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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第07讲 分式方程及其应用（提高版）
【学生版】
一、考点知识梳理
【考点1 分式方程的概念及解分式方程】
1．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．解法步骤：
(1)去分母：将方程两边都乘以最简公分母，把它化为整式方程；
(2)解这个整式方程；
3．检验方法：
(1)利用方程的解的概念进行检验；
(2)将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原方程的根；若为0，则为增根，必须舍去；
(3)增根：当分母的值为0时，分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根．
【考点2 分式方程的应用】
列分式方程解应用题的六个步骤：
(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；
(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；
(3)列：根据等量关系，列出方程；
(4)解：求出所列方程的解；
(5)验：双检验．①检验是否是分式方程的解；②检验解是否符合题意；
(6)答：写出答案．
二、考点分析
【考点1 分式方程的概念及解分式方程】
【解题技巧】找最简公分母的方法：
(1)取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；
(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
(3)利用字母(或因式)的幂取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各个字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．
【例1】（2019?哈尔滨）方程＝的解为（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【举一反三1-1】（2019 湖北黄石中考）分式方程：﹣＝1的解为 ．
【举一反三1-2】（2019 河北中考）已知方程＝1的解是k，求关于x的方程x2＋kx＝0的解．
【举一反三1-3】（2019 云南中考）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
【举一反三1-4】（2019?广西）某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有50张，毎袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同．
（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？
（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案贴纸a袋（a为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含a的代数式表示．
（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于a的函数关系式．现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？
【考点2 分式方程的应用】
【解题技巧】（一）常见关系：
分式方程的应用题主要涉及工作量问题、行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系．
如：工作时间＝，时间＝．
（二）列分式方程解应用题时，要验根作答，不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”．
【例2】（2019?济南）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．
（1）求A和B两种图书的单价；
（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？
【举一反三2-1】（2019 河北石家庄中考模拟）方程-=0的解为x= ．
【举一反三2-2】（2019 辽宁大连中考模拟）使得关于x的分式方程+＝﹣2的解为正数，且关于x的不等式组有解的所有整数a的和为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣6
【举一反三2-3】（2019?威海）列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 河北衡水中考模拟）关于x的方程有增根，则m的值（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
2.（2019 辽宁锦州中考模拟）如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程+＝3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
3.（2019 黑龙江哈尔滨中考模拟）小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度骑车慢50%．如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需2小时，问小王跑步从A城到B城需要（ ）分钟．
A．45 B．48 C．56 D．60
4.（2019 山东淄博中考模拟）一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟．在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟．问：在无风的时候，他跑100米要用（ ）秒．
A．12.5 B．10 C． D．
5.（2019 河南郑州中考模拟）一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
6.（2019 河北唐山中考模拟）一轮船顺流航行100千米与逆流航行64千米所用的时间的和等于逆流航行80千米，再顺流航行返回所用的时间的和，则该船在静水中的速度与水流速度之比为（ ）
A．9：1 B．5：4 C．4：1 D．5：1
7.(2008,山西省太原市)帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人．该校第二次捐款（ ）人．
A．240 B．220 C．200 D．180
（2018，四川成都模拟）今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是（ ）元？
A．10 B．15 C．20 D．25
填空题
（2019 湖北孝感中考）方程＝的解为 ．
2.（2019 辽宁沈阳中考模拟）已知：，则（y﹣x）的值是 ．
3.（2019 山东东营中考模拟）①已知x＝3是方程＝1的一个根，则a＝ ；
②已知x＝1是方程的一个增根，则k＝ ．
4.（2019 山东烟台中考模拟）当 时，分式的值为1．
5.（2019 河北张家口中考模拟）若关于x的方程﹣2＝的解为正数，则m的取值范围是 ．
6.（2019 河北沧州中考模拟）已知关于x的分式方程＝2+无解，则k的值为 ．
7.（2019 福建福州中考模拟）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后来客户要求提前5天交货，为保证按时完成任务，则每天应多做 件．
8.（2019 河北邯郸中考模拟）小明在解方程后得到，他不解方程：发现，请你以解方程为例（要写过程），并猜出方程的解是 ．
（其中a、b、c、d为常数，且a+d＝b+c）
解答题
1.（2019 上海中考）解方程：﹣＝1
2.（2019 山东威海中考模拟）阅读下列材料：
∵，，，…，
∴
＝
＝
＝．
解答下列问题：
（1）在和式中，第6项为 ，第n项是 ．
（2）上述求和的想法是通过逆用 法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以 ，从而达到求和的目的．
（3）受此启发，请你解下面的方程：．
3.（2019?日照）“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件产品的实际定价是多少元？
4.（2019 宁夏中考）解方程：+1＝．
5.（2019?河北张家口模拟）在2018年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量来计算：若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的2倍．
（1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？
（2）已知租用甲、乙两种车辆合运需租金65000元，甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多1500元，试问：租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由．
