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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第14讲 几何初步、相交线、平行线（提高版）
【学生版】
一、考点知识梳理
【考点1 线段与直线】
1．线段：
(1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线．
(2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．
(3)线段的和与差：已知两条线段a和b，且a>b，在直线l上画线段AB＝a，BC＝b，则线段AC就是线段a与b的和，即AC＝a＋b．
在直线l上画线段AB＝a，在AB上画线段AD＝b，则线段DB就是线段a与b的差，即DB＝a－b.
(4)线段的中点：如图③，线段AB上的一点M，把线段AB分成两条线段AM与MB.如果AM＝MB，那么点M就叫做线段AB的中点，此时有AM＝MB＝AB，AB＝2AM＝2MB.
2．直线：
(1)定义：沿线段向两方无限延伸所形成的图形．
(2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．
3.射线：把线段向一方无限延伸所形成的图形.
【考点2 角及角平分线】
1.角的分类：
周角、平角、直角之间的关系和度数
1周角＝2平角＝4直角＝360°，
1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，
1°＝60′，1′＝60″，1′＝°，1″＝′.
2．角平分线的概念及性质：
(1)定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线．
(2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
(3)判定：到角两边距离相等的点在角平分线上．
3．余角、补角与邻补角：
(1)余角：
①如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角；
②同角(等角)的余角相等．
(2)补角：
①如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角；
②同角(等角)的补角相等．
(3)邻补角：
①两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角；
②互为邻补角的两个角的和为180°.
【考点3 相交、垂线及其性质】
1.相交线三线八角(如图)
同位角：∠1与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7.
内错角：∠2与∠8，∠3与∠5.
同旁内角：∠3与∠8，∠2与∠5．
对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8．
2.垂线及其性质
(1)定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
(2)基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．
(3)性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
(4)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度．
(5)线段垂直平分线：
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【考点4 平行线的判定及性质】
1.平行线的判定及性质
定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
两条平行线之间的距离处处相等．
性质：
(1)两直线平行，同位角相等，即∠1＝∠2；
(2)两直线平行，内错角相等，即∠2＝∠3；
(3)两直线平行，同旁内角互补，即∠3＋∠4＝180°.
判定：
(1)基本事实：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；
(2)同位角相等，两直线平行；
(3)内错角相等，两直线平行；
(4)同旁内角互补，两直线平行；
(5)平行于同一条直线的两条直线平行．
【考点5 命题与定理】
命题与定理
命题：判断一件事情的句子叫做命题，命题由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题．
假命题：题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．
定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，推理过程叫做证明．
考点分析
【考点1 线段与直线】
【解题技巧】直线可以看作是线段向两个方向无限延伸的，而射线可以看作是线段向一个方向无限延伸的；线段的中点是解决有“边”的图形的度量问题、大小问题、长短问题等的基础。
【例1】（2019 吉林中考）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【举一反三1-1】（2019?广州）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是 cm．
【举一反三1-2】（2019?日照）如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为 cm．
【举一反三1-3】（2019 河南开封中考模拟）如图，点C在线段AB上，AC：BC＝3：2，点M是AB的中点，点N是BC的中点，若MN＝3cm，求线段AB的长．
【考点2 角及角平分线】
【解题技巧】1.度、分、秒的加减运算：在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
2.度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
3.余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
【例2】（2019浙江宁波中考模拟）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A．20° B．30° C．45° D．50°
【举一反三2-1】（2019 河北石家庄中考模拟）（改成选择题）如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，求∠2的度数．
【举一反三2-2】（2019 河北沧州中考模拟）一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？
【举一反三2-3】（2019 山东青岛中考模拟）如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED＝∠BDE，试说明：EF是∠AED的平分线．
【考点3 相交、垂线及其性质】
【解题技巧】1.垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
2.实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
3.点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
【例3】（2019 河北唐山中考模拟）如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，则∠2的度数（ ）．
A．45° B．60° C．50° D．30°
【举一反三3-1】（2019 山东淄博中考模拟）（填空题）如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCB＝35°，求∠ACB的度数；
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数．
【举一反三3-2】（2019 河北沧州中考模拟）（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E＝∠ABE+∠CDE．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
【举一反三3-3】（2019河南郑州中考模拟）如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求a与b的距离．
【考点4 平行线的判定及性质】
【解题技巧】利用平行线性质和判定求角度：先观察要求角与已知角的位置关系，再选择合理的角度进行等量代换，因此需要熟练掌握平行线的性质和判定．另外在解题中要注意平角、直角及三角形内角和、三角形内外角关系等知识的运用．
【例4】（2019 海南中考）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
【举一反三4-1】（2019 河南中考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（ ）
A．45° B．48° C．50° D．58°
