数列通项公式的求法（word版 学案 练习无答案）
文档属性
| 名称 | 数列通项公式的求法（word版 学案 练习无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-24 14:15:28 | ||
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文档简介
数列通项公式的求法
数列的通项公式是指表示数列任意一项与序号相关的式子。求数列的通项公式问题是目前高考中的热点，可以这样毫不夸张地说，只要是涉及数列问题的考试，就一定有求数列通项公式的问题。从各种考试的情况来看，数列通项公式问题主要包括：①已知数列的前几项，求数列的一个通项公式；②求基本数列（等差数列或等比数列）的通项公式；③已知数列的首项，数列的通项公式与前n项和公式之间的关系式，求数列的通项公式；④已知数列的首项和数列的递推公式，求数列的通项公式四种不同的类型。那么在求解数列的通项公式问题时，如何根据不同类型的特征去展开思路，准确、快捷地解答问题呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、数列1，3，7，15，31，------的一个通项公式是（ ）
A = B = +1 C = -1 D =
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几项认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求出数列的通项公式。
【详细解答】1=2-1，3=4-1=-1，7=8-1=-1，15=16-1=-1，31=32-1=-1，--------，
= -1 ，C正确，选C。
2、数列，-，，-，------的一个通项公式是（ ）
A = B = C = D =
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几项认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求出数列的通项公式。
【详细解答】=，-=，=，
-=，--------， = ，C正确，选C。
3、下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项
公式是（ ）（2013河北衡水中学模以） | | |
A =-n+1 B = | | |
C = D = | | |
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几个图形入手，认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求出数列的通项公式。
【详细解答】1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，---------， =1+2+3+-------+n
=，C正确，选C。
4、根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，3，5，7，-------
（2）4，-，2，-，--------
（3）3，5，9，17，33，-----------
（4）-，，-，，--------
（5），，，，----------
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几项认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求出数列的通项公式。
【详细解答】（1）1=21-1，3=4-1=22-1，5=6-1=23-1，7=8-1=24-1，--------，
=2n -1 ；（2）4==，-==，
2==，-==，------，=
；（3）3=2+1，5=4+1=+1，9=8+1=+1，17=16+1=+1，33=32+1=+1，--------，
=+1 ；（4）-==，==，
-==，==，--------， =
；（5）=1+=1+，=2+=2+，=3+=3+，=4+
=4+，-------， =n+=。
『思考问题1』
（1）【典例1】是已知一个数列的前几项，求数列的一个通项公式的问题，解答这类问题需要理解通项公式的定义，了解这类问题的特征，掌握解答的基本方法；
（2）解答已知一个数列的前几项，求数列的一个通项公式问题的基本方法是归纳法（即由特殊到一般）的数学思维方法，根据数列的前几项找出其共同的规律（横看“各项之间的关系”，纵看“项的各部分与项数n的关系”）；其基本步骤是：①对给出的几项认真观察，分析寻找项与项之间的关系；②如果给出的项直接找不出项与项的关系，可以对给出的几项作适当的处理使项与项之间的关系更明显；③根据项与项之间的关系得到规律，求出通项公式；④把求得的通项公式代入已知的项进行验证；
（3）解决这类问题的关键是如何去破解数列已知的前几项，在实际问题中具体包括：①已知的几项是用图形表示的数列；②已知的几项是用数组成的数列；
（4）解答已知的几项是用图形表示的数列时，应该从两个方面入手：①前后两个图形的数量关系（即递推关系）；②由递推关系求出前面几项，再进行归纳；
（5）解答已知的几项是用数组成的数列时，应该从如下四个方面入手：①把前几项化成相同的结构；②利用常见正整数组成的数列推测出项的各部分与项数n的关系；③确定项的符号特征；④注意运用“因数分解”“”的技巧。
〔练习1〕解答下列问题：
1、数列1，，，，------的一个通项公式是（ ）
A = B = C = D =
2、若数列的通项公式为=，记f(n)=2（1-）（1-）-----（1-），试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，猜测f(n)等于（ ）
