∴G(，－)，
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G(，－)．
第六节 二次函数的应用
姓名：______ 班级：______ 用时：______分钟
1．(2019·云南中考INCLUDEPICTURE"真题押真题.tif" INCLUDEPICTURE "真题押真题.tif" \* MERGEFORMAT )某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如图所示：
(1)求y与x的函数表达式(也称关系式)；
(2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．
INCLUDEPICTURE"20BZFJSXW425.TIF" INCLUDEPICTURE "20BZFJSXW425.TIF" \* MERGEFORMAT
2．(2019·胶州市、平度市、黄岛区一模)某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：
销售单价x(元) 85 95 105 115
日销售量y(个) 175 125 75 25
日销售利润w(元) 875 1 875 1 875 875
[注：日销售利润＝日销售量×(销售单价－成本单价)]
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售单价x为多少元时，日销售利润w最大？最大利润是多少元？
(3)当销售单价x为多少元时，日销售利润w在1 500元以上？(请直接写出x的范围)
3.(2019·崂山区二模)某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为4.5 m，宽度OP为6米，现以地面(OP所在的直线)为x轴建立平面直角坐标系(如图1所示)．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)如图所示，公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的长度为多少米？
(3)为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架”ABCD(由四根木杆AB－BC－CD－DA组成)，使B，C两点在抛物线上，A，D两点在地面OP上(如图2所示)．请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆．
4．(2019·荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为(6，0)，(4，3)，经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为(1，0)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE＋PF的值最小时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
INCLUDEPICTURE"20ZT16DSSX487.TIF" INCLUDEPICTURE "20ZT16DSSX487.TIF" \* MERGEFORMAT
参考答案
1．解：(1)当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
根据题意得解得
∴y＝－200x＋2 200.
当10＜x≤12时，y＝200.
综上所述，y与x的函数解析式为
y＝
(2)由已知得W＝(x－6)y.
当6≤x≤10时，
W＝(x－6)(－200x＋2 200)＝－200(x－)2＋1 250.
∵－200＜0，抛物线图象开口向下，
∴当x＝时，W取最大值，
∴W最大＝1 250.
当10＜x≤12时，W＝(x－6)·200＝200x－1 200.
∵y随x的增大而增大，
∴当x＝12时，W取得最大值，W最大＝200×12－1 200＝1 200.
综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为 1 250 元．
2．解：(1)∵y与x的函数关系是一次函数，
∴设y＝kx＋b，
将x＝85，y＝175；x＝95，y＝125代入y＝kx＋b，
得解得
∴y＝－5x＋600.
答：y与x的函数关系式为y＝－5x＋600.
(2)设成本单价为p元．
由题意，得175×(85－p)＝875，
解得p＝80，
则w＝(x－80)y
＝(x－80)(－5x＋600)
＝－5(x－100)2＋2 000.
∵a＝－5<0，
∴抛物线开口向下，w有最大值．
∵顶点坐标为(100，2 000)，
∴当x＝100时，w取得最大值，Wmax＝2 000，
答：当销售单价x为100元时，日销售利润w最大，最大利润是2 000元．
(3)90元3．解：(1)由题意知抛物线的顶点坐标为(3，4.5)，则
设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋4.5，
∵抛物线上有一点(6，0)，
∴0＝9a＋4.5，
∴a＝－，
∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)2＋4.5, 即y＝－x2＋3x(0≤x≤6)．
(2)当y＝3时，－x2＋3x＝3，
解得x1＝3－，x2＝3＋，
∴该横幅的长度为(3＋)－(3－)＝2(米)．
答：该横幅的长度为2 米．
(3)设B(x，y)，
∴B(x，－x2＋3x)，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝－x2＋3x，
根据抛物线的轴对称性，可得OA＝DP＝x，
∴AD＝6－2x，即BC＝6－2x，
∴令L＝AB＋BC＋DC＋AD＝2(－x2＋3x)＋2(6－2x)＝－(x－1)2＋13，
∴当x＝1，L最大值为13，
∴AB、BD、DC、AD的长度之和最大值为13米．
答：最多需要准备13米该种木杆．
4．解：(1)∵在平行四边形OABC中，A(6，0)，C(4，3)，
∴BC＝OA＝6，BC∥x轴，
∴xB＝xC＋6＝10，yB＝yC＝3，即B(10，3)．
设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，将B，C，D三点代入得
解得
∴抛物线解析式为y＝－x2＋x－.
(2)如图，作点E关于x轴的对称点E′，连接E′F交x轴于点P.
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∵C(4，3)，
∴OC＝＝5.
∵BC∥OA，
∴∠OEC＝∠AOE.
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE，
∴∠OEC＝∠COE，
∴CE＝OC＝5，
∴xE＝xC＋5＝9，即E(9，3)，
∴直线OE的解析式为y＝x.
∵直线OE交抛物线对称轴于点F，
对称轴为直线x＝－＝7，
∴F(7，)．
∵点E与点E′关于x轴对称，点P在x轴上，
∴E′(9，－3)，PE＝PE′，
∴当点F，P，E′在同一直线上时，PE＋PF＝PE′＋PF＝FE′最小．
设直线E′F的解析式为y＝kx＋h，
∴解得
∴直线E′F的解析式为y＝－x＋21.
当－x＋21＝0时，解得x＝，
∴当PE＋PF的值最小时，点P坐标为(，0)．
(3)存在．点M坐标为(3，)，(11，)或(7，4)．
(共34张PPT)
第六节 二次函数的应用
考点一 二次函数的实际应用
命题角度? 销售、利润问题
例1 (2019·青岛中考)某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
【分析】(1)将点(30，100)、(45，70)代入一次函数表达式，即可求解；(2)由题意得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1 250，即可求解；(3)由题意得(x－30)(－2x＋160)≥800，解不等式即可得到结论．
【自主解答】解：(1)设y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
将点(30，100)，(45，70)代入一次函数关系式得
故函数的表达式为y＝－2x＋160.
