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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第12讲 反比例函数及其应用（提高版）
【学生版】
一、考点知识梳理
【考点1 反比例函数的图像及性质】
1.反比例函数的概念：1．一般地，如果变量y与变量x之间的函数关系可以表示成y＝(k是常数，且k≠0)的形式，则称y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
2.函数图像的性质：对于反比例函数y＝(k≠0)，k＞0时，反比例函数图像经过第一、三象限(x，y同号)，在每个象限内，y随x的增大而减小，关于直线y＝－x对称；k＜0时，反比例函数图像经过第二、四象限(x，y异号)，在每个象限内，y随x的增大而增大关于直线y＝x对称。
【考点2 反比例函数的实际应用】
1.反比例函数表达式的确定的步骤：
(1)设所求的反比例函数为y＝(k≠0)；
(2)根据已知条件列出含k的方程；
(3)由代入法求待定系数k的值；
(4)把k代入函数表达式y＝中．
2.求表达式的两种途径：
(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；
(2)在已知两个变量x，y具有反比例关系y＝(x≠0)的前提下，根据一对x，y的值，列出一个关于k的方程，求得k的值，确定出函数的表达式．
【考点3 反比例函数的图像与几何图形的关系】
反比例函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据．
【考点4 反比例函数的图像与其它函数的关系】
反比例函数与一次函数、反比例函数与二次函数是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。
考点分析
【考点1 反比例函数的图像及性质】
【解题技巧】1.对于反比例函数y＝(k是常数，且k≠0)k的几何意义：
设P(x，y)是反比例函数y＝图像上任一点，过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|.
2.利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
【例1】（2019 安徽中考）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【举一反三1-1】（2019海南中考）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
【举一反三1-2】（2019 江苏徐州中考）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y2
【举一反三1-3】（2019?河北石家庄中考模拟）定义新运算：a⊕b=例如：4⊕5=，4⊕（﹣5）=．则函数y=2⊕x（x≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三1-4】（2019 吉林中考）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x＝4时，求y的值．
【考点2 反比例函数的实际应用】
【解题技巧】利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式y＝(k≠0)，再由已知条件确定表达式中k的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数表达式．
【例2】（2019 湖北孝感中考）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（ ）
A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝
【举一反三2-1】（2019 浙江温州中考）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【举一反三2-2】（2019 河北中考）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．
（1）当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
【举一反三2-3】（2019 浙江杭州中考）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．
②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
【考点3 反比例函数的图像与几何图形的关系】
【解题技巧】1.常见的有（1）双曲线与三角形的关系（2）双曲线与四边形的关系（3）双曲线与圆的关系（4）两条双曲线之间的关系
2.在平面直角坐标系中与几何图形相联系时，通常要构造一个三角形，以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．
【例3】（2019 重庆中考）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
【举一反三3-1】（2019?河北沧州中考模拟）如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣2，0），过点C（2，0）作直线l交AO于点D，交AB于E，点E在反比例函数＜0）的图象上，若△ADE和△DCO（即图中两阴影部分）的面积相等，则k值为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三3-2】（2019?深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝ ．
【举一反三3-3】（2019 河北孝感中考）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面积为 ．
【举一反三3-4】（2019?辽宁大连中考模拟）如图，点P在双曲线y＝（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF﹣OE＝6，则k的值是 ．
【举一反三3-5】（2019?兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．
（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；
（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．
【考点4 反比例函数的图像与其它函数的关系】
【解题技巧】反比例函数与一次函数图像的综合应用的四个方面：
①探求同一坐标系下两函数的图像常用排除法；
②探求两函数表达式常利用两函数的图像的交点坐标；
③探求两图像中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图像交点坐标的常用方法；
④两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图像上、下位置关系，从而写出函数值的大小．
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
另外常见的还有反比例函数与二次函数、两个反比例函数之间的关系。
【例4】（2019?日照）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三4-1】（2019?深圳）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三4-2】（2017 河北中考）如图，若抛物线y＝﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y＝（x＞0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三4-3】（2019 山东淄博中考模拟）已知点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三4-4】（2018 河北中考）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y＝（x≥1）交于点A，且AB＝1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t＝1时h＝5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v＝5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．
