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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第10讲 平面直角坐标系及函数初步（提高版）
【学生版】
【考点1 平面直角坐标系及点的坐标】
1．有序实数对：坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数来表示；反过来，任意一对有序实数都可以表示坐标平面上唯一一个点．
2．平面直角坐标系中点的坐标特征
（1）各象限点的坐标的符号特征：第一象限(＋，＋)；第二象限(－，＋)；第三象限(－，－)；第四象限(＋，－)
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，原点的坐标为(0，0)
（3）各象限角平分线上点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的横、纵坐标互为相反数
【考点2 函数的表示方法及其图像】
1．变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量．
2．常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量．
3．函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y.如果给定x的一个值，就能相应地确定y的一个值，那么，我们就说y是x的函数．其中，x叫做自变量．
4．函数的表示方法：数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点．
5．图像的画法：知道函数的表达式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图像．
(1)取值．根据函数的表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表；
(2)描点．根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点；
(3)连线．用平滑的曲线将这些点连接起来，即得到函数的图像．
6．已知函数表达式，判断点P(x，y)是否在函数图像上的方法：若点P(x，y)的坐标适合函数表达式，则点P(x，y)在其图像上；若点P(x，y)的坐标不适合函数表达式，则点P(x，y)不在其图像上．
【考点1 平面直角坐标系及点的坐标】
【解题技巧】1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．一般地，点P(a，b)到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|，到原点的距离为.
2、由图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
【例1】（2019 海南中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
【举一反三1-1】（2019 湖北黄石中考）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，4） C．（3，2） D．（﹣1，0）
【举一反三1-2】（2019湖北孝感中考）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【举一反三1-3】（2019浙江杭州中考）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3
【考点2 函数的表示方法及其图像】
【解题技巧】判断符合题意的函数图像的方法
与实际问题结合：判断符合实际问题的函数图像时，需遵循以下几点：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图像中找相对应点；②找特殊点：即指交点或转折点，说明图像在此点处将发生变化；③判断图像趋势：判断出函数的增减性；④看是否与坐标轴相交：即此时另外一个量为0.
(2)与几何图形(含动点)结合：以几何图形为背景判断函数图像的题目，一般的解题思路为设时间为t，找因变量与t之间存在的函数关系，用含t的式子表示，再找相对应的函数图像，要注意的是是否需要分类讨论自变量的取值范围．
(3)分析函数图像判断结论正误：分清图像的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围，同时也要注意：①分段函数要分段讨论；②转折点：判断函数图像的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；③平行线：函数值随自变量的增大而保持不变．再结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误．
【例2】（2019 湖北孝感中考）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，容器内存水8L；在随后的8min内既进水又出水，容器内存水12L；接着关闭进水管直到容器内的水放完．若每分钟进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的函数关系的图象大致的是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三2-1】（2019 辽宁大连中考）在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（3，3） C．（1，1） D．（5，1）
【举一反三2-2】（2019 上海中考）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
【举一反三2-3】（2019 北京中考）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 cm．
（一）选择题
1.（2019?日照）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为（ ）
A．（﹣1008，0） B．（﹣1006，0） C．（2，﹣504） D．（1，505）
2.（2019?青海）大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2019?呼和浩特）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（ ）
A．（﹣2，），（2，﹣） B．（﹣，2），（，﹣2）
C．（﹣，2），（2，﹣） D．（，）（）
4.（2019?兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则B1的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1）
5.（2019?威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（ ）
A．+ B．2+ C．4 D．2+2
6.（2019?武汉）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7.（2019?南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
8.（2019?台湾）如图的坐标平面上有原点O与A、B、C、D四点．若有一直线L通过点（﹣3，4）且与y轴垂直，则L也会通过下列哪一点？（ ）
A．A B．B C．C D．D
填空题
1.（2019 上海中考）已知f（x）＝x2﹣1，那么f（﹣1）＝ ．
