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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第08讲 一元二次方程及其应用（提高版）
【学生版】
一、考点知识梳理
【考点1 一元二次方程的概念及解法】
1.一元二次方程的概念:只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，像这样的整式方程叫一元二次方程．其一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
2.一元二次方程的解法:
直接开平方法：这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程.
配方法：配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数．
公式法：求根公式为x＝(b2－4ac≥0)，适用于所有的一元二次方程.
因式分解法：因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为0；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
【考点2 一元二次方程根的情况】
1．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定，我们b2－4a将称为根的判别式．
2．判别式与根的关系：
(1)b2－4ac>0?方程有两个不相等的实数根；
(2)b2－4ac<0?方程没有实数根；
(3)b2－4ac＝0?方程有两个相等的实数根．
【考点3 一元二次方程的应用】
1．列一元二次方程解应用题的步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论．
2．一元二次方程应用问题常见的等量关系：
(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；
(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；
(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，
利润率＝利润÷进货价．
二、考点分析
【考点1 一元二次方程的概念及解法】
【解题技巧】1.判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．
2.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法：
(1)当b＝0，c≠0时，x2＝－，考虑用直接开平方法解；
(2)当c＝0，b≠0时，用因式分解法解；
(3)当a＝1，b为偶数时，用配方法解简便．
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【例1】（2019 吉林中考）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可）．
【举一反三1-1】（2019 安徽中考）解方程：（x﹣1）2＝4．
【举一反三1-2】（2019 山西中考）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
【举一反三1-3】（2019 河北中考）（2019?兰州）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6
【举一反三1-4】（2019 内蒙古中考）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．
【举一反三1-5】（2019 河北衡水中考模拟）我们把形如x2＝a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．
如x2＝9，（3x﹣2）2＝25，（）2＝4…都是完全平方方程．
那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．
如：解完全平方方程x2＝9的思路是：由（+3）2＝9，（﹣3）2＝9可得x1＝3，x2＝﹣3．
解决问题：
（1）解方程：（3x﹣2）2＝25．
解题思路：我们只要把 3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．
解：根据乘方运算，得3x﹣2＝5 或 3x﹣2＝ ．
分别解这两个一元一次方程，得x1＝，x2＝﹣1．
（2）解方程．
【考点2 一元二次方程根的情况】
【解题技巧】1.一元二次方程有实数根的前提是b2－4ac≥0；(2)当a，c异号时，△＞0.
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
2.一元二次方程根与系数的特点：
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【例2】（2019 甘肃中考）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0
【举一反三2-1】（2019 广东中考）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1?x2＝2
【举一反三2-2】（2019 江西中考）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝ ．
【举一反三2-3】（2019 湖北孝感中考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
【举一反三2-4】（2019 上海中考）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是 ．
【举一反三2-5】（2019?新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤ B．k＞ C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠1
【考点3 一元二次方程的应用】
【解题技巧】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【例3】（2019 山西中考）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为 ．
【举一反三3-1】（2019 江苏南京中考））某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【举一反三3-2】（2019 江苏徐州中考）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？
【举一反三3-3】（2019 辽宁大连中考）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元
（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？
【举一反三3-4】（2019?青海）某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为 ．
【举一反三3-5】（2019 辽宁大连中考模拟）如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 河南中考）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2.（2019?日照）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A．1000（1+x）2＝3990
B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990
