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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第11讲 一次函数及其应用（提高版）
【学生版】
一、考点知识梳理
【考点1 正比例函数图像及性质】
1.一般地，把形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数叫正比例函数
2.正比例函数的性质
当k＞0时，正比例函数的图象过一、三 象限， y随x的增大而增大
当k＜0正比例函数的图象过二、四 象限， y随x的增大而减小
【考点2 一次函数的图像及性质】
1.一般地，把形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数
2.一次函数的性质：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是经过点(0，b)和的一条直线；
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像可由正比例函数y＝kx(k≠0)的图像平移得到；b＞0，向上平移b个单位长度；b＜0，向下平移|b|个单位长度
3.图像确定：因为一次函数的图像是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图像时，只要取两点即可
4.一次函数的图像及性质考查的题型多为选择题，有以下几种常考类型：(1)一次函数与不等式结合；(2)一次函数与程序框图结合；(3)一次函数与反比例函数及几何图形结合；(4)单纯一次函数；
5.设问方式有：(1)判断函数图像及经过的象限；(2)求未知系数的取值范围，并在数轴上表示；(3)求一次函数表达式；(4)判断一次函数图像是否经过某点．
【考点3 一次函数的应用】
1.一次函数的实际应用考查题型都为解答题，多与以下知识结合：(1)方程、不等式；(2)二次函数；(3)统计图的相关知识．
2.用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
(1)设定实际问题中的自变量与因变量；
(2)通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
(3)确定自变量的取值范围；
(4)利用函数性质解决问题；
(5)检验所求解是否符合实际意义；
(6)答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案；对于最值问题，一般是用于分段函数。
【考点4 一次函数与几何图形的关系】
一次函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积等相关数据．
【考点5 一次函数与其它函数的关系】
一次函数与反比例函数、二次函数是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，结合图像特点，总结规律。
二、考点分析
【考点1 正比例函数图像及性质】
【解题技巧】正比例函数的图象 ：y=kx(k≠0)是过原点和点（1，k）的一条直线．所以画正比例函数图像时，一般过点（0，0）和（1，k）画一条直线即可。
【例1】（2019 陕西中考）若正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），则a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【举一反三1-1】（2019辽宁沈阳中考模拟）如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P在直线y＝﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为（ ）
A．（2，﹣2） B．（4，﹣4） C．（，﹣） D．（5，﹣5）
【举一反三1-2】（2016 河北中考考试说明）已知：y＋b与x－1(其中b是常数)成正比例．
(1)证明：y是x的一次函数；
(2)若这个一次函数过点（，0），且与坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为，求这个一次函数的表达式．
【举一反三1-3】（2019 山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．
【考点2 一次函数的图像及性质】
【解题技巧】两直线的交点坐标及一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积
一条直线与x轴交点坐标令y＝0，求出对应的x值
一条直线与y轴交点坐标令x＝0，求出对应的y值
一条直线与其他一次函数图像的交点坐标解由两个函数表达式组成的二元一次方程组，方程组的解即为两函数图像的交点坐标
一条直线与坐标轴围成的三角形的面积直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为(0，b)，与坐标轴围成的三角形面积为S＝·|－|·|b|
【例2】（2019 陕西中考）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（6，0） D．（﹣6，0）
【举一反三2-1】（2019 浙江杭州中考）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三2-2】（2019山东济南中考模拟）若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a（A） （B） （C） （D）
【举一反三2-3】（2019 江西中考）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为 ．
【举一反三2-4】（2019 浙江杭州中考）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式 ．
【考点3 一次函数的应用】
【解题技巧】1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
4、求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
(1)可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
(2)直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【例3】（2019 上海中考）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是 ．
【举一反三3-1】（2019 陕西中考）根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）
（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为﹣26℃时，飞机距离地面的高度为7km，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温．
【举一反三3-2】（2019 辽宁大连中考））甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y（单位：m）与行走时x（单位：min）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m）与甲行走时间x（单位；min）的函数图象，则a﹣b＝ ．
【举一反三3-3】（2019 吉林中考）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．
【考点4 一次函数与几何图形的关系】
【解题技巧】常见的有（1）直线的平行和相交（2）直线与三角形的关系（3）直线与四边形（4）直线与圆
【例4】（2019 上海中考）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
【举一反三4-1】（2019 江苏徐州中考）函数y＝x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有 个．
【举一反三4-2】（2019 江西中考如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）求线段BC所在直线的解析式．
【举一反三4-3】（2019 辽宁大连中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点A，B，点C在射线BO上，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CO，CD为邻边作?COED．设点C的坐标为（0，m），?COED在x轴下方部分的面积为S．求：
（1）线段AB的长；
（2）S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．
【举一反三4-4】（2019?宁夏）在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米．（π取3.14）．
（1）求400米跑道中一段直道的长度；
（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：
跑道宽度/米 0 1 2 3 4 5 …
跑道周长/米 400 …
若设x表示跑道宽度（单位：米），y表示该跑道周长（单位：米），试写出y与x的函数关系式：
（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？
【考点5 一次函数与其它函数的关系】
【解题技巧】常见的有（1）一次函数与反比例函数（2）一次函数与二次函数（3）两个一次函数
【例5】（2019 湖北黄石中考）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y＝（x＞0）的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【举一反三5-1】（2019?济南）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三5-2】（2019 安徽中考）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 ．
【举一反三5-3】（2019云南中考）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．
【举一反三5-4】（2019 福建中考）如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝ ．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 台湾中考）（2019?台湾）小涵与阿嘉一起去咖啡店购买同款咖啡豆，咖啡豆每公克的价钱固定，购买时自备容器则结帐金额再减5元．若小涵购买咖啡豆250公克且自备容器，需支付295元；阿嘉购买咖啡豆x公克但没有自备容器，需支付y元，则y与x的关系式为下列何者？（ ）
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x+5 D．y＝x+5
2.（2019辽宁沈阳中考）（2019?沈阳）已知一次函数y＝（k+1）x+b的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＜﹣1 C．k＜1 D．k＞﹣1
3.（2019 山东威海中考）（2019?威海）甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．
施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9
累计完成施工量/米 35 70 105 140 160 215 270 325 380
下列说法错误的是（ ）
A．甲队每天修路20米
B．乙队第一天修路15米
C．乙队技术改进后每天修路35米
D．前七天甲，乙两队修路长度相等
4.（2019 河北张家口中考模拟）如图所示，A、M、N点坐标分别为A（0，1），M（3，2），N（4，4），动点P从点A出发，沿y轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，若点m，n分别位于l的异侧，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t＜8 B．4＜t＜7 C．4≤t≤7 D．4＜t＜8