A B C D
3、数列，，，，-----中，有序实数对（a，b）可以是（ ）
A （21，-5） B （16，-1） C （-，） D （，-）
4、根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）2，4，6，8，-----------
（2），，，，----------
（3）- ，，- ，----------
（4），，，，----------
【典例2】解答下列问题：
1、在等差数列｛｝中，已知=10，=31。求①；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②等差数列的定义与性质；③求等差数列首项，公差的基本方法。
【解题思路】运用等差数列的定义与性质，结合问题条件得到关于首项和公差的二元一次方程组，求解方程组得出等差数列首项和公差的值，从而求出等差数列的通项公式。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+4d=10①，=+11d=31②，联立①②解得：=-2，d=3， =-2+3（n-1）=3n-5，=320-5=55。
2、设数列｛｝的前n项和为 ，若=，+2=0 (n≥2,n∈)。求数列｛｝的通项公式；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n项和的定义与性质；③等差数列的定义与判定方法。
【解题思路】运用数列的通项公式与前n项和公式，结合条件得到关于数列前n和的等式，判定数列{}是等差数列，由等差数列的通项公式求出，再求出，进一步求出数列的通项公式。
【详细解答】当n2时，+2=0，-+2=0，-=2，=，
+2（+）=0，=-，=+=-=，=4，当n2时，数列{}是以4为首项，2为公差的等差数列，=4+2（n-2）=2n，=，
=-=-=- (n≥2)，当n=1时，式子没有意义，数列｛｝的通项公式为= ，n=1，
- ，n≥2。
3、已知等比数列｛｝中，++=7，=8。求；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②等比数列的定义与性质；③求等比数列首项，公比的基本方法。
【解题思路】运用等比数列的定义与性质，结合问题条件得到关于首项和公比的二元一次方程组，求解方程组得出等比数列首项和公比的值，从而求出等比数列的通项公式。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项为，公比为q，++=（1+q+）=7①，==8②，联立①②解得=4，q=或=1，q=2， =4
=或=1=。
4、设有数列｛｝，=，若以，，-----为系数的二次方程-x+1=0 (n≥2,n∈)。都有根、，满足：3-+3=1。
（1）求证：数列｛- ｝为等比数列；
（2）求；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②一元二次方程根与系数的关系定理及运用；③等比数列的定义与判定方法。
【解题思路】（1）运用一元二次方程根与系数的关系定理，结合问题条件得到关于，的等式，根据等比数列的判定方法证明结论；（2）由（1）可知数列｛- ｝为等比数列，运用等比数列的通项公式求出- ，从而求出数列的通项公式。
【详细解答】（1）证明：、是方程-x+1=0 (n≥2,n∈)的根，+
=，.=，3-+3=3（+）-.=1，3-=1，
3-1=，3（-）=-，=，=，3-1=，
=，-=-=， 当n≥2时, 数列｛- ｝是以为首项，为公比的等比数列，-=-=，==，数列｛- ｝是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）知，数列｛- ｝是以为首项，为公比的等比数列，
- ==，=+ (n∈)。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求基本数列通项公式的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，掌握等差数列，等比数列通项公式的求法；
（2）求基本数列的通项公式关键是由条件求出：① ，② （或 ）；
（3）求基本数列的首项，公差（或公比）的基本思想是 ；其基本方法是：①设出基本数列的 ，公差（或公比）；②根据已知条件列出关于首项，公差（或公比）的
组；③求解方程组；④写出基本数列的通项公式。
〔练习2〕解答下列问题：
1、在等差数列｛｝中，已知=10，=19。求①；
2、设数列｛｝是公差为2的等差数列，数列｛｝满足：=2，=(n∈)。求数列｛｝的通项公式；
3、已知数列｛｝是公比为正数的等比数列，若=1，=16,。①求； 4、在等比数列｛｝中，已知=12，=18。①求。
【典例3】解答下列问题：
1、已知数列｛｝的前n项和为，满足+ = ，且=1，那么等于（ ）
A 1 B 9 C 10 D 55
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件求出数列的通项公式，从而求出的值。
【详细解答】当n=m=1时，+ = ，+=，+=+，
=，当n=1，m=2时，+ = ，+=，++=++，
=，当n=1，m=3时，+ = ，+=，+++=+++，=，------，当n=1，m=9时，+ = ，+ = ，+++
+------+=+++-------+，=，A正确，选A。
2、已知数列｛｝的前n项和=2+3n，那么此数列的通项公式为= ；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件就可求出数列的通项公式。
