湘教版八年级数学下册全册导学案（PDF版 含答案）

第 1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第 1课时 直角三角形的性质和判定
【学习目标】
1．掌握直角三角形两个锐角互余的性质．
2．会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形．
3．理解和掌握直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”．
【学习重点】
直角三角形性质和判定的探究及应用．
【学习难点】
直角三角形性质的探索过程．



行为提示：从实际问题入手，激发探究新知兴趣．


提示：看书独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．



学习笔记：情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．什么叫直角三角形？直角三角形的内角和是多少？
解：有一个角是直角的三角形叫直角三角形；它的内角和是 180°.
2．直角三角形除了有一个角是直角这条性质外还有没有别的性质呢？还有没有其他方法判定一个三角形是否
是直角三角形呢？这节课我们来探究这些问题．
自学互研 生成能力
知识模块一 直角三角形的性质
【自主探究】

阅读教材 P2说一说：回答：如图在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，则∠B＋∠C＝90°．
【合作探究】

如图(1)在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，∠A＝40°，则∠BCD＝40°．
如图(2)在△ABC 中，∠B＝50°，高 AD，CE 交于点 H，则∠AHC＝130°．
归纳：性质定理：直角三角形的两个锐角互余．
知识模块二 直角三角形的判定
【自主探究】
阅读教材 P2议一议：完成：在△ABC 中，若∠A＋∠B＝90°，判定△ABC 的形状．
解：∵∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝180°－90°＝90°，∴△ABC 是直角三角形．


【合作探究】
如图，AB∥CD，∠A 和∠C 的平分线相交于点 H.那么△AHC 是直角三角形吗？为什么？
解：△AHC 是直角三角形．理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠DCA＝180°.又∵AH，CH 是∠A，∠C
的平分线，∴∠2＝
1
2
∠BAC，∠1＝
1
2
∠DCA，∴∠1＋∠2＝
1
2
(∠BAC＋∠DCA)＝90°，∴∠H＝180°－(∠1＋
∠2)＝90°，∴△AHC 是直角三角形．
归纳：判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．


学习笔记：












行为提示：按照要求做，养成良好的习惯，你距离成功就不远了．









学习笔记：
















及时总结所学知识，养成梳理知识的良好习惯，受益终身.知识模块三 直角三角形斜边上的中线的性质定理

【自主探究】
阅读教材 P3探究：动手操作一下，你会发现什么结论？
归纳：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
【合作探究】
1．教材 P4例 1.

2．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的中线，将△ACD 沿 AC 边折叠，使点 D 落在点
E 处．
求证：EC∥AB.
证明：∵△ACD 沿 AC 边折叠，∴△ADC≌△AEC，∴∠ACE＝∠ACD.
∵CD 是 AB 边上的中线且∠ACB＝90°，∴CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD，
∴∠ACE＝∠CAD，∴EC∥AB.



交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 直角三角形的性质
知识模块二 直角三角形的判定
知识模块三 直角三角形斜边上的中线的性质定理
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________




第 2课时 有一个锐角是 30°的直角三角形的性质和判定
【学习目标】
1．进一步掌握直角三角形的性质——直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半．
2．能利用直角三角形的性质解决一些实际问题．
【学习重点】
直角三角形性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【学习难点】
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．直角三角形有哪些性质？
解：(1)两锐角互余；(2)斜边上的中线等于斜边的一半．
2．已知，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 边上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝70°．
自学互研 生成能力
知识模块一 含30°角的直角三角形的性质
【自主探究】
阅读教材 P4动脑筋，完成下列练习：
已知直角三角形中 30°角所对的直角边长为 6 则斜边上的中线为( A )
A．6 cm B．8 cm C．12 cm D．24 cm
归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【合作探究】

如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为 AB 的垂直平分线，EF交 BC 于点 F，交 AB 于点 E，
求证：BF＝
1
2
FC.

证明：如图，连接 AF.∵EF是 AB 的垂直平分线，∴BF＝AF，∠B＝∠FAB.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴
∠B＝∠C＝
1
2
(180°－∠BAC)＝30°，∴∠FAB＝∠B＝30°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝120°－30°＝90°，
∴在△ACF中，∠C＝30°，∠CAF＝90°，∴AF＝
1
2
FC，∴BF＝
1
2
FC.
知识模块二 含30°角的直角三角形的判定
【自主探究】
阅读教材 P5动脑筋，完成下列内容：
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝6，则∠B＝60°．
归纳：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°．
【合作探究】
如图，△ABC 的边 AB 的垂直平分线 DE 分别交 AB，BC 于点 D，E，AE 平分∠BAC，若∠B＝30°，求证：
BE＝2EC.

证明：∵DE 垂直平分 AB，∴BE＝AE，∴∠B＝∠BAE＝30°.又∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝
30°，∴∠C＝90°，∴BE＝AE＝2EC.


知识模块三 含 30°角的直角三角形的性质和判定的应用
【自主探究】
阅读教材 P5例 2，完成下列内容：

如图，∠ACB＝90°，AC＝
1
2
AB，CE⊥AB，AE＝ED，图中 30°的角有( D )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【合作探究】
已知：如图，在△ABC 中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，M，D 分别为 AB，MB 的中点．求证：CD⊥AB.

证明：∵∠ACB＝90°，M 为 AB 的中点，∴CM＝
1
2
AB.∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴CB＝
1
2
AB，∴CM
＝CB.∵D 为 MB 的中点，∴CD⊥BM，即 CD⊥AB.

分析：根据直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
得到 CM＝CB.再根据等腰三角形的性质证明即可．
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 含 30°角的直角三角形的性质
知识模块二 含 30°角的直角三角形的判定
知识模块三 含 30°角的直角三角形的性质和判定的应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

1．2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第 1课时 勾股定理
【学习目标】
1．理解勾股定理及其推导过程．
2．会用“勾股定理”解决简单的几何问题．

【学习重点】
勾股定理及其应用．
【学习难点】
勾股定理的推导与证明．
情景导入 生成问题
旧知回顾：

做一做：(1)自己动手作一个直角三角形，使它的两条直角边分别为 3 cm 和 4 cm，请量出斜边的长度；
(2)分别以上图所作直角三角形的三边长为边向外作正方形(可参照右图)，那么，这三个正方形的面积有什么
关系呢？是否所有的直角三角形都有这个性质呢？

解：(1)斜边长为 5 cm.(2)两个小正方形的面积和等于大正方形的面积．
自学互研 生成能力
知识模块一 勾股定理
【自主探究】
阅读教材 P10探究，完成下列内容：

如图所示，a，b，c 分别表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是( C )
A．a2＋b2＝c2 B．ab＝c
C．a＋b＝c D．a＋b＝c2
归纳：直角三角形两直角边 a，b 的平方和，等于斜边 c 的平方，即 a2＋b2＝c2．
【合作探究】

1．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝15，则两个正方形的面积和为( A )
A．225 B．200
C．150 D．无法确定
2．等腰三角形 ABC 中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则 BC 边上的高是 8cm.
知识模块二 利用勾股定理进行相关证明
【自主探究】

如图，已知△ABC 是腰长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰直角三角
形 ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画等三个等腰直角三角形 ADE，…，依此类推，则第 2 016 个等
腰直角三角形的斜边长是( 2)2__016．

【合作探究】
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.
证明：连接 AC.∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，
∴AB2＋BC2＝2AB2，∴AB＝BC.
知识模块三 勾股定理的应用
【自主探究】
阅读教材 P11例 1，完成下列内容：

如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7 cm，则
正方形 a，b，c，d 的面积和是( D )
A．1 cm2 B．16 cm2 C．9 cm2 D．49 cm2
分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面
积．
【合作探究】
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，CD⊥AB，垂足为 D.