5.（2019宁夏中考）（2019?宁夏）函数y＝和y＝kx+2（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6.（2019 山东烟台中考模拟）一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，以AB为腰，作等腰Rt△ABC，则直线BC的解析式为（ ）
A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝﹣x+2 D．y＝x+2
7.（2019 江苏徐州中考模拟）如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8.（2019 河北沧州中考模拟）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：
①k＜0：②a＞0：③当x＜3时，y1＜y2；④当x＞3时，y1≥y2中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
填空题
1.（2019天津中考）直线y＝2x﹣1与x轴的交点坐标为 ．
2.（2019 重庆中考）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是 米．
3.（2019 山东济南中考）（2019?济南）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．
4.（2019四川成都中考）（2019?成都）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 ．
5.（2019 河北石家庄中考模拟）如图，把直线y＝﹣2x向上平移后，分别交y轴、x轴于A、B两点，直线AB经过点（m，n）且2m+n＝6，则点O到线段AB的距离为 ．
6.（2019 湖北黄石中考模拟）在平面直角坐标系中，直线y＝2x+1沿y轴向上平移了m（m＞0）个单位后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了2，则m的值为 ．
7.（2019 山东淄博中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x与y＝kx+b的图象交于点P（m，2），则不等式kx+b＞﹣2x的解集为 ．
8.（2019 辽宁大连中考模拟）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点Bn的坐标为 ．
解答题
1.（2019 北京中考）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
2.（2019安徽中考）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
3.（2019 天津中考）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超过50kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．
（Ⅰ）根据题意填表：
一次购买数量/kg 30 50 150 …
甲批发店花费/元 300 …
乙批发店花费/元 350 …
（Ⅱ）设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；
（Ⅲ）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中 批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多．
4.（2019 重庆中考）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集．
5.（2019 浙江温州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点B的坐标和OE的长．
（2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标．
（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．
①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
6.（2019 浙江温州中考）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．
（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？
（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．
①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？
②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．
（2019山东日照中考）（2019?日照）探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有kAB＝＝2，kAC＝＝2，发现kAB＝kAC，兴趣小组提出猜想：若直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点坐标P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），则kPQ＝是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，kPQ是定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率．
请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率kST＝ ．
探究活动二：
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相要直时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积．
综合应用
如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．
8.（2019 甘肃中考）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．
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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第11讲 一次函数及其应用（解析版）
一、考点知识梳理
【考点1 正比例函数图像及性质】
1.一般地，把形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数叫正比例函数
2.正比例函数的性质
当k＞0时，正比例函数的图象过一、三 象限， y随x的增大而增大
当k＜0正比例函数的图象过二、四 象限， y随x的增大而减小
【考点2 一次函数的图像及性质】
1.一般地，把形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数
2.一次函数的性质：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是经过点(0，b)和的一条直线；
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像可由正比例函数y＝kx(k≠0)的图像平移得到；b＞0，向上平移b个单位长度；b＜0，向下平移|b|个单位长度
3.图像确定：因为一次函数的图像是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图像时，只要取两点即可
4.一次函数的图像及性质考查的题型多为选择题，有以下几种常考类型：(1)一次函数与不等式结合；(2)一次函数与程序框图结合；(3)一次函数与反比例函数及几何图形结合；(4)单纯一次函数；
5.设问方式有：(1)判断函数图像及经过的象限；(2)求未知系数的取值范围，并在数轴上表示；(3)求一次函数表达式；(4)判断一次函数图像是否经过某点．
【考点3 一次函数的应用】
1.一次函数的实际应用考查题型都为解答题，多与以下知识结合：(1)方程、不等式；(2)二次函数；(3)统计图的相关知识．
2.用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
(1)设定实际问题中的自变量与因变量；
(2)通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
(3)确定自变量的取值范围；
(4)利用函数性质解决问题；
(5)检验所求解是否符合实际意义；
(6)答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案；对于最值问题，一般是用于分段函数。
【考点4 一次函数与几何图形的关系】
一次函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积等相关数据．
【考点5 一次函数与其它函数的关系】
一次函数与反比例函数、二次函数是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，结合图像特点，总结规律。
二、考点分析
【考点1 正比例函数图像及性质】
【解题技巧】正比例函数的图象 ：y=kx(k≠0)是过原点和点（1，k）的一条直线．所以画正比例函数图像时，一般过点（0，0）和（1，k）画一条直线即可。
【例1】（2019 陕西中考）若正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），则a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A．
【分析】由正比例函数图象过点O，可知点O的坐标满足正比例函数的关系式，由此可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），
∴4＝﹣2（a﹣1），解得：a＝﹣1．
故选：A．
【举一反三1-1】（2019辽宁沈阳中考模拟）如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P在直线y＝﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为（ ）
A．（2，﹣2） B．（4，﹣4） C．（，﹣） D．（5，﹣5）
【答案】B．
【分析】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案．
【解答】解：作A关于直线y＝﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y＝﹣x﹣；
求BC与直线y＝﹣x的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）；
此时|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值，其他BCP不共线的情况，根据三角形三边的关系可得|PC﹣PB|＜BC；
故选：B．
【举一反三1-2】（2016 河北中考考试说明）已知：y＋b与x－1(其中b是常数)成正比例．
(1)证明：y是x的一次函数；
(2)若这个一次函数过点（，0），且与坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为，求这个一次函数的表达式．
【分析】根据正比例函数的性质可确定y＋b与x－1关系，从而求出y与x的函数关系．
【解答】(1)依题意，得
y＋b＝k(x－1)(k为常数，k≠0)，
得y＝kx－(k＋b)，
∵k≠0，k＋b与k均为常数，
∴y是x的一次函数；
(2)∵这个一次函数过点（，0），且与坐标轴在第一象限围成三角形面积为，
∴函数与y轴的交点为(0，5)，
把（，0），(0，5)代入y＝kx－(k＋b)，得
解得
∴y＝－2x＋5.
