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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第06讲 一次方程（组）及其应用（提高版）
【学生版】
一、考点知识梳理
【考点1 一元一次方程的概念及解法】
1.方程、方程的解与解方程
方程：含有未知数的等式叫方程．
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
解方程：求方程解的过程叫解方程．
2.等式的基本性质
性质1:等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得的结果仍相等．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
性质2:等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不为0)，所得结果仍相等如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0).
3.一元一次方程：含有一个未知数且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程．
4.解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
【考点2 一元一次方程的应用】
列方程解应用题的一般步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
设：设未知数，设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知数的问题，需设两个未知数；
列：弄清题意，找出相等关系，根据相等关系列方程(组)；
解：解方程
验：检验结果是否符合题意
(6)答:答题(包括单位)
【考点3 方程组及其应用】
1.二元一次方程:含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
2.二元一次方程组:两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
3.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。
4．掌握两个解二元一次方程组的方法：
（1）代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.
方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1时，用代入法较简便.
（2）加减法：通过将方程组中两个方程加减，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等时，用加减法较简便.
二、考点分析
【考点1 一元一次方程的概念及解法】
【解题技巧】一次方程用到的思想方法：
(1)整体思想：在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷；
(2)转化思想：解一元一次方程最终要转化成ax＝b.
(3)数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题；
(4)方程思想：利用其他知识构造方程解决问题．
【例1】（2019 辽宁中考）已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=m，则m的值是（ ）
A 2. B -2. C2.7. D -2.7
【举一反三1-1】（2018 河北中考）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三1-2】（2019 福建中考）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685
【举一反三1-3】（2019 山东济南中考）代数式与代数式3﹣2x的和为4，则x＝ ．
【举一反三1-4】（2019 河北沧州中考模拟）解方程：
（1）＝2﹣
（2）﹣＝﹣1
【考点2 一元一次方程的应用】
【解题技巧】（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
【例2】（2019 浙江杭州中考）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（ ）
A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30
C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72
【举一反三2-1】（2019?长春）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三2-2】（2019 福建中考）（2019?南通）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 ．
【举一反三2-3】（2019 安徽中考）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【举一反三2-4】（2019 湖北黄石中考）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
【考点3 方程组及其应用】
【解题技巧】解二元、三元一次方程组的基本思路是消元．
基本解法有：代入消元法和加减消元法.
二元一次方程组的解应写成的形式．
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
【例3】（2019 天津中考）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三3-1】（2019 湖北孝感中考）已知二元一次方程组，则的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【举一反三3-2】（2019 福建中考）解方程组．
【举一反三3-3】（（2019 海南中考））时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？
【举一反三3-4】（2019 上海中考）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛
斛米．（注：斛是古代一种容量单位）
【达标测试】
选择题
1.（2019?兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2019?南通）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
3.（2019?台湾）某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用．已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车．若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有多少人？（ ）
参观方式 缆车费用
去程及回程均搭乘缆车 300元
单程搭乘缆车，单程步行 200元
A．16 B．19 C．22 D．25
4.（2015 河北中考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将①×5+②×2
B．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
C．要消去y，可以将①×5+②×3
D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
5.（2019 河北衡水中考模拟）图1所示的是用十字形方框从日历表中框出5个数，已知这5个数的和为5a+5，a是方框①，②，③，④中的一个数，则数a所在的方框是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6.（2019 山东临沂中考模拟）2018年9月28日-12月31日，山东临沂灯展中千万盏彩灯点亮300亩天然花海．某日，从晚上17时开始每小时进入灯展的人数约为900人（之前该灯展有游客?400人），同时每小时走出灯展的人数约为600人，已知该灯展的饱和人数约为1600人，则该灯展人数饱和时的时间约为（ ）
A．21时 B．22时 C．23时 D．24时
7.(2016河北中考)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，则x为（ ）
A．x＝4. B．x＝3. C．x＝2. D．x＝5.
8.(滨州中考)方程2－＝的解是（ ）
A．x＝－1. B．x＝0. C．x＝－2. D．x＝1.
（二）填空题
1.（2019 山东青岛中考模拟）已知x、y是二元一次方程组的解，则代数式x2﹣4y2的值为 ．
2.(2016石家庄四十一中模拟)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面 个．和底面 个；
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做 个盒子.
