北师大版数学七年级下册1．7．1单项式除以单项式教案

整式的除法(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.单项式除以单项式的运算法则及其应用.
2.单项式除以单项式的除法运算算理.
(二)能力训练要求
1.经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程，会进行单项式与单项式的除法运算.
2.理解单项式与单项式相除的算理，发展有条理的思考及表达能力.
(三)情感与价值观要求
1.经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学经验.
2.鼓励多样化的算法，培养学生的创新能力.
●教学重点
单项式除以单项式的运算法则及其应用.
●教学难点
单项式除以单项式的运算法则的探索过程.
●教学方法
自主探索法
学生凭借已有的数学经验，自主探索单项式与单项式相除的法则，并能用自己的语言有条理的思考及表达.
●教具准备
投影片四张
第一张：提出问题，记作(§1.9.1 A)
第二张：议一议，记作(§1.9.1 B)
第三张：例1，记作(§1.9.1 C)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］(出示投影片§1.9.1 A)我们看下面几个算式.
计算下列各题，并说说你的理由.
(1)(x5y)÷x2;
(2)(8m2n2)÷(2m2n);
(3)(a4b2c)÷(3a2b).
同学们观察上式，可知它们属于哪一种运算？
［生］这三个算式都是单项式与单项式相除.
［师］我们前面学习了整式的加法、减法、乘法，从今天开始我们来学习整式的除法，先来学习单项式与单项式的除法.
Ⅱ.讲授新课
1.探索单项式除以单项式的运算法则
［师］在除法运算中，我们都有一个限制条件，是什么呢？
［生］除数不能为零.
［师］非常准确在整式除法的运算中，涉及到的除式也有同样的条件限制：除式恒不为零.
下面就请同学们凭借自己的数学经验计算上面的三个算式，可以用多种算法.但要说明每一步的理由，同学之间可互相交流算法.
(教师可深入到学生探索交流过程中，对较困难的学生以启示)
［生］我们已学习了整式的乘法运算，而乘法的运算法则大多是联系整数的运算法则和运算律得出的.于是我想到了整数除法运算.根据乘法和除法互为逆运算，来解答上面三个算式如下：
(1)我们可想象x2·( )=x5y根据单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，是把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的因式.可继续联想：所求单项式系数肯定为1；x2·( )=x5.所以所求单项式字母部分应包含x5÷x2即x3,还应包含y.由此可知x2·(x3y)=x5y.
所以(x5y)÷x2=x3y
(2)可想象(2m2n)·( )=8m2n2,根据单项式与单项式相乘的法则，可知：8÷2=4,n2÷n=n.即(2m2n)·(4n)=8m2n2
所以(8m2n2)÷(2m2n)=4n.
(3)可想象(3a2b)·( )=a4b2c.
根据单项式与单项式相乘的法则，可得系数部分应为1÷3=,a4÷a2=a2,b2÷b=b,即(3a2b)·=a4b2c.
所以(a4b2c)÷(3a2b)= a2bc.
［生］我是用类似于分数的约分的方法计算的.
(1)(x5y)÷x2==
=x3y;
(2)(8m2n2)÷(2m2n)=
==4n;
(3)(a4b2c)÷(3a2b)
===
=a2bc.
［师生共析］上面两位同学的想法都是有理有据的.我们一块再来看一下前后式子的联系

出示投影片(§1.9.1 B)
议一议：如何进行单项式除以单项式的运算？你能用自己的语言有条理的描述出来吗？
［生］从上述分析的过程，可得出：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
实际上单项式相除是在同底数幂的基础上进行的.
［生］其实单项式相除可以分为系数、同底数幂，只在被除式里含有的字母三部分运算.
［师］同学们用很条理的语言描述出了单项式相除的运算法则，下面我们就来具体做几个单项式的除法.(出示投影片§1.9.1 C)
［例1］计算：
(1)(－x2y3)÷(3x2y);
(2)(10a4b3c2)÷(5a3bc);
(3)(2x2y)3·(－7xy2)÷(14x4y3);
(4)(2a+b)4÷(2a+b)2.
分析：(1)、(2)直接运用单项式除法的运算法则；(3)注意运算顺序(先乘方再乘除，再加减)；(4)鼓励学生悟出，将(2a+b)视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算.
解：(1)(－x2y3)÷(3x2y)
=(－÷3)·(x2÷x2)·(y3÷y)
=－·x2－2y3－1
=－y2;
(2)(10a4b3c2)÷(5a3bc)
=(10÷5)·(a4÷a3)·(b3÷b)·(c2÷c)
=2·a4－3b3－1c2－1=2ab2c;
(3)(2x2y)3·(－7xy2)÷(14x4y3)
=(8x6y3)·(－7xy2)÷(14x4y3)
=－56x7y5÷(14x4y3)
=－4x3y2;
(4)(2a+b)4÷(2a+b)2
=(2a+b)4－2
=(2a+b)2
=4a2+4ab+b2.
Ⅲ.随堂练习
1.(课本P40)计算：
(1)(2a6b3)÷(a3b2);
(2)(x3y2)÷(x2y);
(3)(3m2n3)÷(mn)2;
(4)(2x2y)3÷(6x3y2).