（2019?日照）规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（a，b），那么向量可以表示为：＝（a，b），如果与互相垂直，＝（x1，y1），＝（x2，y2），那么x1x2+y1y2＝0．若与互相垂直，＝（sinα，1），＝（2，﹣），则锐角∠α＝ ．
3.（2019?哈尔滨）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
4.（2019?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为（5，0），点B在x轴的上方，△OAB的面积为，则△OAB内部（不含边界）的整点的个数为 ．
5.(2019河北石家庄中考模拟)已知点P(0，m)在y轴的负半轴上，则点M(－m，－m＋1)在 ．
6.(2019山东济南中考模拟)在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
7.（2019 山东德州中考模拟）如图：在平面直角坐标系中有两点A（﹣5，0），B（0，4），则AB= ．
8.（2019 河北沧州中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将OA2B2变换成△OA3B3；已知变换过程中各点坐标分别为A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为 ，B4的坐标为 ．
（2）按以上规律将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则An的坐标为 ，Bn的坐标为 ；
（3）△OAnBn的面积为 ．
解答题
1.（2019湖北黄石中考模拟）已知：点P（2m+4，m﹣1）．试分别根据下列条件，求出P点的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大3；
（3）点P在过A（2，﹣4）点且与x轴平行的直线上．
2.（2019湖北黄石中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（2，0），（0，2）
（1）请在图中描出点A，B，注明字母．
（2）若点C在第一象限内，且AC＝BC，∠BCA＜90°，点C的横纵坐标均为正数．
①请在图中描出点C，并画出△ABC；
②填空：△ABC的周长是 ，AC边上的高长为 ．
3.（2019河北张家口中考模拟）在平面直角坐标系中，点P（2﹣m，3m+6）．
（1）若点P在y轴上，则m＝ ．
（2）若点P到y轴距离为2，则m＝ ．
（3）若点P到两坐标轴的距离相等，m＝ ．
4.（2019山东青岛中考模拟）如图格中每个小正方形的边长都是1，依次完成下列各问：
（1）任选一点作为原点，建立平面直角坐标系；
（2）写出A、B、C、D、E各点的坐标；
（3）求五边形ABCDE的面积．
5.(2019辽宁营口中考模拟)甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从B地出发匀速驶往A地．如图表示甲、乙两车在全程行驶的过程中，离各自出发地的路程y（千米）与出发时间x（时）的函数图象．
（1）A、B两地相距 千米；甲车的速度为 千米/时；
（2）当乙车距A地的路程为A、B两地距离的时，甲车刚好行驶80千米．求此时乙车到达A地还需行驶多长时间．
6.（2019?兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．
小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小涛的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：
x/m 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10
y/m 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： .
（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是 cm．（保留两位小数）．
7.（2019 天津中考）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
8.（2019 江西中考）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．
数学思考
（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．
①用含x的代数式表示：AD的长是 cm，BD的长是 cm；
②y与x的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ．
活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格
x（cm） 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0
y（cm） 0 0.55 1.2 1.58 2.47 3 4.29 5.08
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第10讲 平面直角坐标系及函数初步（解析版）
【教师版】
一、考点知识梳理
【考点1 平面直角坐标系及点的坐标】
1．有序实数对：坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数来表示；反过来，任意一对有序实数都可以表示坐标平面上唯一一个点．
2．平面直角坐标系中点的坐标特征
（1）各象限点的坐标的符号特征：第一象限(＋，＋)；第二象限(－，＋)；第三象限(－，－)；第四象限(＋，－)
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，原点的坐标为(0，0)
（3）各象限角平分线上点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的横、纵坐标互为相反数
【考点2 函数的表示方法及其图像】
1．变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量．
2．常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量．
3．函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y.如果给定x的一个值，就能相应地确定y的一个值，那么，我们就说y是x的函数．其中，x叫做自变量．
4．函数的表示方法：数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点．
5．图像的画法：知道函数的表达式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图像．
(1)取值．根据函数的表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表；
(2)描点．根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点；
(3)连线．用平滑的曲线将这些点连接起来，即得到函数的图像．
6．已知函数表达式，判断点P(x，y)是否在函数图像上的方法：若点P(x，y)的坐标适合函数表达式，则点P(x，y)在其图像上；若点P(x，y)的坐标不适合函数表达式，则点P(x，y)不在其图像上．
二、考点分析
【考点1 平面直角坐标系及点的坐标】
【解题技巧】1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．一般地，点P(a，b)到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|，到原点的距离为.