（2019?青岛）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．
（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？
7.（2019?南通）列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．
8.（2019?台湾）市面上贩售的防晒产品标有防晒指数SPF，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率＝×100%，其中SPF≥1．
请回答下列问题：
（1）厂商宣称开发出防护率90%的产品，请问该产品的SPF应标示为多少？
（2）某防晒产品文宣内容如图所示．
请根据SPF与防护率的转换公式，判断此文宣内容是否合理，并详细解释或完整写出你的理由．
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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第07讲 分式方程及其应用（解析版）
【教师版】
一、考点知识梳理
【考点1 分式方程的概念及解分式方程】
1．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．解法步骤：
(1)去分母：将方程两边都乘以最简公分母，把它化为整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)检验；
3．检验方法：
(1)利用方程的解的概念进行检验；
(2)将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原方程的根；若为0，则为增根，必须舍去；
(3)增根：当分母的值为0时，分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根．
【考点2 分式方程的应用】
列分式方程解应用题的六个步骤：
(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；
(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；
(3)列：根据等量关系，列出方程；
(4)解：求出所列方程的解；
(5)验：双检验．①检验是否是分式方程的解；②检验解是否符合题意；
(6)答：写出答案．
二、考点分析
【考点1 分式方程的概念及解分式方程】
【解题技巧】找最简公分母的方法：
(1)取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；
(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
(3)利用字母(或因式)的幂取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各个字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．
【例1】（2019?哈尔滨）方程＝的解为（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【答案】C．
【分析】将分式方程化为，即可求解x＝；同时要进行验根即可求解；
【解答】解：＝，
，
∴2x＝9x﹣3，
∴x＝；
将检验x＝是方程的根，
∴方程的解为x＝；
故选：x＝﹣1
【举一反三1-1】（2019 湖北黄石中考）分式方程：﹣＝1的解为 ．
【答案】C．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4﹣x＝x2﹣4x，即x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x＝4或x＝﹣1，
经检验x＝4是增根，分式方程的解为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1
【举一反三1-2】（2019 河北中考）已知方程＝1的解是k，求关于x的方程x2＋kx＝0的解．
【分析】先解方程，然后将x=k代入，即得.
【解答】由＝1，
解得x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，
∴k＝2，
∴x2＋2x＝0，
解得x1＝0，x2＝－2.
【举一反三1-3】（2019 云南中考）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
【分析】设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x千米/小时，由时间关系“甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地”列出方程，解方程即可．
【解答】解：设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x千米/小时，
由题意得：，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，
则1.5x＝90，
答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60千米/小时、90千米/小时．
【举一反三1-4】（2019?广西）某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有50张，毎袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同．
（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？
（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案贴纸a袋（a为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含a的代数式表示．
（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于a的函数关系式．现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？
【分析】（1）设每袋国旗图案贴纸为x元，则有，即可求解；
（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有50a：20b＝2：1，即可求解；
（3）如果没有折扣，W＝，分别求出a与b即可求解．
【解答】解：（1）设每袋国旗图案贴纸为x元，则有，
解得x＝15，
经检验x＝15时方程的解，
∴每袋小红旗为15+5＝20元；
答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；
（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有50a：20b＝2：1，
解得b＝a，
答：购买小红旗a袋恰好配套；
（3）如果没有折扣，则W＝15a+20×a＝40a，
依题意得40a≤800，
解得a≤20，
当a＞20时，则W＝800+0.8（40a﹣800）＝32a+160，
即W＝，
国旗贴纸需要：1200×2＝2400张，
小红旗需要：1200×1＝1200面，
则a＝＝48袋，b＝＝60袋，
总费用W＝32×48+160＝1696元．
【考点2 分式方程的应用】
【解题技巧】（一）常见关系：
分式方程的应用题主要涉及工作量问题、行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系．
如：工作时间＝，时间＝．
（二）列分式方程解应用题时，要验根作答，不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”．
【例2】（2019?济南）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．
（1）求A和B两种图书的单价；
（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？
【分析】（1）设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，根据数量＝总价÷单价结合花3000元购买的A种图书比花1600元购买的B种图书多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，
依题意，得：﹣＝20，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝30．
答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元．
（2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）．
答：共花费880元．
【举一反三2-1】（2019 河北石家庄中考模拟）方程-=0的解为x= ．
【答案】2.