解：(1)(2a6b3)÷(a3b2)
=(2÷1)·(a6÷a3)·(b3÷b2)=2a3b;
(2)(x3y2)÷(x2y)
=(÷)·(x3÷x2)·(y2÷y)=xy;
(3)(3m2n3)÷(mn)2
=(3m2n3)÷(m2n2)
=3·(m2÷m2)·(n3÷n2)=3n;
(4)(2x2y)3÷(6x3y2)
=(8x6y3)÷(6x3y2)=x3y
(注意(3)(4)题中的运算顺序)
2.我们都知道“先看见闪电，后听见雷声”，那是因为在空气中光的传播速度比声音快.科学家们发现，光在空气里的传播速度约为3×108米/秒，而声音在空气里的传播速度大约只有300米/秒.你能进一步算出光的传播速度是声音的多少倍吗？
解：(3×108)÷300=(3×108)÷(3×102)=106(倍)
光的传播速度是声音的106倍.
Ⅳ.课时小结
这节课同学们结合我们学过的分数约分、乘法和除法互为逆运算，从不同的方面出发探索出单项式除法的法则，并运用到整式除法的运算，积累了一定的数学经验.
Ⅴ.课后作业
1.课本P41，习题1.15，第1、2、3题.
2.如果你刷牙时一直开着水龙头，估计会白白地流走多少水？说说你是如何获得这个数据的.(提示：本题的解决需将测量、幂的运算等内容综合起来).
Ⅵ.活动与探究
已知a=2002x+2001,b=2002x+2002,c=2002x+2003,求a2+b2+c2－ab－bc－ca的值.
［过程］由题设条件是求不出a,b,c的值的.观察代数式，联想到公式2(a2+b2+c2－ab－bc－ca)=(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2,所以a2+b2+c2－ab－bc－ca=［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］,因此只需求出a－b、b－c、c－a即可.
［结果］a=2002x+2001 ①b=2002x+2002 ②c=2002x+2003 ③由①－②得a－b=－1;
由②－③得b－c=－1;
由③－①得c－a=2.
则a2+b2+c2－ab－bc－ca=［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］=［(－1)2+(－1)2+22］=×6=3.
●板书设计
1.9 整式的除法(一)
一、(x5y)÷x2=x3y=(x5÷x2)·y
(8m2n2)÷(2m2n)=4n=(8÷2)·(m2÷m2)·(n2÷n)
(a4b2c)÷(3a2b)= a2bc=(1÷3)·(a4÷a2)·(b2÷b)·c
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只含在被除式里的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
二、应用
例1(略) 例2(略)
●备课资料
一、参考例题
［例1］计算
(1)(－5x5y4)÷(－3x3y3)
(2)15a2m+1b2nc÷(－5a2mbn)
(3)(1.2×107)÷(5×104)
(4)［5(x+y)2(x－y)］3÷［3(x+y)2(x－y)］2
解：(1)(－5x5y4)÷(－3x3y3)
=［－5÷(－3)］(x5÷x3)(y4÷y3)
=x2y
(2)15a2m+1b2nc÷(－5a2mbn)
=［15÷(－5)］(a2m+1÷a2m)(b2n÷bn)c
=－3abnc
(3)(1.2×107)÷(5×104)
=(1.2÷5)(107÷104)
=0.24×103=240
(4)［5(x+y)2(x－y)］3÷［3(x+y)2(x－y)］2
=［125(x+y)6(x－y)3］÷［27(x+y)4·(x－y)2］
=(125÷27)［(x+y)6÷(x+y)4］［(x－y)3÷(x－y)2］
=(x+y)2(x－y)
=x3+x2y－xy2－y3
［例2］计算
(1)(－a2b4c6)(－9a2c)÷ab4c3
(2)(3xy)2(x2－y2)－(4x2y2)2÷8y2+18x6y8÷2x2y6+9x2y4
解：(1)(－a2b4c6)(－9a2c)÷ab4c3
=6a4b4c7÷ab4c=(6×)a3c6=a3c6
(2)(3xy)2(x2－y2)－(4x2y2)2÷8y2+18x6y8÷2x2y6+9x2y4
=9x2y2(x2－y2)－(16x4y4)÷8y2+18x6y8÷2x2y6+9x2y4
=9x4y2－9x2y4－2x4y2+9x4y2+9x2y4
=16x4y2
二、参考练习
1.填空
(1)12x8y3z÷(－4x2yz)= .
(2)－9a2mb2m+3c÷3amb2m= .
(3)8a3b2c÷ =2a2bc.
(4) ÷2ab2=a3bc.
(5)3.2×105÷ =－1.6×106.
(6) ÷(2×107)=－5×103.
2.计算
(1)－12a6b3c2÷(－3a4b2)
(2)18am+2xn+3y5÷(－6amxn+1y)
(3)12(a+b)7(a+2b)5÷［－3(a+b)6(a+2b)］
(4)(－1.1×104)(2.3×105)÷(－5.06×1013)
答案：1.(1)－3x6y2 (2)－3amb3c (3)4ab (4)a4b3c (5)－0.2 (6)－1011
2.(1)4a2bc2 (2)－3a2x2y4 (3)－4(a+b)(a+2b)4 (4)5×10－5