【举一反三4-5】（2019 广东中考）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 云南中考）若点（3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝（ ）．
A．9 B．25 C．15 D．30
2.（2019 天津中考）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
3.（2019?长春）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．9 C． D．
4.（2019?广西）若点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
5.（2019?哈尔滨）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（4，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣4，﹣1） D．（，2）
6.（2019?武汉）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝﹣6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③若x1+x2＝0，则y1+y2＝0，其中真命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7.（2019?广州）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
8.（2019 河北中考）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
填空题
1.（2019 陕西中考）如图，D是矩形AOBC的对称中心，A（0，4），B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为 ．
2.（2019?南通）如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y＝（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为 ．
3.（2019?日照）如图，已知动点A在函数的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的面积等于 ．
4.（2019?沈阳）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是 ．
5.（2019?新疆）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象交于A（a，﹣4），B两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y＝交于P，Q两点（P点在第二象限），若以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是 ．
6.（2019?兰州）如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，S矩形OABC＝6，则k＝ _____ ．
7.如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是 （用含k的代数式表示）．
8.（2019 山东济南中考模拟）已知：如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A，与x交于点B，AC⊥x轴于点C，连结OA．
（1）若a＝，b＝2，且OA平分∠BAC时，k＝ ；
（2）当a＝1，b＝2，k＝8时，点P（t，0）是x轴上的一个动点，如果∠APO≤∠BAO，则t的取值范围是 ．
解答题
1.（2019?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
2.（2019?广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．
3.（2019?威海）（1）阅读理解
如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．
小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG＝2CF，CF＞DF
由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：
若n＞1，则 ________ ．
（2）证明命题
小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明（1）中的命题．
4.（2019?呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若反比例函数y＝的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，并直接写出kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围．
5.（2019 辽宁大连中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在OA的廷长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若S△ACD＝，设点C的坐标为（a，0），求线段BD的长．
6.（2019 江苏徐州中考）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
7.（2019 河南中考）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
8.（2016 河北中考）如图，抛物线L：y＝﹣（x﹣t）（x﹣t+4）（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于点P，且OA?MP＝12，
（1）求k值；
（2）当t＝1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；
（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．
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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第12讲 反比例函数及其应用（解析版）
【教师版】
一、考点知识梳理
【考点1 反比例函数的图像及性质】
1.反比例函数的概念：1．一般地，如果变量y与变量x之间的函数关系可以表示成y＝(k是常数，且k≠0)的形式，则称y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
2.函数图像的性质：对于反比例函数y＝(k≠0)，k＞0时，反比例函数图像经过第一、三象限(x，y同号)，在每个象限内，y随x的增大而减小，关于直线y＝－x对称；k＜0时，反比例函数图像经过第二、四象限(x，y异号)，在每个象限内，y随x的增大而增大关于直线y＝x对称。
【考点2 反比例函数的实际应用】
1.反比例函数表达式的确定的步骤：
(1)设所求的反比例函数为y＝(k≠0)；
(2)根据已知条件列出含k的方程；
(3)由代入法求待定系数k的值；
(4)把k代入函数表达式y＝中．
2.求表达式的两种途径：
(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；
(2)在已知两个变量x，y具有反比例关系y＝(x≠0)的前提下，根据一对x，y的值，列出一个关于k的方程，求得k的值，确定出函数的表达式．
【考点3 反比例函数的图像与几何图形的关系】
反比例函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据．
【考点4 反比例函数的图像与其它函数的关系】
反比例函数与一次函数、反比例函数与二次函数是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。
考点分析
【考点1 反比例函数的图像及性质】
【解题技巧】1.对于反比例函数y＝(k是常数，且k≠0)k的几何意义：
设P(x，y)是反比例函数y＝图像上任一点，过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|.