【分析】按照解分式方程的步骤解方程即可.
【解答】去分母得：3x-3-x-1=0，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：2.
【举一反三2-2】（2019 辽宁大连中考模拟）使得关于x的分式方程+＝﹣2的解为正数，且关于x的不等式组有解的所有整数a的和为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣6
【答案】A．
【分析】不等式组整理后，由题意确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，检验即可．
【解答】解：+＝﹣2，
去分母得：1﹣ax+3＝﹣2（x﹣4），
4﹣ax＝﹣2x+8，
（a﹣2）x＝﹣4，
x＝﹣＞0，且a≠2，x≠4，
∴a＜2，
不等式组整理得：，
由不等式组有解，得到0＜x≤a+3，
∴a+3＞0，
a＞﹣3，
∴﹣3＜a＜2，
当a＝﹣2时，x＝1；
当a＝0时，x＝2；
当a＝1时，x＝4，不符合题意；
则满足题意a的值之和为﹣2+0＝﹣2，
故选：A．
【举一反三2-3】（2019?威海）列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：
﹣4＝，
解得：x＝50，
经检验得：x＝50是原方程的根，故3x＝150，
答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．
【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 河北衡水中考模拟）关于x的方程有增根，则m的值（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【答案】C．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：2x2﹣mx+m﹣1＝0，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0或2x﹣1＝0，
即x＝1或x＝，
把x＝1代入整式方程，不合题意，
把x＝代入整式方程，可得m＝1，
故选：C．
2.（2019 辽宁锦州中考模拟）如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程+＝3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B．
【分析】表示出不等式组的解集，确定出m的范围，根据分式方程有非负整数解确定出m的值，即可得到符合条件的m的所有值的和．
【解答】解：解不等式组，可得，
∵该不等式组的解集为x＜1，
∴m≥1，
解关于x的分式方程+＝3，可得x＝，
∵该分式方程有非负整数解，
∴≥0，且≠1，
∴m≤5，m≠3，
∵当m＝5或1时，是非负整数，
∴符合条件的m的所有值的和是6，
故选：B．
3.（2019 黑龙江哈尔滨中考模拟）小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度骑车慢50%．如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需2小时，问小王跑步从A城到B城需要（ ）分钟．
A．45 B．48 C．56 D．60
【答案】B．
【分析】此题可设骑车速度为x，则跑步速度为（1﹣50%）x，步行的速度为（1﹣50%）（1﹣50%）x，根据骑车从A城去B城，再步行返回A城共需2小时列出分式方程解答即可．
【解答】解：设骑车速度为x，则跑步的速度为（1﹣50%）x，步行的速度为（1﹣50%）（1﹣50%）x，根据题意列方程得
+，
解得x＝，
跑步的速度为，
小王跑步从A城到B城需要1÷＝小时＝48分钟．
故选：B．
4.（2019 山东淄博中考模拟）一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟．在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟．问：在无风的时候，他跑100米要用（ ）秒．
A．12.5 B．10 C． D．
【答案】A．
【分析】设无风时的速度是x，风速是y，根据顺风跑90米用了10秒钟．在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟可列出方程求解．
【解答】解：设无风时的速度是x米/秒，风速是y米/秒，
＝，
x＝8y．
又∵＝10
＝10
∴y＝1，
∴x＝8．
100÷8＝12.5（秒）．
跑100米用的时间是12.5秒．
故选：A．
5.（2019 河南郑州中考模拟）一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
【答案】B．
【分析】如果设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为v，AB两地相距s，那么根据时间＝路程÷速度，可知骑摩托车者从B地直接驶往A地原计划所用时间为，而实际他在途中所用的时间可看作三段时间的和．当他骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去，与步行者在途中相遇用去时间；他把步行者送到B地又用去时间；他再向A地驶去又用去时间，这三段时间的和是骑车者原计划所用时间的2.5倍，即，根据这个等量关系列出方程，求出v的值即可．
【解答】解：设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为v，AB两地相距s．
由题意，有+＝，
∴＝，
解得v＝3，
∴v：1＝3：1．
即骑摩托车者的速度与步行者速度的比是3：1．
故选：B．
6.（2019 河北唐山中考模拟）一轮船顺流航行100千米与逆流航行64千米所用的时间的和等于逆流航行80千米，再顺流航行返回所用的时间的和，则该船在静水中的速度与水流速度之比为（ ）
A．9：1 B．5：4 C．4：1 D．5：1
【答案】B．
【分析】本题的等量关系为：顺流100千米的时间+逆流64千米的时间＝顺流80千米的时间+逆流80千米的时间．
【解答】解：可直接设船在静水中的速度与水流速度之比为x，由于静水中的速度和水流速度都是未知数，可设水流速度为1，则静水速度就为x．
则．
解得x＝9．
所以船在静水中的速度与水流速度之比为9：1．
经检验x＝9是方程的根，
故选A．
7.(2008,山西省太原市)帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人．该校第二次捐款（ ）人．
A．240 B．220 C．200 D．180
【答案】C．
【分析】根据两次人均捐款额相等列方程求解,设第二次捐款人数为x人,则第一次捐款人数
为(x-50)人,两次人均捐款分别为元、元.