C．1000（1+2x）＝3990
D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
3.（2019?新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36
C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36
4.（2019?四川内江中考模拟）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
5.（2019?广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
6.（2019 河北中考）（2019?哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．20% B．40% C．18% D．36%
7.（2019 河北中考）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
8.（2016 河北中考））a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
填空题
1.（2019 江苏南京中考）已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝ ．
2.（2019 宁夏中考）已知一元二次方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 ．
3.（2019?威海）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 ．
4.（2019 河南兰考中考模拟）等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则等腰三角形底边的值是 ．
（2019 山东聊城中考模拟）一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，其中x1＜x2，则x12﹣2x22的值为 ．
6.（2019 甘肃兰州中考模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向B移动，同时，点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度向点C移动，运动 秒后，△PBQ面积为5个平方单位．
7.（2019 河北沧州中考模拟）已知x1，x2是方程x2﹣x+＝0的两根，若实数a满足a+x1+x2﹣x1x2＝2018，则a＝ ．
8.（2019 河北张家口中考模拟）已知：a、b、c均为非零实数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一个实数根为2．
（1）填空：a＞b＞c，4a+2b+c 0，a 0，c 0（填“＞”，“＜”或“＝”）；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，满足一个根为另一个根的2倍，我们就称这样的方程为“倍根方程”，若原方程是倍根方程，则求a、c之间的关系 ．
（3）若a＝1时，设方程的另一根为m（m≠2），在两根之间（不包含两根）的所有整数的绝对值之和是7，求b的取值范围 ．
解答题
1.（2019 北京中考）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
2.（2019 河北衡水中考模拟）某县农场小刘承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质核桃，今年已进入第三年收获期．今年收获核桃2880千克，已知小刘第一年收获的核桃重量为2000千克．求去年和今年两年核桃产量的年平均增长率，照此增长率，预计明年核桃的产量为多少千克？
3.（2019 辽宁辽阳中考模拟）构建模型：生活中的实际问题，往往需要构建相应的数学模型来解决，这就是模型的思想．譬如：某校要举办足球赛，若有5个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，则该校一共要安排多少场比赛？为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
（1）如图①，在平面内画出5个点（任意3个点都不共线），其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数．由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样总共可连成线段是5×4条，如果不考虑线段端点的顺序，那么连成线段只有条，所以该校一共要安排＝10场比赛．
（2）根据图②回答：若学校有6个足球队参加比赛，则该校一共要安排 场比赛；
…
（3）根据以上规律，若学校有n个足球队参加比赛，则该校一共要安排 ______场比赛；
问题解决：
（4）小凡今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手），小凡发现所有人握手次数总和为36次，求合唱队有多少人？（写出求解过程）
4.（2019?广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
5.（2019 山东烟台中考模拟）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．
（1）要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
（2）折成的长方形盒子的侧面积为600cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
6.（2019 河北唐山中考模拟）已知关于x的一元二次方程tx2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1、x2．
（1）当t＝m＝1时，若x1＜x2，求x1、x2；
（2）当m＝1时，求t的取值范围；
（3）当t＝1时，若x1、x2满足3|x1|＝x2+4，求m的值．
7.（2017 河北中考））某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x＝2n2﹣2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据．
月份n（月） 1 2
成本y（万元/件） 11 12
需求量x（件/月） 120 100
（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m．
8.（2019 重庆中考）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．
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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第08讲 一元二次方程及其应用（解析版）
【教师版】
一、考点知识梳理
【考点1 一元二次方程的概念及解法】
1.一元二次方程的概念:只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，像这样的整式方程叫一元二次方程．其一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
2.一元二次方程的解法:
直接开平方法：这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程.
配方法：配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数．
公式法：求根公式为x＝(b2－4ac≥0)，适用于所有的一元二次方程.