(1)求斜边 AB 的长；
(2)求△ABC 的面积；
(3)求 CD 的长．
解：(1)在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，∴AB＝ AC2＋BC2＝ 152＋202＝25；(2)S△ABC＝
1
2
AC·BC＝
1
2
×15×20＝150；(3)∵CD 是边 AB 上的高，∴
1
2
AB·CD＝
1
2
BC·AC，解得 CD＝12.
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 勾股定理
知识模块二 利用勾股定理进行相关证明
知识模块三 勾股定理的应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

第 2课时 勾股定理的实际应用
【学习目标】
1．会用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值．
2．经历“问题——数学建模——问题解决”的过程，培养分析，解决问题的能力．
【学习重点】
应用勾股定理解决有关问题．
【学习难点】
灵活应运勾股定理有关知识解决问题．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．已知直角三角形的两边长为 3 和 4，则第三边的长为 5 或 7．

2．如图，△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，E 是 AC 的中点，若 AD＝6，DE＝5，则 CD 的长等于 8．
自学互研 生成能力
知识模块一 直接利用勾股定理解决实际问题
【自主探究】
阅读教材 P12动脑筋，完成下列内容：
将一根长 24 cm 的筷子，置于底面直径为 5 cm，高为 12 cm 的圆柱体水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的
长为 h cm，则 h 的取值范围是( A )
A．11≤h≤12 B．11≤h≤24
C．11【合作探究】
一架长 2.5 m 的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AC 上，这时梯足 B 到墙底端 C 的距离为 0.7 m.
(1)此时梯子顶端 A 距离地面多高？
(2)若梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m，那么梯足 B 是否也外移了 0.4 m?


解：(1)AB2－BC2＝AC2，∴AC2＝2.52－0.72，AC＝2.4，即梯子顶端 A 距离地面 2.4 m；
(2)∵DE＝2.5，EC＝2.4－0.4＝2，∴DC2＝DE2－EC2＝2.25，∴DC＝1.5，∴DC－BC＝1.5－0.7＝0.8 m，∴
梯足 B 向外移动了 0.8 m.
知识模块二 利用勾股定理列方程求解
【自主探究】
阅读教材 P12例 2，完成下列内容：
已知直角三角形的周长为 36 cm，斜边上的中线长为 7.5 cm，则三边长分别为 9__cm，12__cm，15__cm．
【合作探究】
用一条 24 cm 长的铁丝弯成一个直角三角形的模型，要使它的一条直角边比另一条直角边短 2 cm，应怎样弯？
三边为 6 cm，8 cm，10 cm
分析：勾股定理三个量，如果条件中只有一个已知量，通常需要设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，利
用勾股定理列方程求解．
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 直接利用勾股定理解决实际问题
知识模块二 利用勾股定理列方程求解
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

第 3课时 勾股定理的逆定理
【学习目标】
1．探索并掌握直角三角形判别的方法，探索勾股定理逆定理．
2．会应用勾股定理的逆定理判别一个三角形是否是直角三角形．
【学习重点】
理解和应用直角三角形的判定方法．
【学习难点】
理解勾股定理的逆定理．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
勾股定理：直角三角形两直角 a，b 的平方和，等于斜边 c 的平方，即 a2＋b2＝c2.你能写出它的逆命题吗？它
的逆命题是否正确？下面我们就来研究这个问题．
自学互研 生成能力
知识模块一 探究勾股定理的逆定理
【自主探究】
阅读教材 P14探究，完成下面内容：

三角形的三边长 a，b，c 满足(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是( C )
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a，b，c 满足关系：a2＋b2＝c2，那么，这个三角形是直角
三角形．
【合作探究】
阅读教材 P15例 3，完成下列内容：

1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( B )
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1， 2，3
2．什么是勾股数？常见的勾股数有哪些？
解：如果较小两个数的平方和等于第三个数的平方，那么这三个数是勾股数，常见的勾股数有 3，4，5；6，
8，10；5，12，13 等．
知识模块二 勾股定理逆定理的应用
【自主探究】
阅读教材 P15例 4，完成下列内容：
如图，在△ABC 中，已知 AB＝25，BD＝7，AD＝24，AC＝30，求 DC 的长．

解：∵在△ABD 中，AB＝25，BD＝7，AD＝24.又∵72＋242＝252，即 BD2＋AD2＝AB2，∴△ABD 是直角三
角形，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴在 Rt△ADC 中 ，DC2＝AC2－AD2，∴DC＝ AC2－AD2＝
30
2－242＝18.


【合作探究】
1．如图，E，F 分别是正方形 ABCD 中 BC 和 CD 边上的点，且 AB＝4，CE＝
1
4
BC，F 为 CD 的中点，连接
AF，AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由．

解：△AEF 为直角三角形，理由： 由勾股定理可得 AE2＝25，EF2＝5，AF2＝20，∴AE2＝AF2＋EF2，∴△
AEF 为直角三角形．
2．如图所示的一块草地，已知 AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝12 m，BC＝13 m，且∠CDA＝90°，求这块草地
的面积．

解：连接 AC，在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AC2＝AD2＋DC2，AC2＝32＋42，即 AC＝5 m．又 AC2＋
AB
2＝52＋122＝169＝132＝BC2.由勾股定理的逆定理知△ABC 是直角三角形，且∠CAB 为直角．所以这块草地面
积为：S△ABC－S△ADC＝
1
2
·AB·AC－
1
2
·AD·DC＝
1
2
×12×5－
1
2
×4×3＝24(m2)．
归纳：判定一个三角形是否是直角三角形的方法通常有：①三角形中若有一个角是直角，那么这个三角形是
直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③若三角形的三边长满足关系：a2＋b2＝c2，则此三角形是
直角三角形．
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 探究勾股定理的逆定理
知识模块二 勾股定理逆定理的应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

1．3 直角三角形全等的判定
【学习目标】
1．已知斜边和直角边会作直角三角形．
2．熟练掌握“斜边、直角边公理”，以及熟练利用这个公理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角
形全等．
3．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．
【学习重点】
“斜边，直角边公理”的掌握和灵活运用．
【学习难点】
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．判定两个三角形全等的方法有哪些？
解：SAS，AAS，ASA，SSS.
2．判定两个三角形全等需要三个条件，那么判定两个直角三角形全等需要哪几个条件呢？
除上述条件外，斜边，直角边对应的两个直角三角形全等．
自学互研 生成能力


知识模块一 直角三角形全等的判定
【自主探究】
阅读教材 P19 探究，完成下列内容：图 1－22 中两个三角形全等的理由是：根据勾股定理，由直角三角形的
两边相等，从而得出第三边也相等．利用 SSS 证明两个三角形全等．从而得出直角三角形全等的判定定理．
归纳：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等．
【合作探究】
1．如图，AB＝AC，BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E，则图中全等三角形对数为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
,(第 1题图)) ,(第 2题图))
2．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD 相交于 O，如果 AC＝BD，那么下列结论：①AD＝BC；②∠DAC
＝∠CBD；③OC＝OD.其中正确的有( A )
A．①②③ B．①② C．②③ D．③
知识模块二 “HL”定理的应用
【自主探究】

阅读教材 P20例 1，完成下列内容：
如图，已知∠C＝∠D＝90°，若添加条件 AD＝BC 或 BD＝AC，由“HL”可得△ABD≌△BAC；若添加条件
∠DBA＝∠CAB 或∠DAB＝∠CBA，由“AAS”可得△ABD≌△BAC.
【合作探究】
已知：如图，在△ABC 中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点 D，E，BD，CE 交于 O 点，且 BD＝CE，求
证：OB＝OC.
点拨：通过证三角形全等，达到证明线段和角相等的目的．

证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.∴在 Rt△BCE 和 Rt△CBD 中，
??
?
??CE＝BD，
BC＝CB，
∴Rt△
BCE≌Rt△CBD(HL)，∴∠OCB＝∠OBC，∴OB＝OC.
知识模块三 作直角三角形
【自主探究】
阅读教材 P20例 2，注意作法，完成下列内容：
下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是( B )
A．已知两条直角边 B．已知两个锐角
C．已知一条直角边和斜边 D．已知一个锐角和一条直角边
归纳：根据已知作图条件可以先画符合条件的草图，分析作图思路，再确定作图方法，最后一定要写结论．
【合作探究】

7．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在 AC 上取一点 E，使 EC＝BC，过点 E 作
EF⊥AC 交 CD 的延长线于点 F，若 EF＝5 cm，则 AE＝3cm.
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．


知识模块一 直角三角形全等的判定
知识模块二 “HL”定理的应用
知识模块三 作直角三角形
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
1．4 角平分线的性质
第 1课时 角平分线的性质
【学习目标】
1．探究并理解角平分线的性质．
2．灵活运用角平分线的性质解决有关问题．
【学习重点】
角平分线的性质．
【学习难点】
灵活运用角平分线的性质解决问题．


学习笔记：情景导入 生成问题
旧知回顾：
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成相等的两个角．角的平分线有什么性质呢？
这节课我们来研究角平分线的性质？
自学互研 生成能力
知识模块一 角平分线的性质
【自主探究】
阅读教材 P22探究，完成下列内容：
(1)动手量一量 1－26 中，PD，PE，你发现 PE＝PD.
(2)你能证明吗？(证明过程略)
归纳：角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【合作探究】
如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且 BD＝CD，DE，DF分别垂直于 AB，AC，垂足为 E，F，求
证：EB＝FC.

