圆周运动
【学习目标】
（1）理解并记住描述圆周运动的物理量。
（2）学会解匀速圆周运动的运动学问题。
（3）掌握解圆周运动动力学问题的一般方法。
【学习重点】
线速度、角速度、周期概念的理解，及其相互关系的理解和应用，匀速圆周运动的特点。
【学习难点】
理解线速度、角速度的物理意义和匀速圆周运动是变速曲线运动的理解。
【新知探究】
一、自主学习
1．描述圆周运动的物理量
物理量 物理意义 定义、公式、单位
线速度 描述物体沿圆周____方向运动的快慢程度 ①物体沿圆周通过的____与时间的比值 ②v＝________ ③单位：m/s ④方向：沿____________方向
角速度 描述物体绕圆心________的快慢 ①连结运动质点和圆心的半径扫过的________与时间的比值 ②ω＝________ ③单位：rad/s
周期 和转速 描述匀速圆周运动的______ ①周期T：做匀速圆周运动的物体，转过____所用的时间，公式T＝________，单位：____ ②转速n：物体单位时间内所转过的____，单位：____、____
2．当物体做匀速圆周运动时，线速度大小处处________，方向沿圆周________方向，是一种变速运动。
3．线速度和周期的关系式是________，角速度和周期的关系式是________，线速度和角速度的关系式是________，频率和周期的关系式是________。
4．在分析传动装置的各物理量之间的关系时，要先明确什么量是相等的，什么量是不等的，在通常情况下：
（1）同轴的各点角速度、转速、周期________，线速度与半径成________。
（2）在不考虑皮带打滑的情况下，皮带上各点与传动轮上各点线速度大小________，而角速度与半径成________。
5．下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是（ ）
A．线速度不变 B．角速度不变
C．加速度为零 D．周期不变
6．关于匀速圆周运动的角速度和线速度，下列说法正确的是（ ）
A．半径一定，角速度和线速度成反比
B．半径一定，角速度和线速度成正比
C．线速度一定，角速度和半径成反比
D．角速度一定，线速度和半径成正比
二、合作学习
知识点一：匀速圆周运动的概念
1．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中错误的是（ ）
A．相等的时间内通过的路程相等
B．相等的时间内通过的弧长相等
C．相等的时间内运动的位移相同
D．相等的时间内转过的角度相等
知识点二：描述圆周运动的物理量之间的关系
图1
2．如图1所示，圆环以直径AB为轴匀速转动，已知其半径R＝0.5 m，转动周期T＝4 s，
求环上P点和Q点的角速度和线速度。
知识点三 传动装置问题的分析
3．如图2所示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为，从动轮的半径为。已知主动
轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是（ ）
图2
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n
4．如图3所示的皮带传动装置（传动皮带是绷紧的且运动中不打滑）中，主动轮O1的半径为，从动轮O2有大小两轮且固定在同一个轴心O2上，半径分别为、，已知＝2，＝1.5，A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则当整个传动装置正常工作时，A、B、C三点的线速度之比为________；角速度之比为________；周期之比为________。
图3
5．
图4
如图4所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝________，圆盘转动的角速度ω＝________。
6．如图5所示，
图5
有一直径为d的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴O匀速转动，然后使子弹沿直径穿过圆筒。若子弹在圆筒旋转不到半周时，就在圆筒上先后留下A、B两个弹孔，已知aO、bO的夹角为φ，求子弹的速度。
【学习小结】
1．线速度：做圆周运动的物体通过的弧长与所有时间的比值v=Δl/Δt
2．匀速圆周运动：匀速的含义是指“速率不变”。角速度不变的运动
3．角速度：做圆周运动的物体的半径扫描过的角度与时间的比值ω=Δθ/Δt单位：rad/s
4．v与T的关系：v= 2πr/T
5．ω与T（f n）的关系：
ω=2π/T= 2πf =2πn
【参考答案】
【自主学习】
1．切线 ①弧长 ② ④圆弧的切线 转动 ①角度 ② 快慢程度 ①一周 s ②圈数，r/s ，r/min
2．相等，切线
3．v＝，ω＝，v＝rω，f＝
4．（1）相等，正比 （2）相等，反比