因式分解法：因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为0；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
【考点2 一元二次方程根的情况】
1．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定，我们b2－4a将称为根的判别式．
2．判别式与根的关系：
(1)b2－4ac>0?方程有两个不相等的实数根；
(2)b2－4ac<0?方程没有实数根；
(3)b2－4ac＝0?方程有两个相等的实数根．
【考点3 一元二次方程的应用】
1．列一元二次方程解应用题的步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论．
2．一元二次方程应用问题常见的等量关系：
(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；
(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；
(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，
利润率＝利润÷进货价．
二、考点分析
【考点1 一元二次方程的概念及解法】
【解题技巧】1.判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．
2.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法：
(1)当b＝0，c≠0时，x2＝－，考虑用直接开平方法解；
(2)当c＝0，b≠0时，用因式分解法解；
(3)当a＝1，b为偶数时，用配方法解简便．
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【例1】（2019 吉林中考）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可）．
【答案】5（答案不唯一，只有c≥0即可）
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围．
【解答】解：一元二次方程化为x2+6x+9﹣c＝0，
∵△＝36﹣4（9﹣c）＝4c≥0，
解上式得c≥0．
故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）．
【举一反三1-1】（2019 安徽中考）解方程：（x﹣1）2＝4．
【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
【举一反三1-2】（2019 山西中考）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
【答案】D．
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：D．
【举一反三1-3】（2019 河北中考）（2019?兰州）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6
【答案】A．
【分析】先把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，
所以a+2b＝﹣1，
所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．
故选：A．
【举一反三1-4】（2019 内蒙古中考）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．
【分析】首先把方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，然后变形为x2﹣x＝17，然后利用配方法解方程．
【解答】解：原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，
x2﹣x＝17，
x2﹣x+＝17+，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝，x2＝．
【举一反三1-5】（2019 河北衡水中考模拟）我们把形如x2＝a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．
如x2＝9，（3x﹣2）2＝25，（）2＝4…都是完全平方方程．
那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．
如：解完全平方方程x2＝9的思路是：由（+3）2＝9，（﹣3）2＝9可得x1＝3，x2＝﹣3．
解决问题：
（1）解方程：（3x﹣2）2＝25．
解题思路：我们只要把 3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．
解：根据乘方运算，得3x﹣2＝5 或 3x﹣2＝ ．
分别解这两个一元一次方程，得x1＝，x2＝﹣1．
（2）解方程．
【分析】根据题意给出的思路即可求出答案．
【解答】解：（1）3x﹣2＝﹣5，
（2）根据乘方运算，
得或
解这两个一元一次方程，得x1＝，x2＝．
【考点2 一元二次方程根的情况】
【解题技巧】1.一元二次方程有实数根的前提是b2－4ac≥0；(2)当a，c异号时，△＞0.
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
2.一元二次方程根与系数的特点：
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【例2】（2019 甘肃中考）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0
【答案】A．
【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，
解得：k＝﹣1，
故选：A．
【举一反三2-1】（2019 广东中考）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1?x2＝2
【答案】D．
【分析】由根的判别式△＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1?x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．
【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1?x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
【举一反三2-2】（2019 江西中考）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝ ．
【答案】0．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，
∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
【举一反三2-3】（2019 湖北孝感中考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；
（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝1，2；
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣x1x2＝16，
∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
【举一反三2-4】（2019 上海中考）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是 ．
【答案】m＞．
【分析】由于方程没有实数根，则其判别式△＜0，由此可以建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．
【解答】解：由题意知△＝1﹣4m＜0，
∴m＞．
故填空答案：m＞．
【举一反三2-5】（2019?新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤ B．k＞ C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠1
【答案】D．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，
∴，
解得：k≤且k≠1．
故选：D．
【考点3 一元二次方程的应用】
【解题技巧】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【例3】（2019 山西中考）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为 ．
【答案】（12﹣x）（8﹣x）＝77．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：∵道路的宽应为x米，
∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77，
故答案为：（12﹣x）（8﹣x）＝77．
【举一反三3-1】（2019 江苏南京中考））某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．
【解答】解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，
依题意得：3x?2x?100+30（3x?2x﹣50×40）＝642000
解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．
所以3x＝90，2x＝60，
答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．