证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，且 DE，DF 分别垂直于 AB，AC，∴DE＝DF.在 Rt△BDE 和 Rt△CDF
中．∵DE＝DF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴EB＝FC.
知识模块二 角平分线的性质定理的逆定理
【自主探究】
阅读教材 P23动脑筋，完成下列内容：

(1)到三角形三条边距离相等的点是三角形的三内角平分线的交点．
(2)如图，点 P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB＝30°，则∠AOB＝60°．
【合作探究】
已知：如图所示，BF 与 CE 相交于点 D，BD＝CD，BF⊥AC 于 F，CE⊥AB 于 E.求证：点 D 在∠BAC 的平

分线上．

证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED 和△CFD 中，
??
?
?
?∠BED＝∠CFD，
∠BDE＝∠CDF，
BD＝CD，
∴△
BED≌△CFD(AAS)，∴DE＝DF，∴点 D 在∠BAC 的平分线上．
知识模块三 角平分线的性质的应用
【自主探究】
阅读教材 P23例 1，完成下列内容：

如图，△ABC 的三边 AB，AC，BC 的长分别是 20，40，30，其三条角平分线的交点为 O，则 S△AOB∶S△AOC∶
S△BOC＝2∶4∶3．
点拨：三角形面积公式 S＝
1
2
ah.
【合作探究】
如图，在△ABC 中，AD 为角平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，AB＝10 cm，AC＝8 cm，△ABC 的面
积是 45 cm2，求 DE 的长．

解：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF(角平分线的性质)．又∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，∴
45＝
1
2
AB·DE＋
1
2
AC·DF，即 45＝
1
2
×10·DE＋
1
2
×8·DE，∴DE＝5 cm.
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 角平分线的性质
知识模块二 角平分线的性质定理的逆定理
知识模块三 角平分线性质的应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
第 2课时 角平分线性质的应用
【学习目标】
1．在掌握角的平分线的性质的基础上能应用角平分线的性质解决一些简单实际问题．
2．培养概括能力，学会理性思维，从而提高解决问题的能力．
【学习重点】
角平分线性质的应用．
【学习难点】
灵活应用角平分线的性质解决问题．
情景导入 生成问题

旧知回顾：

一个 S 区有一个贸易市场，在公路与铁路所成的角平分线上有一个点 P，要从 P 点建两条公路，分别通到公
路，铁路上，怎样修建路最短？这两条新建公路有什么关系？画出来看一看．
(答案如图过点 P 作 OA，OB 的垂线段 PM，PN，则 PM，PN 最短且 PM＝PN)
自学互研 生成能力
知识模块一 角平分线性质的应用
【自主探究】
阅读教材 P24动脑筋：
思考：为什么要添加 MN＝ME(或 MN＝NF)?
解：到角两边距离相等的点在角平分线上．
【合作探究】

已知，如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，求证：DE＝DF.
证明：连接 AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD 平分
∠EAF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
知识模块二 利用角平分线的性质比较线段的大小关系
【自主探究】
阅读教材 P25例 2，完成下列内容：
除了题中结论“BE＋PF>PB”外，你能写出线段 BE，PF，PB 三者之间关系的其他正确结论吗？
解：PF2＋BE2＝BP2.
【合作探究】
如图，△ABC 的∠ABC 的外角平分线 BD 与∠ACB 的外角平分线 CE 相交于点 P.点 P 到三边 AB，BC，CA
所在直线的距离相等吗？为什么？

解：点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等，理由如下：过点 P 分别作 PM⊥AB，PN⊥BC，
PQ⊥AC，垂足分别为 M，N，Q.∵BD 是∠ABC 的外角平分线，PM⊥AB，PN⊥BC，∴PM＝PN.∵CE 是∠ACB
的外角平分线，PN⊥BC，PQ⊥AC，∴PN＝PQ，∴PM＝PN＝PQ.
知识模块三 角平分线性质的综合应用
【自主探究】
阅读教材 P25动脑筋，完成下列内容：

如图所示，O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边 AB，BC，CA 的距离 OE＝OD＝OF，若∠A＝70°，
则∠BOC＝125°．
点拨：到三角形三边距离相等的点在三角形角平分线上．
【合作探究】
已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M 是 BC 的中点，DM 平分∠ADC.
(1)若连接 AM，则 AM 是否平分∠DAB？请证明你的结论；
(2)线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系？请说明理由．
点拨：角平分线定理中常见的辅助线作法是作垂线段．


解：(1)AM 平分∠DAB.证明：过点 M 作 ME⊥AD，垂足为 E.∵DM 平分∠ADC，∴∠1＝∠2.∵MC⊥CD，
ME ⊥ AD ，∴ ME ＝ MC. 又 ∵MC ＝ MB ，∴ ME ＝ MB.∵MB⊥AB ， ME ⊥ AD ，∴ AM 平分∠DAB ；
(2)AM⊥DM.∵∠B＝∠C＝90°∴DC⊥CB，AB⊥CB.∴CD∥AB，∴∠CDA＋∠DAB＝180°.又∵∠1＝
1
2
∠CDA，
∠3＝
1
2
∠DAB，∴2∠1＋2∠3＝180°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AMD＝90°，即 AM⊥DM.

交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 角平分线性质的应用
知识模块二 利用角平分线的性质比较线段的大小关系
知识模块三 角平分线性质的综合应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

第 2章 四边形
2.1 多边形
第 1课时 多边形的内角和
【学习目标】
1．理解多边形及正多边形的定义．
2．掌握多边形内角和公式．
【学习重点】
多边形内角和．
【学习难点】
探索多边形内角和公式过程．


情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．三角形的内角和是 180°，正方形和长方形的内角和是 360°．
2．你想知道任意一个多边形的内角和吗？现在我们就来探讨多边形的内角和．
自学互研 生成能力
知识模块一 多边形的定义
【自主探究】
阅读教材 P34观察，完成下列内容：
1．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形，组成多边形的各条线段叫作多边形的
边．相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点，连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，相邻两边组
成的角叫作多边形的内角．
2．在平面内，边相等、角也相等的多边形叫作正多边形．
归纳：在平面内，由一些线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫作多边形．


【合作探究】
1．如图，多边形 ABCDE 是五边形，其中∠E 是它的一个内角，AC 是它的一条对角线，一个五边形从一个
顶点出发有 2 条对角线，把五边形分成 3 个三角形，五边形共有 5 条对角线．
2．如图，多边形 ABCDEF 是六边形，从一个顶点出发有 3 条对角线，把六边形分成 4

个三角形，六边形共有 6 条对角线．
归纳：n 边形从一个顶点出发可以作(n－3)条对角线，将 n 边形分成(n－2)个三角形，n 边形共有
n（n－3）
2
条
对角线．
知识模块二 多边形的内角和
【自主探究】
阅读教材 P34－35探究，完成下列内容：
五边形的内角和是 540°．
【合作探究】
你还可以用其他方法探究 n 边形的内角和吗？

解：如图，在 n 边形内任取一点 O，与多边形各顶点连接，把 n 边形分成 n 个三角形，于是 n 个三角形的内
角和为 180°n，多边形内角和就为 180°n 减去中心的周角 360°，得 180°n－360°＝180°(n－2)．
知识模块三 多边形内角和的应用
【自主探究】
阅读教材 P36例 1，完成下列内容：
1．十二边形的内角和是 1__800°．
2．正六边形的每个内角是 120°．
【合作探究】
1．有两个正多边形，它们边数的比为 1∶2，内角和之比为 3∶8，则这两个多边形边数之和是 15．
2．将六边形减去一个角后，所得图形的内角和是多少？

解：将六边形减去一个角后，变成如图所示的形状，它的内角和分别是(5－2)×180°＝540°或(7－2)×180°
＝900°.
归纳：借助辅助线，将复杂问题简单化．
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 多边形的定义
知识模块二 多边形的内角和
知识模块三 多边形内角和的应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________

2．存在困惑：________________________________________________________________________

第 2课时 多边形的外角和
【学习目标】
1．了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角．
2．掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题．
【学习重点】
多边形外角和公式及其应用．
【学习难点】
多边形外角和公式的推导．
情景导入 生成问题