2、由图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
【例1】（2019 海南中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
【答案】C．
【分析】由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
【解答】解：由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，
∴点B的对应点B1的坐标（﹣1，0）．
故选：C．
【举一反三1-1】（2019 湖北黄石中考）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，4） C．（3，2） D．（﹣1，0）
【答案】C．
【分析】根据旋转可得：CB'＝CB＝2，∠BCB'＝90°，可得B'的坐标．
【解答】解：如图所示，
由旋转得：CB'＝CB＝2，∠BCB'＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，
∴OB＝1，
∴B'（2+1，2），即B'（3，2），
故选：C．
【举一反三1-2】（2019湖北孝感中考）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【答案】D．
【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．
【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（2，3），
∴PQ＝2，OQ＝3，
∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，
∴点P′的坐标为（3，﹣2）．
故选：D．
【举一反三1-3】（2019浙江杭州中考）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3
【答案】B．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣3，n＝2．
故选：B．
【考点2 函数的表示方法及其图像】
【解题技巧】判断符合题意的函数图像的方法
与实际问题结合：判断符合实际问题的函数图像时，需遵循以下几点：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图像中找相对应点；②找特殊点：即指交点或转折点，说明图像在此点处将发生变化；③判断图像趋势：判断出函数的增减性；④看是否与坐标轴相交：即此时另外一个量为0.
(2)与几何图形(含动点)结合：以几何图形为背景判断函数图像的题目，一般的解题思路为设时间为t，找因变量与t之间存在的函数关系，用含t的式子表示，再找相对应的函数图像，要注意的是是否需要分类讨论自变量的取值范围．
(3)分析函数图像判断结论正误：分清图像的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围，同时也要注意：①分段函数要分段讨论；②转折点：判断函数图像的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；③平行线：函数值随自变量的增大而保持不变．再结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误．
【例2】（2019 湖北孝感中考）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，容器内存水8L；在随后的8min内既进水又出水，容器内存水12L；接着关闭进水管直到容器内的水放完．若每分钟进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的函数关系的图象大致的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【分析】根据实际问题结合四个选项确定正确的答案即可．
【解答】解：∵从某时刻开始4min内只进水不出水，容器内存水8L；
∴此时容器内的水量随时间的增加而增加，
∵随后的8min内既进水又出水，容器内存水12L，
∴此时水量继续增加，只是增速放缓，
∵接着关闭进水管直到容器内的水放完，
∴水量逐渐减少为0，
综上，A选项符合，
故选：A．
【举一反三2-1】（2019 辽宁大连中考）在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（3，3） C．（1，1） D．（5，1）
【答案】A．
【分析】根据向下平移，横坐标不变、纵坐标相减列式计算即可得解．
【解答】解：将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（3，1﹣2），即（3，﹣1），
故选：A．
【举一反三2-2】（2019 上海中考）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
【答案】A．
【分析】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＜0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大．
【解答】解：A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．
B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．
C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．
D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选：A．
【举一反三2-3】（2019 北京中考）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 cm．
【答案】（1）AD、PC、PD；（2）略（3）AD的长度为2.3和4.0．
【分析】（1）按照变量的定义，根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量，即可求解；