2.利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
【例1】（2019 安徽中考）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【答案】A．
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入y＝中即可得到k的值．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），
把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．
故选：A．
【举一反三1-1】（2019海南中考）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
【答案】D．
【分析】反比例函数y＝图象在一、三象限，可得k＞0．
【解答】解：∵反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，
∴a﹣2＞0，
∴a＞2．
故选：D．
【举一反三1-2】（2019 江苏徐州中考）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y2
【答案】A．
【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．
【解答】解：∵函数y＝，
∴该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y随x的增大而减小，
∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y＝的图象上，且x1＜0＜x2，
∴y1＜y2，
故选：A．
【举一反三1-3】（2019?河北石家庄中考模拟）定义新运算：a⊕b=例如：4⊕5=，4⊕（﹣5）=．则函数y=2⊕x（x≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【分析】 根据题意可得y=2⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．
【解答】：由题意得：y=2⊕x=，当x＞0时，反比例函数y=在第一象限，当x＜0时，反比例函数y=﹣在第二象限，又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合，故选：D．
【举一反三1-4】（2019 吉林中考）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x＝4时，求y的值．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）直接利用x＝4代入求出答案．
【解答】解：（1）y是x的反例函数，
所以，设，
当x＝2时，y＝6．
所以，k＝xy＝12，
所以，；
（2）当x＝4时，y＝3．
【考点2 反比例函数的实际应用】
【解题技巧】利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式y＝(k≠0)，再由已知条件确定表达式中k的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数表达式．
【例2】（2019 湖北孝感中考）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（ ）
A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝
【答案】B．
【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．
【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，
则F＝．
故选：B．
【举一反三2-1】（2019 浙江温州中考）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】A．
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：y＝．
故选：A．
【举一反三2-2】（2019 河北中考）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．
（1）当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
【分析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；
②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间t减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求S甲与t的函数关系式；
（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程＝队伍速度×返回时间．
【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），
∴S头＝2t+300
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600 m
甲返回时间为：（t﹣150）s
∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；
因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．
（2）T＝t追及+t返回＝+＝，
在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v；
因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．
【举一反三2-3】（2019 浙江杭州中考）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．
②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；
②8点至11点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．
【解答】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，
∴v关于t的函数表达式为：v＝，（0≤t≤4）．
（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时
将t＝6代入v＝得v＝80；将t＝代入v＝得v＝100．
∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．
②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：
8点至11点30分时间长为小时，将t＝代入v＝得v＝＞120千米/小时，超速了．
故方方不能在当天11点30分前到达B地．
【考点3 反比例函数的图像与几何图形的关系】
【解题技巧】1.常见的有（1）双曲线与三角形的关系（2）双曲线与四边形的关系（3）双曲线与圆的关系（4）两条双曲线之间的关系
2.在平面直角坐标系中与几何图形相联系时，通常要构造一个三角形，以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．
【例3】（2019 重庆中考）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
【答案】B．
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．
由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．
【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝10，
∴E（5，4）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝5×4＝20．
故选：B．
【举一反三3-1】（2019?河北沧州中考模拟）如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣2，0），过点C（2，0）作直线l交AO于点D，交AB于E，点E在反比例函数＜0）的图象上，若△ADE和△DCO（即图中两阴影部分）的面积相等，则k值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【分析】连接AC，先由等边三角形及等腰三角形的性质判断出△ABC是直角三角形，再由S△ADE＝S△DCO，S△AEC＝S△ADE+S△ADC，S△AOC＝S△DCO+S△ADC，可得出S△AEC＝S△AOC，故可得出AE的长，再由中点坐标公式求出E点坐标，把点E代入反比例函数y＝即可求出k的值．