(2017宁夏中考)小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，则他从家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min.问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？
4.（2019 福建福州中考模拟）图书馆整理一批图书，由一人做要60小时完成，现在先安排一批人整理，3小时后有4人因其它任务离开，余下的人又整理了9个小时，完成了这项工作，假设每个人的工作效率相同，则先安排了 人整理图书？
5.（2019 山东淄博中考模拟）用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图2所示，前两个天平保持平衡，若要使第三个天平也平衡，那么“？”处应放“■” 个.
6.（2019 河北石家庄中考模拟）有一列方程，第1个方程是x+=3，解为x=2；第2个方程是+=5，解为x=6；第3个方程是+=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是 ，解为 .
7.（2019 重庆.中考）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4：3：5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3：4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是 ？．
8.（2019 河南南阳中考模拟）定义一种新运算“?”：a?b=4a+b，试根据条件回答问题：
（1）计算：2?（-3）= ；（2）若x?（-6）=x?（3?x），则x=
（二）解答题
1.（2019 河北邯郸中考模拟）如果x＝1是方程的解，
（1）求m的值；
（2）求关于y的方程m（y﹣3）﹣2＝m（2y﹣5）的解．
2.（2019 广东广州中考）解方程组：．
3.（2019 甘肃中考）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
4.（2019 吉林中考）问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？
反思归纳
现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是 （填写序号）．
（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．
5.在一次有12个队参加的足球循环赛中（每两队之间比赛一场），规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积19分，问：该队在这次循环赛中战平了几场？
6.（2018 河北中考）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？
（2）求第5个台阶上的数x是多少？
应用 求从下到上前31个台阶上数的和．
发现 试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
7.（2019?深圳）有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电．
（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少度？
（2）A、B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值．
8.2019?呼和浩特）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第06讲 一次方程（组）及其应用（解析版）
【教师版】
一、考点知识梳理
【考点1 一元一次方程的概念及解法】
1.方程、方程的解与解方程
方程：含有未知数的等式叫方程．
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
解方程：求方程解的过程叫解方程．
2.等式的基本性质
性质1等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得的结果仍相等．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
性质2等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不为0)，所得结果仍相等如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0).
3.一元一次方程：含有一个未知数且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程．
4.解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
【考点2 一元一次方程的应用】
列方程解应用题的一般步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
设：设未知数，设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知数的问题，需设两个未知数；
列：弄清题意，找出相等关系，根据相等关系列方程(组)；
解：解方程验：检验结果是否符合题意
(6)答:答题(包括单位)
【考点3 方程组及其应用】
1.二元一次方程:含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
2.二元一次方程组:两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
3.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。
4．掌握两个解二元一次方程组的方法：
（1）代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.
方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1时，用代入法较简便.
（2）加减法：通过将方程组中两个方程加减，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等时，用加减法较简便.
二、考点分析
【考点1 一元一次方程的概念及解法】
【解题技巧】一次方程用到的思想方法：
(1)整体思想：在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷；
(2)转化思想：解一元一次方程最终要转化成ax＝b.
(3)数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题；
(4)方程思想：利用其他知识构造方程解决问题．
【例1】（2019 辽宁中考）已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=m，则m的值是
A 2. B -2. C 2.7. D -2.7
【答案】A．
【分析】 根据方程的定义，把m当做未知数
【解答】把x=m代入4x-3m=2,得4m-3m=2,
∴m=2.
故选A.