5．BD [匀速圆周运动的角速度是不变的，线速度的大小不变，但方向时刻变化，故匀速圆周运动的线速度是改变的，因而加速度不为零。]
6．BCD [由v＝ωr，知B、C、D正确。]
【合作学习】
1．C [匀速圆周运动在任意相等的时间内通过的弧长相等，通过的角度相等，但相等时间段内对应的位移方向不同，故C错。]
2．1.57 rad/s 1.57 rad/s 0.39 m/s 0.68 m/s
解析 P点和Q点的角速度相同，其大小是
ω＝＝ rad/s＝1.57 rad/s
P点和Q点绕AB做圆周运动，其轨迹的圆心不同。P点和Q点的圆半径分别为
＝R·sin 30°＝R，＝R·sin 60°＝R。
故其线速度分别为
＝ω·≈0.39 m/s，＝ω·＝0.68 m/s。
点评：解决此类题目首先要确定质点做圆周运动的轨迹所在的平面及圆心的位置，从而确定半径，然后由v、ω的定义式及v、ω、R的关系式来计算。
3．BC [主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A项错误，B项正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v＝2πrn，可得两轮转速与半径成反比，所以C项正确，D项错误。]
4．4∶4∶3，2∶1∶1，1∶2∶2
解析：因同一轮子（或固定在同一轴心上的两轮）上各点的角速度都相等，皮带传动（皮带不打滑）中与皮带接触的轮缘上各点在相等时间内转过的圆弧长度相等，其线速度都相等。故本题中的B、C两点的角速度相等，即
＝ ①
A、B两点的线速度相等，即＝ ②
因A、B两点分别在半径为和的轮缘上，＝2.
故由ω＝及②式
可得角速度＝2 ③
由①③式可得A、B、C三点角速度之比为
∶∶＝2∶1∶1 ④
因B、C分别在半径为、的轮缘上，
＝＝
故由v＝rω及①式
可得线速度＝ ⑤
由②⑤式可得A、B、C三点线速度之比为
∶∶＝4∶4∶3 ⑥
由T＝及④式可得A、B、C三点的周期之比为
TA∶TB∶TC＝1∶2∶2． ⑦
点评：①同一圆盘上的各点角速度和周期相同。②皮带（皮带不打滑）或齿轮传动的两圆盘，与皮带相接触的点或两圆盘的接触点线速度相同。
5．R 2nπ（n＝1，2，3，…）
解析：小球做平抛运动，在竖直方向上有h＝gt2，则运动时间t＝。
又因为水平位移为R，所以小球的初速度
v＝＝R。
在时间t内圆盘转过的角度θ＝n·2π（n＝1，2，3，…）
又因为θ＝ωt，则圆盘转动的角速度ω＝＝＝2nπ（n＝1，2，3，…）
方法总结 由于圆周运动的周期性，解答时要注意各种解的可能性。与平抛运动的结合也是从时间上找突破口，兼顾位移关系。
6．
解析：子弹从a穿入圆筒到从b穿出圆筒，圆筒旋转不到半周，故圆筒转过的角度为π－φ，则子弹穿过圆筒的时间为t＝。
在这段时间内子弹的位移为圆筒的直径d，则子弹的速度为v＝＝。
方法总结：两种运动的结合，其结合点是时间，抓住时间的等量关系，此题就可迎刃而解。
5 / 6
向心力
【学习目标】
1．理解向心力的概念。
2．知道向心力与哪些因素有关，理解公式的确切含义并能用来计算。
3．能够应用向心力公式求解圆周运动的问题。
【学习重点】
1．理解向心力的概念。
2．理解牛顿第二定律在圆周运动上的应用，会确定轨道平面、圆心及向心力。
【学习难点】
向心力的确定和运用向心力的知识解释有关现象。
【新知探究】
一、向心力及其大小
1．向心力：做 运动的物体，会受到指向 的合力，这个合力叫做向心力。
（1）向心力总是指向圆心，始终与 垂直，只改变速度的 而不改变速度的 。
（2）向心力是根据力的 命名，可是各种性质的力，也可以是它们的 ，还可以是某个力的 。
（3）如果物体做匀速圆周运动，向心力就是物体受到的 ；如果物体做 运动（线速度大小时刻改变），向心力并非是物体受到的合外力。
（4）向心力的大小：由实验验证知，向心力的大小与物体的质量有关，与物体转动的角速度和半径有关。精确的实验证明，做匀速圆周运动的物体所受的向心力与物体质量成正比、与半径成正比、与角速度的平方成正比。向心力公式是：F向=mω2r=m。
（5）对向心力公式的理解：
向心力公式F向=，其意义是：质量为m的物体在半径为r的圆周上以速率v做匀速圆周运动所需要的合外力（向心力）大小是。同样的道理，F向=mω2r，其意义是：质量为m的物体在半径为r的圆周上以角速度ω做匀速圆周运动需要的合外力是mω2r。
如果物体所受的合力大小不满足或mω2r等，方向不总是垂直于线速度的方向，物体就会偏离圆轨道做一般的曲线运动。
二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图1所示。
图1
（1）跟圆周相切的分力Ft：改变物体速度的大小。
（2）指向圆心的分力Fn：改变物体速度的方向。
2．一般的曲线运动的处理方法
（1）一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