（2）描点画出如图图象；
（3）PC＝2PD，即PD＝PC，画出y＝x，交曲线AD的值为所求，即可求解．
【解答】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量
故答案为：AD、PC、PD；
（2）描点画出如图图象；
（3）PC＝2PD，
从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，
即AD的长度为2.3和4.0．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019?日照）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为（ ）
A．（﹣1008，0） B．（﹣1006，0） C．（2，﹣504） D．（1，505）
【答案】A．
【分析】观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，由于2019÷4＝504…3，A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．
【解答】解：观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，
∵2019÷4＝504…3
∴A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0，
∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，
∴A2019的横坐标为﹣（2019﹣3）×＝﹣1008．
∴A2019的坐标为（﹣1008，0）．
故选：A．
2.（2019?青海）大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D．
【分析】由于原来水位较低，乌鸦沉思一会后才想出办法，说明将在沉思的这段时间内水位没有变化，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，由此即可作出判断．
【解答】解：∵乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化，
∴排除C，
∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，
∴排除A，
∵乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，
∴排除B，
∴D正确．
故选：D．
3.（2019?呼和浩特）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（ ）
A．（﹣2，），（2，﹣） B．（﹣，2），（，﹣2）
C．（﹣，2），（2，﹣） D．（，）（）
【答案】B．
【分析】连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证△AFO≌△OED（AAS），则OE＝AF＝，DE＝OF＝2，D（，﹣2），因为B、D关于原点对称，所以B（﹣，2）．
【解答】解：如图，连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，
易证△AFO≌△OED（AAS），
∴OE＝AF＝，DE＝OF＝2，
∴D（，﹣2），
∵B、D关于原点对称，
∴B（﹣，2），
故选：B．
4.（2019?兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则B1的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1）
【答案】B．
【分析】根据A和A1的坐标得出四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案．
【解答】解：由A（﹣3，5），A1（3，3）可知四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1，
∵B（﹣4，3），
∴B1的坐标为（2，1），
故选：B．
5.（2019?威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（ ）
A．+ B．2+ C．4 D．2+2
【答案】B．
【分析】连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，根据圆周角定理得到∠APB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝30°，由垂径定理得到AD＝BD＝3，解直角三角形得到PD＝，PA＝PB＝PC＝2，根据勾股定理得到CE＝＝＝2，于是得到结论．
【解答】解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，
∵∠ACB＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∵A（﹣5，0），B（1，0），
∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，
∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
∴CE＝＝＝2，
∴OC＝CE+OE＝2+，
∴点C的纵坐标为2+，
故选：B．
6.（2019?武汉）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【分析】根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．
【解答】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，
∴y随x的增大而减小，符合一次函数图象，
故选：A．
7.（2019?南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
【答案】C．