【解答】解:设第二次捐款的人数为x人,则第一次捐款人数为(x-50)人,依题意,得=,解得x=200,
经检验,x=200是原方程的解,且符合题意.
故选C．
（2018，四川成都中考模拟）今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是（ ）元？
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】A．
【分析】设今年1月份的一级猪肉每斤x元,则5月份一级猪肉的价格为1.25x元/斤,那么20
元分别购进5月份,1月份的猪肉斤数为斤、斤,然后根据20元钱在5月份购
一级猪肉比1月份购进的一级猪肉少0.4斤,列方程即可求解.
【解答】设今年1月份的一级猪肉每斤x元,则5月份的一级猪肉每斤1.25x元,依题意,得
=+0.4,解得x=10元.
故选A．
填空题
（2019 湖北孝感中考）方程＝的解为 ．
【答案】x＝1．
【分析】观察可得方程最简公分母为2x（x+3）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：两边同时乘2x（x+3），得
x+3＝4x，
解得x＝1．
经检验x＝1是原分式方程的根．
故答案是x＝1：
2.（2019 辽宁沈阳中考模拟）已知：，则（y﹣x）的值是 ．
【答案】4．
【分析】先将原分式方程，化为一个二元一次方程组，解出可求出x、y的值，进一步代入原代数式即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
则有；
方程组可化为：，
解得．
经检验：是原方程的解．
∴（y﹣x）＝4．
故答案为：4．
3.（2019 山东东营中考模拟）①已知x＝3是方程＝1的一个根，则a＝ ；
②已知x＝1是方程的一个增根，则k＝ ．
【答案】①a＝3．②k＝﹣1．
【分析】①中有两个未知数，但x的值是已知的，只需把x的值代入即可．
②增根是由整式方程解出的不适合分式方程的根，所以要把x＝1代入化为整式方程的方程来求解．
【解答】解：①把x＝3代入原方程，得
，解得a＝3，
经检验，a＝3是分式方程的解．
②方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
x（x+1）+k（x+1）＝x（x﹣1），
把x＝1代入得，k＝﹣1．
4.（2019 山东烟台中考模拟）当 时，分式的值为1．
【答案】x＝﹣2
【分析】本题考查解分式方程的能力，根据题意可列方程为：＝1，去分母，化为整式方程求解．
【解答】解：根据题意可列方程为：＝1，去分母，得x2﹣1＝x2+x+1．
解得x＝﹣2，经检验x＝﹣2是方程的解．
5.（2019 河北张家口中考模拟）若关于x的方程﹣2＝的解为正数，则m的取值范围是 ．
【答案】m＞﹣6且m≠﹣3．
【分析】先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且x﹣3≠0即可求得m的范围．
【解答】解：去分母，得x﹣2（x﹣3）＝﹣m，
解得：x＝m+6，
根据题意得：m+6﹣3≠0且m+6＞0，
解得：m＞﹣6且m≠﹣3．
故答案是：m＞﹣6且m≠﹣3．
6.（2019 河北沧州中考模拟）已知关于x的分式方程＝2+无解，则k的值为 ．
【答案】4．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣4＝0求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．
【解答】解：分式方程去分母得：x＝2x﹣8+k，
即x＝8﹣k，
由分式方程无解得到x﹣4＝0，即x＝4，
代入整式方程得：4＝8﹣k，
解得：k＝4，
故答案为：4．
7.（2019 福建福州中考模拟）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后来客户要求提前5天交货，为保证按时完成任务，则每天应多做 件．
【答案】24．
【分析】设每天应多做x件．根据实际所用的时间比原计划所用的时间提前5天列方程求解．
【解答】解：设每天应多做x件，则依题意得：
﹣＝5，
解得：
x＝24．
经检验x＝24是方程的根，
答：每天应多做24件，
故答案为24．
8.（2019 河北邯郸中考模拟）小明在解方程后得到，他不解方程：发现，请你以解方程为例（要写过程），并猜出方程的解是 ．
（其中a、b、c、d为常数，且a+d＝b+c）
【答案】x＝＝．
【分析】先根据解分式方程的步骤求出方程的解，然后观察找出规律：方程的解正好等于7+3+6+2之和的四分之一，又因为7+2＝6+3，所以方程的解x＝＝，因此方程的解x＝＝．
【解答】解：方程两边通分得：＝，
＝，
（x﹣7）（x﹣3）＝（x﹣6）（x﹣2），
x2﹣10x+21＝x2﹣8x+12，
解得x＝；
经检验x＝是元方程的解．
观察方程可得：x＝＝＝，
所以方程的解为：x＝＝．
解答题
1.（2019 上海中考）解方程：﹣＝1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣4，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．
2.（2019 山东威海中考模拟）阅读下列材料：
∵，，，…，
∴
＝
＝
＝．
解答下列问题：
（1）在和式中，第6项为 ，第n项是 ．
（2）上述求和的想法是通过逆用 法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以 ，从而达到求和的目的．
（3）受此启发，请你解下面的方程：．
【分析】此题是阅读分析题，解此题的关键是认真审题，找到规律（两个连续奇数的积的倒数等于它们的倒数差的一半），再依据规律解题即可．
【解答】解：（1）；
（2）分式减法，对消；
（3）将分式方程变形为＝．
整理得，方程两边都乘以2x（x+9），得