【解答】解：连接AC．
∵点B的坐标为（﹣2，0），△AOB为等边三角形，
∵AO＝OC＝2，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ACO＝30°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴点A的坐标为（﹣1，），
∵S△ADE＝S△DCO，S△AEC＝S△ADE+S△ADC，S△AOC＝S△DCO+S△ADC，
∴S△AEC＝S△AOC＝×AE?AC＝×CO×，
即 AE?2＝×2×，
∴AE＝1．
∴E点为AB的中点（﹣，）
把E点（﹣，）代入y＝得，k＝（﹣）×＝﹣．
故选：D．
【举一反三3-2】（2019?深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝ ．
【答案】
【分析】要求k得值，通常可求A的坐标，可作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD＝3AD和C（0，﹣3）可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．
【解答】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，
∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
可证△ADE∽△CDO，
∴，
∴AE＝1；
又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，
∴BO＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴△ABE～△COD，
∴
设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，
∴，
∴n＝
∴OE＝4n＝
∴A（，1）
∴k＝．
故答案为：．
【举一反三3-3】（2019 河北孝感中考）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面积为 ．
【答案】
【分析】设D（2m，2n），根据题意A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可得出9＝3m?3n，k＝2m?2n＝4mn，解得mn＝1，由E（3m，n），F（m，3n），求得BE、BF，然后根据三角形面积公式得到S△BEF＝BE?BF＝mn＝．
【解答】解：设D（2m，2n），
∵OD：OB＝2：3，
∴A（3m，0），C（0，3n），
∴B（3m，3n），
∵双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，
∴9＝3m?3n，
∴mn＝1，
∵双曲线y＝（x＞0）经过点D，
∴k＝4mn
∴双曲线y＝（x＞0），
∴E（3m，n），F（m，3n），
∴BE＝3n﹣n＝n，BF＝3m﹣m＝m，
∴S△BEF＝BE?BF＝mn＝
故答案为．
【举一反三3-4】（2019?辽宁大连中考模拟）如图，点P在双曲线y＝（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF﹣OE＝6，则k的值是 ．
【答案】9．
【分析】过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，根据⊙P与两坐标轴都相切可知，PA＝PB，由∠APB＝∠EPF＝90°可证△BPE≌△APF，得BE＝AF，利用OF﹣OE＝6，求圆的半径，根据k＝OA×PA求解．
【解答】解：如图，过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，
∵⊙P与两坐标轴都相切，
∴PA＝PB，四边形OAPB为正方形，
∵∠APB＝∠EPF＝90°，
∴∠BPE＝∠APF，
∴Rt△BPE≌Rt△APF，
∴BE＝AF，
∵OF﹣OE＝6，
∴（OA+AF）﹣（BE﹣OB）＝6，
即2OA＝6，
解得OA＝3，
∴k＝OA×PA＝3×3＝9．
故答案为：9．
【举一反三3-5】（2019?兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．
（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；
（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．
【分析】（1）作BD⊥OC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求得OD＝1，BD＝，进而求得三角形BOD的面积，根据系数k的几何意义即可求得k＝，从而求得反比例函数的表达式；
（2）求得三角形AOC的面积，即可求得A的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A的坐标．
【解答】解：（1）作BD⊥OC于D，
∵△BOC是等边三角形，
∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，
∴BD＝＝，
∴S△OBD＝OD×BD＝，
S△OBD＝|k|，
∴|k|＝，
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，
∴k＝，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵S△OBC＝OC?BD＝＝，
∴S△AOC＝3﹣＝2，
∵S△AOC＝OC?yA＝2，
∴yA＝2，
把y＝2代入y＝，求得x＝，
∴点A的坐标为（，2）．
【考点4 反比例函数的图像与其它函数的关系】
【解题技巧】反比例函数与一次函数图像的综合应用的四个方面：
①探求同一坐标系下两函数的图像常用排除法；
②探求两函数表达式常利用两函数的图像的交点坐标；
③探求两图像中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图像交点坐标的常用方法；
④两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图像上、下位置关系，从而写出函数值的大小．
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
另外常见的还有反比例函数与二次函数、两个反比例函数之间的关系。
【例4】（2019?日照）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，y＝kx+1过一、二、三象限；y＝过一、三象限；
②当k＜0时，y＝kx+1过一、二、四象象限；y＝过二、四象限．
观察图形可知，只有C选项符合题意．
故选：C．
【举一反三4-1】（2019?深圳）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y＝ax+b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y＝ax+b经过一、二、四象限，双曲线y＝在二、四象限．
【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y＝ax+b过一、二、四象限，
双曲线y＝在二、四象限，
∴C是正确的．
故选：C．
【举一反三4-2】（2017 河北中考）如图，若抛物线y＝﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y＝（x＞0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D．
【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k＝4，即可得出答案．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+3，当y＝0时，x＝±；
当x＝0时，y＝3，
则抛物线y＝﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（﹣1，1），（0，1），（0，2），（1，1）；共有4个，
∴k＝4；
故选：D．