【详细解答】当n=1时，==21+31=2+3=5，当n≥2时, =2+3n，=-=2+3n-2-3（n-1）=2+3n-2+4n-2-3n+3=4n+1，当n=1时，
=41+1=5成立，数列的通项公式为=4n+1(n∈)。
3、若数列｛｝的前n项和=+，则｛｝的通项公式= ；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】当n=1时，求出的值；当n≥2时,运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件得到关于，的等式，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛｝为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出当n≥2时,数列｛｝的通项公式，验证当n=1时是否成立，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】当n=1时， ==+，=1，当n≥2时, =+，=-=+--=-，=-，=-2，
=1，=+=+，=-2，数列｛｝是以-2为首项，-2为公比的等比数列，=-2=（n≥2），当n=1时，==1成立，数列
｛｝的通项公式=(n∈)。
4、设数列｛｝的前n项和为，若=1，=(n∈)。求：；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】当n≥2时,运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件得到关于，的等式，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛｝为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出当n≥2时,数列｛｝的通项公式，验证当n=1时是否成立，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】当n≥2时， =(n∈)，-=（-）=，
=，=，=1，===，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，==（n≥2），当n=1时，==,1，数列｛｝的通项公式= 1，n=1，
，n≥2。
5、已知数列｛｝的各项均为正数，且=（+）。求：；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】当n=1时，求出的值；当n≥2时,运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件得到关于，的等式，根据等差数列判定的基本方法，判定数列｛｝为等差数列，利用等差数列通项公式的求法求出当n≥2时,数列｛｝的通项公式，进一步求出，再利用公式=-求出，验证当n=1时是否成立，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】当n=1时，==（+），=1，=1，>0，=1，当n≥2时， =（+），=（-+），2（-）=
+1，-=1，=1，=+=（+），2+2=+1，
+2-1=0，=-1，>0，=-1，=+=1+-1=，=2，数列｛｝是以2为首项，1为公差的等差数列，=2+（n-2）1=n，
数列｛｝的各项均为正数，=，=-=-（n≥2），当n=1时，=-=1成立，数列｛｝的通项公式=- (n∈)。
6、设数列｛｝的前n项和为，若2=（n+2）-1(n∈)。求：；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】当n=1时，求出的值；当n≥2时,运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件得到关于，的等式，求出关于n的代数式，利用叠乘法求出当n≥2时,数列｛｝的通项公式，验证当n=1时是否成立，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】当n=1时，2=2=（1+2）-1，=1，当n≥2时， 2=（n+2）-1，2（-）=2=（n+2）-（n+1），n=（n+1），
=，=，=，-------，=，=，=，
==（n≥2），当n=1时，==1成立，数列｛｝的通项公式= (n∈)。
『思考问题3』
（1）【典例3】是已知数列的首项，通项与前n项和之间的关系式，求数列通项公式的问题，解答这类问题需要理解数列通项公式，前n项和的定义，注意通项与前n项和之间的联系公式；
（2）解答这类问题的基本思路有两种：①把- (n≥2,n∈)换成；②把换成- (n≥2,n∈)；
（3）这两种方法都要运用通项与前n项和之间的一个重要关系式，这个关系式是
= ；
（4）解答这类问题的基本方法是：①通过把-换成，或把换成-将数列转化为基本数列；② 根据条件求出基本数列的首项；③求出基本数列的通项公式；④求出所求数列的通项公式，并验证n=1时是否成立；⑤得出结果；
（5）解答这类问题时，应该注意的问题是：①把-换成，或把换成-时(n≥2,n∈)的条件，②求出结果后一定要验证n=1是否成立，若n=1时成立，则可以直接写出通项公式；若n=1时不成立，则通项公式应该写成分段式。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知数列｛｝的前n项和=3-2n+1，则其通项公式为 ；
2、已知数列｛｝的前n项和=-9n，则其通项公式= ，若它的第k项满足5＜＜8，则k= ；