旧知回顾：
看图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5 不是五边形的角，那是什么角呢？它们的和叫什么呢？现在来探讨多边形
的外角、外角和．
自学互研 生成能力
知识模块一 多边形的外角和
【自主探究】
阅读教材 P36～37，完成下列内容：
1．多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫这个多边形的一个外角，在多边形的每个顶点处
取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和．
2．多边形的每一个顶点处的内角与外角之间的关系是互补．
归纳：任意多边形的外角和等于 360°.
【合作探究】
多边形的外角中最多有几锐角( C )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
分析：根据多边形外角和等于 360°进行判断即可．
知识模块二 多边形外角和的应用
【自主探究】
阅读教材 P37例 2，完成下列内容：
1．已知一个多边形的内角和是外角和的
3
2
，则这个多边形的边数是 5．
2．若一个多边形的内角和与外角和之和是 1 800°，则此多边形是十边形．
【合作探究】
如图，小亮从点 A 出发，沿直线前进 10 m 后向左转 30°，再沿直线前进 10 m，又向左转 30°，……照这样
下去：
(1)他行走一周的路线围成的多边形的边数是多少？
(2)他第一次回到出发点 A 时，一共走的路是多少米？
分析：根据题意，小亮走过的路程是正多边形．先用 360°除以 30°求出边数，然后再乘以 10 m 即可．

解：(1)根据题意，得每一个外角的度数为 30°，∵多边形的外角和为 360°，∴这个多边形的边数为十二边
形；(2)∵每次走 10 m，即每条边的长为 10 m，∴他第一次回到出发点 A 时，一共走的路程是 10×12＝120(m)．


知识模块三 四边形的不稳定性
【自主探究】
阅读教材 P38观察，完成下列内容：
活动的铁门就是利用了四边形不稳定性，而木栅栏上加钉斜木条构成了三角形，是利用了三角形的稳定性．
归纳：四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性．
【合作探究】
1．如图，要使六边形衣架不变形，至少要钉上 3 根木条．
,(第 1题图)) ,(第 2题图))
2．如图所示，具有稳定性的有( C )
A．只有(1)(2) B．只有(3) C．只有(2)(3) D．(1)(2)(3)
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 多边形的外角和
知识模块二 多边形外角和的应用
知识模块三 四边形的不稳定性
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
2．2 平行四边形
2．2.1 平行四边形的性质
第 1课时 平行四边形的边、角性质
【学习目标】
1．使学生理解并掌握平行四边形的定义．
2．能根据定义探究平行四边形的性质．
3．了解平行四边形在生活中的应用实例，能根据平行四边形的性质解决简单的实际问题．
【学习重点】
平行四边形对边，对角相等的性质及其应用．
【学习难点】
运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？

你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？(电动伸缩门，升降器等都是平行四边形)
自学互研 生成能力
知识模块一 平行四边形的定义
【自主探究】
阅读教材 P40做一做，完成下列内容：

平行四边形定义的几何语言表达：
如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平

行四边形．
归纳：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
【合作探究】

如图，在?ABCD 中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH 相交于 O，则图中有平行四边形( D )
A．4 个 B．5 个
C．8 个 D．9 个
知识模块二 平行四边形对角，对边相等的性质
【自主探究】
阅读教材 P40－41探究，完成下列问题：
在?ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC(平行四边形对边相等)
∠A＝∠C，∠B＝∠D(平行四边形对角相等)
【合作探究】

如图，在?ABCD 中，∠B＝110°，延长 AD 到 F，延长 CD 至 E，连接 EF，则∠E＋∠F＝70°．
知识模块三 平行四边形对角，对边相等的性质的应用
【自主探究】
阅读教材 P41例 1，例 2，完成下列内容：

如图所示：若?ABCD 与?EBCF关于 BC 所在的直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝45°．
【合作探究】

如图，在?ABCD 中，点 E，F在 AC 上，且∠ABE＝∠CDF，求证：BE＝DF.
分析：根据平行四边形的性质，证明 AB＝CD，AB∥CD，进而证明∠BAC＝∠DCF，再根据 ASA 证明
△ABE≌△CDF，即可得 BE＝DF.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCF，在△ABE 和△CDF 中，
??
?
?
?∠ABE＝∠CDF，
AB＝CD，
∠BAC＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.

交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 平行四边形的定义
知识模块二 平行四边形对角，对边相等的性质
知识模块三 平行四边形对角，对边相等的性质的应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________


第 2课时 平行四边形对角线的性质
【学习目标】
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
2．综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算和证明题．
【学习重点】
平行四边形对角线互相平分．
【学习难点】
综合运用平行四边形的性质解决实际问题．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．画一个平行四边形 ABCD，它的边、角各有什么性质？
(对角相等，对边相等)
2．平行四边形除了边，角的性质外，还有没有其他的性质呢？
现在来探讨平行四边形对角线的性质．
自学互研 生成能力
知识模块一 平行四边形对角线的性质
【自主探究】
阅读教材 P42，完成下列内容：
平行四边形具有但一般四边形具有的性质是( D )
A．内角和等于 360° B．外角和等于 360°
C．不稳定性 D．对角线互相平分
归纳：平行四边形的性质定理：平行四边形对角线互相平分．
【合作探究】

1．如图，?ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O.AB⊥AC.若 AB＝4，AC＝6，则 BD 的长是( C )
A．8 B．9
C．10 D．11
分析：利用平行四边形的性质和勾股定理，易求 OB 的长，进而可求出 BD 的长．

2．如图，在?ABCD 中，O 为 AC 与 BD 的交点，则图中相等的线段有( B )
A．3 对 B．4 对
C．5 对 D．6 对
分析：在?ABCD 中，对边相等，对角线互相平分，所以可以确定相等的线段．
知识模块二 利用平行四边形对角线的性质进行计算
【自主探究】
阅读教材 P43例 3，完成下列内容：

如图所示，?ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，若?ABCD 的面积为 28 cm2，则△AOB 的面积等于
7__cm
2．
【合作探究】
在?ABCD 中，O 是 AC，BD 的交点，AB＝10 cm，BD＝8 cm，AC＝14 cm，△DOC 的周长是多少？为什么？
△ABD 与△ABC 的周长哪个长？长多少？
分析：利用平行四边形对角线互相平分，进而利用三角形的周长公式求出周长进行比较，即可得出答案．
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB＝BC＝10 cm，AD＝BD.∵AC，BD 为对角线，∴OA＝OC＝
1
2
AC
＝7 cm，OB＝OD＝
1
2
BD＝4 cm，∴C△DOC＝OD＋OC＋DC＝4＋7＋10＝21(cm)，C△DBC－C△ABD＝(AB＋AC＋BC)

－(AD＋BD＋AD)＝14－8＝6(cm)．答：略．
知识模块三 利用平行四边形对角线的性质进行证明
【自主探究】
阅读教材 P43例 4，完成下列内容：
如图，在?ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于 O，OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别为 E，F.求证：OE＝OF.

证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF.又∵OE⊥AD，OF⊥BC，
∴∠OEA＝∠OFC＝90°，在△AOE 与△COF中
??
?
?
?∠OEA＝∠OFC，
∠OAE＝∠OCF，
OA＝OC，
∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF.
【合作探究】
已知，点 O 是?ABCD 的两条对角线的交点．
(1)如图，过点 O 的直线 EF 分别与 AB，CD 相交于点 E，F.OE 与 OF 相等吗？为什么？?ABCD 被直线 EF 分
成的两部分的面积有什么关系？
分析：(1)?ABCD 中，EF 过对角线的交点 O，易证△DOF≌△BOE，可得 OF＝OE；(2)由△DOF≌△BOE，
同理△AOD≌△BOC，△AOE≌△COF，进而可得?ABCD 被 EF分成的两个四边形面积相等．
(2)如图，直线 EF绕点 O 旋转到分别与 AD，BC 相交于点 E，F时，上述(1)的结论还成立吗？
(3)如图，直线 EF绕点 O 旋转到分别与 AB，CD 的延长线相交于点 E，F时，上述(1)的结论还成立吗？

解：(1)OE＝OF.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，OD＝OB，∴∠CDO＝∠ABO.又∵∠DOF＝
∠BOE，∴△DOF≌△BOE，∴OF＝OE，?ABCD 被直线 EF分成的两部分面积相等；(2)成立；(3)成立．
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 平行四边形对角线的性质
知识模块二 利用平行四边形对角线的性质进行计算
知识模块三 利用平行四边形对角线的性质进行证明
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