【举一反三3-2】（2019 江苏徐州中考）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？
【分析】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，根据长方体盒子的侧面积为200cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，
依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，
整理，得：2x2﹣25x+50＝0，
解得：x1＝，x2＝10．
当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．
【举一反三3-3】（2019 辽宁大连中考）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元
（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？
【分析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由2019年村该村的人均收入＝2018年该村的人均收入×（1+年平均增长率），即可得出结论．
【解答】解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，
根据题意得：20000（1+x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．
（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．
答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．
【举一反三3-4】（2019?青海）某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为 ．
【答案】10%．
【分析】设平均每次降价的百分比是x，则第一次降价后的价格为60×（1﹣x）元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1﹣x）×（1﹣x）元，从而列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分比是x，根据题意得：
60（1﹣x）2＝48.6，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分比是10%；
故答案为：10%．
【举一反三3-5】（2019 辽宁大连中考模拟）如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．
【答案】2．
【分析】将矩形绿地平移后，根据图中的等量关系列出方程即可求出答案．
【解答】解：设人行通道的宽度为x，
将脸矩形绿地平移，如图所示，
∴AB＝2x，GD＝3x，ED＝24﹣2x
由题意可列出方程：36×24﹣600＝2x×36+3x（24﹣2x）
解得：x＝2或x＝22（不合题意，舍去）
故答案为：2
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 河南中考）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A．
【分析】先化成一般式后，在求根的判别式．
【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴方程由两个不相等的实数根．
故选：A．
2.（2019?日照）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A．1000（1+x）2＝3990
B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990
C．1000（1+2x）＝3990
D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
【答案】B．
【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，
依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990．
故选：B．
3.（2019?新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36
C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36
【答案】A．
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝36，把相关数值代入即可．
【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故选：A．
4.（2019?四川内江中考模拟）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
【答案】C．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根?b2－4ac>0；
【解析】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，
∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞；且k﹣1≠0，k≠1．
故选：C．
5.（2019?广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
【答案】D．
【分析】根据空白区域的面积＝矩形空地的面积可得．
【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，
故选：D．
6.（2019 河北中考）（2019?哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．20% B．40% C．18% D．36%
【答案】D．
【分析】设降价得百分率为x，根据降低率的公式a（1﹣x）2＝b建立方程，求解即可．
【解答】解：设降价的百分率为x
根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16
解方程得，（舍）
∴每次降价得百分率为20%
故选：A．
7.（2019 河北中考）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
【答案】A．
【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案．
【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴（﹣1）2﹣4+c＝0，
解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
8.（2016 河北中考））a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
【答案】B．
【分析】利用完全平方的展开式将（a﹣c）2展开，即可得出ac＜0，再结合方程ax2+bx+c＝0根的判别式△＝b2﹣4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．
【解答】解：∵（a﹣c）2＝a2+c2﹣2ac＞a2+c2，
∴ac＜0．
在方程ax2+bx+c＝0中，
△＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
填空题
1.（2019 江苏南京中考）已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝ ．
【答案】1．
【分析】把x＝2+代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝2+代入方程得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
2.（2019 宁夏中考）已知一元二次方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 ．
【答案】k＞﹣．
【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【解答】解：∵方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即42﹣4×3×（﹣k）＞0，
解得k＞﹣，
故答案为：k＞﹣．
3.（2019?威海）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 ．
【答案】x1＝，x2＝．
【分析】直接利用公式法解方程得出答案．
【解答】解：3x2＝4﹣2x
3x2+2x﹣4＝0，
则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
故x＝，
解得：x1＝，x2＝．
故答案为：x1＝，x2＝．
4.（2019 河南兰考中考模拟）等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则等腰三角形底边的值是 ．
【答案】4或6，
【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．
【解答】解：设底边为a，
分为两种情况：①当腰长是4时，则a+4＝10，
解得：a＝6，
即此时底边为6，
②底边为4，腰长为10÷2＝5，
即底边长为4或6，
（2019 山东聊城中考模拟）一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，其中x1＜x2，则x12﹣2x22的值为 ．
【答案】﹣8.