3、已知数列｛｝的前n项和为，且=2. +2，则此数列的通项公式为 ；
4、若数列｛｝的前n项和=-10n（n=1，2，3，----），则此数列的通项公式= ；数列｛n｝中数值最小的项是第 项；
5、设数列｛｝的前n项和为，已知=a，=+，n∈。设=-，求数列｛｝的通项公式；
6、设数列｛｝的前n项和为 ，若=，+2=0 (n≥2,n∈)求数列｛｝的通项公式；
7、设数列｛｝的前n项和为，若=1，n=(n+3) (n∈)，求：；
8、设数列｛｝的前n项和为，满足：2=-+1（n∈），且，+5，成等差数列。
（1）求的值；
（2）求数列｛｝的通项公式。
9、设数列｛｝的前n项和为，=1，=+2（n-1）(n∈)。
（1）求证：数列｛｝为等差数列；
（2）求出与关于n的表达式。
【典例4】解答下列问题：
1、已知数列｛｝中，=1，=+1(n∈)，求：；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列递推公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于加上一个常数的新数列，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛+c｝（c为常数）为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出数列｛+c｝的通项公式，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】 =+1(n∈)，-2=+1-2，-2=（-2），
=，=1，-2=1-2=-1，数列｛-2｝是以-1为首项，为公比的等比数列，-2=（-1）=-，=2-(n∈)。
2、已知数列｛｝中，=a，=(n∈)，求：。
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列递推公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于加上一个常数的新数列，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛+c｝（c为常数）为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出数列｛+c｝的通项公式，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】 =(n∈)，+=2，+1=，
+1-2=-2，-1=2(-1)，=，=a，-1=-1=，数列｛-1｝是以为首项，为公比的等比数列，-1==，
= (n∈)。
3、根据下列条件，确定数列｛｝的通项公式：
（1）=1，=；（2）=1，=3+2；（3）=2，=+ln（1+）。
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列递推公式的定义与性质。
【解题思路】（1）运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于n的代数式，利用叠乘法就可求出数列｛｝的通项公式；（2）运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于加上一个常数的新数列，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛+c｝（c为常数）为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出数列｛+c｝的通项公式，从而得出数列｛｝的通项公式；（3）运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到-关于n的代数式，利用叠加法就可求出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】（1） =，=，=，=，--------，
=，=2，=..--------..2==，=1，=
= (n∈)；（2）=3+2，+1=3+2+1，+1=3（+1），
=3，=1，+1=1+1=2，数列｛+1｝是以2为首项，3为公比的等比数列，+1=2，=2-1 (n∈)；（3）=+ln（1+），,-=ln（1+）=ln，-= ln ，-= ln ，--------，-= ln ，
-=ln2，-= ln+ ln +--------+ ln + ln2，=ln-------
2=lnn，=lnn+，=2，=2+lnn=lnn (n∈)。
『思考问题4』
(1) 【典例4】是已知数列的首项和递推公式，求数列通项公式的问题，解答这类问题需要理解递推公式的定义；
（2）解答这类问题的基本思路是构造一个新数列，使构造的新数列为基本数列；
（3）这类问题常见的类型有：①=+f(n)（n2，n∈）；②=f(n) （n2，n∈）；③=+c（n2，n∈，c为常数）；
（4）求解这类问题的基本方法是：①由已知的递推公式向上（或向下）得到一个式子；②把已知式子与递推式子相减构造一个新数列，③求出新数列的通项公式；④根据新数列的通项公式求出所求数列的通项公式；
（5）求出新数列通项公式后求所求数列通项公式时常用的方法是：①叠加法，适用于=+f(n)（n2，n∈）这种类型；②叠乘法，适用于=f(n) （n2，n∈）这种类型；③换元法，适用于=p+q（n2，p0，且p1）；④迭代法，将=f()代入=f()得到与的关系，再将=f（）代入，-------直到=f（）代入为止。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知数列｛｝满足=1，=（n2，n∈)，则= ；
