2019-2020学年高一数学人教A版必修2学案：4.1.2圆的标准方程Word版含答案

第四章　圆与方程
4.1　圆的方程
4.1.2　圆的一般方程
学习目标
1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.
2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程.
3.体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力.能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程.
学习过程
一、设计问题,创设情境
我们已经学习了圆的标准方程,请同学们思考
方程(x-1)2+(y+2)2=4表示什么图形?它与方程x2+y2-2x+4y+1=0是什么关系?
问题1:把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后是什么形式?
问题2:方程:x2+y2-6x+8y+20=0表示的曲线是什么图形?
二、自主探索,尝试解决
1.我们知道,圆的一般方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,它体现了圆心和半径.展开后是一个关于x,y的二元二次式:　;?
2.圆的标准方程展开都是一个关于x,y的二元二次式x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,反之关于x、y的二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0都表示圆吗?
三、信息交流,揭示规律
3.圆的一般方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,它体现了圆心和半径.展开后是一个关于x,y的二元二次式:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
关于x,y的二元二次式x2+y2+Dx+Ey+F=0　　　　表示圆,通过对其进行配方得:　　　　;当　　　　,即　　　　时表示圆心为(-,-),半径为r=的圆.?
当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示　　　　.?
当D2+E2-4F<0时,x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形.
四、运用规律,解决问题
4.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长:
(1)x2+y2-6x=0
(2)x2+y2+2by=0
(3)x2+y2-2ax-2ay+3a2=0
总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)
5.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.
解:
总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)
五、变练演编,深化提高
从所给的题目来看,题目主要涉及圆的一般方程的求解和利用圆的一般方程确定圆心和半径进行设计,而所涉及的条件主要是圆上的点,同学们仿照例题可以自己进行题目的编写.
6.平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一个圆上?为什么?
解:
六、信息交流,教学相长
请同学们把你编写的较为典型的题目选几个写在下面.
七、反思小结,观点提炼
1.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
2.求圆的一般方程的方法:待定系数法.
3.求圆的一般方程需要三个条件:待定方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
(D2+E2-4F>0)中的D,E,F.
参考答案
二、1.x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
三、3.不都,(x+)2+(y+)2=>0,D2+E2-4F>0,一个点(-,-)
四、4.(1)(x-3)2+y2=9　圆心(3,0)　半径r=3
(2)x2+(y+b)2=b2　圆心(0,-b)　半径r=|b|
(3)(x-a)2+(y-a)2=a2　圆心(a,a)　半径r=|a|
5.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)则解得
所求圆的方程为:x2+y2-8y+6x=0
圆心为(4,-3),半径为r=5
五、6.设经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
把A(0,1),B(2,1),C(3,4)的坐标分别代入圆的方程,得解得
∴经过A,B,C三点的圆方程为x2+y2-2x-6y+5=0.
再将点D的坐标(-1,2)代入上面方程的左边,得(-1)2+22-2×(-1)-6×2+5=0,
所以点D也在经过A,B,C三点的圆上,即A,B,C,D这四点在同一个圆上.