【分析】解方程得出方程的两根，代入计算可得．
【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∵x1＜x2，
∴x1＝0，x2＝2，
则x12﹣2x22＝0﹣2×22＝﹣8，
即：x12﹣2x22＝﹣8.
6.（2019 甘肃兰州中考模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向B移动，同时，点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度向点C移动，运动 秒后，△PBQ面积为5个平方单位．
【答案】1．
【分析】由题意：PA＝t，BQ＝2t，则PB＝6﹣t，利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题；
【解答】解：由题意：PA＝t，BQ＝2t，则PB＝6﹣t，
∵×（6﹣t）×2t＝5，
解得t＝1或5（舍弃），
故答案为1．
7.（2019 河北沧州中考模拟）已知x1，x2是方程x2﹣x+＝0的两根，若实数a满足a+x1+x2﹣x1x2＝2018，则a＝ ．
【答案】2016．
【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝，再利用整体代入的方法得a+﹣＝2018，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2═，x1x2＝，
∵a+x1+x2﹣x1?x2＝2018，
∴a+﹣＝2018，
∴a＝2016．
故答案为2016．
8.（2019 河北张家口中考模拟）已知：a、b、c均为非零实数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一个实数根为2．
（1）填空：a＞b＞c，4a+2b+c 0，a 0，c 0（填“＞”，“＜”或“＝”）；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，满足一个根为另一个根的2倍，我们就称这样的方程为“倍根方程”，若原方程是倍根方程，则求a、c之间的关系 ．
（3）若a＝1时，设方程的另一根为m（m≠2），在两根之间（不包含两根）的所有整数的绝对值之和是7，求b的取值范围 ．
【答案】（1）＝，＞，＜．（2）a=c或a=c（3）1＜b≤2．
【分析】（1）由关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，其中一根为2，根据方程解的知识，可得4a+2b+c＝0，然后设方程ax2+bx+c＝0的另一根为x1，由根与系数的关系可得：x1+2＝﹣，2x1＝，然后分别从若x1为正与若x1为负去分析求解即可求得答案；
（2）根据“倍根方程”的概念得到一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为2和4或两个根为1和2．当两个根为2和4时，当两个根为2和1时，解方程即可得到结论；
（3）根据已知条件得到m＝﹣b﹣2，当m＞2时，2与m之间的和为7的整数是3、4，当m＜2时，m与2之间的绝对值和为7的整数是1、0、﹣1、﹣2、﹣3，解不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，其中一根为2，
∴将x＝2代入ax2+bx+c＝0得：4a+2b+c＝0，
设方程ax2+bx+c＝0的另一根为x1，
∴x1+2＝﹣，2x1＝，
∵a＞b＞c，
若x1为正，则a＞0，b＜0，c＞0（舍去）；
若x1为负，则a＞0，c＜0；
故答案为：＝，＞，＜．
（2）根据“倍根方程”的概念得到一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为2和4或两个根为1和2．
当两个根为2和4时，
∴原方程可以改写为a（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴ax2+bx+c＝ax2﹣6ax+8a，
∴，
∴a，c之间的关系是，
当两个根为2和1时，
同理a，c之间的关系是c，
综上所述，a，c之间的关系是c或c；
（3）若a＝1时，ax2+bx+c＝0，
∴m＝﹣b﹣2，
当m＞2时，2与m之间的和为7的整数是3、4，
∴4＜m≤5，
得4＜﹣b﹣2≤5，
∴﹣7≤b＜﹣6；
当m＜2时，m与2之间的绝对值和为7的整数是1、0、﹣1、﹣2、﹣3，
∴﹣4≤m≤﹣3，
当m＜2时，m与2之间的绝对值和为7的整数是1、0、﹣1、﹣2、﹣3，
∴﹣4≤m＜﹣3，
得﹣4≤﹣b﹣2＜﹣3，
∴1＜b≤2．
解答题
1.（2019 北京中考）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m＝1，
∴x2﹣2x+1＝0，
则（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1．
2.（2019 河北衡水中考模拟）某县农场小刘承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质核桃，今年已进入第三年收获期．今年收获核桃2880千克，已知小刘第一年收获的核桃重量为2000千克．求去年和今年两年核桃产量的年平均增长率，照此增长率，预计明年核桃的产量为多少千克？