2、已知数列｛｝的前n项和为，且=2-1(n∈)，则等于（ ）
A -16 B 16 C 31 D 32
3、已知数列｛｝中，=9，3=4-(n∈)，求：；
4、已知数列｛｝中，=，=4+1(n∈)，求：。
数列的通项公式是指表示数列任意一项与序号相关的式子。求数列的通项公式问题是目前高考中的热点，可以这样毫不夸张地说，只要是涉及数列问题的考试，就一定有求数列通项公式的问题。从各种考试的情况来看，数列通项公式问题主要包括：①已知数列的前几项，求数列的一个通项公式；②求基本数列（等差数列或等比数列）的通项公式；③已知数列的首项，数列的通项公式与前n项和公式之间的关系式，求数列的通项公式；④已知数列的首项和数列的递推公式，求数列的通项公式四种不同的类型。那么在求解数列的通项公式问题时，如何根据不同类型的特征去展开思路，准确、快捷地解答问题呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、数列1，3，7，15，31，------的一个通项公式是（ ）
A = B = +1 C = -1 D =
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几项认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求出数列的通项公式。
【详细解答】1=2-1，3=4-1=-1，7=8-1=-1，15=16-1=-1，31=32-1=-1，--------，
= -1 ，C正确，选C。
2、数列，-，，-，------的一个通项公式是（ ）
A = B = C = D =
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几项认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求出数列的通项公式。
【详细解答】=，-=，=，
-=，--------， = ，C正确，选C。
3、下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项
公式是（ ）（2013河北衡水中学模以） | | |
A =-n+1 B = | | |
C = D = | | |
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几个图形入手，认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求出数列的通项公式。
【详细解答】1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，---------， =1+2+3+-------+n
=，C正确，选C。
4、根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，3，5，7，-------
（2）4，-，2，-，--------
（3）3，5，9，17，33，-----------
（4）-，，-，，--------
（5），，，，----------
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几项认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求出数列的通项公式。
【详细解答】（1）1=21-1，3=4-1=22-1，5=6-1=23-1，7=8-1=24-1，--------，
=2n -1 ；（2）4==，-==，
2==，-==，------，=
；（3）3=2+1，5=4+1=+1，9=8+1=+1，17=16+1=+1，33=32+1=+1，--------，
=+1 ；（4）-==，==，
-==，==，--------， =
；（5）=1+=1+，=2+=2+，=3+=3+，=4+
=4+，-------， =n+=。
『思考问题1』
（1）【典例1】是已知一个数列的前几项，求数列的一个通项公式的问题，解答这类问题需要理解通项公式的定义，了解这类问题的特征，掌握解答的基本方法；
（2）解答已知一个数列的前几项，求数列的一个通项公式问题的基本方法是归纳法（即由特殊到一般）的数学思维方法，根据数列的前几项找出其共同的规律（横看“各项之间的关系”，纵看“项的各部分与项数n的关系”）；其基本步骤是：①对给出的几项认真观察，分析寻找项与项之间的关系；②如果给出的项直接找不出项与项的关系，可以对给出的几项作适当的处理使项与项之间的关系更明显；③根据项与项之间的关系得到规律，求出通项公式；④把求得的通项公式代入已知的项进行验证；
（3）解决这类问题的关键是如何去破解数列已知的前几项，在实际问题中具体包括：①已知的几项是用图形表示的数列；②已知的几项是用数组成的数列；
（4）解答已知的几项是用图形表示的数列时，应该从两个方面入手：①前后两个图形的数量关系（即递推关系）；②由递推关系求出前面几项，再进行归纳；
（5）解答已知的几项是用数组成的数列时，应该从如下四个方面入手：①把前几项化成相同的结构；②利用常见正整数组成的数列推测出项的各部分与项数n的关系；③确定项的符号特征；④注意运用“因数分解”“”的技巧。
〔练习1〕解答下列问题：
1、数列1，，，，------的一个通项公式是（ ）
A = B = C = D =
2、若数列的通项公式为=，记f(n)=2（1-）（1-）-----（1-），试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，猜测f(n)等于（ ）
A B C D
3、数列，，，，-----中，有序实数对（a，b）可以是（ ）