【举一反三1-3】（2019 山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）根据（1）中的函数关系式列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1＝30x+200，方式二的费用为：y2＝40x；
（2）由y1＜y2得：30x+200＜40x，
解得x＞20时，
当x＞20时，选择方式一比方式二省钱．
【考点2 一次函数的图像及性质】
【解题技巧】两直线的交点坐标及一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积
一条直线与x轴交点坐标令y＝0，求出对应的x值
一条直线与y轴交点坐标令x＝0，求出对应的y值
一条直线与其他一次函数图像的交点坐标解由两个函数表达式组成的二元一次方程组，方程组的解即为两函数图像的交点坐标
一条直线与坐标轴围成的三角形的面积直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为(0，b)，与坐标轴围成的三角形面积为S＝·|－|·|b|
【例2】（2019 陕西中考）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（6，0） D．（﹣6，0）
【答案】B．
【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令y＝0，解得即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度所得函数的解析式为y＝3x+6，
∵此时与x轴相交，则y＝0，
∴3x+6＝0，即x＝﹣2，
∴点坐标为（﹣2，0），
故选：B．
【举一反三2-1】（2019 浙江杭州中考）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【分析】根据直线①判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．
【解答】解：A、由①可知：a＞0，b＞0．
∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；
B、由①可知：a＜0，b＞0．
∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；
C、由①可知：a＜0，b＞0．
∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；
D、由①可知：a＜0，b＜0，
∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．
故选：A．
【举一反三2-2】（2019山东济南中考模拟）若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a（A） （B） （C） （D）
【答案】C.
【分析】根据题目给出的a＋b＋c＝0，且a【解析】∵a＋b＋c＝0，且a∴a<0，c>0，b的正负情况不能确定．
在函数y＝cx＋a的图像中，当a<0，c>0时，函数的图像过第一、三、四象限．
故选：C
【举一反三2-3】（2019 江西中考）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为 ．
【答案】（2，0）或（2﹣2，0）或（2+2，0）．
【分析】先由已知得出D1（4，1），D2（4，﹣1），然后分类讨论D点的位置从而依次求出每种情况下点P的坐标．
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（4，0），（4，4）
∴AB∥y轴
∵点D在直线AB上，DA＝1
∴D1（4，1），D2（4，﹣1）
如图：
（Ⅰ）当点D在D1处时，要使CP⊥DP，即使△COP1≌△P1AD1
∴
即
解得：OP1＝2
∴P1（2，0）
（Ⅱ）当点D在D2处时，
∵C（0，4），D2（4，﹣1）
∴CD2的中点E（2，）
∵CP⊥DP
∴点P为以E为圆心，CE长为半径的圆与x轴的交点
设P（x，0），则PE＝CE
即
解得：x＝2±2
∴P2（2﹣2，0），P3（2+2，0）
综上所述：点P的坐标为（2，0）或（2﹣2，0）或（2+2，0）．
【举一反三2-4】（2019 浙江杭州中考）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式 ．
【答案】y＝﹣x+1．
【分析】根据题意写出一个一次函数即可．
【解答】解：设该函数的解析式为y＝kx+b，
∵函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，
∴
解得：，
所以函数的解析式为y＝﹣x+1，
故答案为：y＝﹣x+1．
【考点3 一次函数的应用】
【解题技巧】1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
4、求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
(1)可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
(2)直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【例3】（2019 上海中考）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是 ．
【答案】y＝﹣6x+2．
【分析】根据登山队大本营所在地的气温为2℃，海拔每升高1km气温下降6℃，可求出y与x的关系式．
【解答】解：由题意得y与x之间的函数关系式为：y＝﹣6x+2．
故答案为：y＝﹣6x+2．
【举一反三3-1】（2019 陕西中考）根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）
（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为﹣26℃时，飞机距离地面的高度为7km，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温．
【分析】（1）根据气温等于该处的温度减去下降的温度列式即可；
（2）根据（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝m﹣6x；
（2）将x＝7，y＝﹣26代入y＝m﹣6x，得﹣26＝m﹣42，∴m＝16
∴当时地面气温为16℃
∵x＝12＞11，
∴y＝16﹣6×11＝﹣50（℃）
假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为﹣50℃．
【举一反三3-2】（2019 辽宁大连中考））甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y（单位：m）与行走时x（单位：min）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m）与甲行走时间x（单位；min）的函数图象，则a﹣b＝ ．
【答案】
【分析】从图1，可见甲的速度为＝60，从图2可以看出，当x＝时，二人相遇，即：（60+V已）×＝120，解得：已的速度V已＝80，已的速度快，从图2看出已用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，即可求解．
【解答】解：从图1，可见甲的速度为＝60，
从图2可以看出，当x＝时，二人相遇，即：（60+V已）×＝120，解得：已的速度V已＝80，
∵已的速度快，从图2看出已用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，
a﹣b＝＝，
故答案为．
【举一反三3-3】（2019 吉林中考）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．
【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）把x＝3代入（2）的结论即可．
【解答】解：（1）根据题意可得m＝2×2＝4，n＝280﹣280÷3.5＝120；
故答案为：4；120；
（2）设y关于x的函数解析式为y＝kx（0≤x≤2），
因为图象经过（2，120），
所以2k＝120，
解得k＝60，
所以y关于x的函数解析式为y＝60x，
设y关于x的函数解析式为y＝k1x+b（2≤x≤4），
因为图象经过（2，120），（4，0）两点，
所以，
解得，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣60+240（2≤x≤4）；
（3）当x＝3.5时，y＝﹣60×3.5+240＝30．
所以当甲车到达B地时，乙车距B地的路程为30km．
【考点4 一次函数与几何图形的关系】
【解题技巧】常见的有（1）直线的平行和相交（2）直线与三角形的关系（3）直线与四边形（4）直线与圆
【例4】（2019 上海中考）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；
（2）求得一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），根据两点间的距离公式即可得到结论．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象平行于直线y＝x，
∴k＝，
∵一次函数的图象经过点A（2，3），
∴3＝+b，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）由y＝x+2，令y＝0，得x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为（0，y），
∵AC＝BC，
∴＝，
∴y＝﹣，
经检验：y＝﹣是原方程的根，
∴点C的坐标是（0，﹣）．
【举一反三4-1】（2019 江苏徐州中考）函数y＝x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有 个．
【答案】4.
