人教B版（2019）数学必修（第三册）：7.3.4 正切函数的性质与图像 学案（含答案）

正切函数的性质与图像
【学习目标】
1．能画出y＝tan x的图像，借助图像理解正切函数在区间上的性质．
2．掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图像与性质解决综合问题．
【学习重难点】
掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期．
【学习过程】
一、初试身手
1．函数y＝－3tan x＋7的值域是( )
A．R
B．{x|x≠kπ＋，k∈Z}
C．(0，＋∞)
D．(k∈Z)
2．y＝tan定义域为________．
3．函数y＝tan的单调增区间为________．
二、合作探究
1．正切函数的定义域、值域问题
【例1】（1）函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域是________．
（2）函数y＝tan(sin x)的值域为________．
（3）求函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈的值域．
[思路探究]（1）列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．
（2）利用正弦函数的有界性及正切函数图像求值域．
（3）换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．
[提示]（1）要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则
即－1≤tan x<1．
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为.
（2）因为－1≤sin x≤1，且[－1,1]?，
所以y＝tan x在[－1,1]上是增函数，
因此tan(－1)≤tan x≤tan 1，
即函数y＝tan(sin x)的值域为[－tan 1，tan 1]．
（3）解：令t＝tan x，
∵x∈，∴t＝tan x∈[－，)，
∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1，
∴t＝1时，取最大值6，
t＝－时，取最小值2－2，
∴函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈时的值域为[2－2，6]．
2．正切函数的奇偶性、周期性
【例2】（1）函数y＝4tan的周期为________．
（2）判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝；
②f(x)＝tan＋tan.
[思路探究]（1）可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图像来求．
（2）可按定义法的步骤判断．
[提示]（1） [由于ω＝3，故函数的周期为T＝＝.]
（2）①由
得f(x)的定义域为
，
不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
②函数定义域为
，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan
＝－tan－tan
＝－f(x)，
所以函数是奇函数．
3．正切函数的单调性
[探究问题]
正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？
[提示]不是．函数的单调性是相对于定义域内的某个区间而言的．正切函数的图像被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝，x2＝π，x1正切函数的定义域能写成，(k∈Z)吗？为什么？
[提示]不能．因为正切函数的定义域是，它表示x是不等于＋kπ(k∈Z)的全体实数，而(k∈Z)只表示k取某个整数时的一个区间，而不是所有区间的并集．
【例3】（1）求函数y＝tan的单调区间；
（2）比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
[思路探究]（1）可先令y＝－tan，从而把x－整体代入，k∈Z这个区间内解出x便可．
（2）可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，最后利用y＝tan x在上的单调性判断大小关系．
[解]（1）y＝tan＝－tan，
由kπ－<x－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)，无增区间．
（2）∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan(2－π)即tan 2【学习小结】
1．正切函数的图像
（1）正切函数的图像：
y＝tan x的图像如图．
（2）正切函数的图像叫做正切曲线．
（3）正切函数的图像特征：
正切曲线是由通过点(k∈Z)且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
2．正切函数的性质
（1）函数y＝tan x的图像与性质表：
解析式
y＝tan x
图像
定义域

值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间k∈Z内都是增函数
（2）函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是.
【精炼反馈】
1．函数y＝tan x的值域是( )
A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
B [根据函数的单调性可得．]
2．直线y＝3与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是( )
A．π B．
C． D．
C [直线y＝3与函数y＝tan ωx的图像的相邻交点间的距离为y＝tan ωx的周期，故距离为.]
3．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________.
  [由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋kπ(k∈Z)．
故定义域为，
且f＝tan＝.]
4．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．
(k∈Z) [因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，所以y＝－tan x的单调递减区间为(k∈Z)．]
5．求下列函数的定义域：
（1）y＝；
（2）y＝lg(－tan x)．
[解] （1）要使函数y＝有意义，需使

所以函数的定义域为
.
（2）要使函数有意义，则－tan x>0，所以tan x<.
又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图像(图略)，
得kπ－