2．2.2 平行四边形的判定
第 1课时 利用边、角判定平行四边形
【学习目标】
1．经历探究平行四边形判定方法的过程，掌握平行四边形的边、角判定方法．
2．会利用边、角判定一个四边形是否是平行四边形．
【学习重点】
探索平行四边形的两种判定方法．
【学习难点】
平行四边形的判别方法的理解和应用．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．平行四边形有哪些性质？

解：平行四边形对角相等，对边相等，对角线互相平分．
2．你能写出平行边形对角相等，对边相等的逆命题？它的逆命题是否成立？
解：逆命题：对角相等，对边两等的四边形是平行四边形，成立．
自学互研 生成能力
知识模块一 平行四边形判定定理1
【自主探究】
阅读教材 P44动脑筋：
下列不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件是( C )
A．AB∥CD，AD∥BC B．CD∥AB，CD＝AB
C．BC∥AD，AB＝CD D．AD∥BC，AD＝BC
【合作探究】
阅读教材 P45例 5，回答下列问题：
(1)例 5 中是如何证明 BE＝FD 的？四边形 BEDF是平行四边形的依据是什么？
解：?ABCD 的对边相等，即 AD＝BC，而 BE＝
1
3
BC，FD＝
1
3
AD，故 BE＝FD.四边形 BEDF 是平行四边形的
依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(2)“綊”读作平行且等于．
归纳：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
知识模块二 平行四边形的判定定理2
【自主探究】
阅读教材 P45动脑筋，完成下列内容：
在四边形 ABCD 中，若 AB＝3，BC＝4，CD＝3，要使该四边形是平行四边形，则 AD 的长为( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
【合作探究】
阅读教材 P46例 6，完成下列问题：
四边形中，有两条边相等，另两边也相等，则这个四边形( C )
A．一定是平行四边形
B．一定不是平行四边形
C．可能是平行四边形，也可能不是平行四边形
D．上述答案都不对
归纳：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
知识模块三 平行四边形的判定定理1、2的应用
【自主探究】
如图，已知：E，F是?ABCD 对角线 AC 上的两点，且 AE＝CF.
求证：四边形 BFDE 是平行四边形．

证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF.∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴BF＝DE.同理可得△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE＝DF，∴四边形 BFDE 是平行四边形．
【合作探究】
如图，?ABCD 中，点 E，F在对角线 BD 上，且 BE＝DF，求证：
(1)AE＝CF；
(2)四边形 AECF是平行四边形．

证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE 和△CDF 中，
??
?
?
?AB＝CD，
∠ABE＝∠CDF，
BE＝DF.
∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AE＝CF；(2)∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝
∠CFE，∴AE∥CF.∵AE＝CF，∴四边形 AECF是平行四边形．
交流展示 生成新知


1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 平行四边形的判定定理 1
知识模块二 平行四边形的判定定理 2
知识模块三 平行四边形的判定定理 1、2 的应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

第 2课时 利用对角线判定平行四边形
【学习目标】
1．掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理．
2．理解两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
3．会用平行四边形的判定定理进行有关的论证和计算．
【学习重点】
理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理．
【学习难点】
判定定理的证明方法及运用．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
我们已经从边角的角度研究了平行四边形的判定方法，还有其他方法能判定一个四边形是否是平行四边形吗？
有．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
自学互研 生成能力
知识模块一 平行四边形的判定定理3
【自主探究】
阅读教材 P46动脑筋，完成下列内容：
能够判定一个四边形是平行四边形的条件是( B )
A．一组对角相等 B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直 D．一对邻角的和为 180°

【合作探究】
如图，在?ABCD 中，EF过 AC 的中点 O，与边 AD，BC 分别相交于点 E，F.求证：四边形 AECF是平行四边
形．
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.∵O 为 AC 的中点，∴AO＝CO.又
∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴EO＝FO，∴四边形 AECF为平行四边形．
归纳：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
知识模块二 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
【自主探究】
阅读教材 P47例 8，完成下列内容：
下面给出了四边形 ABCD 中，∠A、∠B、∠C、∠D 的度数之比，其中能判定四边形 ABCD 是平行四边形的
是( C )
A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶3 C．2∶3∶2∶3 D．2∶3∶3∶2
【合作探究】
一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是( D )
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108° C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°
归纳：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

知识模块三 平行四边形的性质与判定的综合应用
【自主探究】

如图，已知 E，F是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AE＝CF，BE＝DF，BE∥DF.求证：四边形 ABCD
是平行四边形．
证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 DE，BF.∵BE 綊 DF，∴四边形 BEDF 是平行四边形，∴OB＝OD，OE
＝OF，又 AE＝CF，∴AE＋OE＝CF＋OF，即 OA＝OC，又 OB＝OD，∴四边形 ABCD 是平行四边形．
【合作探究】

已知：如图，在?ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 上的点，AE＝CF，M，N 分别是 DE，BF 的中点，求
证：四边形 ENFM 是平行四边形．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C.又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴∠
AED＝∠CFB，DE＝BF.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ABF，∴
ME∥FN.又∵M，N 分别是 DE，BF的中点，且 DE＝BF，∴ME＝FN，∴四边形 ENFM 是平行四边形．
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 平行四边形的判定定理 3
知识模块二 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
知识模块三 平行四边形的性质与判定的综合应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

2．3 中心对称和中心对称图形
第 1课时 中心对称
【学习目标】
1．了解中心对称、对称中心和对称点的概念．
2．理解中心对称的性质．
3．掌握运用中心对称的性质作图的方法．
【学习重点】
中心对称的概念、性质，利用中心对称的性质进行作图．
【学习难点】
中心对称与轴对称的区别与联系．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC＝10，BD＝8，CD＝6，则△DOC 的周长为 15．
2．观察右边两幅图，你发现什么？

每幅图各关于某一点对称．



自学互研 生成能力
知识模块一 中心对称
【自主探究】
阅读教材 P51，完成下列内容：
下列说法错误的是( C )
A．全等的两个图形不一定成中心对称
B．成中心对称的两个图形一定是全等图形
C．能够完全重合的两个图形成中心对称
D．中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系
【合作探究】
下列说法：①全等的两个图形成中心对称；②成中心对称的两个图形必须重合；③成中心对称的两个图形全
等；④旋转后能够重合的两个图形成中心对称，其中说法正确的序号是③．
归纳：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．
知识模块二 画中心对称图形
【自主探究】
阅读教材 P51例题，完成下列内容：
作法：(1)连线(图形中各点与对称中心的线段)；(2)找对应点；(3)顺次连接对应点之间的线段；(4)结论：所得
图形即为所求．
【合作探究】

如图所示，已知四边形 ABCD 和点 O，画四边形 A′B′C′D′，使四边形 A′B′C′D′和四边形 ABCD 关于点 O 成中
心对称．
解：如图所示：(1)连接 AO 并延长到 A′，使 OA′＝AO，得点 A 关于点 O 的对称点 A′；(2)用同样的方法分别
画出点 B，C，D 关于点 O 的对称点 B′，C′，D′；(3)顺次连接 A′，B′，C′，D′，四边形 A′B′C′D′就是所要
画的四边形．
知识模块三 中心对称性质的应用
【自主探究】

如图，已知四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称图形，试判定四边形 ABCD 的形状，并说明理由．
解：四边形 ABCD 是平行四边形，理由如下：∵四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称图形，∴OA＝OC，OB
＝OD，∴四边形 ABCD 是平行四边形．
【合作探究】
已知，如图，点 O 是?ABCD 的对称中心，过点 O 任作直线 l，并过点 B，D 分别作 BE⊥l，DF⊥l，垂足分别
为 E，F，请问 BE＝DF吗？为什么？

解：BE＝DF；理由：连接 BD，BD 一定经过 O 点，∵∠BOE＝∠DOF，BO＝OD，∠BEO＝∠DFO＝90°，
∴△BOE≌△DOF，∴BE＝DF.
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．


知识模块一 中心对称
知识模块二 画中心对称图形
知识模块三 中心对称性质的应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

第 2课时 中心对称图形
【学习目标】
1．了解中心对称图形及其基本性质．
2．掌握平行四边形是中心对称图形．
3．经历观察，发现，探索中心对称图形的有关概念和基本性质的过程，积累一定的审美经验．
【学习重点】
中心对称图形的定义及其性质．
【学习难点】
中心对称图形与轴对称图形的区别．