A （21，-5） B （16，-1） C （-，） D （，-）
4、根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）2，4，6，8，-----------
（2），，，，----------
（3）- ，，- ，----------
（4），，，，----------
【典例2】解答下列问题：
1、在等差数列｛｝中，已知=10，=31。求①；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②等差数列的定义与性质；③求等差数列首项，公差的基本方法。
【解题思路】运用等差数列的定义与性质，结合问题条件得到关于首项和公差的二元一次方程组，求解方程组得出等差数列首项和公差的值，从而求出等差数列的通项公式。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+4d=10①，=+11d=31②，联立①②解得：=-2，d=3， =-2+3（n-1）=3n-5，=320-5=55。
2、设数列｛｝的前n项和为 ，若=，+2=0 (n≥2,n∈)。求数列｛｝的通项公式；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n项和的定义与性质；③等差数列的定义与判定方法。
【解题思路】运用数列的通项公式与前n项和公式，结合条件得到关于数列前n和的等式，判定数列{}是等差数列，由等差数列的通项公式求出，再求出，进一步求出数列的通项公式。
【详细解答】当n2时，+2=0，-+2=0，-=2，=，
+2（+）=0，=-，=+=-=，=4，当n2时，数列{}是以4为首项，2为公差的等差数列，=4+2（n-2）=2n，=，
=-=-=- (n≥2)，当n=1时，式子没有意义，数列｛｝的通项公式为= ，n=1，
- ，n≥2。
3、已知等比数列｛｝中，++=7，=8。求；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②等比数列的定义与性质；③求等比数列首项，公比的基本方法。
【解题思路】运用等比数列的定义与性质，结合问题条件得到关于首项和公比的二元一次方程组，求解方程组得出等比数列首项和公比的值，从而求出等比数列的通项公式。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项为，公比为q，++=（1+q+）=7①，==8②，联立①②解得=4，q=或=1，q=2， =4
=或=1=。
4、设有数列｛｝，=，若以，，-----为系数的二次方程-x+1=0 (n≥2,n∈)。都有根、，满足：3-+3=1。
（1）求证：数列｛- ｝为等比数列；
（2）求；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②一元二次方程根与系数的关系定理及运用；③等比数列的定义与判定方法。
【解题思路】（1）运用一元二次方程根与系数的关系定理，结合问题条件得到关于，的等式，根据等比数列的判定方法证明结论；（2）由（1）可知数列｛- ｝为等比数列，运用等比数列的通项公式求出- ，从而求出数列的通项公式。
【详细解答】（1）证明：、是方程-x+1=0 (n≥2,n∈)的根，+
=，.=，3-+3=3（+）-.=1，3-=1，
3-1=，3（-）=-，=，=，3-1=，
=，-=-=， 当n≥2时, 数列｛- ｝是以为首项，为公比的等比数列，-=-=，==，数列｛- ｝是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）知，数列｛- ｝是以为首项，为公比的等比数列，
- ==，=+ (n∈)。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求基本数列通项公式的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，掌握等差数列，等比数列通项公式的求法；
（2）求基本数列的通项公式关键是由条件求出：① ，② （或 ）；
（3）求基本数列的首项，公差（或公比）的基本思想是 ；其基本方法是：①设出基本数列的 ，公差（或公比）；②根据已知条件列出关于首项，公差（或公比）的
组；③求解方程组；④写出基本数列的通项公式。
〔练习2〕解答下列问题：
1、在等差数列｛｝中，已知=10，=19。求①；
2、设数列｛｝是公差为2的等差数列，数列｛｝满足：=2，=(n∈)。求数列｛｝的通项公式；
3、已知数列｛｝是公比为正数的等比数列，若=1，=16,。①求； 4、在等比数列｛｝中，已知=12，=18。①求。
【典例3】解答下列问题：
1、已知数列｛｝的前n项和为，满足+ = ，且=1，那么等于（ ）
A 1 B 9 C 10 D 55
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件求出数列的通项公式，从而求出的值。
【详细解答】当n=m=1时，+ = ，+=，+=+，
=，当n=1，m=2时，+ = ，+=，++=++，
=，当n=1，m=3时，+ = ，+=，+++=+++，=，------，当n=1，m=9时，+ = ，+ = ，+++
+------+=+++-------+，=，A正确，选A。
2、已知数列｛｝的前n项和=2+3n，那么此数列的通项公式为= ；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件就可求出数列的通项公式。
【详细解答】当n=1时，==21+31=2+3=5，当n≥2时, =2+3n，=-=2+3n-2-3（n-1）=2+3n-2+4n-2-3n+3=4n+1，当n=1时，