（2）处理方法：可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看做一小段圆弧。研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理。
【学习小结】
1．做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力就叫作向心力，用符号：F向
2．向心力来源
向心力是根据力的作用效果命名的，它不是具有确定性质的某种力，它可以是某一个力或者几个力的合力提供的。
3．向心力的大小可以表示为：F向=mω2r=m。
【精练反馈】
1．如图所示，在光滑水平面上，两个相同的小球A、B固定在同一杆上，以O点为圆心做匀速圆周运动。A、B两球在运动过程中，下列物理量时刻相等的是（ ）
A．角速度
B．线速度
C．向心加速度
D．向心力
解析A、B两球共轴转动，角速度相等，故A正确；根据v=ωr可知，角速度相等，半径不等，则线速度不等，故B错误；根据a=ω2r可知，角速度相等，半径不等，则向心加速度不等，故C错误；根据F=mω2r可知，角速度相等，半径不等，则向心力不等，故D错误。
答案A
2．物体做匀速圆周运动的条件是（ ）
A．有一定的初速度，且受到一个始终与初速度垂直的恒力作用
B．有一定的初速度，且受到一个大小不变，方向变化的力的作用
C．有一定的初速度，且受到一个方向始终指向圆心的力的作用
D．有一定的初速度，且受到一个大小不变，方向始终和速度垂直的合力作用
解析做匀速圆周运动的物体，必须受到一个大小不变，方向时刻指向圆心的向心力的作用，且其向心力等于合外力，故只有D正确。
答案D
3．如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动。关于小强的受力，下列说法正确的是（ ）
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力为零
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力仍指向圆心
解析由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力，A、B错误，C正确；当小强随圆盘一起做变速圆周运动时，合力不再指向圆心，则其所受的摩擦力不再指向圆心，D错。
答案C
4．由上海飞往美国洛杉矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，如果保持飞行速度的大小和距离海平面的高度均不变，则以下说法中正确的是（ ）
A．飞机做的是匀速直线运动
B．飞机上的乘客对座椅的压力略大于地球对乘客的引力
C．飞机上的乘客对座椅的压力略小于地球对乘客的引力
D．飞机上的乘客对座椅的压力为零
解析由于人同飞机一同做匀速圆周运动，地球对人的引力和座椅对人的支持力的合力提供人做匀速圆周运动所需的向心力，即F引-F支=m。由此可以知道F引>F支，由牛顿第三定律F支=F压，所以C项正确。
答案C
5．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L=0.8 m的细绳悬于以v=4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球分别与小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FB∶FA为（g取10 m/s2）（ ）
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析设两小球A、B的质量均为m。小车突然停止运动时，小球B由于受到小车前壁向左的弹力作用，相对于小车静止，竖直方向上受力平衡，则有FB=mg=10m；小球A绕悬点以速度v做圆周运动，此时有FA-mg=m，得FA=mg+m=10m+20m=30m。故FB∶FA=1∶3，选项C正确。
答案C
6．一箱土豆在水平转盘上随转盘以角速度ω做匀速圆周运动，其中一个处于中间位置的土豆质量为m，它到转轴的距离为R，重力加速度为g，则其他土豆对该土豆的作用力为（ ）
A．mg B．mω2R
C． D．
解析土豆做匀速圆周运动，所受的合力提供向心力，即Fn=mω2R，除了重力外，该土豆只受到其他土豆对它的作用力，故F=，选项C正确。
答案C
7．一个做匀速圆周运动的物体质量为2.0 kg，如果物体的转速变为原来的2倍，半径不变，则所受的向心力就比原来的向心力大15 N。试求：
（1）物体原来的向心力大小。
（2）物体后来的向心加速度的大小。
解析（1）设匀速圆周运动的半径为r，物体原来受的向心力的大小F1=mr（2πn）2
变化后的向心力的大小F2=mr（2π×2n）2
且F2=F1+15 N
解得F1=5 N。
（2）物体后来的向心加速度a= m/s2=10 m/s2．
答案（1）5 N （2）10 m/s2
3 / 5
向心加速度
【学习目标】
1．理解向心加速度的概念。