【分析】设去年和今年两年核桃产量的年平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设去年和今年两年核桃产量的年平均增长率为x，
根据题意得，2000（1+x）2＝2880，
解这个方程得（1+x）2＝1.44，
开方得：1+x＝±1.2，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
∴x＝20%，2880 （1+20%）＝3456，
答：明年核桃的产量为3456千克．
3.（2019 辽宁辽阳中考模拟）构建模型：生活中的实际问题，往往需要构建相应的数学模型来解决，这就是模型的思想．譬如：某校要举办足球赛，若有5个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，则该校一共要安排多少场比赛？为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
（1）如图①，在平面内画出5个点（任意3个点都不共线），其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数．由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样总共可连成线段是5×4条，如果不考虑线段端点的顺序，那么连成线段只有条，所以该校一共要安排＝10场比赛．
（2）根据图②回答：若学校有6个足球队参加比赛，则该校一共要安排 15 场比赛；
…
（3）根据以上规律，若学校有n个足球队参加比赛，则该校一共要安排 场比赛；
问题解决：
（4）小凡今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手），小凡发现所有人握手次数总和为36次，求合唱队有多少人？（写出求解过程）
【分析】（2）（3）根据阅读材料计算；
（4）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（2）有6个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排比赛的场数是：＝15，
故答案为：15；
（3）n个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛，
故答案为：；
（4）设合唱队有x人，则＝36，
整理得，x2﹣x﹣72＝0，
解得，x1＝9，x2＝﹣8（舍去）
答：合唱队有9人．
4.（2019?广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【分析】（1）2020年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：6（1+x）2＝17.34，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
5.（2019 山东烟台中考模拟）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．
（1）要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
（2）折成的长方形盒子的侧面积为600cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
【分析】（1）利用已知图形利用边长与面积之间的关系得出解析式即可；
（2）利用长方体盒子的侧面积为：（40﹣2x）×x×4得出即可．
【解答】解：（1）设减掉的正方形边长为xcm，根据题意得出：
（40﹣2x）（40﹣2x）＝484，
解得：x1＝9，x2＝31（不合题意舍去），
答：剪掉的正方形边长为9cm；
（2）设剪掉的正方形的边长为xcm，此时折成的长方体盒子的侧面积为600cm2，
依题意，得：4（40﹣2x）x＝600
整理，得：x2﹣20x+75＝0
解得：x1＝5，x2＝15
经检验，均符合题意．
答；剪掉的正方形的边长为5cm或15cm．
6.（2019 河北唐山中考模拟）已知关于x的一元二次方程tx2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1、x2．
（1）当t＝m＝1时，若x1＜x2，求x1、x2；
（2）当m＝1时，求t的取值范围；
（3）当t＝1时，若x1、x2满足3|x1|＝x2+4，求m的值．
【分析】（1）当t＝m＝1时，方程变形为x2﹣6x+5＝0，利用因式分解法解方程即可；
（2）当m＝1时，方程变形为tx2﹣6x+5＝0，利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到t≠0且（﹣6）2﹣4?t?5≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（3）当t＝1时，方程变形为x2﹣6x+m+4＝0，利用判别式的意义得到m≤5，根据根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1?x2＝m+4，讨论：当x1＜0时，﹣3x1＝x2+4，通过解方程组先求出x1、x2，再计算m的值；当x1＞0时，3x1＝x2+4，利用同样方法计算m的值．