【分析】三角形ABC的找法如下：①以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C；②以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C；③作AB的中垂线与x轴的交点即为C；
【解答】解以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C；
以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C；
作AB的中垂线与x轴的交点即为C；
故答案为4；
【举一反三4-2】（2019 江西中考如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）求线段BC所在直线的解析式．
【分析】（1）由点A、点B，易知线段AB的长度，∠BAH＝30°，而△ABC为等边三角形，得CA⊥x轴，即可知CA的长即为点C的纵坐标，即可求得点C的坐标
（2）由（1）知点C纵标，已知点B的坐标，利用待定系数法即可求线段BC所在的直线的解析式
【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥x轴
∵点A坐标为（﹣，0），点B坐标为（，1）
∴|AB|＝＝2
∵BH＝1
∴sin∠BAH＝＝
∴∠BAH＝30°
∵△ABC为等边三角形
∴AB＝AC＝2
∴∠CAB+∠BAH＝90°
∴点C的纵坐标为2
∴点C的坐标为（，2）
（2）由（1）知点C的坐标为（，2），点B的坐标为（，1），设直线BC的解析式为：y＝kx+b
则，解得
故直线BC的函数解析式为y＝x+
【举一反三4-3】（2019 辽宁大连中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点A，B，点C在射线BO上，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CO，CD为邻边作?COED．设点C的坐标为（0，m），?COED在x轴下方部分的面积为S．求：
（1）线段AB的长；
（2）S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．
【分析】（1）由直线y＝﹣x+3与令x＝0，或y＝0，分别求出对应的y、x的值，从而确定A、B两点的坐标；
（2）分两种情况进行分别探究，①当＜m≤3时，②当0＜m≤时，分别画出相应的图象，根据三角形相似，求出相应的边的长用含有m的代数式表示，再表示面积，从而确定在不同情况下S与m的函数解析式．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝4，
∴直线y＝﹣x+3与x轴点交A（4，0），与y轴交点B（0，3）
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝，
因此：线段AB的长为5．
（2）当CD∥OA时，如图，
∵BD＝OC，OC＝m，
∴BD＝m，
由△BCD∽△BOA得：
，即：，解得：m＝；
①当＜m≤3时，如图1所示：过点D作DF⊥OB，垂足为F，
此时在x轴下方的三角形与△CDF全等，
∵△BDF∽△BAO，
∴，
∴DF＝，同理：BF＝m，
∴CF＝2m﹣3，
∴S△CDF＝＝（2m﹣3）×＝m2﹣2m，
即：S＝m2﹣2m，（＜m≤3）
②当0＜m≤时，如图2所示：DE＝m≤，此时点E在△AOB的内部，
S＝0 （0＜m≤）；
③当﹣3＜m≤0时，如图3所示：同理可得：点D（﹣m，m+3）
设直线CD关系式为y＝kx+b，把C（0，m）、D（﹣m，m+3）代入得：
，解得：k＝﹣，b＝m，
直线CD关系式为y＝﹣x+m，
当y＝0时，0＝﹣x+m，解得x＝m2
F（，0）
∴S△COF＝OC?OF＝（﹣m）×＝﹣m3，
即：S＝﹣m3，（﹣3＜m≤0）
④当m＜﹣3时，如图4所示：同理可得：点D（﹣m，m+3）
此时，DF＝﹣m﹣3，OC＝﹣m，OF＝﹣，
∴S梯形OCDF＝（﹣m﹣3﹣m）×（﹣）＝
即：S＝ （m＜﹣3）
综上所述：S与m的函数关系式为：S＝．
【举一反三4-4】（2019?宁夏）在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米．（π取3.14）．
（1）求400米跑道中一段直道的长度；
（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：
跑道宽度/米 0 1 2 3 4 5 …
跑道周长/米 400 …
若设x表示跑道宽度（单位：米），y表示该跑道周长（单位：米），试写出y与x的函数关系式：
（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？
【分析】（1）根据周长的意义：直道长度+弯道长度＝400求出，
（2）跑道宽度增加，就是半圆的半径增加，依据圆的周长公式可求当跑道宽度为1、2、3、4、5、……时，跑道的周长，填写表格．并求出函数关系式．
（3）依据关系式，可求当跑道周长为446米时，对应的跑道的宽度，再根据每道宽1.2米，求出可以设计几条跑道．
【解答】解：（1）400米跑道中一段直道的长度＝（400﹣2×36×3.14）÷2＝86.96 m
（2）表格如下：
y＝2πx+400＝6.28x+400；
（3）当y＝446时，即6.28x+400＝446，
解得：x≈7.32 m
7.32÷1.2≈6 条
∴最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条．
【考点5 一次函数与其它函数的关系】
【解题技巧】常见的有（1）一次函数与反比例函数（2）一次函数与二次函数（3）两个一次函数
【例5】（2019 湖北黄石中考）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y＝（x＞0）的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D．
【分析】根据对称性求出C点坐标，进而得OA与AB的长度，再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n，进而用待定系数法求得k．
【解答】解：∵点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），
∴C（n，1），
∴OA＝n，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∵△OAB的面积为3，
∴，
解得，n＝3，
∴C（3，1），
∴k＝3×1＝3．
故选：D．
【举一反三5-1】（2019?济南）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【解答】解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．
a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
【举一反三5-2】（2019 安徽中考）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 ．
【答案】a＞1或a＜﹣1．
【分析】由y＝x﹣a+1与x轴的交点为（1﹣a，0），可知当P，Q都在x轴的下方时，x直线l与x轴的交点要在（a﹣1，0）的左侧，即可求解；
【解答】解：y＝x﹣a+1与x轴的交点为（a﹣1，0），
∵平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，
∴当x＝a﹣1时，y＝（1﹣a）2﹣2a（a﹣1）＜0，
∴a2﹣1＞0，
∴a＞1或a＜﹣1；
故答案为a＞1或a＜﹣1；
【举一反三5-3】（2019云南中考）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．
【分析】（1），根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得y与x的函数解析式；
（2），根据总利润＝每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．
【解答】解：