【举一反三4-3】（2019 山东淄博中考模拟）已知点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【分析】首先设出点A和点B的坐标分别为：（x1，）、（x2，﹣），设线段OA所在的直线的解析式为：y＝k1x，线段OB所在的直线的解析式为：y＝k2x，然后根据OA⊥OB，得到k1k2＝?（﹣）＝﹣1，然后利用正切的定义进行化简求值即可．
【解答】解：法一：
设点A的坐标为（x1，），点B的坐标为（x2，﹣），
设线段OA所在的直线的解析式为：y＝k1x，线段OB所在的直线的解析式为：y＝k2x，
则k1＝，k2＝﹣，
∵OA⊥OB，
∴k1k2＝?（﹣）＝﹣1
整理得：（x1x2）2＝16，
∴tanB＝＝＝＝＝＝＝．
法二：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠AOM+∠PAM＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOM+∠BON＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△AOM∽△OBN，
∵点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOM：S△BON＝1：4，
∴AO：BO＝1：2，
∴tanB＝．
故选：B．
【举一反三4-4】（2018 河北中考）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y＝（x≥1）交于点A，且AB＝1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t＝1时h＝5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v＝5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．
【分析】（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；
（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙．
【解答】解：（1）由题意，点A（1，18）带入y＝
得：18＝
∴k＝18
设h＝at2，把t＝1，h＝5代入
∴a＝5
∴h＝5t2
（2）∵v＝5，AB＝1
∴x＝5t+1
∵h＝5t2，OB＝18
∴y＝﹣5t2+18
由x＝5t+1
则t＝
∴y＝﹣
当y＝13时，13＝﹣
解得x＝6或﹣4
∵x≥1
∴x＝6
把x＝6代入y＝
y＝3
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3＝10（米）
（3）把y＝1.8代入y＝﹣5t2+18
得t2＝
解得t＝1.8或﹣1.8（负值舍去）
∴x＝10
∴甲坐标为（10，1.8）恰好落在滑道y＝上
此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8）
由题意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5
∴v乙＞7.5
【举一反三4-5】（2019 广东中考）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．
【分析】（1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求x的取值范围；
（2）将点A，点B坐标代入两个解析式可求k2，n，k1，b的值，从而求得解析式；
（3）根据三角形面积相等，可得答案．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
由图象可得：kx+b＞的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；
（2）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣1，4），B（4，n）
∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n
∴n＝﹣1
∴B（4，﹣1）
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A，点B
∴，
解得：k＝﹣1，b＝3
∴直线解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y＝﹣；
（3）设直线AB与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
∵S△AOC＝×3×1＝，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×4＝，
∵S△AOP：S△BOP＝1：2，
∴S△AOP＝×＝，
∴S△COP＝﹣＝1，
∴×3?xP＝1，
∴xP＝，
∵点P在线段AB上，
∴y＝﹣+3＝，
∴P（，）．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 云南中考）若点（3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝（ ）．
A．9 B．25 C．15 D．30
【答案】C．
【分析】点在函数的图象上，其纵横坐标一定满足函数的关系式，反之也成立，因此只要将点（3，5）代入反比例函数y＝（k≠0）即可．
【解答】解：把点（3，5）的纵横坐标代入反比例函数y＝得：k＝3×5＝15
故选：C．
2.（2019 天津中考）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【答案】B．
【分析】分别计算出自变量为﹣3、﹣2和1对应的函数值，从而得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：当x＝﹣3，y1＝﹣＝4；
当x＝﹣2，y2＝﹣＝6；
当x＝1，y3＝﹣＝﹣12，
所以y3＜y1＜y2．
故选：B．
3.（2019?长春）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】D．
【分析】根据A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知OA＝OC＝3，进而可求出AC，由AC＝2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0），
∴OA＝OC＝3，
在Rt△AOC中，AC＝，
又∵AC＝2BC，
∴BC＝，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD＝＝，
∴OD＝3+＝
∴B（，）代入y＝得：k＝，
故选：D．
4.（2019?广西）若点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
【答案】C．
【分析】k＜0，y随x值的增大而增大，（﹣1，y1）在第二象限，（2，y2），（3，y3）在第四象限，即可解题；
【解答】解：∵k＜0，
∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，
∴当x＝﹣1时，y1＞0，
∵2＜3，
∴y2＜y3＜y1
故选：C．
5.（2019?哈尔滨）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（4，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣4，﹣1） D．（，2）
【答案】A．
【分析】将点（﹣1，4）代入y＝，求出函数解析式即可解题；
【解答】解：将点（﹣1，4）代入y＝，
∴k＝﹣4，
∴y＝，
∴点（4，﹣1）在函数图象上，
故选：A．
6.（2019?武汉）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝﹣6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③若x1+x2＝0，则y1+y2＝0，其中真命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D．
【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．
∵△ACO的面积为3，
∴|k|＝6，
∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣6，正确，是真命题；
②∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，
∴在所在的每一个象限y随着x的增大而增大，