【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．
【解答】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A没错；
B、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入得，
解得：，
∴线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50），故B没错；
C、在A点的速度为＝105m/min，在B点的速度为＝＝45m/min，故C错误；
D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，将t＝20代入s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得s＝1200，故D没错．
故选：C．
8.（2019?台湾）如图的坐标平面上有原点O与A、B、C、D四点．若有一直线L通过点（﹣3，4）且与y轴垂直，则L也会通过下列哪一点？（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】D．
【分析】直接利用点的坐标，正确结合坐标系分析即可．
【解答】解：如图所示：有一直线L通过点（﹣3，4）且与y轴垂直，故L也会通过D点．
故选：D．
填空题
1.（2019 上海中考）已知f（x）＝x2﹣1，那么f（﹣1）＝ ．
【答案】0．
【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：当x＝﹣1时，f（﹣1）＝（﹣1）2﹣1＝0．
故答案为：0．
（2019?日照）规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（a，b），那么向量可以表示为：＝（a，b），如果与互相垂直，＝（x1，y1），＝（x2，y2），那么x1x2+y1y2＝0．若与互相垂直，＝（sinα，1），＝（2，﹣），则锐角∠α＝ ．
【答案】60°．
【分析】根据平面向量垂直的判定方法得到：2sinα+1×（﹣）＝0，结合特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：依题意，得2sinα+1×（﹣）＝0，
解得sinα＝．
∵α是锐角，
∴α＝60°．
故答案是：60°．
3.（2019?哈尔滨）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠．
【分析】函数中分母不为零是函数y＝有意义的条件，因此2x﹣3≠0即可；
【解答】解：函数y＝中分母2x﹣3≠0，
∴x≠；
故答案为x≠；
4.（2019?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为（5，0），点B在x轴的上方，△OAB的面积为，则△OAB内部（不含边界）的整点的个数为 ．
【答案】4或5或6；
【分析】根据面积求出B点的纵坐标是3，结合平面直角坐标系，多画些图可以观察到整数点的情况；
【解答】解：设B（m，n），
∵B在x轴上方，
∴n＞0，
∵点A的坐标为（5，0），
∴OA＝5，
∵△OAB的面积＝5?n＝，
∴n＝3，
∴B（m，3），
由图形的对称性，
设m≥，
①当m＝5时，可得△OAB内部的整数点4个，
②当m≥且m≠5时，
OB的直线解析式y＝x，
AB的直线解析式y＝x﹣
设直线y＝2与直线OB与直线AB分别交于点C，D，
∴C（，2），D（，2），
∴CD＝，
∴△OAB内部（不含边界）直线y＝2上的整点的个数为1或2，
同理可得，△OAB内部（不含边界）直线y＝1上的整点的个数为3或4，
综上所述，△OAB内部（不含边界）的整点的个数为4或5或6．
故答案为4或5或6；
5.(2019河北石家庄中考模拟)已知点P(0，m)在y轴的负半轴上，则点M(－m，－m＋1)在 ．
【答案】第四象限
【分析】根据p点坐标的特点确定m的值，由m的值再确定－m和－m＋1的符号，从而可以确定M在第几象限。
【解析】∵点P(0，m)在y轴的负半轴上
∴m＜0
∴－m＞0
∴－m＋1＞0
∴点M在第四象限
6.(2019山东济南中考模拟)在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥3且x≠4
【分析】本题主要考查了分式与二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零．
【解析】由题意可知：x－3≥0且x－4≠0
∴x≥3且x≠4
∴答案是x≥3且x≠4
7.（2019 山东德州中考模拟）如图：在平面直角坐标系中有两点A（﹣5，0），B（0，4），则AB= ．
【答案】
【分析】直接利用两点间的距离公式计算．
【解答】解：A，B两点的距离＝
＝．
8.（2019 河北沧州中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将OA2B2变换成△OA3B3；已知变换过程中各点坐标分别为A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为 ，B4的坐标为 ．
（2）按以上规律将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则An的坐标为 ，Bn的坐标为 ；
（3）△OAnBn的面积为 ．
【答案】（1）（16，3），（32，0）．（2）（2n，3），（2n+1，0）；（3）3×2n
【分析】（1）根据题目中的信息可以发现A1、A2、A3各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3，故可求得A4的坐标；B1、B2、B3各点的坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都为0，从而可求得点B4的坐标．
（2）根据（1）中发现的规律可以求得An、Bn点的坐标；
（3）依据An、Bn点的坐标，利用三角形面积计算公式，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8，3）．
∴A4的横坐标为：24＝16，纵坐标为：3．
故点A4的坐标为：（16，3）．