=41+1=5成立，数列的通项公式为=4n+1(n∈)。
3、若数列｛｝的前n项和=+，则｛｝的通项公式= ；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】当n=1时，求出的值；当n≥2时,运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件得到关于，的等式，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛｝为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出当n≥2时,数列｛｝的通项公式，验证当n=1时是否成立，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】当n=1时， ==+，=1，当n≥2时, =+，=-=+--=-，=-，=-2，
=1，=+=+，=-2，数列｛｝是以-2为首项，-2为公比的等比数列，=-2=（n≥2），当n=1时，==1成立，数列
｛｝的通项公式=(n∈)。
4、设数列｛｝的前n项和为，若=1，=(n∈)。求：；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】当n≥2时,运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件得到关于，的等式，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛｝为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出当n≥2时,数列｛｝的通项公式，验证当n=1时是否成立，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】当n≥2时， =(n∈)，-=（-）=，
=，=，=1，===，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，==（n≥2），当n=1时，==,1，数列｛｝的通项公式= 1，n=1，
，n≥2。
5、已知数列｛｝的各项均为正数，且=（+）。求：；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】当n=1时，求出的值；当n≥2时,运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件得到关于，的等式，根据等差数列判定的基本方法，判定数列｛｝为等差数列，利用等差数列通项公式的求法求出当n≥2时,数列｛｝的通项公式，进一步求出，再利用公式=-求出，验证当n=1时是否成立，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】当n=1时，==（+），=1，=1，>0，=1，当n≥2时， =（+），=（-+），2（-）=
+1，-=1，=1，=+=（+），2+2=+1，
+2-1=0，=-1，>0，=-1，=+=1+-1=，=2，数列｛｝是以2为首项，1为公差的等差数列，=2+（n-2）1=n，
数列｛｝的各项均为正数，=，=-=-（n≥2），当n=1时，=-=1成立，数列｛｝的通项公式=- (n∈)。
6、设数列｛｝的前n项和为，若2=（n+2）-1(n∈)。求：；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】当n=1时，求出的值；当n≥2时,运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件得到关于，的等式，求出关于n的代数式，利用叠乘法求出当n≥2时,数列｛｝的通项公式，验证当n=1时是否成立，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】当n=1时，2=2=（1+2）-1，=1，当n≥2时， 2=（n+2）-1，2（-）=2=（n+2）-（n+1），n=（n+1），
=，=，=，-------，=，=，=，
==（n≥2），当n=1时，==1成立，数列｛｝的通项公式= (n∈)。
『思考问题3』
（1）【典例3】是已知数列的首项，通项与前n项和之间的关系式，求数列通项公式的问题，解答这类问题需要理解数列通项公式，前n项和的定义，注意通项与前n项和之间的联系公式；
（2）解答这类问题的基本思路有两种：①把- (n≥2,n∈)换成；②把换成- (n≥2,n∈)；
（3）这两种方法都要运用通项与前n项和之间的一个重要关系式，这个关系式是
= ；
（4）解答这类问题的基本方法是：①通过把-换成，或把换成-将数列转化为基本数列；② 根据条件求出基本数列的首项；③求出基本数列的通项公式；④求出所求数列的通项公式，并验证n=1时是否成立；⑤得出结果；
（5）解答这类问题时，应该注意的问题是：①把-换成，或把换成-时(n≥2,n∈)的条件，②求出结果后一定要验证n=1是否成立，若n=1时成立，则可以直接写出通项公式；若n=1时不成立，则通项公式应该写成分段式。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知数列｛｝的前n项和=3-2n+1，则其通项公式为 ；
2、已知数列｛｝的前n项和=-9n，则其通项公式= ，若它的第k项满足5＜＜8，则k= ；
3、已知数列｛｝的前n项和为，且=2. +2，则此数列的通项公式为 ；
4、若数列｛｝的前n项和=-10n（n=1，2，3，----），则此数列的通项公式= ；数列｛n｝中数值最小的项是第 项；