2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。
3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。
【学习重难点】
1．理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式。
2．向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用。
【新知探究】
要点一 对向心加速度的理解
1．加速度定义公式：a＝，a的方向与Δv的方向一致。
2．速度的变化量Δv＝是矢量式，其运算规律符合平行四边形定则。
3．方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直。
（1）匀速圆周运动虽然线速度的大小不变，但速度方向时刻改变，Δv就是由于速度方向的变化产生的。
0时，Δv指向圆心，所以加速度指向圆心。
→0时，Δv指向圆心，所以加速度指向圆心。
4．物理意义：描述线速度方向改变的快慢。
5．圆周运动的性质：不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。
要点二 向心加速度的几种表达式
1．不同形式的各种表达式
（1）对应线速度：an＝
（2）对应角速度：an＝rω2
（3）对应周期：an＝r
（4）对应转速：an＝4π2n2r
（5）推导公式：an＝ωv
2．理解
（1）当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增加或周期的减小而增大。
（2）当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。
（3）当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。
an与r的关系图像，如图1所示。
图1
由an—r图像可以看出：an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。
3．向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动
（1）向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。
①对于匀速圆周运动，其所受的合外力就是向心力，其只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度。
②
图2
而对于非匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动，如图2所示，小球的合力不指向圆心，因而其实际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个分加速度，还有切向加速度。向心加速度表达速度方向改变的快慢，切向加速度表达速度大小改变的快慢。
（2）an＝＝rω2＝ωv，适用于匀速圆周运动和变速圆周运动，要注意的是变速圆周运动的线速度和角速度都是变化的，利用向心加速度公式只能求某时刻的向心加速度。要求某一时刻的向心加速度，必须用该时刻的线速度或角速度代入进行计算。
【学习小结】
1．做匀速圆周运动的物体，其向心加速度的方向沿半径指向圆心，方向时刻变化，匀速圆周运动为变加速曲线运动。
2．向心加速度只改变做圆周运动的物体的速度方向，而切向加速度改变做圆周运动的物体的速度大小。
3．向心加速度意义：描述速度方向变化的快慢的物理量。
答疑解惑
如何理解向心加速度的含义？
分析：速度矢量的方向应当用它与空间某一确定方向（如坐标轴）之间的夹角来描述。做匀速圆周运动的物体的速度方向（圆周的切线方向）时刻在变化，在Δt时间内速度方向变化的角度Δφ等于半径在相同时间内转过的角度，如做匀速圆周运动的物体在一个周期T内半径转过2π弧度，速度方向变化的角度也是2π弧度。因此，确切描述速度方向变化快慢的，应该是角速度。
即ω＝＝
上式表示了单位时间内速度方向变化的角度，即速度方向变化的快慢。角速度相等，速度方向变化的快慢相同。
由向心加速度公式an＝ω2r＝＝vω可知，向心加速度的大小除与角速度有关外，还与半径或线速度的大小有关，从a＝vω看，向心加速度等于线速度与角速度的乘积。
图3
例如：在绕固定轴转动的圆盘上，半径不同的A、B、C三点，它们有相同的角速度ω，但线速度不同，，，，如图3所示。因此它们的速度方向变化快慢是相同的，但向心加速度的大小却不相等，。
又如：A、B两个物体分别沿半径为和做圆周运动，＝，它们的角速度不同，设，因此它们的线速度的关系为，显然，这两个物体有相同的向心加速度，即。但速度方向变化的快慢却不同。