若x1＜0＜x2，则y1＞0＞y2，正确，是真命题；
③当A、B两点关于原点对称时，x1+x2＝0，则y1+y2＝0，正确，是真命题，
真命题有3个，
故选：D．
7.（2019?广州）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【答案】C．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，
又∵﹣6＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
8.（2019 河北中考）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A．
【分析】由函数解析式可知函数关于y轴对称，即可求解；
【解答】解：由已知可知函数y＝关于y轴对称，
所以点M是原点；
故选：A．
填空题
1.（2019 陕西中考）如图，D是矩形AOBC的对称中心，A（0，4），B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为 ．
【答案】（，4）．
【分析】根据矩形的性质求得C（6，4），由D是矩形AOBC的对称中心，求得D（3，2），设反比例函数的解析式为y＝，代入D点的坐标，即可求得k的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得M点的坐标．
【解答】解：∵A（0，4），B（6，0），
∴C（6，4），
∵D是矩形AOBC的对称中心，
∴D（3，2），
设反比例函数的解析式为y＝，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把y＝4代入得4＝，解得x＝，
故M的坐标为（，4）．
故答案为（，4）．
2.（2019?南通）如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y＝（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为 ．
【答案】4．
【分析】作CD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，根据待定系数法求得直线解析式，进而求得A的坐标，通过证得△EBC≌△FBA，得出CE＝AF，BE＝BF，设B（m，），则4﹣＝m﹣1，m﹣3＝，求得k＝4，得到反比例函数的解析式y＝，把x＝1代入求得函数值4，则a＝4﹣0＝4．
【解答】解：作CD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，
∵过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，
∴4＝2×3+b，解得b＝﹣2，
∴直线为y＝2x﹣2，
令y＝0，则求得x＝1，
∴A（1，0），
∵BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，
∴BE∥x轴，
∴∠ABE＝∠BAF，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠EBC＝∠ABF，
在△EBC和△FBA中
∴△EBC≌△FBA（AAS），
∴CE＝AF，BE＝BF，
设B（m，），
∵4﹣＝m﹣1，m﹣3＝，
∴4﹣（m﹣3）＝m﹣1，
解得m＝4，k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把x＝1代入得y＝4，
∴a＝4﹣0＝4，
∴a的值为4．
故答案为4．
3.（2019?日照）如图，已知动点A在函数的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的面积等于 ．
【答案】2.5π．
【分析】作DF⊥y轴于点D，EG⊥x轴于G，得到△GEM∽△DNF，于是得到＝＝4，设GM＝t，则DF＝4t，然后根据△AEF∽△GME，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解．
【解答】解：作DF⊥y轴于点D，EG⊥x轴于G，
∴△GEM∽△DNF，
∵NF＝4EM，
∴＝＝4，
设GM＝t，则DF＝4t，
∴A（4t，），
由AC＝AF，AE＝AB，
∴AF＝4t，AE＝，EG＝，
∵△AEF∽△GME，
∴AF：EG＝AE：GM，
即4t：＝：t，即4t2＝，
∴t2＝，
图中阴影部分的面积＝+＝2π+π＝2.5π，
故答案为：2.5π．
4.（2019?沈阳）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是 ．
【答案】2．
【分析】把点A（，2）代入y1＝k1x和y2＝（x＞0）可求出k1、k2的值，即可正比例函数和求出反比例函数的解析式，过点B作BD∥x轴交OA于点D，结合点B的坐标即可得出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），
∴2＝k1，2＝，
∴k1＝2，k2＝6，
∴正比例函数为y＝2x，反比例函数为：y＝，
∵点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，
∴y＝＝2，
∴B（3，2），
∴D（1，2），
∴BD＝3﹣1＝2．
∴S△AOB＝S△ABD+S△OBD＝×2×（2﹣2）+×2×2＝2，
故答案为2．
5.（2019?新疆）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象交于A（a，﹣4），B两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y＝交于P，Q两点（P点在第二象限），若以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是 ．
【答案】P（﹣4，2）或P（﹣1，8）．
【分析】先将y＝﹣4代入正比例函数y＝﹣2x，可得出x＝2，求得点A（2，﹣4），再根据点A与B关于原点对称，得出B点坐标，即可得出k的值；由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POB的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后表示出△POB的面积，由于△POB的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．
【解答】解：∵点A在正比例函数y＝﹣2x上，
∴把y＝﹣4代入正比例函数y＝﹣2x，
解得x＝2，∴点A（2，﹣4），
∵点A与B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣2，4），
把点A（2，﹣4）代入反比例函数y＝，得k＝﹣8，
∴反比例函数为y＝﹣，
∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP＝OQ，OA＝OB，
∴四边形AQBP是平行四边形，
∴S△POB＝S平行四边形AQBP×＝×24＝6，
设点P的横坐标为m（m＜0且m≠﹣2），
得P（m，﹣），
过点P、B分别做x轴的垂线，垂足为M、N，
∵点P、B在双曲线上，
∴S△POM＝S△BON＝4，
若m＜﹣2，如图1，
∵S△POM+S梯形PMNB＝S△POB+S△POM，
∴S梯形PMNB＝S△POB＝6．
∴（4﹣）?（﹣2﹣m）＝6．
∴m1＝﹣4，m2＝1（舍去），
∴P（﹣4，2）；
若﹣2＜m＜0，如图2，
∵S△POM+S梯形BNMP＝S△BOP+S△BON，
∴S梯形BNMP＝S△POB＝6．
∴（4﹣）?（m+2）＝6，
解得m1＝﹣1，m2＝4（舍去），
∴P（﹣1，8）．
∴点P的坐标是P（﹣4，2）或P（﹣1，8），
故答案为P（﹣4，2）或P（﹣1，8）．
6.（2019?兰州）如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，S矩形OABC＝6，则k＝ ．
【答案】6．
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：根据题意，知S＝|k|＝6，k＝±6，
又因为反比例函数位于第一象限，k＞0，
所以k＝6，
故答案为6．
7.如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是 （用含k的代数式表示）．
【答案】．