【解答】解：（1）当t＝m＝1时，方程变形为x2﹣6x+5＝0，
（x﹣5）（x﹣1）＝0，
∵x1＜x2，
∴x1＝1，x2＝5；
（2）当m＝1时，方程变形为tx2﹣6x+5＝0，
根据题意得t≠0且（﹣6）2﹣4?t?5≥0，
∴t≤且t≠0；
（3）当t＝1时，方程变形为x2﹣6x+m+4＝0，
△＝（﹣6）2﹣4（m+4）≥0，解得m≤5，
则x1+x2＝6，x1?x2＝m+4，
当x1＜0时，﹣3x1＝x2+4，解得x1＝﹣5，x2＝11，m+4＝﹣55，解得m＝﹣59，
当x1＞0时，3x1＝x2+4，解得x1＝，x2＝，m+4＝，解得m＝，
∴m的值为﹣59或
7.（2017 河北中考））某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x＝2n2﹣2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据．
月份n（月） 1 2
成本y（万元/件） 11 12
需求量x（件/月） 120 100
（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m．
【分析】（1）设y＝a+，将表中相关数据代入可求得a、b，根据12＝18﹣（6+），则＝0可作出判断；
（2）将n＝1、x＝120代入x＝2n2﹣2kn+9（k+3）可求得k的值，先由18＝6+求得x＝50，根据50＝2n2﹣26n+144可判断；
（3）第m个月的利润W＝x（18﹣y）＝18x﹣x（6+）＝24（m2﹣13m+47），第（m+1）个月的利润为W′＝24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]＝24（m2﹣11m+35），分情况作差结合m的范围，由一次函数性质可得．
【解答】解：（1）由题意，设y＝a+，
由表中数据可得：，
解得：，
∴y＝6+，
由题意，若12＝18﹣（6+），则＝0，
∵x＞0，
∴＞0，
∴不可能；
（2）将n＝1、x＝120代入x＝2n2﹣2kn+9（k+3），得：120＝2﹣2k+9k+27，
解得：k＝13，
∴x＝2n2﹣26n+144，
将n＝2、x＝100代入x＝2n2﹣26n+144也符合，
∴k＝13；
由题意，得：18＝6+，
解得：x＝50，
∴50＝2n2﹣26n+144，即n2﹣13n+47＝0，
∵△＝（﹣13）2﹣4×1×47＜0，
∴方程无实数根，
∴不存在；
（3）第m个月的利润为W，
W＝x（18﹣y）＝18x﹣x（6+）
＝12（x﹣50）
＝24（m2﹣13m+47），
∴第（m+1）个月的利润为W′＝24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]＝24（m2﹣11m+35），
若W≥W′，W﹣W′＝48（6﹣m），m取最小1，W﹣W′取得最大值240；
若W＜W′，W′﹣W＝48（m﹣6），由m+1≤12知m取最大11，W′﹣W取得最大值240；
∴m＝1或11．
8.（2019 重庆中考）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．
【分析】（1）设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，根据物管费90000元，可列方程求解；
（2）50平方米住宅有500×40%＝200户参与活动一，80平方米住宅有250×20%＝50户参与活动一；50平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣%）元，有50（1+6a%）户参与活动二．根据参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，列出方程求解即可．
【解答】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，由题意得：
2（50×2x+80x）＝90000，
解得 x＝250
答：该小区共有250套80平方米的住宅．
（2）参与活动一：
50平方米住宅每户所交物管费为100元，有500×40%＝200户参与活动一，
80平方米住宅每户所交物管费为160元，有250×20%＝50户参与活动一；
参与活动二：
50平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；
80平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣%）元，有50（1+6a%）户参与活动二．
由题意得100（1﹣%）?200（1+2a%）+160（1﹣%）?50（1+6a%）＝[200（1+2a%）×100+50（1+6a%）×160]（1﹣a%）
令t＝a%，化简得t（2t﹣1）＝0
∴t1＝0（舍），t2＝，
∴a＝50．
答：a的值为50．
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