综上所述：向心加速度是由于速度方向变化而引起的速度矢量的变化率。速度方向变化是向心加速度存在的前提条件，但向心加速度的大小并不简单地表示速度方向变化的快慢，确切地说：当半径一定时，向心加速度的大小反映了速度方向变化的快慢，当线速度一定时，向心加速度的大小正比于速度方向变化的快慢。
典例剖析
一、对向心加速度的理解
例1 关于向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A．向心加速度是描述线速度变化的物理量
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变
D．向心加速度的大小也可用a＝来计算
解析 加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A错，B对。只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定，C错。公式a＝适用于匀变速运动，圆周运动是变加速运动，D错。
答案 B
方法总结
深刻理解向心加速度的物理意义是描述速度方向改变快慢的，方向始终指向圆心，所以它是变量。
二、对向心加速度的表达式的理解
例2 如图4所示
图4
为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线。表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线。由图线可知（ ）
A．质点P的线速度大小不变
B．质点P的角速度大小不变
C．质点Q的角速度随半径变化
D．质点Q的线速度大小不变
解析 由an＝知：v一定时，an∝，即an与r成反比，由an＝rω2知：ω一定时，an∝r。从图像可知，质点P的图线是双曲线，即a与r成反比，可得质点P的线速度大小是不变的。同理可知：质点Q的角速度是不变的。
答案 A
方法总结
由an＝＝ω2r分析，an究竟与半径成正比还是成反比，要看清是v一定还是ω一定。
三、传动装置的向心加速度的计算
例3 如图5所示，O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，O1轮的半径为R，且R>r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点，当皮带轮转动时，（设转动过程中不打滑）则（ ）
图5
A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度
B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度
C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度
D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度
解析 因为两轮的转动是通过皮带传动的，又因皮带在传动过程中不打滑，故两轮边缘各点的线速度大小一定相等，在O1轮边缘上任取一点Q，因为R>r，所以由an＝可知，aQ
RN，则由an＝ω2r可知，aQ>aN，综上可见，aM>aN。选项A正确。
答案 A
方法总结
分析传动问题关键有两点：其一是同一轮上的各点角速度相同；其二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度相同。再正确的选择an＝ω2r或an＝v2/r，进行求解。
效果自测
1．关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．由an＝知an与r成反比
B．由an＝ω2r知an与r成正比
C．由ω＝知ω与r成反比
D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比
答案 D
解析 由关系式y＝kx知，y与x成正比的前提条件是k为定值。只有当v一定时，才有an与r成反比；只有当ω一定时，才有an与r成正比。
2．在匀速圆周运动中，下列物理量中不变的是（ ）
A．角速度
B．线速度
C．向心加速度
D．转速
答案 AD
解析 线速度和向心加速度都是矢量，方向时刻改变，是变量，故只有AD正确。
3．关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ ）
A．它们的方向都是沿半径指向地心
B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴
C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小
答案 BD
解析 如图所示，
地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，选项B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cosφ，其向心加速度为an＝ω2r＝ω2R0cosφ。由于北京的地理纬度比广州的大，cosφ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项D正确，选项C错误。