情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．什么是轴对称图形，轴对称图形有哪些性质？
答：沿某条直线折叠，直线两旁的部分，能够完全重合，这样的图形是轴对称图形．
性质：(1)对称轴是对应点的连线的垂直平分线．(2)对称轴左右两边的图形全等．
2．中心对称图形有哪些性质呢？现在来进行研究．
自学互研 生成能力
知识模块一 中心对称图形
【自主探究】
阅读教材 P52观察，完成下列内容：
下列图形中，不是中心对称图形的是( B )
,A) ,B) ,C) ,D)
【合作探究】
下列说法：①成中心对称的两个图形是中心对称图形；②中心对称图形一定中心对称；③中心对称图形有且
只有一个对称中心；④成中心对称的两个图形的对应点到对称中心的距离相等．其中正确的个数有( B )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
归纳：如图一个图形绕一个点 O 旋转 180°，所得到的像与原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对
称图形，这个点 O 叫作它的对称中心．
知识模块二 判断图形是否是中心对称图形
【自主探究】

阅读教材 P53做一做，完成下列内容：
(1)点 A 的像是点 C；
(2)点 B 的像是点 D；
(3)边 AB 的像是边 CD；
(4)边 BC 的像是边 DA．
?ABCD 绕点 O 旋转 180°，它能够与自身重合．
【合作探究】

下列图形中，是中心对称图形的图形个数有( B )
,) ,) ,) ,)
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
知识模块三 中心对称图形的应用
【自主探究】
已知△ABC，把△ABC 绕点 C 顺时针旋转 180°得△FEC.
(1)画出△FEC；
(2)试猜想 AE 与 BF有何关系？并说明理由；

解：(1)如图所示；
(2)AE＝BF，AE∥BF，理由：∵△ABC 绕点 C 旋转 180°得到△FEC，∴点 A与点 F关于点 C 成中心对称，
点 B 与点 E 关于点 C 成中心对称，∴AC＝CF，BC＝CE，即 AE 与 BF 关于点 C 成中心对称，∴AE＝BF，AE∥
BF.
【合作探究】
一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分成面积相等的两部分，请你写出三种不同的分法．(不写画
法，但要保留作图痕迹)

解：该钢板可以看成是由两个长方形构成的，长方形是中心对称图形，过对称中心的任意一条直线把长方形
分成全等的两部分，自然平分其面积，而长方形的对称中心是两条对角线的交点，因此，有三种方法，如图所示．


交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 中心对称图形
知识模块二 判断图形是否是中心对称图形
知识模块三 中心对称图形的应用
．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

2．4 三角形的中位线
【学习目标】
1．掌握三角形中位线的性质．
2．能够利用三角形的中位线的知识解决相关问题．
【学习重点】
三角形中位线的性质和应用．
【学习难点】

准确运用三角形中位线的性质解决问题．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？
多媒展示把一个三角形分成四个全等的三角形．
我们就来学习有关知识解决这个问题．
自学互研 生成能力
知识模块一 三角形的中位线定理
【自主探究】
阅读教材 P55，完成下列内容：

如图，△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C 的度数为( C )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
【合作探究】

1．如图，D，E，F分别是△ABC 各边的中点，中线 AD 与中位线 EF的关系是( A )
A．互相平分 B．互相垂直
C．相等 D．不确定
2．如图所示，在?ABCD 中，R，P 分别是 DC，BC 上的点，E，F 分别是 AP，RP 的中点．当点 P 在 BC 上
从点 B 向点 C 移动，而点 R 固定不动时，下列结论成立的是( C )

A．线段 EF的长度逐渐增大
B．线段 EF的长度逐渐减小
C．线段 EF的长度不变
D．线段 EF的长度不能确定
归纳：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
知识模块二 利用三角形的中位线定理进行计算
【自主探究】

如图，在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，AB＝20，AC＝16，点 E，F 分别为 AC 和 AB 的中点，则线段
EF的长为( A )
A．6 B．8
C．10 D．12
【合作探究】


如图，A，B 是池塘两端，设计一方法测量 A，B 的距离，取点 C，连接 AC，BC，再取它们的中点 D，E，
测得 DE＝15 m，则 AB＝( D )
A．7.5 m B．15 m C．22.5 m D．30 m
知识模块三 利用三角形的中位线定理进行证明
【自主探究】
阅读教材 P56例题，完成下列内容：

如图，点 D，E，F分别是 AC，AB，BC 边的中点，则图中的平行四边形一共有( C )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
【合作探究】

如图所示，在△BAC 中，∠BAC＝90°，延长 BA 到点 D，使 AD＝
1
2
AB，点 E，F分别为边 BC，AC 的中点，
求证：DF＝BE.
证明：连接 AE，∵点 E，F 分别为 BC，AC 的中点，∴EF∥AB，EF＝
1
2
AB.又∵AD＝
1
2
AB，∴EF＝AD 且
EF∥AD，∴四边形 AEFD 为平行四边形，∴DF＝AE.又∵∠BAC＝90°，点 E 是 BC 的中点，∴AE＝
1
2
BC＝BE，
∴DF＝BE.
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 三角形的中位线定理
知识模块二 利用三角形的中位线定理进行计算
知识模块三 利用三角形的中位线定理进行证明
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

2．5 矩形
2．5.1 矩形的性质
【学习目标】
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
【学习重点】
矩形的性质．
【学习难点】

矩形的性质灵活应用．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．平行四边形的性质：
边：对边平行且相等；角：对角相等；对角线：互相平分．
2．长方形是平行四边形吗？它有什么特点呢？现在我们来探讨矩形的性质．
是．它除具有平行的性质外，还有四个角都是直角，对角线相等的性质．
自学互研 生成能力
知识模块一 矩形的性质
【自主探究】
阅读教材 P58～59，完成下列内容：
(1)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．

(2)如图，矩形 ABCD 中，ABA．2 个 B．4 个
C．5 个 D．6 个

【合作探究】
如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠AOD＝60°，AD＝2，则 AB 的长是( C )
A．2 B．4
C．2 3 D．4 3
归纳：1.矩形的性质：矩形的 4 个角都是直角，对边相等，对角线相等且互相平分．
2．矩形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．
知识模块二 利用矩形的性质进行计算
【自主探究】
阅读教材 P59例 1，完成下列内容：

如图所示，EF 过矩形 ABCD 的对角线交点 O，且分别交 AB，CD 于点 E，F，那么阴影部分的面积是矩形
ABCD 面积的( B )
点拨：矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的三角形．
A.
1
5
B.
1
4
C.
1
3
D.
3
10

【合作探究】

如图所示，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于点 E，对角线 AC，BD 交于 O，且 BE∶ED＝1∶3，AD＝6 cm，求
AE 的长．
解：设 BE＝x，则 DE＝3x，那么 BD＝x＋3x＝4x，∵BO＝DO，∴BO＝2x，EO＝x，而 AO＝BO＝2x，∴
EO＝
1
2
AO.∵AE⊥BD，∴∠OAE＝30°，即∠AOE＝60°，又∵AO＝DO，∴∠ADB＝30°，在 Rt△AED 中，
∠ADE＝30°，∴AE＝
1
2
AD＝
1
2
×6＝3 cm.
知识模块三 利用矩形的性质进行证明
【自主探究】


如图，E，F分别是矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 上的点，且 AE＝DF，求证：BE＝CF.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝DF，∴OA－AE＝OD－DF，即 OE＝OF，又
∠EOB＝∠FOC，∴△BOE≌△COF，∴BE＝CF.
【合作探究】
如图，四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 与 DC 的交点为 O，连接 DE.
(1)求证：△ADE≌△CED；
(2)求证：DE∥AC.