（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y＝kx+b（k≠0）
根据题意得，解得
∴y＝﹣200x+2200
当10＜x≤12时，y＝200
故y与x的函数解析式为：y＝
（2）由已知得：W＝（x﹣6）y
当6≤x≤10时，
W＝（x﹣6）（﹣200x+2200）＝﹣200（x﹣）2+1250
∵﹣200＜0，抛物线的开口向下
∴x＝时，取最大值，
∴W＝1250
当10＜x≤12时，W＝（x﹣6）?200＝200x﹣1200
∵y随x的增大而增大
∴x＝12时取得最大值，W＝200×12﹣1200＝1200
综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．
【举一反三5-4】（2019 福建中考）如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝ ．
【答案】6+2．
【分析】连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D点坐标，便可求得结果．
【解答】解：连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，
∵函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，
∴O、A、C三点在同直线上，且∠COE＝45°，
∴OE＝AE，
不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a），
∵点A在在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a2＝3，
∴a＝，
∴AE＝OE＝，
∵∠BAD＝30°，
∴∠OAF＝∠CAD＝∠BAD＝15°，
∵∠OAE＝∠AOE＝45°，
∴∠EAF＝30°，
∴AF＝，EF＝AEtan30°＝1，
∵AB＝AD＝2，AE∥DG，
∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2，
∴OG＝OE+EG＝+1，
∴D（+1，2），
故答案为：6+2．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 台湾中考）（2019?台湾）小涵与阿嘉一起去咖啡店购买同款咖啡豆，咖啡豆每公克的价钱固定，购买时自备容器则结帐金额再减5元．若小涵购买咖啡豆250公克且自备容器，需支付295元；阿嘉购买咖啡豆x公克但没有自备容器，需支付y元，则y与x的关系式为下列何者？（ ）
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x+5 D．y＝x+5
【答案】B．
【分析】根据若小涵购买咖啡豆250公克且自备容器，需支付295元，可得咖啡豆每公克的价钱为（295+5）÷250＝（元），据此即可y与x的关系式．
【解答】解：根据题意可得咖啡豆每公克的价钱为：（295+5）÷250＝（元），
∴y与x的关系式为：．
故选：B．
2.（2019辽宁沈阳中考）（2019?沈阳）已知一次函数y＝（k+1）x+b的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＜﹣1 C．k＜1 D．k＞﹣1
【答案】B．
【分析】根据一次函数的增减性确定有关k的不等式，求解即可．
【解答】解：∵观察图象知：y随x的增大而减小，
∴k+1＜0，
解得：k＜﹣1，
故选：B．
3.（2019 山东威海中考）（2019?威海）甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．
施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9
累计完成施工量/米 35 70 105 140 160 215 270 325 380
下列说法错误的是（ ）
A．甲队每天修路20米
B．乙队第一天修路15米
C．乙队技术改进后每天修路35米
D．前七天甲，乙两队修路长度相等
【答案】D．
【分析】根据题意和表格中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
甲队每天修路：160﹣140＝20（米），故选项A正确；
乙队第一天修路：35﹣20＝15（米），故选项B正确；
乙队技术改进后每天修路：215﹣160﹣20＝35（米），故选项C正确；
前7天，甲队修路：20×7＝140米，乙队修路：270﹣140＝130米，故选项D错误；
故选：D．
4.（2019 河北张家口中考模拟）如图所示，A、M、N点坐标分别为A（0，1），M（3，2），N（4，4），动点P从点A出发，沿y轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，若点m，n分别位于l的异侧，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t＜8 B．4＜t＜7 C．4≤t≤7 D．4＜t＜8
【答案】B．
【分析】分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围．
【解答】解：当直线y＝﹣x+b过点M（3，2）时，
2＝﹣3+b，
解得：b＝5，
5＝1+t，
解得t＝4．
当直线y＝﹣x+b过点N（4，4）时，
4＝﹣4+b，
解得：b＝8，
8＝1+t，
解得t＝7．
故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．
故选：B．
5.（2019宁夏中考）（2019?宁夏）函数y＝和y＝kx+2（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B．
【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点，可以解答本题．
【解答】解：在函数y＝和y＝kx+2（k≠0）中，
当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确，
当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项C错误，
故选：B．
6.（2019 山东烟台中考模拟）一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，以AB为腰，作等腰Rt△ABC，则直线BC的解析式为（ ）
A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝﹣x+2 D．y＝x+2
【答案】D．
【分析】先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAE，得出C点坐标，用待定系数法即可求出直线BC的解析式；
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+2中，
令x＝0得：y＝2；令y＝0，解得x＝5，
∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（5，0）．
如图，作CE⊥x轴于点E，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAB+∠CAE＝90°，
又∵∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠BAO．
在△ABO与△CAE中，
，
∴△ABO≌△CAE（AAS），
∴OB＝AE＝2，OA＝CE＝5，
∴OE＝OA+AE＝2+5＝7．
则C的坐标是（7，5）．
设直线BC的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
∴直线BC的解析式是y＝x+2．
故选：D．
7.（2019 江苏徐州中考模拟）如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A．
【分析】先根据△AEF为等腰直角三角形，可得直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，再根据BD的长即可得到b的值．