4．一物体以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2 s，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化率的大小为（ ）
A．2 m/s2 B．4 m/s2 C．0 D．4π m/s2
答案 D
5．甲乙两球均在水平面上做匀速圆周运动，甲球的轨道半径是乙球轨道半径的2倍，甲球的转速是30 r/min，乙球的转速是15 r/min，则两小球的向心加速度之比为（ ）
A．1∶1 B．2∶1 C．8∶1 D．4∶1
答案 C
解析 ω＝2πn，an＝ω2r，故＝（）2＝8∶1，C项正确。
6．如图所示，
压路机前后轮半径之比是1∶3，A、B分别是前后轮边缘上的点，C为后轮上的一点，它到后轮轴心的距离是后轮半径的一半。则当压路机运动后三点A、B、C的角速度之比为________，向心加速度之比为________。
答案 3∶1∶1 6∶2∶1
解析 压路机在地面上行驶，不打滑时，两轮边缘的线速度大小相等，这里的地面好像是连接两轮的皮带。
因压路机前后轮在相等时间内都滚过相同的距离，则前、后轮边缘上的A、B线速度大小相等，而同一轮上的B、C点具有相同的角速度。
根据vA＝vB，ωB＝ωC和v＝ωr
可得ωA∶ωB＝∶＝∶＝3∶1
所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶1∶1
根据an＝ω2r，可得aA＝ωrA，aB＝ωrB，aC＝ωrC
所以aA∶aB∶aC＝（3ωC）2rA∶（ω·3rA）∶（ω·rA）＝9∶3∶＝6∶2∶1．
探究归纳
题型① 对向心加速度的认识
例1：关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．由an＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．匀速圆周运动不属于匀速运动
D．向心加速度越大，物体速率变化越快
答案 BC
解析 向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此为变量，所以A错；由向心加速度的意义可知B对，D错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，属于曲线运动，很显然C正确。
拓展探究 下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是（ ）
A．向心加速度越大，物体速率变化越快
B．向心加速度越大，物体速度变化越大
C．向心加速度越大，物体速度方向变化越快
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
答案 C
归纳总结
深刻理解向心加速度的物理意义及矢量性，是做对的前提。
题型② 向心加速度的表达式的应用
例2：如图1所示，
图1
一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是（ ）
A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点的向心加速度方向都指向球心
D．A、B两点的向心加速度数值相同
答案 A
解析
A、B为球体上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A对；如上图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错；设球的半径为R，则A运动的轨道半径rA＝Rsin 60°，B运动的轨道半径rB＝Rsin 30°，＝＝＝，B错；＝＝，D错。
拓展探究 关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法中正确的是（ ）
A．由于an＝，所以线速度大的物体向心加速度大
B．由于an＝，所以旋转半径大的物体向心加速度小
C．由于an＝ω2r，所以角速度大的物体向心加速度大
D．以上结论都不正确
答案 D
归纳总结
分析此类问题，要理解线速度、角速度、向心加速度的概念和定义式及v、ω、an、r之间的关系，并能正确选择关系式。
题型③ 传动装置的向心加速度的计算
例3：如图2所示，
图2
O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1。A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是（假设皮带不打滑）（ ）
A．1∶2∶3 B．2∶4∶3
C．8∶4∶3 D．3∶6∶2
答案 C