证明：(1)∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，又∵AC 是折痕，∴BC＝CE＝AD，AB＝AE＝
CD，在△ADE 与△CED 中，
??
?
?
?AD＝CE，
AE＝CD，
DE＝ED，
∴△ADE≌△CED(SSS)；(2)∵△ADE≌△CED，∴∠EDC＝∠DEA.又
∵△ACE 与△ACB 关于 AC 所在直线对称，∴∠OAC＝∠CAB.∵∠OCA＝∠CAB，∴∠OAC＝∠OCA，∴2∠
OAC＝2∠DEA，∴∠OAC＝∠DEA，∴DE∥AC.
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 矩形的性质
知识模块二 利用矩形的性质进行计算
知识模块三 利用矩形的性质进行证明
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

2．5.2 矩形的判定
【学习目标】
1．掌握矩形的判定定理．
2．能应用矩形的定义，判定定理解决简单的证明和计算题，进一步培养分析能力．
【学习重点】
矩形判定方法的探究与运用．
【学习难点】
矩形性质与判定的综合运用．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
小红同学用“边—直角，边—直角，边—直角”这样的四步，画出了一个四边形．她说这就是一个矩形，她
的判断对吗？为什么？
对．因为有三个直角的四边形是矩形．
自学互研 生成能力
知识模块一 矩形的判定定理
【自主探究】
阅读教材 P61～62，完成下列内容：
1．能够判定一个四边形是矩形的条件是( C )
A．对角线互相平分 B．对角线垂直
C．对边互相平行且有一个角是直角 D．对角线垂直且相等
2．四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，下列各条件中，能判断四边形 ABCD 是矩形的是( B )

A．AO＝CO，BO＝DO B．AO＝BO＝CO＝DO
C．AC＝BD，AO＝CO D．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD
【合作探究】

已知：如图，?ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 是矩形．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠BAD＋∠ABC＝180°.又∵AE 平分∠BAD，BF 平分∠ABC，∴
∠BAF＝
1
2
∠BAD，∠ABF＝
1
2
∠ABC，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∴∠AFB＝90°，同理可得∠AED＝∠BGC＝
90°，∴四边形 EFGH 是矩形．
议一议：对角线相等的四边形是矩形吗？
归纳：矩形的判定定理：①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形．
知识模块二 矩形判定定理的应用
【自主探究】
阅读教材 P62例 2，完成下列内容：

如图所示，已知?ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC 中，能说明?ABCD
是矩形的有①④．(填序号)
【合作探究】

如图，点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点，点 P 是 BC 边上的一动点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为 E，
F.当矩形 ABCD 的长和宽之间满足什么条件时，四边形 PEMF为矩形？猜想并说明理由．
解：当矩形 ABCD 的长是宽的 2 倍，即 AD＝2AB 时，四边形 PEMF为矩形，理由如下：∵AD＝2AB，又 M
为 AD 的中点，∴AB＝AM，DM＝DC，∴△ABM 和△DMC 为等腰直角三角形，∴∠ABM＝∠DCM＝45°，∴
∠MBC＝∠MCB＝45°，∴∠BMC＝90°.又∵PF⊥BM，PE⊥CM，∴四边形 PEMF为矩形．
知识模块三 矩形的性质和判定定理的综合应用
【自主探究】

如图，已知矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，E，F，G，H 分别为 OA，OB，OC，OD 的中点，下列结论中
正确的是①②④(只填序号)．①四边形 EFGH 是矩形；②四边形 EFGH 的周长是矩形 ABCD 周长的一半；③四边
形 EFGH 的面积是矩形 ABCD 面积的一半；④四边形 EFGH 的面积是四边形 BEDG 面积的一半．
【合作探究】
已知，点 P 是等腰直角三角形 ABC 底边上一点，过点 P 作 BA，AC 的垂线，垂足分别为 E，F，设 D 为 BC
的中点．

(1)求证：DE⊥DF；
(2)当点 P 在 BC 的延长线上时，DE⊥DF吗？试证明．
证明：(1)连接 AD.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°.又∵PE⊥AB，
PF⊥AC，∴四边形 PEAF 为矩形，∴AE＝PF＝FC.∵D 为 BC 中点，∴AD＝CD，∠EAD＝∠C＝45°，∴△
AED≌△CFD(SAS)，∴∠EDA＝∠FDC.又∵AD⊥BC，∴∠ADF＋∠FDC＝∠ADF＋∠EDA＝90°，∴DE⊥DF；
(2)当 P 在延长线上时，同理可证得 DE⊥DF.

交流展示 生成新知


1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 矩形的判定定理
知识模块二 矩形判定定理的应用
知识模块三 矩形性质与判定定理的综合应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

2．6 菱形
2．6.1 菱形的性质
【学习目标】
1．理解并掌握菱形的定义及性质定理．会用这些定理进行有关的论证和计算．
2．运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
【学习重点】
菱形的性质定理．
【学习难点】
定理的证明方法及运用．
情景导入 生成问题
旧知回顾：

1．如图，AB∥CD，AD∥BC，若∠A＝35°，则∠C＝35°．
2．在四边形 ABCD 中，已知 AD∥BC，若再添加一个条件，能使四边形 ABCD 成为平行四边形，则这个条
件可以是 AD＝BC 或 AB∥DC．
自学互研 生成能力
知识模块一 菱形的定义
【自主探究】
阅读教材 P65观察，完成下列内容：
1．菱形与平行四边形的关系是：菱形是特殊的平行四边形．
2．菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【合作探究】

如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F分别是 BD，CD 的中点，EF＝6，则 AB＝12．
知识模块二 菱形的性质
【自主探究】
阅读教材 P65－66，完成下列内容：
菱形具有而平行四边形不具有的性质是( D )
A．两组对边分别平行 B．两对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【合作探究】

如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O 点，E，F分别是 AB，BC 边上的中点，连接 EF.若 EF＝ 3，

BD＝4，则菱形 ABCD 的周长为( C )
A．4 B．4 6
C．4 7 D．28


知识模块三 菱形性质的应用
【自主探究】
阅读教材 P67例 1，完成下列内容：

如图，在菱形 ABCD 中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形 ABCD 的面积是( B )
A．18 B．18 3 C．36 D．36 3
【合作探究】
如图，四边形 ABCD 是菱形，过 AB 的中点 E 作 AC 的垂线 EF交 AD 于点 M，交 AC 于点 N，交 CD 的延长
线于点 F.

(1)试说明 AM＝DM；
(2)若 DF＝2，求菱形 ABCD 的周长．
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠BAC＝∠DAC.又∵EF⊥AC，∴AE＝AM＝
1
2
AB＝
1
2
AD，∴AM＝DM；
(2)∵AE＝AM，∴∠AME＝∠AEM.∵AB∥CD，∴∠AEM＝∠F，又∠FMD＝∠AEM，∴∠F＝∠FMD，∴DF
＝DM＝
1
2
AD，∴AD＝4，∴菱形 ABCD 的周长是 16.


交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 菱形的定义
知识模块二 菱形的性质
知识模块三 菱形性质的应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
2．6.2 菱形的判定
【学习目标】
1．经历利用菱形的定义探究其他判定方法的过程，培养动手实验，观察，推理意识，发展形象思维和逻辑推
理能力．
2．会根据菱形的判定定理进行简单的证明．
【学习重点】
菱形判定方法的探究．
【学习难点】
菱形判定方法的灵活运用．


情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．判断：
(1)菱形是轴对称图形，它的对称轴只有一条；( × )
(2)菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角．( √ )

2．下列说法不正确的是( C )
A．菱形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线平分各内角
C．菱形的对角线相等 D．菱形的对角线的交点到各边的距离相等
自学互研 生成能力
知识模块一 菱形的判定方法
【自主探究】
阅读教材 P68动脑筋，完成下列内容：

如图，在四边形 ABCD 中，线段 BD 垂直平分 AC，且相交于点 O，∠1＝∠2，求证：四边形 ABCD 是菱形．
证明：∵线段 BD 垂直平分 AC，∴BA＝BC，DA＝DC，OA＝OC，在△AOB 和△COD 中．∵∠1＝∠2，∠
AOB＝∠COD，OA＝OC，∴△AOB≌△COD，∴AB＝CD，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形 ABCD 是菱形．
归纳：四条边都相等的四边形是菱形．
【合作探究】

过点 O 画两条互相垂直平分的线段 AC，BD，使得 OA＝OC，OB＝OD，连接 AB，BC，CD，DA，四边形
ABCD 是菱形吗？若是，如何证明．
解：四边形 ABCD 是菱形，理由如下：∵OA＝OC，OB＝CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形，在?ABCD 中，
AC⊥BD，OA＝OC，∴BD 是 AC 的垂直平分线，∴DA＝DC，∴?ABCD 是菱形．
归纳：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
知识模块二 菱形判定定理的应用
【自主探究】
阅读教材 P69例 3，完成下列内容：
下列说法错误的是( A )
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边都相等的四边形是菱形


【合作探究】

如图，已知点 D 在△ABC 的 BC 边上，DE∥AC 交于 E，DF∥AB 交 AC 于 F.
(1)求证：AE＝DF；
(2)若 AD 平分∠BAC，试判断四边形 AEDF的形状，并说明理由．
证明：(1)∵DE∥AC，∠ADE＝∠DAF，同理∠DAE＝∠FDA.∵AD＝DA，∴△ADE≌△DAF，∴AE＝DF；
(2)若 AD 平分∠BAC，四边形 AEDF 是菱形．∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形 AEDF 是平行四边
形．∵∠DAE＝∠FDA，∠DAF＝∠DAE，∴∠DAF＝∠FDA，∴AF＝DF，∴平行四边形 AEDF为菱形．
知识模块三 菱形的性质和判定定理的综合应用
【自主探究】
平行四边形 ABCD 中，AB＝6，BC＝9，∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，EF∥CD 交 AD 于点 F，对于判
断：①四边形 ABEF是菱形；②四边形 CDFE 是菱形．则( A )
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①②都不正确
【合作探究】
如图，AC 是?ABCD 是一条对角线，过 AC 中点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 E，F.