又∵B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0）．
∴B4的横坐标为：25＝32，纵坐标为：0．
故点B4的坐标为：（32，0）．
故答案为：（16，3），（32，0）．
（2）由A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8，3），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3．
故An的坐标为：（2n，3）．
由B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都是0．
故Bn的坐标为：（2n+1，0）；
故答案为：（2n，3），（2n+1，0）；
（3）∵An的坐标为：（2n，3），Bn的坐标为：（2n+1，0），
∴△OAnBn的面积为×2n+1×3＝3×2n．
解答题
1.（2019湖北黄石中考模拟）已知：点P（2m+4，m﹣1）．试分别根据下列条件，求出P点的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大3；
（3）点P在过A（2，﹣4）点且与x轴平行的直线上．
【分析】（1）直接利用y轴上点的坐标特点为横坐标为零，进而得出答案；
（2）利用点P的纵坐标比横坐标大3，进而得出答案；
（3）利用经过A（2，﹣4）且平行于x轴，则其纵坐标为﹣4，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵点P（2m+4，m﹣1），点P在y轴上，
∴2m+4＝0，
解得：m＝﹣2，
则m﹣1＝﹣3，
故P（0，﹣3）；
（2）∵点P的纵坐标比横坐标大3，
∴m﹣1﹣（2m+4）＝3，
解得：m＝﹣8，
故P（﹣12，﹣9）；
（3）∵点P在过A（2，﹣4）点且与x轴平行的直线上，
∴m﹣1＝﹣4，
解得：m＝﹣3，
∴2m+4＝﹣2，
故P（﹣2，﹣4）．
2.（2019湖北黄石中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（2，0），（0，2）
（1）请在图中描出点A，B，注明字母．
（2）若点C在第一象限内，且AC＝BC，∠BCA＜90°，点C的横纵坐标均为正数．
①请在图中描出点C，并画出△ABC；
②填空：△ABC的周长是 ，AC边上的高长为 ．
【分析】（1）根据点A、B的坐标即可得；
（2）根据等腰三角形的定义作图即可得；②利用勾股定理求得各边的长度，即可得三角形的周长；利用割补法求得△ABC的面积为4，由AC?h＝4可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，点A、B即为所求；
（2）①如图所示，△ABC即为所求；
②∵AB＝＝2、AC＝＝、BC＝＝，
∴△ABC的周长为2+2；
∵△ABC的面积为3×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×1×3＝4，
∴AC?h＝4，
则h＝＝＝，
故答案为：2+2、．
3.（2019河北张家口中考模拟）在平面直角坐标系中，点P（2﹣m，3m+6）．
（1）若点P在y轴上，则m＝ ．
（2）若点P到y轴距离为2，则m＝ ．
（3）若点P到两坐标轴的距离相等，m＝ ．
【分析】（1）利用y轴点的坐标特征得到2﹣m＝0，然后解方程即可；
（2）利用点的坐标的意义得到|2﹣m|＝2，然后解绝对值方程即可；
（3）利用点的坐标的意义得到2﹣m＝3m+6或2﹣m＝﹣（3m+6），然后分别解两个方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得2﹣m＝0，解得m2；
（2）根据题意得|2﹣m|＝2，解得m＝0或4；
（3）2﹣m＝3m+6或2﹣m＝﹣（3m+6），
所以m＝﹣1或﹣4．
故答案为2；0或4；﹣1或﹣4．
4.（2019山东青岛中考模拟）如图格中每个小正方形的边长都是1，依次完成下列各问：
（1）任选一点作为原点，建立平面直角坐标系；
（2）写出A、B、C、D、E各点的坐标；
（3）求五边形ABCDE的面积．
【分析】（1）根据坐标系的概念建立坐标系即可；
（2）由坐标系可得点的坐标；
（3）割补法求解即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）A（0，2）、B（1，0）、C（3，0）、D（4，2）、E（3，3）；
（3）S五边形ABCDE＝3×4﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3﹣×1×1
＝12﹣1﹣1﹣1.5﹣0.5
＝8
5.(2019辽宁营口中考模拟)甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从B地出发匀速驶往A地．如图表示甲、乙两车在全程行驶的过程中，离各自出发地的路程y（千米）与出发时间x（时）的函数图象．
（1）A、B两地相距 千米；甲车的速度为 千米/时；
（2）当乙车距A地的路程为A、B两地距离的时，甲车刚好行驶80千米．求此时乙车到达A地还需行驶多长时间．
【分析】此题是路程、速度、时间的关系问题，根据路程=速度×时间可列出函数关系式.
【解析】（1）由图象得AB两地的路程为：180千米，
甲车的速度为：180÷3=60千米/时．
故答案为：180，60；
（2）求出乙车的速度是：180×（1-）÷=90千米/时，
则乙车到达A地还需行驶的时间为：
180×÷90=小时．
答：乙车到达A地还需行驶小时．
6.（2019?兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．
小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小涛的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：
x/m 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10
y/m 3 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： .