【解答】解：如图1，直线y＝x﹣3中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y＝﹣3，
即直线y＝x﹣3与坐标轴围成的△OEF为等腰直角三角形，
∴直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，
由图2可得，t＝2时，直线l经过点A，
∴AO＝3﹣2×1＝1，
∴A（1，0），
由图2可得，t＝12时，直线l经过点C，
∴当t＝+2＝7时，直线l经过B，D两点，
∴AD＝（7﹣2）×1＝5，
∴等腰Rt△ABD中，BD＝5，
即当a＝7时，b＝5．
故选：A．
8.（2019 河北沧州中考模拟）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：
①k＜0：②a＞0：③当x＜3时，y1＜y2；④当x＞3时，y1≥y2中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B．
【分析】根据y1＝kx+b和y2＝x+a的图象可知：k＜0，a＜0，所以当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象．
【解答】解：∵y1＝kx+b的函数值随x的增大而减小，
∴k＜0；故①正确
∵y2＝x+a的图象与y轴交于负半轴，
∴a＜0；
当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象，
∴y1＞y2，故②③错误，④错误．
故选：B．
填空题
1.（2019天津中考）直线y＝2x﹣1与x轴的交点坐标为 ．
【答案】（，0）．
【分析】当直线y＝2x﹣1与x轴相交时，y＝0；将y＝0代入函数解析式求x值．
【解答】解：根据题意，知，
当直线y＝2x﹣1与x轴相交时，y＝0，
∴2x﹣1＝0，
解得，x＝；
∴直线y＝2x+1与x轴的交点坐标是（，0）；
故答案是：（，0）．
2.（2019 重庆中考）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是 米．
【答案】6000．
【分析】根据函数图象和题意可以分别求得甲乙的速度和乙从与甲相遇到返回公司用的时间，从而可以求得当乙回到公司时，甲距公司的路程．
【解答】解：由题意可得，
甲的速度为：4000÷（12﹣2﹣2）＝500米/分，
乙的速度为：＝1000米/分，
乙从与甲相遇到返回公司用的时间为4分钟，
则乙回到公司时，甲距公司的路程是：500×（12﹣2）﹣500×2+500×4＝6000（米），
故答案为：6000．
3.（2019 山东济南中考）（2019?济南）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．
【答案】210．
【分析】根据函数图象中的数据可以求得x＞120时，l2对应的函数解析式，从而可以求得x＝150时对应的函数值，由l1的的图象可以求得x＝150时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．
【解答】解：设当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝6x﹣240，
当x＝150时，y＝6×150﹣240＝660，
由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m3），故小雨家去年用水量为150m3，需要缴费：150×3＝450（元），
660﹣450＝210（元），
即小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案为：210．
4.（2019四川成都中考）（2019?成都）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 ．
【答案】k＜3.
【分析】根据y＝kx+b，k＜0，b＞0时，函数图象经过第一、二、四象限，则有k﹣3＜0即可求解；
【解答】解：y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3；
故答案为k＜3；
5.（2019 河北石家庄中考模拟）如图，把直线y＝﹣2x向上平移后，分别交y轴、x轴于A、B两点，直线AB经过点（m，n）且2m+n＝6，则点O到线段AB的距离为 ．
【答案】
【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．再把相应的点代入即可求得直线AB的解析式，结合勾股定理求得AB的长度，然后利用等面积法求得h的值．
【解答】解：如图，设点O到线段AB的距离为h，
原直线y＝﹣2x中的k＝﹣2，向上平移后得到了新直线，那么新直线的k＝﹣2．
∵直线AB经过点（m，n），且2m+n＝6．
∴直线AB经过点（m，6﹣2m）．
可设新直线的解析式为y＝﹣2x+b1，
把点（m，6﹣2m）代到y＝﹣2x+b1中，可得b1＝6，
∴直线AB的解析式是y＝﹣2x+6．
∴A（0，6），B（3，0）．
∴OA＝6，OB＝3．
∴AB＝＝3．
∴×3h＝×6×3，
∴h＝．
故答案是：．
6.（2019 湖北黄石中考模拟）在平面直角坐标系中，直线y＝2x+1沿y轴向上平移了m（m＞0）个单位后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了2，则m的值为 ．
【答案】2．
【分析】由直线y＝2x+1沿y轴向上平移了m（m＞0）个单位后可得：y＝2x+1+m，即C（0，1+m），在y＝2x+1+m中，令y＝0，则x＝﹣，即D（﹣，0），由直线y＝2x+1，可得A（0，1），B（﹣，0），依据平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了2，即可得到方程××（m+1）﹣××1＝2，进而得出m的值．
【解答】解：如图，直线y＝2x+1沿y轴向上平移了m（m＞0）个单位后可得：y＝2x+1+m，即C（0，1+m）
在y＝2x+1+m中，令y＝0，则x＝﹣，即D（﹣，0），
由直线y＝2x+1，可得A（0，1），B（﹣，0），
∵平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了2，
∴S△COD﹣S△AOB＝2，
即××（m+1）﹣××1＝2，
解得m1＝2，m2＝﹣4（舍去），
故答案为：2．
7.（2019 山东淄博中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x与y＝kx+b的图象交于点P（m，2），则不等式kx+b＞﹣2x的解集为 ．
【答案】x＞﹣1．
【分析】先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞﹣1时，直线y＝﹣2x都在直线y＝kx+b的下方，于是可得到不等式kx+b＞﹣2x的解集．
【解答】解：当y＝2时，﹣2x＝2，
x＝﹣1，
由图象得：不等式kx+b＞﹣2x的解集为：x＞﹣1，
故答案为：x＞﹣1．
8.（2019 辽宁大连中考模拟）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点Bn的坐标为 ．
【答案】（2n﹣1，2n）．
【分析】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点Bn的坐标．
【解答】解：∵点A1坐标为（1，0），
∴OA1＝1，
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，2），
∵点A2与点O关于直线A1B1对称，
∴OA1＝A1A2＝1，
∴OA2＝1+1＝2，
∴点A2的坐标为（2，0），B2的坐标为（2，4），
∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），B3的坐标为（4，8），
依此类推便可求出点An的坐标为（2n﹣1，0），点Bn的坐标为（2n﹣1，2n）．
故答案为：（2n﹣1，2n）．
解答题