(2)由题意得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1 250.
∵－2＜0，∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
又∵30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时w＝1 200.
故销售单价定为50元时，该商店每天的利润最大，最大利润为1 200元．
(3)由题意得：(x－30)(－2x＋160)≥800，
解得：40≤x≤70，
∴每天的销售量y＝－2x＋160≥20，
∴每天的销售量最少应为20件．
利用二次函数求最大利润的方法
利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面．此类问题一般是先运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式，求出这个函数关系式的最大值，即求得的最大利润．
1．(2018·青岛中考)某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品．公司按订单生产(产量＝销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y＝－x＋26.
(1)求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式；
(2)该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
(3)第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
解：(1)W1＝(x－6)(－x＋26)－80＝－x2＋32x－236.
(2)由题意得20＝－x2＋32x－236，
解得x＝16.
答：该产品第一年的售价是16元/件．
(3)由题意得
解得14≤x≤16.
W2＝(x－5)(－x＋26)－20＝－x2＋31x－150.
∴当x＝14或16时，W2有最小值．
∵当x＝14时，W2＝－142＋31×14－150＝88(万元)，
当x＝16时，W2＝－162＋31×16－150＝90(万元)，
∴当x＝14时，利润W2最小，最小值为88万元．
答：该公司第二年的利润W2至少为88万元．
命题角度? 抛物线型实际问题
例2 (2015·青岛中考)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形
的长是12 m，宽是4 m，按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝
－ x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m，到地面
OA的距离为 m.
(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【分析】(1)先求出抛物线的函数关系式，再利用配方法转化为顶点式，确定出点D到地面OA的距离；(2)先确定货运汽车最外侧与地面OA的交点，然后求出对应的函数值即可判断；(3)计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．
【自主解答】解：(1)由题意知点B(0，4)， 在抛物线上，
∴当x＝6时，y最大＝10，
∴拱顶D到地面OA的距离为10 m.
(2)由题意知，当车在双向车道靠内侧行驶时，车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)．
当x＝2或x＝10时，
∴可以安全通过．
(3)由图知当高度为8 m时，水平距离最小，
解抛物线型实际问题的注意事项
(1)解题的关键：进行二次函数建模，依据题意，建立合适的平面直角坐标系，并利用抛物线的性质解决问题．
(2) 解题技巧：所建立的坐标系能使所设的表达式形式最简．
(3)注意问题：①题意分析不透，不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确，导致解题错误；②忽视了自变量的取值范围，造成错解．
2．(2018·滨州中考)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
解：(1)当y＝15时，有－5x2＋20x＝15，
化简得x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或3.
答：飞行时间是1 s或者3 s.
(2)飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y＝0，
∴0＝－5x2＋20x，解得x＝0或4，
∴小球从飞出到落地所用时间是4－0＝4 (s)．
(3)当 时，小球的飞行高度最大，
最大高度为20 m.
考点二 二次函数的综合应用
例3 (2018·济宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)经过点A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】(1)已知A，B两点坐标，可得y＝a(x－3)(x＋1)，再将点C坐标代入即可解得；
(2)过点A作AM⊥BC，与y轴交于点N，利用全等三角形求出点N的坐标，再利用待定系数法求出直线AM的表达式，同理可求出直线BC的表达式，联立求出M坐标即可；
(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可．
【自主解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(3，0)，B(－1，0)，
∴y＝a(x－3)(x＋1)．
又∵抛物线经过点C(0，－3)，
∴－3＝a(0－3)(0＋1)，
解得a＝1，
∴抛物线的表达式为y＝(x－3)(x＋1)，
即y＝x2－2x－3.
(2)如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，AM交y轴于点N，
∴∠BAM＋∠ABM＝90°.
在Rt△BCO中，∠BCO＋∠ABM＝90°，
∴∠BAM＝∠BCO.
∵A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)，
∴AO＝CO＝3，OB＝1.
又∵∠BAM＝∠BCO，∠BOC＝∠AON＝90°，
∴△AON≌△COB，
∴ON＝OB＝1，
∴N(0，－1)．
设直线AM的函数表达式为y＝kx＋b，
(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形．
设Q(t，0)，P(m，m2－2m－3)．
分两种情况考虑：
当四边形BCQP为平行四边形时，
由B(－1，0)，C(0，－3)，
当四边形BCPQ为平行四边形时，
由B(－1，0)，C(0，－3)，
根据平移规律得－1－t＝0－m，0－0＝－3－(m2－2m－3)，
解得m＝0或2.
当m＝0时，P(0，－3)(舍去)；当m＝2时，P(2，－3)．
综上所述，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐
标为
3．(2019·泰安中考)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)，B(0，－2)，且过点C(2，－2)．
(1)求二次函数表达式；
(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(0，－2)，
∴c＝－2.
又∵抛物线过点(3，0)，(2，－2)，
(2)如图，连接PO，设点
(3)设直线AB的表达式为y＝kx＋n.
∵直线AB过点A(3，0)，B(0，－2)，
设存在点M满足题意，点M的坐标为
如图，过点M作ME⊥y轴，垂足为点E，作MD⊥x轴交AB于点D，则D的坐标为
∵MD∥y轴，
∴∠ABO＝∠MDB.
又∵∠ABO＝∠ABM，
∴∠MDB＝∠ABM，
∴MD＝MB，
