沪科版八年级下册数学第17章一元二次方程题型方法总结解析版

一元二次方程解析版
1、 考纲解读
（1） 理解一元二次方程的定义;
（2） 会利用公式法、配方法、因式解法解一元二次方程
（3） 会根据根的判别式来判定方程根的个数以及掌握根与系数的关系.
常考题型：选择题、填空题和解答题.
占分比重3到6分.
二、考点梳理
2.1. 一元二次方程的概念.
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0的方程叫一元二次方程。
注意：①一般形式是：ax2＋bx+c=0(a≠0）；
②判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
2.2. 一元二次方程的解法.
①直接开平方法
②配方法：当二次项系数为1时，应该加上一次项系数一半的平方可以配成完全平方公式。
③公式法：求根公式为
④因式分解法：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．例如：5(x＋2)2=10（x＋2）中，不能随便约去x＋2。
注意：一元二次方程解法的优先选择顺序：①直接开方法；②因式分解法；③公式法或者配方法。
2.3. 一元二次方程的判别式.
一元二次方程根的判别式 △=
运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：
△=＞0方程有两个不相等的实数根；
△==0方程有两个相等的实数根；
△=＜0方程没有实数根；
注意：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况时一定要先把一元二次方程化为一般形式。
2.4. 韦达定理.
对于方程ax2＋bx+c=0(a≠0）来说，
注意：常用变形：①
②在一元二次方程的解答题时涉及到分式时要记得通分，例
三、题型讲解
3.1解题技巧归纳
3.1.1归纳1
例1、一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（　　）
A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=
答案：B。
解析：y2﹣y﹣=0
y2﹣y=
y2﹣y+=1
（y﹣）2=1
故选：B．
例2、一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
答案：A。
解析：x2﹣7x+10=0，
（x﹣2）（x﹣5）=0，
x﹣2=0，x﹣5=0，
x1=2，x2=5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
3.1.2归纳2
例1、已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0．
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1﹣x2)2+m2=21，求m的值．
答案（1）-2;（2）2.
解析:(1)根据题意得△=(2m+1)2﹣4(m2﹣2)≥0，
解得m≥，
所以m的最小整数值为﹣2；
(2)根据题意得x1+x2=﹣(2m+1)，x1x2=m2﹣2，
∵(x1﹣x2)2+m2=21，
∴(x1+x2)2﹣4x1x2+m2=21，
∴(2m+1)2﹣4(m2﹣2)+m2=21，
整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，
∵m≥，
∴m的值为2．
【注意事项】
①涉及到根的个数问题时常和△有关：
△=＞0方程有两个不相等的实数根；
△==0方程有两个相等的实数根；
△=＜0方程没有实数根；
②让验证一元二次方程总有两个实数根时，需要先把△=化简成完全平方公式的形式。
③在一元二次方程中涉及到x1、x2时常用变形为
④在一元二次方程中涉及到分式时要记得通分，例：。
例2、已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）．
（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．
答案：（1）答案见解析;（2）﹣2。
解析:（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0．
∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）∵原方程的两根为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6﹣p2﹣p．
又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2=3p2+1，
∴52﹣3（6﹣p2﹣p）=3p2+1，
∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1，
∴3p=﹣6，
∴p=﹣2．
例3.、己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
答案：（1）k＞;（2）3。
解析:（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞．
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，
∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，
∴
解得：k1=3，k2=﹣1，
经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根．
又∵k＞，
∴k=3．
例4.、关于x的一元二次方程kx2+(k+1)x+=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由。
答案：（1）k＞且k≠0 ;（2）不存在。
解析:(1)证明：∵由题意可知△=(k+1)2-4k×=k2+2k+1-k2=2k+1＞0，
∴k＞，
∵k≠0，
∴k＞且k≠0；
设方程的两根分别是x1和x2，则x1+x2=，x1?x2=，
∴
∴k+1=0，即k=-1,
∵k＞，
∴k=-1（舍去），
所以不存在。
3.1.3归纳3
例1、已知关于x的一元二次方程x2+(a﹣1)x﹣a=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根是负数，求a的取值范围．
答案（1）答案见解析;（2）a＞0.
解析:(1)证明：∵x2+(a﹣1)x﹣a=0是关于x的一元二次方程，
∴△=(a﹣1)2+4a=a2+2a+1=(a﹣1)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)∵根据题意可得(x-1）（x+a）=0，
∴x1=1，x2=-a,
∵该方程有一个根为负数，
∴-a＜0，
∴a＞0．
【注意事项】
涉及到一元二次方程中特殊根的问题，可使用十字相乘法或者求根公式求方程的根。
例2、已知关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+(m﹣4)x-3=0(m为实数且m≠1)．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
答案（1）答案见解析;（2）a＞0.
解析:(1)证明：由题意可得，△=(m﹣4)2-4(m﹣1)×(-3)=m2-8m+16+12m-12=(m+2)2，
∵(m+2)2≥0
∴方程总有两个实数根；
(2)∵根据题意可得(x+1）[（m-1）x-3]=0，
∴x1=-1，x2=,
∵此方程的两个实数根都是整数，
∴m-1=1或m-1=3或m-1=-1或m-1=-3，
又∵m是正整数
∴m=2或m=4．
4、中考真题
1.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围（ ）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
答案：A。
解析:解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜．
故选：A．
2.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为_______．
答案：﹣3。
3.关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4,
则x12﹣x1x2+x22的值是_____．
答案：4。
解析：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1?x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴=4，
即（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
∴2k2+2k﹣4=0，
∴k2+k﹣2=0，
∴k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
∴k≥0，
∴k=1，
∴x1?x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4．
故答案为：4．
4.关于x的一元二次方程kx2+(k+1)x+=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由。
答案（1）k＞且k≠0 ;（2）不存在；
解析:(1)证明：∵由题意可知△=(k+1)2-4k×=k2+2k+1-k2=2k+1＞0，
∴k＞
∵k≠0，
∴k＞且k≠0；
设方程的两根分别是x1和x2，则x1+x2=，x1?x2=，
∴，
∴k+1=0，即k=-1,
∵k＞
∴k=-1（舍去），
所以不存在。
5.已知关于x的一元二次方程x2+(k﹣1)x+k-2=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根是正数，求实数k的取值范围．
答案（1）答案见解析;（2）a＞0.
解析:(1)证明：∵x2+(k﹣1)x+k-2是关于x的一元二次方程，
∴△=(k﹣1)2-4(k﹣2)=k2-2k+1-4k+8=(k﹣3)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)∵根据题意可得，
∴x1=-1，x2=2-k,
∵该方程有一个根为正数，
∴2-k＞0，
∴k＜2．