解析 因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率。根据向心加速度公式an＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。
由于B、C是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同。根据向心加速度公式an＝rω2，可得
aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5
由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C。
归纳总结
讨论圆周运动的向心加速度与线速度、角速度、半径的关系，可以分为两类问题：
（1）皮带传动问题，两轮边缘线速度相等，常选择公式an＝。
（2）同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r。
3 / 10
生活中的圆周运动
【学习目标】
（1）知道什么是向心力，理解它是一种效果力。
（2）理解向心力公式的确切含义，并能用来进行简单的计算。
（3）知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力，知道合外力的作用效果。
【学习重难点】
明确向心力的意义、作用、公式及其变形。
【学习过程】
一、自主学习
1．本节主要内容是应用圆周运动相关知识分析生活中的圆周运动实例，并学习离心运动概念及其条件等。其中运用圆周运动相关知识及研究方法研究生活中的圆周运动实例是本节重点，也是本节的难点。
2．火车转弯问题：
在铁路的弯道处，让外轨高于内轨，使火车转弯时所需的向心力恰由重力和弹力的合力提供，如图所示（注意：火车转弯时的轨道平面是水平的），这样，铁路建成后，火车转弯时的速率v与弯道圆弧半径r、铁轨平面与水平面间的夹角θ应满足的关系为：______________；当火车实际行驶速率大于或小于v时，外轨道或内轨道对轮缘有侧压力。
3．汽车过拱桥问题
设汽车质量为m，桥面圆弧半径为r，汽车过桥面最高点时的速率为v，汽车受支持力为FN，则有mg－FN＝mv2/r
当v≥时，FN＝0，汽车将脱离桥面，发生危险。
汽车过凹形桥最低点时，其动力学方程为__________________。
4．航天器中的失重现象
在任何关闭了发动机、又不受阻力的飞行器中，都是一个完全失重的环境，如向空中抛出的容器等。
5．离心运动
做匀速圆周运动的物体，在合外力________或者________时，做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫离心运动，发生离心运动的根本原因是“惯性”。
二、合作学习
例1．有一列重为100t的火车，以72km/h速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径400m，（1）试计算铁轨受到的侧压力？（2）若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的大小。
解析：
（1）外轨对车轮的侧压力提供火车转弯所需向心力，所以有：
FN＝mv2/r＝N＝105N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105N。
（2）火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，即：
mgtanθ＝mv2/r
由此可得θ＝arctanv2/rg＝arctan＝5.71°。
拓展：本例讨论了火车的转弯问题，其实，很多交通工具的转弯过程中，所涉及的物理原理有很多相似之处。
火车转弯时，如果内外轨一样高，只能由外轨对轮缘的弹力提供火车转弯所需的向心力。实际修建铁路时一般将弯道建在倾斜的路基上，使火车的内外轨有一定的高度差，利用重力和铁轨对物体的支持力的合力提供部分向心力，以避免铁轨的损坏。
同样道理，汽车在水平公路上行驶，转弯时所需的向心力由地面对车轮的侧向静摩擦力来提供，如果汽车转弯的速率过大，静摩擦力不足以提供向心力，汽车将做离心运动而发生危险！所以在汽车转弯的时候速度不宜过大，这就限制了汽车的高速运动。所以修筑公路时，我们也将路面适当向内侧倾斜，使汽车所受重力和路面对汽车的支持力的合力提供部分向心力，使汽车在速度较大时仍能安全地转弯。
飞机在水平面内转弯时，只能由重力和机翼所受升力的合力提供向心力，由于机翼所受升力总是垂直于机翼，因此飞机转弯时，飞行员总是将机身适当地倾斜。
例2．一辆汽车匀速通过一座圆弧形拱桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥。设两圆弧半径相等，汽车通过拱桥桥顶时，对桥面的压力F1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为F2，求F1与F2之比。