【举一反三1-1】（2018 河北中考）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．
【解答】解：设的质量为x，的质量为y，的质量为：a，
假设A正确，则，x＝1.5y，此时B，C，D选项中都是x＝2y，
故A选项错误，符合题意．
故选：A．
【举一反三1-2】（2019 福建中考）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685
【答案】A．
【分析】设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685，
故选：A．
【举一反三1-3】（2019 山东济南中考）代数式与代数式3﹣2x的和为4，则x＝ ．
【答案】﹣1．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：+3﹣2x＝4，
去分母得：2x﹣1+9﹣6x＝12，
移项合并得：﹣4x＝4，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1
【举一反三1-4】（2019 河北沧州中考模拟）解方程：
（1）＝2﹣
（2）﹣＝﹣1
【分析】按着解一元一次方程的一般步骤，解决每题即可．
【解答】解：（1）去分母，得5（y﹣1）＝20﹣2（y+2），
去括号，得5y﹣5＝20﹣2y﹣4，
移项，得5y+2y＝20﹣4+5，
整理，得7y＝21，
解得，y＝3．
（2）方程可变形为﹣＝﹣1
去分母，得2（10x﹣30）﹣3（20x+1）＝﹣6，
去括号，得20x﹣60﹣60x﹣3＝﹣6，
移项并整理，得﹣40x＝57
解得，x＝﹣．
【考点2 一元一次方程的应用】
【解题技巧】（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
【例2】（2019 浙江杭州中考）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（ ）
A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30
C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72
【答案】D．
【分析】直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案．
【解答】解：设男生有x人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得：
3x+2（30﹣x）＝72．
故选：D．
【举一反三2-1】（2019?长春）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D．
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
【解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
．
故选：D．
【举一反三2-2】（2019 福建中考）（2019?南通）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 ．
【答案】9x﹣11＝6x+16．
【分析】设有x个人共同买鸡，根据买鸡需要的总钱数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有x个人共同买鸡，根据题意得：
9x﹣11＝6x+16．
故答案为：9x﹣11＝6x+16．
【举一反三2-3】（2019 安徽中考）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．
【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，
由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天）
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
【举一反三2-4】（2019 湖北黄石中考）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
【分析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可；
（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．
【解答】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，由题意得
x：600＝100：60
∴x＝1000
∴1000﹣600﹣100＝300
答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．
（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由题意得
y＝200+y
∴y＝500
答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．
【考点3 方程组及其应用】
【解题技巧】解二元、三元一次方程组的基本思路是消元．
基本解法有：代入消元法和加减消元法.
二元一次方程组的解应写成的形式．
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
【例3】（2019 天津中考）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【分析】运用加减消元分解答即可．
【解答】解：，
①+②得，x＝2，
把x＝2代入①得，6+2y＝7，解得，
故原方程组的解为：．
故选：D．
【举一反三3-1】（2019 湖北孝感中考）已知二元一次方程组，则的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【答案】D．
【分析】解方程组求出x、y的值，再把所求式子化简后代入即可．
【解答】解：，
②﹣①×2得，2y＝7，解得，
把代入①得，+y＝1，解得，
∴＝．
故选：C．
【举一反三3-2】（2019 福建中考）解方程组．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x＝9，即x＝3，
把x＝3代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为．
【举一反三3-3】（（2019 海南中考））时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？
【分析】设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，由题意列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，
由题意得：，
解得：；
答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元．
【举一反三3-4】（2019 上海中考）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛
斛米．（注：斛是古代一种容量单位）
【答案】
【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．
【解答】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
则，
故5x+x+y+5y＝5，
则x+y＝．
答：1大桶加1小桶共盛斛米．
故答案为：．
【达标测试】
选择题
1.（2019?兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
2.（2019?南通）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【答案】A．
【分析】方程组两方程相加求出所求即可．
【解答】解：，
①+②得：5a+5b＝10，
则a+b＝2，
故选：A．
3.（2019?台湾）某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用．已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车．若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有多少人？（ ）
参观方式 缆车费用
去程及回程均搭乘缆车 300元
单程搭乘缆车，单程步行 200元
A．16 B．19 C．22 D．25
【答案】A．
【分析】设此旅行团有x人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y人，根据题意列出二元一次方程，求出其解．
【解答】解：设此旅行团有x人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y人，根据题意得，
，
解得，，
则总人数为7+9＝16（人）
故选：A．
4.（2015 河北中考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将①×5+②×2
B．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
C．要消去y，可以将①×5+②×3
D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
【答案】D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：利用加减消元法解方程组，要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2．
故选：D．
5.（2019 河北衡水中考模拟）图1所示的是用十字形方框从日历表中框出5个数，已知这5个数的和为5a+5，a是方框①，②，③，④中的一个数，则数a所在的方框是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据日历的特点和方程的性质
【解答】设中间位置的数为x，则①位置的数为x-7，
④位置的为x+7，
②位置的数为x-1，
③位置的数为x+1，
其和为5x=5a+5，所以a=x-1，
即a为②位置的数.
故选：B．
6.（2019 山东临沂中考模拟）2018年9月28日-12月31日，山东临沂灯展中千万盏彩灯点亮300亩天然花海．某日，从晚上17时开始每小时进入灯展的人数约为900人（之前该灯展有游客?400人），同时每小时走出灯展的人数约为600人，已知该灯展的饱和人数约为1600人，则该灯展人数饱和时的时间约为（ ）
A．21时 B．22时 C．23时 D．24时
【答案】A
【分析】根据题目中给出的数据，找出等量关系
【解答】设该灯展人数饱和时的时间约为x时.根据题意，得
（x-17）×（900-600）=1600-400.