2（x+9）﹣2x＝9x，解得x＝2．
经检验，x＝2是原分式方程的根．
3.（2019?日照）“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件产品的实际定价是多少元？
【分析】设每件产品的实际定价是x元，则原定价为（x+40）元，根据“按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元”建立方程，解方程即可．
【解答】解：设每件产品的实际定价是x元，则原定价为（x+40）元，
由题意，得
＝．
解得x＝160．
经检验x＝160是原方程的解，且符合题意．
答：每件产品的实际定价是160元．
4.（2019 宁夏中考）解方程：+1＝．
【分析】方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得x＝4；
【解答】解：+1＝，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得
2（x﹣1）+（x+2）（x﹣1）＝x（x+2），
∴x＝4，
经检验x＝4是方程的解；
∴方程的解为x＝4；
5.（2019?河北张家口模拟）在2018年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量来计算：若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的2倍．
（1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？
（2）已知租用甲、乙两种车辆合运需租金65000元，甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多1500元，试问：租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由．
【分析】（1）根据题意可以得到相应的分式方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意和第（1）问中的结果可以分别求得三种方式的费用，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）设甲车单独完成任务需要x天，则乙车单独完成任务需要2x天，
（）×10＝1
解得，x＝15
∴2x＝30
即甲、乙两车单独完成任务分别需要15天，30天；
（2）设甲车的租金每天a元，则乙车的租金每天（a﹣1500）元，
[a+（a﹣1500）]×10＝65000
解得，a＝4000
∴a﹣1500＝2500
当单独租甲车时，租金为：15×4000＝60000，
当单独租乙车时，租金为：30×2500＝75000，
∵60000＜65000＜75000，
∴单独租甲车租金最少．
（2019?青岛）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．
（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？
【分析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；
（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可．
【解答】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意得：＝+5
化简得600×1.5＝600+5×1.5x
解得x＝40
∴1.5x＝60
经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义．
答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．
（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得
由①得y＝75﹣1.5x③
将③代入②得150x+120（75﹣1.5x）≤7800
解得x≥40，
当x＝40时，y＝15，符合问题的实际意义．
答：甲至少加工了40天．
7.（2019?南通）列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．
【分析】设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为（x+40）元，根据数量＝总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为（x+40）元，
依题意，得：＝2×，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意．
答：每套《三国演义》的价格为80元．
8.（2019?台湾）市面上贩售的防晒产品标有防晒指数SPF，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率＝×100%，其中SPF≥1．
请回答下列问题：
（1）厂商宣称开发出防护率90%的产品，请问该产品的SPF应标示为多少？
（2）某防晒产品文宣内容如图所示．
请根据SPF与防护率的转换公式，判断此文宣内容是否合理，并详细解释或完整写出你的理由．
【分析】（1）根据公式列出方程进行计算便可；
（2）根据公式计算两个的防护率，再比较可知结果．
【解答】解：（1）根据题意得，，
解得，SPF＝10，
答：该产品的SPF应标示为10；
（2）文宣内容不合理．理由如下：
当SPF＝25时，其防护率为：；
当SPF＝50时，其防护率为：；
98%﹣96%＝2%，
∴第二代防晒乳液比第一代防晒乳液的防护率提高了2%，不是提高了一倍．
∴文宣内容不合理．
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