1.（2019 北京中考）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）令x＝0，y＝1，直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），在W区域内有6个整数点；②当x＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，k＝﹣2，当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点；
【解答】解：（1）令x＝0，y＝1，
∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）由题意，A（k，k2+1），B（，﹣k），C（k，﹣k），
①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），
在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；
②直线AB的解析式为y＝kx+1，
当x＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，
∴k＝﹣2，
当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点，
∴当0＞k≥﹣1或k＝﹣2时W内没有整数点；
2.（2019安徽中考）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
【分析】（1）由交点为（1，2），代入y＝kx+4，可求得k，由y＝ax2+c可知，二次函数的顶点在y轴上，即x＝0，则可求得顶点的坐标，从而可求c值，最后可求a的值
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0，可求x的值，再利用根与系数的关系式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，k+4＝﹣2，解得k＝﹣2，
又∵二次函数顶点为（0，4），
∴c＝4
把（1，2）带入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0
∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，
∴W＝OA2+BC2＝
∴当m＝1时，W取得最小值7
3.（2019 天津中考）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超过50kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．
（Ⅰ）根据题意填表：
一次购买数量/kg 30 50 150 …
甲批发店花费/元 300 …
乙批发店花费/元 350 …
（Ⅱ）设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；
（Ⅲ）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中 批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多．
【分析】（Ⅰ）根据题意，甲批发店花费 y1（元）＝6×购买数量x（千克）；6×30＝180，6×150＝900；而乙批发店花费 y2（元），当一次购买数量不超过50kg时，y2＝7××30＝210元；一次购买数量超过50kg时，y2＝7×50+5（150﹣50）＝850元．
（Ⅱ）根据题意，甲批发店花费 y1（元）＝6×购买数量x（千克）；而乙批发店花费 y2（元）在一次购买数量不超过50kg时，y2（元）＝7×购买数量x（千克）；一次购买数量超过50kg时，y2（元）＝7×50+5（x﹣50）；即：花费 y2（元）是购买数量x（千克）的分段函数．
（Ⅲ）①花费相同，即y1＝y2；可利用方程解得相应的x的值；
②求出在x＝120时，所对应的y1、y2的值，比较得出结论．实际上是已知自变量的值求函数值．
③求出当y＝360时，两店所对应的x的值，比较得出结论．实际是已知函数值求相应的自变量的值．
【解答】解：（Ⅰ）甲批发店：6×30＝180元，6×150＝900元；乙批发店：7××30＝210元，7×50+5（150﹣50）＝850元．
故依次填写：180 900 210 850．
（Ⅱ）y1＝6x （x＞0）
当0＜x≤50时，y2＝7x （0＜x≤50）
当x＞50时，y2＝7×50+5（x﹣50）＝5x+100 （x＞50）
因此y1，y2与x的函数解析式为：y1＝6x （x＞0）； y2＝7x （0＜x≤50）y2＝5x+100 （x＞50）
（Ⅲ）①当y1＝y2时，有：6x＝7x，解得x＝0，不和题意舍去；
当y1＝y2时，也有：6x＝5x+100，解得x＝100，
故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克．
②当x＝120时，y1＝6×120＝720元，y2＝5×120+100＝700元，
∵720＞700
∴乙批发店花费少．
故乙批发店花费少．
③当y＝360时，即：6x＝360和5x+100＝360；解得x＝60和x＝52，
∵60＞52
∴甲批发店购买数量多．
故甲批发店购买的数量多．
4.（2019 重庆中考）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集．
【分析】（1）根据在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1，可以求得该函数的表达式；
（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质；
（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集．
【解答】解：（1）∵在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1，
∴，得，
∴这个函数的表达式是y＝|x﹣3|﹣4；
（2）∵y＝|x﹣3|﹣4，
∴y＝，
∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2）；
该函数的图象如右图所示，性质是当x＞2时，y随x的增大而增大；
（3）由函数图象可得，
不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集是1≤x≤4．
5.（2019 浙江温州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点B的坐标和OE的长．
（2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标．
（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．
①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
【分析】（1）令y＝0，可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长，进而求出OE的长；
（2）如图1，作辅助线，证明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股定理得OF的长，由＝tan∠EOF和n＝﹣m+4，可得结论；
（3）①先设s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，s＝2，根据Q3（﹣4，6），Q2（6，1），可得t＝4时，s＝5，利用待定系数法可得s关于t的函数表达式；
②分三种情况：
（i）当PQ∥OE时，如图2，根据cos∠QBH＝＝＝＝，表示BH的长，根据AB＝12，列方程可得t的值；
（ii）当PQ∥OF时，如图3，根据tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，列方程为2t﹣2＝，可得t的值．
（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x+4＝0，
∴x＝8，
∴B（8，0），
∵C（0，4），
∴OC＝4，OB＝8，
在Rt△BOC中，BC＝＝4，
又∵E为BC中点，
∴OE＝BC＝2；
（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，