5、设数列｛｝的前n项和为，已知=a，=+，n∈。设=-，求数列｛｝的通项公式；
6、设数列｛｝的前n项和为 ，若=，+2=0 (n≥2,n∈)求数列｛｝的通项公式；
7、设数列｛｝的前n项和为，若=1，n=(n+3) (n∈)，求：；
8、设数列｛｝的前n项和为，满足：2=-+1（n∈），且，+5，成等差数列。
（1）求的值；
（2）求数列｛｝的通项公式。
9、设数列｛｝的前n项和为，=1，=+2（n-1）(n∈)。
（1）求证：数列｛｝为等差数列；
（2）求出与关于n的表达式。
【典例4】解答下列问题：
1、已知数列｛｝中，=1，=+1(n∈)，求：；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列递推公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于加上一个常数的新数列，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛+c｝（c为常数）为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出数列｛+c｝的通项公式，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】 =+1(n∈)，-2=+1-2，-2=（-2），
=，=1，-2=1-2=-1，数列｛-2｝是以-1为首项，为公比的等比数列，-2=（-1）=-，=2-(n∈)。
2、已知数列｛｝中，=a，=(n∈)，求：。
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列递推公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于加上一个常数的新数列，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛+c｝（c为常数）为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出数列｛+c｝的通项公式，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】 =(n∈)，+=2，+1=，
+1-2=-2，-1=2(-1)，=，=a，-1=-1=，数列｛-1｝是以为首项，为公比的等比数列，-1==，
= (n∈)。
3、根据下列条件，确定数列｛｝的通项公式：
（1）=1，=；（2）=1，=3+2；（3）=2，=+ln（1+）。
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列递推公式的定义与性质。
【解题思路】（1）运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于n的代数式，利用叠乘法就可求出数列｛｝的通项公式；（2）运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于加上一个常数的新数列，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛+c｝（c为常数）为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出数列｛+c｝的通项公式，从而得出数列｛｝的通项公式；（3）运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到-关于n的代数式，利用叠加法就可求出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】（1） =，=，=，=，--------，
=，=2，=..--------..2==，=1，=
= (n∈)；（2）=3+2，+1=3+2+1，+1=3（+1），
=3，=1，+1=1+1=2，数列｛+1｝是以2为首项，3为公比的等比数列，+1=2，=2-1 (n∈)；（3）=+ln（1+），,-=ln（1+）=ln，-= ln ，-= ln ，--------，-= ln ，
-=ln2，-= ln+ ln +--------+ ln + ln2，=ln-------
2=lnn，=lnn+，=2，=2+lnn=lnn (n∈)。
『思考问题4』
(1) 【典例4】是已知数列的首项和递推公式，求数列通项公式的问题，解答这类问题需要理解递推公式的定义；
（2）解答这类问题的基本思路是构造一个新数列，使构造的新数列为基本数列；
（3）这类问题常见的类型有：①=+f(n)（n2，n∈）；②=f(n) （n2，n∈）；③=+c（n2，n∈，c为常数）；
（4）求解这类问题的基本方法是：①由已知的递推公式向上（或向下）得到一个式子；②把已知式子与递推式子相减构造一个新数列，③求出新数列的通项公式；④根据新数列的通项公式求出所求数列的通项公式；
（5）求出新数列通项公式后求所求数列通项公式时常用的方法是：①叠加法，适用于=+f(n)（n2，n∈）这种类型；②叠乘法，适用于=f(n) （n2，n∈）这种类型；③换元法，适用于=p+q（n2，p0，且p1）；④迭代法，将=f()代入=f()得到与的关系，再将=f（）代入，-------直到=f（）代入为止。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知数列｛｝满足=1，=（n2，n∈)，则= ；
2、已知数列｛｝的前n项和为，且=2-1(n∈)，则等于（ ）
A -16 B 16 C 31 D 32
3、已知数列｛｝中，=9，3=4-(n∈)，求：；
4、已知数列｛｝中，=，=4+1(n∈)，求：。