人教版九年级数学下册27．2．1《相似三角形的判定（3）》 课件 （共28张PPT）

(共28张PPT)
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定（3）
--------角角判定法
人教版数学九年级下册


甘肃省永昌县第六中学教师 勾延天

1
2
学习目标
掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法；
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
（2）方法2：平行法
符号语言：
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
知识回顾
（1）方法1：定义法（不常用）
符号语言：
∵∠A=∠D, ∠B= ∠E, ∠C= ∠F
∴△ABC∽△DEF
我们学过哪些判定三角形相似的方法？
∴△ABC∽△DEF
∠A=∠D
∴△ABC∽△DEF
（3）方法3：三边法（三边成比例的两个三角形相似）
符号语言：
（4）方法4：两边夹角法（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
符号语言：
大家一起画一个三角形 ，三个角分别为60°、45°、75°，大家画出的三角形相似吗?同桌的同学，通过测量对应边的长度进行比较。
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______。
相似
探究1


在△ABC 与△A'B'C'中，如果满足∠B=∠B＇，∠C=∠C＇，那么能否判定这两个三角形相似？
猜想：△ABC∽△A'B'C'
*
已知：如图在⊿ABC和⊿A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
求证：△ABC和△A′B′C′相似
B
A
C
A′
B′
C′
D
E
证明：在A′B′上截取A′D=AB，过点D作DE∥B′C′交A′C′与点E，
∵DE∥B'C'，
∴△A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE=∠B′，
∵∠B=∠B′ ∴∠B=∠A′DE
∵A′D=AB， ∠A=∠A′
∴△ABC≌△A′DE（ASA）
∴△ABC∽△A′B′C′
C
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
判定定理3：
两角分别相等的两个三角形相似
总结归纳
结论：一角对应相等的两个三角形不一定相似。
下列图形中两个三角形是否相似？
(1)
(2)
(3)
(4)
基础演练
已知：DE∥BC，EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
证明: ∵ DE∥BC，
∴∠A＝∠CEF （两直线平行，同位角相等）
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△EFC（两个角分别相等的两个三角形相似）
∵EF∥AB
如图，C是线段BD上的一点，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥EC.
求证：△ABC∽△CDE.
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD
∴∠ABC=∠CDE=90°
∴∠1+∠A=90°
∵AC⊥EC
∴∠1+∠2=90°
∴∠A=∠2(同角的余角相等)
∴△ABC∽△CDE
解： ∵ ED⊥AB
∴ ∠ EDA=90 °
又∵ ∠ C=90 °
∴ ∠ EDA=∠ C
又∵ ∠ A= ∠ A
∴ △AED ∽ △ABC


直角三角形相似判定定理
知识点2
我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=90°，∠C'=90°， ，
求证：Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.
分析：要证Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.
可设法证
若设
则只需证


证明：设 ，
则AB=kA'B'，AC=kA'C'
由勾股定理得
∴
∴
∴
Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.


符号语言：
在Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1中.
∴△ABC∽△A1B1C1.
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例， 那么这两个直角三角形相似。
∵
例4：如图，弦AB和CD相交于圆O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD
证明：连接AC、BD。
∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，
∴∠ A=∠D。
∵∠APC＝∠DPB
∴△PAC∽△PDB。
∴
A
B
C
D
P
O·
即PA·PB=PC·PD
例5.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °则AD·AB= AE·AC
85°
35°
60°
85°
1. 过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形△ADE与△ABC相似，这样的直线有几条？
C
D ●
Ａ
Ｂ
D ●
Ａ
Ｂ
C
E
E
练习
B
C
A
D
E
E
B
C
A
D
∴ △ ADE∽ △ABC
∴ △AED∽ △ABC
∵∠A=∠A
∠AED=∠C
∵∠A=∠A
∠AED=∠B
①作DE，使∠AED=∠C
②作DE，使∠AED=∠B
有两种情况：
分析


2.如图△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于点D，求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵AB=AC，∠A=36°, BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC.
在△ABC和△BDC中,
∠A=∠DBC，∠C=∠C.
∴△ABC∽△BDC.
3.如图，AD是Rt△ABC的斜边上的高. 若AB=4 cm，BC=10 cm，求BD的长.
解：∵AD⊥BC,∠BAC=90°,
∴∠ADB=∠CAB.
∴△ABD∽△CBA,
即 ,
BD=1.6(cm).
∴


综合应用
4.如图，△ABC中，D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16.
（1）求证：△ABC∽△DAC;
（2）求CD的长.
（1）证明：∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C,
∴△ABC∽△DAC.


（2）解：∵△ABC∽△DAC，
∴CD=4.


4.如图，△ABC中，D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16.
（2）求CD的长.
相似三角形判定方法
1、（简称：定义法）对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形。
2、简称：平行法）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
3、(简称：三边法）：三边成比例的两个三角形相似.
4、(简称：两边夹角法）：两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似.
5、(简称：两角法）：两角分别相等的两个三角形相似．
归纳小结
布置作业
同学们，再见！