【分析】如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小．首先证明点A与点B关于直线y＝x对称，因为点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，AB＝4，所以可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），则（m+4）（﹣4）＝k，整理得k＝m2+4m，推出A（m，m+4），B（m+4，m），可得M（m+2，m+2），求出OM即可解决问题．
【解答】解：如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小，
∵M为线段AB的中点，
∴OA＝OB，
∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴点A与点B关于直线y＝x对称，
∵AB＝4，
∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），
∴（m+4）（﹣4）＝k，
整理得k＝m2+4m，
∴A（m，m+4），B（m+4，m），
∴M（m+2，m+2），
∴OM＝＝＝，
∴OM的最小值为．
故答案为．
8.（2019 山东济南中考模拟）已知：如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A，与x交于点B，AC⊥x轴于点C，连结OA．
（1）若a＝，b＝2，且OA平分∠BAC时，k＝ ；
（2）当a＝1，b＝2，k＝8时，点P（t，0）是x轴上的一个动点，如果∠APO≤∠BAO，则t的取值范围是 ．
【答案】（1）3．（2）t≤﹣10或t≥14．
【分析】（1）由一次函数的解析式可得出∠ABC及点B的坐标，由AC⊥x轴可得出∠BAC的度数，结合OA平分∠BAC可得出∠BAO＝∠ABO，利用等腰三角形的性质可得出OA＝OB，在Rt△AOC中，通过解含30度角的直角三角形可得出OC，AC的长度，再利用反比例函数k的几何意义，即可求出k值；
（2）由点A为直线AB与反比例函数图象的交点，结合k的值可求出点A的坐标，当点P在点C的左侧时作∠PAO＝45°，边PA交x轴于点P，过点O作OE⊥AB于点E，过点B作BF⊥AP于点F，通过角的计算可得出∠APO＝∠BAO，由直线AB的解析式利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，进而可得出OB，OE的长度，结合点A的坐标可得出AB，OC，OA的长度，再由∠PAB＝∠OAC，∠APO＝∠BAO结合正弦的定义可求出BP的长度，进而可得出t的值，由∠APO≤∠BAO可得出此时t的取值范围；当点P在点C的右侧，且∠APO＝∠BAO时，利用对称性可求出CP的长度，进而可得出t的值，由∠APO≤∠BAO可得出此时t的取值范围．综上此题得解．
【解答】解：（1）∵一次函数的解析式为y＝x+2，
∴∠ABC＝30°，点B的坐标为（﹣2，0）
又∵AC⊥x轴，
∴∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．
∵OA平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠OAC＝∠BAC＝30°＝∠ABO，
∴OA＝OB＝2．
在Rt△AOC中，∠ACO＝90°，∠OAC＝30°，
∴OC＝OA＝，AC＝＝3，
∴点A的坐标为（，3）．
∵点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝×3＝3．
故答案为：3．
（2）∵点A在直线y＝x+2上，
∴设点A的坐标为（m，m+2）．
又∵点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝m（m+2）＝8，
∴m1＝2，m2＝﹣4（舍去），
∴点A的坐标为（2，4）．
当点P在点C的左侧时，作∠PAO＝45°，边PA交x轴于点P，过点O作OE⊥AB于点E，过点B作BF⊥AP于点F，如图所示．
∵∠PAB+∠BAO＝45°，∠BAO+∠OAC＝45°，
∴∠PAB＝∠OAC，
又∵∠ABC＝∠APO+∠PAB＝45°，
∴∠APO＝45°﹣∠PAO＝∠BAO．
∵直线AB的解析式为y＝x+2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
∴OB＝2，OE＝．
∵点A的坐标为（2，4），
∴OC＝2，AO＝＝2，AB＝AC＝4．
∵∠PAB＝∠OAC，
∴＝，即＝，
∴BF＝．
∵∠APO＝∠BAO，
∴＝，即＝，
∴BP＝8，
∴t＝﹣2﹣8＝﹣10，
∴当t≤﹣10时，∠APO≤∠BAO；
当点P在点C的右侧，且∠APO＝∠BAO时，由对称性可知：CP＝2﹣（﹣10）＝12，
∴OP＝OC+CP＝14，
∴当t≥14时，∠APO≤∠BAO．
综上所述：如果∠APO≤∠BAO，则t的取值范围是t≤﹣10或t≥14．
故答案为：t≤﹣10或t≥14．
解答题
1.（2019?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
【分析】（1）联立方程求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）联立方程求得交点B的坐标，进而求得直线与x轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）由得，
∴A（﹣2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数的表达式是y＝﹣；
（2）解得或，
∴B（﹣8，1），
由直线AB的解析式为y＝x+5得到直线与x轴的交点为（﹣10，0），
∴S△AOB＝×10×4﹣×10×1＝15．
2.（2019?广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．
【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，
解得：m＝﹣2，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；
将点P（﹣1，2）代入y＝，得：2＝﹣（n﹣3），
解得：n＝1，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点A的坐标为（1，﹣2）．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），
∴AE＝2，OE＝1，AO＝＝．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．
3.（2019?威海）（1）阅读理解
如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．
小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG＝2CF，CF＞DF
由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：
若n＞1，则 +＞ ．
（2）证明命题
小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明（1）中的命题．
【分析】（1）求出AE，BG，DF，利用AE+BG＝2CF，可得+＞．
（2）方法一利用求差法比较大小，方法二：利用求商法比较大小．
【解答】解：（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，
∴+＞．
故答案为：+＞．
（2）方法一：∵+﹣＝＝，
∵n＞1，
∴n（n﹣1）（n+1）＞0，
∴+﹣＞0，
∴+＞．
方法二：∵＝＞1，
∴+＞．
4.（2019?呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若反比例函数y＝的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，并直接写出kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件求出矩形的边长，得A点坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式，根据反比例函数的性质比较y1与y2的大小；
（2）用待定系数求得一次函数的解析式，再求一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标便可根据函数图象的位置关系求得不等式的解集．
【解答】解：（1）根据题意得：OB+OC＝7，OB2+OC2＝52，
∵OC＞OB，
∴OB＝3，OC＝4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函数y＝中，得m＝3×4＝12，
∴反比例函数为：y＝，
∵点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，