∵E是BC的中点
∴M是OC的中点
∴EM＝OB＝4，OE＝BC＝2
∵∠CDN＝∠NEM，∠CND＝∠MNE
∴△CDN∽△MEN，
∴＝1，
∴CN＝MN＝1，
∴EN＝＝，
∵S△ONE＝EN?OF＝ON?EM，
∴OF＝＝，
由勾股定理得：EF＝＝＝，
∴tan∠EOF＝＝＝，
∴＝＝，
∵n＝﹣m+4，
∴m＝6，n＝1，
∴Q2（6，1）；
（3）①∵动点P、Q同时作匀速直线运动，
∴s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，
∵当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，
∴t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，
∴s＝Q3C＝＝2，
∵Q3（﹣4，6），Q2（6，1），
∴t＝4时，s＝＝5，
将或代入得，解得：，
∴s＝﹣，
②（i）当PQ∥OE时，如图2，∠QPB＝∠EOB＝∠OBE，
作QH⊥x轴于点H，则PH＝BH＝PB，
Rt△ABQ3中，AQ3＝6，AB＝4+8＝12，
∴BQ3＝＝6，
∵BQ＝6﹣s＝6﹣t+＝7﹣t，
∵cos∠QBH＝＝＝＝，
∴BH＝14﹣3t，
∴PB＝28﹣6t，
∴t+28﹣6t＝12，t＝；
（ii）当PQ∥OF时，如图3，过点Q作QG⊥AQ3于点G，过点P作PH⊥GQ于点H，
由△Q3QG∽△CBO得：Q3G：QG：Q3Q＝1：2：，
∵Q3Q＝s＝t﹣，
∴Q3G＝t﹣1，GQ＝3t﹣2，
∴PH＝AG＝AQ3﹣Q3G＝6﹣（t﹣1）＝7﹣t，
∴QH＝QG﹣AP＝3t﹣2﹣t＝2t﹣2，
∵∠HPQ＝∠CDN，
∴tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，
∴2t﹣2＝，t＝，
（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行，
综上，当PQ与△OEF的一边平行时，AP的长为或．
6.（2019 浙江温州中考）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．
（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？
（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．
①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？
②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决；
（2）①根据题意可以求得由成人8人和少年5人带队，所需门票的总费用；
②利用分类讨论的方法可以求得相应的方案以及花费，再比较花费多少即可解答本题．
【解答】解：（1）设成人有x人，少年y人，
，
解得，，
答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；
（2）①由题意可得，
由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：100×8+5×100×0.8+（10﹣8）×100×0.6＝1320（元），
答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；
②设可以安排成人a人，少年b人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5，
当10≤a≤17时，
若a＝10，则费用为100×10+100×b×0.8≤1200，得b≤2.5，
∴b的最大值是2，此时a+b＝12，费用为1160元；
若a＝11，则费用为100×11+100×b×0.8≤1200，得b≤，
∴b的最大值是1，此时a+b＝12，费用为1180元；
若a≥12，100a≥1200，即成人门票至少是1200元，不合题意，舍去；
当1≤a＜10时，
若a＝9，则费用为100×9+100b×0.8+100×1×0.6≤1200，得b≤3，
∴b的最大值是3，a+b＝12，费用为1200元；
若a＝8，则费用为100×8+100b×0.8+100×2×0.6≤1200，得b≤3.5，
∴b的最大值是3，a+b＝11＜12，不合题意，舍去；
同理，当a＜8时，a+b＜12，不合题意，舍去；
综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少．
（2019山东日照中考）（2019?日照）探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有kAB＝＝2，kAC＝＝2，发现kAB＝kAC，兴趣小组提出猜想：若直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点坐标P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），则kPQ＝是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，kPQ是定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率．
请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率kST＝ ．
探究活动二：
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相要直时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积．
综合应用
如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．
【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）运用公式分别求出kDE和kDF的值，再计算kDE×kDF＝﹣1；
（3）先求直线MN的斜率kMN，根据切线性质可知PQ⊥MN，可得直线PQ的斜率kPQ，待定系数法即可求得直线PQ解析式．
【解答】解：（1）∵S（﹣2，﹣2）、T（4，2）
∴kST＝＝
故答案为：
（2）∵D（2，2），E（1，4），F（4，3）．
∴kDE＝＝﹣2，kDF＝＝，
∴kDE×kDF＝﹣2×＝﹣1，
∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于﹣1．
（3）设经过点N与⊙M的直线为PQ，解析式为y＝kPQx+b
∵M（1，2），N（4，5），
∴kMN＝＝1，
∵PQ为⊙M的切线
∴PQ⊥MN
∴kPQ×kMN＝﹣1，
∴kPQ＝﹣1，
∵直线PQ经过点N（4，5），
∴5＝﹣1×4+b，解得 b＝9
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+9．
8.（2019 甘肃中考）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．
（2）根据对称性求出点D坐标，发现BD∥x轴，利用三角形的面积公式计算即可．
（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），
∴m＝﹣2，
∵点A（﹣1，n）在y＝上，
∴n＝2，
∴A（﹣1，2），
把A，B坐标代入y＝kx+b，则有，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．
（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，
∴C（0，1），
∵D，C关于x轴对称，
∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）
∴BD∥x轴，
∴S△ABD＝×2×3＝3．
（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，
∴y1＜y2．
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