解得x=21．
故选A .
7.(2016河北中考)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，则x为（ ）
A．x＝4. B．x＝3. C．x＝2. D．x＝5.
【答案】C．
【分析】由内角和θ＝(n－2)×180°可知，多边形边数每增加1，则内角和180°。
【解答】依题意，得(n－2)×180°＋360°
＝(n＋x－2)×180°.
解得x＝2.
故选C．
8.(2019山东滨州中考模拟)方程2－＝的解是（ ）
A．x＝－1. B．x＝0. C．x＝－2. D．x＝1.
【答案】D．
【分析】根据解分式方程的方法可得.
【解答】去分母，得12－2(2x＋1)＝3(1＋x)，
去括号，得12－4x－2＝3＋3x，
移项，得－4x－3x＝3＋2－12，
合并同类项，得－7x＝－7，
系数化为1，得x＝1.
故选D．
（二）填空题
1.（2019 山东青岛中考模拟）已知x、y是二元一次方程组的解，则代数式x2﹣4y2的值为 ．
【答案】．
【分析】根据解方程组的方法，先消去一个未知数，求出另一个未知数的值，再代入求出早先消去的未知数的值，从而求解。
【解析】：，
①×2﹣②得
﹣8y=1，
y=﹣，
把y=﹣代入②得
2x﹣=5，
x=，
x2﹣4y2=（）=，
故答案为：．
2.(2019石家庄四十一中模拟)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面 个．和底面 个；
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做 个盒子.
【答案】(1)2x＋76;－5x＋95 (2)30
【分析】根据三棱柱侧面的组成以及裁剪特点列方程可得.
【解答】(1)裁剪出的侧面个数为6x＋4(19－x)＝(2x＋76)个，裁剪出的底面个数为5(19－x)＝(－5x＋95)个；
(2)由题意，得＝，解得x＝7.
当x＝7时，＝30.
答：能做30个盒子．
(2017宁夏中考)小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，则他从家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min.问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？
【答案】300 m，400 m.
【分析】此题是路程问题，根据路程=速度×时间，列方程可得.
【解答】设小华家到学校平路x m，下坡y m.
由题意，得解得
答：小华家到学校的平路有300 m，下坡路有400 m.
4.（2019 福建福州中考模拟）图书馆整理一批图书，由一人做要60小时完成，现在先安排一批人整理，3小时后有4人因其它任务离开，余下的人又整理了9个小时，完成了这项工作，假设每个人的工作效率相同，则先安排了 人整理图书？
【答案】8.
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设先安排了x人整理图书，
，
解得，x＝8，
答：先安排了8人整理图书．
5.（2019 山东淄博中考模拟）用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图2所示，前两个天平保持平衡，若要使第三个天平也平衡，那么“？”处应放“■” 个.
【答案】5个.
【分析】根据天平得到等量关系然后由题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】设“●”“■”“▲”的质量分别为x，y，z.由图可知2x=y+z①，x+y=z②.
②两边都加上y得，x+2y=y+z③，
由①③得2x=x+2y，
所以x=2y，
代入②得，z=3y.
因为x+z=2y+3y=5y，
所以“？”处应放“■”5个.
6.（2019 河北石家庄中考模拟）有一列方程，第1个方程是x+=3，解为x=2；第2个方程是+=5，解为x=6；第3个方程是+=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是 ，解为 .
【答案】 +=21 x=110
【分析】此题是找规律问题，由题目给出的三个已知方程，发现其中的规律．
【解答】根据题意，得第n个方程为+=2n+1，
解为x=n（n+1）（n为正整数），
则第10个方程是+=21，
解为x=110.
7.（2019 重庆.中考）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4：3：5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3：4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是 ？．
【答案】3：20．
【分析】设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为（x+y），川香已种植面积x、贝母已种植面积x，黄连已种植面积
依题意列出方程组，用y的代数式分别表示x、y，然后进行计算即可．
【解答】解：设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为（x+y），川香已种植面积x、贝母已种植面积x，黄连已种植面积
依题意可得，
由①得 x＝③，
将③代入②，z＝y，
∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比＝，
故答案为3：20．
8.（2019 河南南阳中考模拟）定义一种新运算“?”：a?b=4a+b，试根据条件回答问题：
（1）计算：2?（-3）= ；（2）若x?（-6）=x?（3?x），则x=
【答案】 （1）5. （2）-18
【分析】此题是定义新运算，由题目给出的已知条件可列方程．
【解答】解：（1）5
（2）根据题意，得x?（-6）=4x-6，
3?x=4×3+x=12+x.