(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)当 EF与 AC 满足什么条件时，四边形 AFCE 是菱形？并说明理由．
解：(1)∵在?ABCD 中，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.∵点 O 是 AC 的中点，∴AO＝CO.又∵∠EOA＝
∠FOC，∴△AOE≌△COF；(2)当 EF⊥AC 时，四边形 AFCE 是菱形，理由如下：由(1)知△AOE≌△COF，∴
OE＝OF.又∵AO＝CO，∴四边形 AFCE 是平行四边形，∴当 EF⊥AC 时，四边形 AFCE 是菱形．
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 菱形的判定方法
知识模块二 菱形判定定理的应用
知识模块三 菱形的性质和判定定理的综合应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

2．7 正方形
【学习目标】
1．能说出正方形的定义和性质．
2．会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算．
【学习重点】
正方形与其他四边形之间的联系．
【学习难点】
灵活运用正方形的性质解决实际问题．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
观察装修房子铺地面的瓷砖，它是什么样的四边形？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？
答：它是正方形，它是特殊的平行四边形、矩形、菱形．
自学互研 生成能力

知识模块一 正方形的定义及性质
【自主探究】
阅读教材 P72观察，完成下列内容：
1．正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等，且互相垂
直平分．
2．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有 4 条对称轴．
【合作探究】
阅读教材 P73例 1，完成下列内容：

如图，正方形 ABCD 中，点 E，F分别在 AD，CD 上，且 AE＝DF，连接 BE，AF.求证：BE＝AF.
证明：在正方形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，在△ABE 和△ADF 中，
??
?
?
?AB＝AD，
∠BAE＝∠D＝90°，
AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF(SAS)，∴BE＝AF.
知识模块二 正方形的判定方法
【自主探究】
阅读教材 P73说一说，完成下列内容：
下列说法正确的是( C )
A．对角线相等且垂直的四边形是正方形
B．对角线平分一组对角的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．四条边都相等的四边形是正方形
【合作探究】
如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠CAB，∠CBA 的平分线交于点 D，DE⊥BC 于点 E，DF⊥AC 于点 F.求
证：四边形 CFDE 是正方形．

证明：过点 D 作 DG⊥AB，垂足为 G，∵∠CFD＝∠CED＝∠C＝90°，∴四边形 CFDE 是矩形．∵AD，
BD 分别是∠CAB，∠CBA 的平分线，∴DF＝DG，DG＝DE，∴DF＝DE，∴四边形 CFDE 是正方形．
知识模块三 正方形与其他四边形的综合应用
【自主探究】
阅读教材 P73例 2，完成下列内容：
欲证明四边形 A′B′C′D′为正方形，只需先证明四条边相等，再证明一个内角为 90°即可．
【合作探究】
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC 的垂直平分线 EF交 BC 于 D，交 AB 于 E，且 CF＝BE.
(1)求证：四边形 BECF是菱形；
(2)当∠A 的大小满足什么条件时，菱形 BECF是正方形？并证明你的结论．

解：(1)∵EF 是 BC 的垂直平分线，∴CF＝BF，BE＝EC，又∵EB＝CF，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形
BECF 是菱形；(2)当∠A＝45°时，菱形 BECF 是正方形．证明：∵BC⊥AC，∠A＝45°，∠ABC＝45°，又∵
四边形 BECF是菱形，∴∠EBC＝∠FBC＝45°，∴∠EBF＝90°，∴它是正方形．






交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 正方形的定义及其性质
知识模块二 正方形的判定方法
知识模块三 正方形与其他四边形的综合应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________


第 3章 图形与坐标
3.1 平面直角坐标系
第 1课时 平面直角坐标系
【学习目标】
1．理解有序数对的意义，能用有序数对表示实际生活中物体位置．
2．理解平面直角坐标系的相关概念，在给定的平面直角坐标系中，会由点的位置写出点的坐标，由点的坐标
确定点的位置．
3．理解每个象限及坐标轴上的点的特征．
【学习重点】
有序数对及平面直角坐标系相关概念．
【学习难点】
利用有序数对表示平面内的点，概括点的位置写出点的坐标．

情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．(1)什么是数轴？规定了原点、正方向和单位的直线叫作数轴；
(2)数轴上的点与实数一一对应．
2．游戏：找自己的座位说出自己是第________组，第________排．
自学互研 生成能力
知识模块一 平面直角坐标系的有关概念
【自主探究】
阅读教材 P83～P84，完成下列内容：
(1)有顺序的两个实数 a 与 b 组成的数对，叫作有序实数对，记作(a，b)．
(2)平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直的数轴，就构成了平面直角坐标系，这个平面叫作坐标平面，两条数轴叫作坐标轴，
水平数轴叫作 x 轴(横轴)，取向右为正方向；与 x 轴垂直的数轴叫作 y 轴(纵轴)，取向上为正方向．横轴与纵轴的
公共点，叫作坐标原点．
【合作探究】
1．下列关于有序数对的说法正确的是( C )
A．(2，3)与(3，2)表示的位置相同
B．(m，n)与(n，m)表示的位置一定不同
C．(2，－3)与(－3，2)是表示不同位置的两个有序数对


D．(－1，－1)与(－1，－1)不是同一位置的点
2．如图，如果点 A 的位置为(3，2)，点 C 的位置为(5，4)，那么点 B 的位置为(2，5)，点 D 的位置为(7，3)，
点 E 的位置为(2，3)．
知识模块二 平面直角坐标系内点的坐标及各象限内点的坐标的特征
【自主探究】
阅读教材 P84，完成下列内容：
在平面直角坐标系内，下列各点在第二象限的是( B )
A．(2，1) B．(－2，1) C．(－3，－5) D．(5，－5)
归纳：坐标系内各坐标点的特征如表所示．当点在 x 轴上时，纵坐标为 0，当点在 y轴上时，横坐标为 0.

点的位置 横坐标符号 纵坐标符号
第一象限 ＋ ＋
第二象限 － ＋
第三象限 － －
第四象限 ＋ －

【合作探究】
1．若点 A 的坐标(x，y)满足(x＋3)2＋|y＋2|＝0，则点 A 的位置在( C )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
分析：根据非负数的性质求得 x，y的值，再进一步判断点的位置．
归纳：坐标平面上的点与有序实数对一一对应．
2．阅读教材 P85得出什么结论：
知识模块三 平面直角坐标系的综合应用
【自主探究】
在平面直角坐标系内，已知点 A(1－2k，k－2)在第三象限，且 k 为整数，求 k 的值．
解：∵点 A(1－2k，k－2)在第三象限，∴
??
?
??1－2k<0，
k－2<0.
解得 0.5【合作探究】
写出下图中 A，B，C，D，E，F各个顶点的坐标．
(1)判断线段 BC 所在直线与 x 轴的位置关系？B，C 两点的坐标有什么特征？
(2)判断线段 CE 所在直线与 y轴的位置关系？C，E 两点的坐标有什么特征？
(3)由(1)(2)的结论，你能得到什么规律？

解：A(－2，0)，B(0，－3)，C(3，－3)，D(4，0)，E(3，3)，F(0，3)．(1)平行，纵坐标相等；(2)平行，横坐
标相等；(3)如果两个点的纵(横)坐标相等，那么两个点的连线与 x 轴(y轴)平行．
交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，
并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 平面直角坐标系的有关概念
知识模块二 平面直角坐标系内点的坐标及各象限内点的坐标的特征
知识模块三 平面直角坐标系的综合应用
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________

2．存在困惑：________________________________________________________________________

第 2课时 确定平面上物体的位置
【学习目标】
1．在实际问题中能建立适当的平面直角坐标系，并描述物体的位置．
2．在平面内，能用方位角和距离刻画两物体的相对位置．
【学习重点】
利用坐标表示地理位置．
【学习难点】
建立适当的坐标系，利用平面直角