（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是 cm．（保留两位小数）．
【分析】（1）①当x＝BM＝0时，则y＝MN＝BN＝＝3；②MD2＝HD2+EH2＝，则y＝MN＝MDtanα，即可求解；
（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势；
（3）MN＝2BM，即y＝2x，在上图中作直线y＝2x，即可求解．
【解答】解：（1）①当x＝BM＝0时，
连接AD，则AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，
cos∠ABD＝＝＝cosα，则sinα＝，
则y＝MN＝BN＝＝3；
②x＝BM＝，
在△MBD中，BD＝4，BM＝，
cos∠B＝＝cosα，tanα＝，
过点M作MH⊥BD于点H，
则BH＝BMcosα＝，则MH＝，
MD2＝HD2+EH2＝，
则BD2＝BM2+MD2，
故∠BMD＝90°，
则y＝MN＝MDtanα＝（DBsinα）tanα＝；
故：答案为3，；
（2）描点出如下图象，
（3）从图象可以看出：0≤x≤1.65时，y随x最大而减小，
当1.65＜x≤4.10时，y随x最大而增大（数值是估值，不唯一）；
（4）方法一：
MN＝2BM，即y＝2x，
在上图中作直线y＝2x，
直线与曲线交点的横坐标1.33和4
故答案为：1.33或4．
方法二：
如图3，DN与CA的延长线交于点H．
设BM＝x，MN＝2x
EN＝3x﹣3，AN＝6﹣3x
∵∠NDB＝∠H+∠C（外角的性质）
∠NDB＝∠MDB+∠NDM
∴∠MDB+∠NDM＝∠H+∠C
∴∠MDB＝∠H，∠B＝∠C
∴△MDB∽△DHC
∴＝
∴，CH＝，HA＝HC﹣AC＝﹣6
又∵△HAN∽△DEN
∴＝
∴＝
3x3﹣16x+16＝0
解得x1＝4，x2＝．
故答案为：1.33或4．
7.（2019 天津中考）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，由矩形的性质得出∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4，即可得出答案；
（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，得出∠E′FM＝∠ABO＝30°，在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，求出S△MFE′＝ME′?FE′＝×t×t＝，S矩形C′O′D′E′＝O′D′?E′D′＝2×4＝8，即可得出答案；
②当S＝时，O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，由直角三角形的性质得出O'F＝O'A＝（6﹣t），得出方程，解方程即可；
当S＝5时，O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，由直角三角形的性质得出O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），由梯形面积公式得出S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解方程即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵点A（6，0），
∴OA＝6，
∵OD＝2，
∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，
∵四边形CODE是矩形，
∴DE∥OC，
∴∠AED＝∠ABO＝30°，
在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，
∵OD＝2，
∴点E的坐标为（2，4）；
（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，
∴∠E′FM＝∠ABO＝30°，
∴在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，
∴S△MFE′＝ME′?FE′＝×t×t＝，
∵S矩形C′O′D′E′＝O′D′?E′D′＝2×4＝8，
∴S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8﹣，
∴S＝﹣t2+8，其中t的取值范围是：0＜t＜2；
②当S＝时，如图③所示：
O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，
∵∠AO'F＝90°，∠AFO'＝∠ABO＝30°，
∴O'F＝O'A＝（6﹣t）
∴S＝（6﹣t）×（6﹣t）＝，
解得：t＝6﹣，或t＝6+（舍去），
∴t＝6﹣；当S＝5时，如图④所示：
O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，
∴O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），
∴S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，
解得：t＝，
∴当≤S≤5时，t的取值范围为≤t≤6﹣．
8.（2019 江西中考）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．
数学思考
（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．
①用含x的代数式表示：AD的长是 cm，BD的长是 cm；
②y与x的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ．
活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格
x（cm） 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0
y（cm） 0 0.55 1.2 1.58 2 2.47 3 4.29 5.08 6
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
【分析】（1）①利用线段的和差定义计算即可．
②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）①利用函数关系式计算即可．
②描出点（0，6），（3，2）即可．
③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．
（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）①如图3中，由题意AC＝OA＝AB＝6（cm），
∵CD＝xcm，
∴AD＝（6+x）（cm），BD＝12﹣（6+x）＝（6﹣x）（cm），
故答案为：（6+x），（6﹣x）．
②作BG⊥OF于G．
∵OA⊥OF，BG⊥OF，
∴BG∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴y＝（0≤x≤6），
故答案为：y＝，0≤x≤6．
（2）①当x＝3时，y＝2，当x＝0时，y＝6，
故答案为2，6．
②点（0，6），点（3，2）如图所示．
③函数图象如图所示．
（3）性质1：函数值y的取值范围为0≤y≤6．
性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而减小．
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