所以x?（3?x）=4x+（12+x）
=5x+12.
所求的方程为4x-6=5x+12，
解得x=-18.
（二）解答题
1.（2019 河北邯郸中考模拟）如果x＝1是方程的解，
（1）求m的值；
（2）求关于y的方程m（y﹣3）﹣2＝m（2y﹣5）的解．
【分析】（1）将x＝1代入方程即可求出m的值；
（2）将m的值代入方程计算即可求出方程的解．
【解答】解：（1）将x＝1代入方程得：2﹣（m﹣1）＝2，
去分母得6﹣m+1＝6，即m＝1；
（2）将m＝1代入方程得y﹣3﹣2＝2y﹣5，
移项合并得：y＝0．
2.（2019 广东广州中考）解方程组：．
【分析】运用加减消元解答即可．
【解答】解：，
②﹣①得，4y＝8，解得y＝2，
把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，
故原方程组的解为．
3.（2019 甘肃中考）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设共有x人，
根据题意得：+2＝，
去分母得：2x+12＝3x﹣27，
解得：x＝39，
∴＝15，
则共有39人，15辆车．
4.（2019 吉林中考）问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？
反思归纳
现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是 （填写序号）．
（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．
【分析】问题解决 设竹签有x根，山楂有y个，由题意得出方程组：，解方程组即可；
反思归纳 由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac+d＝b即可．
【解答】问题解决
解：设竹签有x根，山楂有y个，
由题意得：，
解得：，
答：竹签有20根，山楂有104个；
反思归纳
解：∵每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，
则ac+d＝b，
故答案为：（2）．
5.在一次有12个队参加的足球循环赛中（每两队之间比赛一场），规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积19分，问：该队在这次循环赛中战平了几场？
【分析】设该队负了x场，则胜（x+2）场，平局的场数为[11﹣x﹣（x+2）]场．根据总积分＝3×胜利场数+1×平局场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该队负了x场，则胜（x+2）场，平局的场数为[11﹣x﹣（x+2）]场．
根据题意得：3（x+2）+1×[11﹣x﹣（x+2）]＝19，
解得：x＝4，
∴11﹣x﹣（x+2）＝1．
答：该队在这次循环赛中战平了1场．
6.（2018 河北中考）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？
（2）求第5个台阶上的数x是多少？
应用 求从下到上前31个台阶上数的和．
发现 试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
【分析】尝试：（1）将前4个数字相加可得；（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；
应用：根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；
发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为4k﹣1．
【解答】解：尝试：（1）由题意得前4个台阶上数的和是﹣5﹣2+1+9＝3；
（2）由题意得﹣2+1+9+x＝3，
解得：x＝﹣5，
则第5个台阶上的数x是﹣5；
应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，
∵31÷4＝7…3，
∴7×3+1﹣2﹣5＝15，
即从下到上前31个台阶上数的和为15；
发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．
7.（2019?深圳）有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电．
（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少度？
（2）A、B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值．
【分析】（1）设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电x度，B发电厂发电y度，根据“每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电”列方程组解答即可；
（2）设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧（90﹣x）吨垃圾，总发电量为y度，得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电a度，B发电厂发电b度，根据题意得：
，解得，
答：焚烧1吨垃圾，A发电厂发电300度，B发电厂发电260度；
（2）设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧（90﹣x）吨垃圾，总发电量为y度，则
y＝300x+260（90﹣x）＝40x+23400，
∵x≤2（90﹣x），
∴x≤60，
∵y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y有最大值为：40×60+23400＝25800（元）．
答：A厂和B厂总发电量的最大是25800度．
8.2019?呼和浩特）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
【分析】（1）设小王的实际车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人付给滴滴快车的乘车费相同列方程求解即可；
（2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解．
【解答】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得：
1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）
∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y
0.3（x﹣y）＝5.7
∴x﹣y＝19
∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟．
（2）由（1）及题意得：
化简得
①+②得2y＝36
∴y＝18 ③
将③代入①得x＝37
∴小王的实际乘车时间为37分钟，小张的实际乘车时间为18分钟．
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