解析：汽车过圆弧形桥的最高点（或最低点）时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力。
汽车过圆弧形拱桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的大小压力相等，所以由牛顿第二定律可得
G－F1＝mv2/R
同样，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有
F2－G＝mv2/R
由题意可知，F1＝G
由以上各式可解得F1＝G
所以F1∶F2＝1∶3
拓展：本例是一个简单的竖直平面内的圆周运动实例，重点在于分析清楚其受力情况，应用牛顿运动定律建立动力学方程求解。
例3．2002年12月30日，我国成功发射并回收了“神舟”四号宇宙飞船，2003年10月15日成功发射了载人飞船。飞船中的宇航员需要在航天之前进行多种训练，其中图1是离心试验器的原理图。可以用此试验研究过荷对人体的影响，测量人体的抗荷能力。离心试验器转动时，被测者做匀速圆周运动。现观测到图中的直线AB（线AB与舱底垂直）与水平杆成30°角，则被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？
解析：离心试验器中的人受重力和弹力的作用，两个力的合力提供人随离心器做圆周运动的向心力。
人体受力分析如图2所示。
在竖直方向：FNsin30°＝mg
在水平方向：FNCOS30°＝mrω2
由以上两式可得：FN＝2mg
由牛顿第三定律可知，人对座位的压力是其重力的2倍。
拓展：对于离心运动类问题的分析和计算，其实质仍是向心力的分析计算问题。
【达标检测】
1．汽车以一定速率通过拱桥时，下列说法中正确的是（ ）
A．在最高点汽车对桥的压力大于汽车的重力
B．在最高点汽车对桥的压力等于汽车的重力
C．在最高点汽车对桥的压力小于汽车的重力
D．汽车以恒定的速率过桥时，汽车所受的合力为零
2．汽车以某一速率在水平地面上匀速转弯时，地面对车的侧向摩擦力正好达到最大，当汽车的速率增为原来的两倍时，则汽车的转弯半径必须（ ）
A．减为原来的1/2 B．减为原来的1/4
C．增为原来的2倍 D．增为原来的4倍
3．关于洗衣机脱水桶的有关问题，下列说法正确的是（ ）
A．如果脱水桶的角速度太小，脱水桶就不能进行脱水
B．脱水桶工作时衣服上的水做离心运动，贴在桶壁上的衣服没有做离心运动
C．脱水桶工作时桶内的衣服也会做离心运动，所以脱水桶停止工作时衣服紧贴在桶壁上
D．只要脱水桶开始旋转，衣服上的水就作离心运动
4．如图所示，用一本书托着黑板擦在竖直面内做匀速圆周运动，先后经过A．B．C．D四点，A．C和B．D处于过圆心的水平线和竖直线上，设书受到的压力为N，对黑板擦的静摩擦力为f，则（ ）
A．从C到D，f减小，N增大
B．从D到A，f减小，N增大
C．在A．C两个位置，f最大，N=mg
D．在B．D两个位置，N有最大值
5．乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是（ ）
A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位仍可能产生压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
6．如图所示，OO′为竖直转动轴，MN为固定在OO′上的水平光滑杆。有两个质量相等的金属球A．B套在水平杆上，AC．BC为抗拉能力相同的两根细绳，C端固定在转动轴OO′上，当细绳拉直时，A．B两球转动半径之比恒为2∶1，当转轴转动角速度逐渐增大时，则（ ）
A．AC绳先断，A球做离心运动
B．BC绳先断，B球做离心运动
C．两绳同时断，A．B两球同时做离心运动
D．不能确定哪根绳先断
7．有一人荡秋千，秋千的绳子刚好能支持人重的2倍，秋千的绳长为L，则此人荡秋千时，在位置时绳子最容易断，此人荡秋千时的最大速率是多少？
8．飞机在竖直平面内作半径为400m的匀速圆周运动，其速率是150m/s，飞行员质量80kg，g取10m/s2，求：
（1）飞机在轨道最低点飞行员头朝上时，座椅对飞行员压力的大小和方向；
（2）飞机在轨道最高点飞行员头朝下时，飞行员对座椅的压力大小和方向。
9．汽车在弯道上匀速转弯时，乘客知道汽车的速度大小为v，乘客又发现车厢内悬挂小球的细线横向偏离竖直方向的角度为θ，由此该乘客就估算出了弯道的半径。试问乘客估算的依据和结果。
10．如图所示，质量为m的小球用长为l的细线悬于天花板
上O点，并使小球在水平面内做匀速圆周运动（这种运动物理上
称为圆锥摆），细线与竖直方向成θ角，求细线中的张力F和小球
转动的周期T。
【答案】
1．C 2．D 3．ABC 4．AC 5．BD 6．A 7．最低点，
8．5300N 方向向下，3700N 方向向上
9．小球做圆周运动的向心加速度与汽车转弯的向心加速度相同，v2/gtanθ。
10．mg/cosθ，2π。
2 / 5