∴﹣a≠0，且a+1≠0，
∴a≠﹣1，且a≠0，
∴当a＜﹣1时，﹣a＞0，a+1＜0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第一象限和第三象限的反比例函数的图象上，于是有y1＞y2；
当﹣1＜a＜0时，﹣a＞0，a+1＞0，若﹣a＞a+1，即﹣1＜a＜﹣时，y1＜y2，若﹣a＝a+1，即a＝﹣时，y1＝y2，若﹣a＜a+1，即﹣＜a＜0时，y1＞y2；
当a＞0时，﹣a＜0，a+1＞0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第三象限和第一象限的反比例函数的图象上，于是有y1＜y2；
综上，当a＜﹣1时，y1＞y2；当﹣1＜a＜﹣时，y1＜y2；当a＝﹣时，y1＝y2；当﹣＜a＜0时，y1＞y2；当a＞0时，y1＜y2．
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，4）并与x轴交于点（﹣1，0），
∴，解得，，
∴一次函数的解析式为：y＝x+1；
解方程组，得，，
∴一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于两点（﹣4，﹣3）和（3，4），
当一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y＝的图象下方时，x＜﹣4或0＜x＜3，
∴kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围：x＜﹣4或0＜x＜3．
5.（2019 辽宁大连中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在OA的廷长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若S△ACD＝，设点C的坐标为（a，0），求线段BD的长．
【分析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y＝，即可求出函数解析式；
（2）直线OA的关系式可求，由于点C（a，0），可以表示点B、D的坐标，根据S△ACD＝，建立方程可以解出a的值，进而求出BD的长．
【解答】解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数y＝；
答：反比例函数的关系式为：y＝；
（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，连接AC，
设直线OA的关系式为y＝kx，将A（3，2）代入得，k＝，
∴直线OA的关系式为y＝x，
∵点C（a，0），把x＝a代入y＝x，得：y＝a，把x＝a代入y＝，得：y＝，
∴B（a，），即BC═a，
D（a，），即CD＝
∵S△ACD＝，
∴CD?EC＝，即，解得：a＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝＝3；
答：线段BD的长为3．
6.（2019 江苏徐州中考）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图，作PM⊥OA于 M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，利用勾股定理求出a，b之间的关系，求出OC，OD即可解决问题．
（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，可得AB＝6﹣a﹣b，推出OA+OB+AB＝6，可得a+b+＝6，利用基本不等式即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．
∴∠PMA＝∠PHA＝90°，
∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，
∴△PAM≌△PAH（AAS），
∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，
同理可证：△BPN≌△BPH，
∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴∠MPN＝90°，
∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝（∠MPH+∠NPH）＝45°，
∵PM＝PN，
∴可以假设P（m，m），
∵P（m，m）在y＝上，
∴m2＝9，
∵m＞0，
∴m＝3，
∴P（3，3）．
（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∵AB2＝OA2+OB2，
∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，
可得ab＝6a+6b﹣18，
∴3a+3b﹣9＝ab，
∵PM∥OC，
∴＝，
∴＝，
∴OC＝，同法可得OD＝，
∴S△COD＝?OC?DO＝?＝?＝?＝9．
解法二：证明△COP∽△POD，得OC?OD＝OP2＝18，可求△COD的面积等于9．
（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∴OA+OB+AB＝6，
∴a+b+＝6，
∴2+≤6，
∴（2+）≤6，
∴≤3（2﹣），
∴ab≤54﹣36，
∴S△AOB＝ab≤27﹣18，
∴△AOB的面积的最大值为27﹣18．
7.（2019 河南中考）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，即可求解；
（4）由（3）可得．
【解答】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+得：
2＝﹣2+，解得：m＝8，
即：0个交点时，m＜8；1个交点时，m＝8； 2个交点时，m＞8；
②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，
联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，
△＝m2﹣4×4≥0时，两个函数有交点，
解得：m≥8；
（4）由（3）得：m≥8．
8.（2016 河北中考）如图，抛物线L：y＝﹣（x﹣t）（x﹣t+4）（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于点P，且OA?MP＝12，
（1）求k值；
（2）当t＝1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；
（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）设点P（x，y），只要求出xy即可解决问题．
（2）先求出A、B坐标，再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题．
（3）根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP左侧，L的顶点就是最高点，当对称轴在MP右侧，L于MP的交点就是最高点．
（4）画出图形求出C、D两点的纵坐标，利用方程即可解决问题．
【解答】解：（1）设点P（x，y），则MP＝y，由OA的中点为M可知OA＝2x，代入OA?MP＝12，
得到2x?y＝12，即xy＝6．
∴k＝xy＝6．
（2）当t＝1时，令y＝0，0＝﹣（x﹣1）（x+3），
解得x＝1或﹣3，
∵点B在点A左边，
∴B（﹣3，0），A（1，0）．
∴AB＝4，
∵L是对称轴x＝﹣1，且M为（，0），
∴MP与L对称轴的距离为．
（3）∵A（t，0），B（t﹣4，0），
∴L的对称轴为x＝t﹣2，
又∵OM为x＝，
当t﹣2≤，即t≤4时，顶点（t﹣2，2）就是G的最高点．
当t＞4时，L与MP的解得（，﹣t2+t）就是G的最高点．
（4）结论：5≤t≤8﹣或7≤t≤8+．
理由：对双曲线，当4≤x0≤6时，1≤y0≤，即L与双曲线在C（4，），D（6，1）之间的一段有个交点．
①由＝﹣（4﹣t）（4﹣t+4）解得t＝5或7．
②由1＝﹣（6﹣t）（6﹣t+4）解得t＝8+和8﹣．
随t的逐渐增加，L的位置随着A（t，0）向右平移，如图所示，
当t＝5时，L右侧过过点C．
当t＝8﹣＜7时，L右侧过点D，即5≤t≤8﹣．
当8﹣＜t＜7时，L右侧离开了点D，而左侧未到达点C，即L与该段无交点，舍弃．
当t＝7时，L左侧过点C．当t＝8+时，L左侧过点D，即7≤t≤8+．
综上所述，满足条件的t的值，5≤t≤8﹣或7≤t≤8+．
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