【举一反三4-2】（2019 广东中考）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝ ．
【举一反三4-3】（2019 湖北孝感中考）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【举一反三4-4】（2019 河北中考）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是（ ）
A．◎代表∠FEC B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
【考点5 命题与定理】
【解题技巧】掌握命题的概念.知道命题由“条件”和“结论”两部分组成，能够初步区分命题的条件和结论，能把命题改写成“如果……那么……”的形式.我们发现由观察、实验、归纳和类比等方法得出的命题，可能是真命题，也可能是假命题. 凡是我们学过的定理、定义、性质等都是真命题。
【例5】（2019 北京中考）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【举一反三5-1】（2019 上海中考）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
【举一反三5-2】（2019 重庆中考）下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
【举一反三5-3】（2019?呼和浩特）下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 江苏南京中考）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵ ，∴a∥b．
2.（2019 山西中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
3.（2019 陕西中考）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（ ）
A．52° B．54° C．64° D．69°
4.（2019?济南）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
5.（2019?日照）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6.（2019?青海）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两个三角板的一直角边重合，含30°角的三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
7.（2019?宁夏）如图，在△ABC中AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．70°
8.（2019?新疆）如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40° B．50° C．130° D．150°
填空题
1.（2019 吉林中考）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝ °．
2.（2019 辽宁大连中考））如图AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝ °．
3.（2019 云南中考）如图，若AB∥CD，∠1＝40度，则∠2＝ 度．
4.（2019?长春）如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为 度．
5.（2019?威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1＝23°，则∠2＝ °．
6.（2019 河北衡水中考模拟）（填空题）已知：如图所示，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A+∠1＝70°，求：∠D的度数是 ．
7.（2019 山东德州中考模拟）（填空题）如图，点C在线段AB上，AC：BC＝3：2，点M是AB的中点，点N是BC的中点，若MN＝3cm，则线段AB的长是 ．
8.（2019 湖北中考黄石模拟）（填空题）已知线段AB上有两点C、D，使得AC：CD：DB＝1：2：3，M、N也在线段AB上，且M是AC的中点，DN＝，AB＝48，则MN的长是 ．
解答题
1.（2019 浙江温州中考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
2.（2019 重庆中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
3.（2019?武汉）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．
4.（2016 河北中考）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
5.（2019 河北张家口中考模拟）如图，AB∥DE，∠EFC＝∠ACB，∠CAB＝∠BAD，试说明：AD∥BC.
6.（2019 河北秦皇岛中考模拟）将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．
（1）如图①，若∠AOB＝155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数．
（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论．
（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．
7.（2019 辽宁大连中考模拟）如图，已知点C，D在线段AB上，M、N分别是AC、BD的中点，若AB＝20，CD＝4，
（1）求MN的长．
（2）若AB＝a，CD＝b，请用含有a、b的代数式表示出MN的长．
8.（2019?南通）定义：若实数x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）．
（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点 是“线点”；
（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；
（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．
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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第14讲 几何初步、相交线、平行线（解析版）
【教师版】
一、考点知识梳理
【考点1 线段与直线】
1．线段：
(1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线．
(2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．
(3)线段的和与差：已知两条线段a和b，且a>b，在直线l上画线段AB＝a，BC＝b，则线段AC就是线段a与b的和，即AC＝a＋b．
在直线l上画线段AB＝a，在AB上画线段AD＝b，则线段DB就是线段a与b的差，即DB＝a－b.
(4)线段的中点：如图③，线段AB上的一点M，把线段AB分成两条线段AM与MB.如果AM＝MB，那么点M就叫做线段AB的中点，此时有AM＝MB＝AB，AB＝2AM＝2MB.
2．直线：
(1)定义：沿线段向两方无限延伸所形成的图形．
(2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．
3.射线：把线段向一方无限延伸所形成的图形.
【考点2 角及角平分线】
1.角的分类：
周角、平角、直角之间的关系和度数
1周角＝2平角＝4直角＝360°，
1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，
1°＝60′，1′＝60″，1′＝°，1″＝′.
2．角平分线的概念及性质：
(1)定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线．
(2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
(3)判定：到角两边距离相等的点在角平分线上．
3．余角、补角与邻补角：
(1)余角：
①如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角；
②同角(等角)的余角相等．
(2)补角：
①如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角；
②同角(等角)的补角相等．
(3)邻补角：
①两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角；
②互为邻补角的两个角的和为180°.
【考点3 相交、垂线及其性质】
1.相交线三线八角(如图)
同位角：∠1与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7.
内错角：∠2与∠8，∠3与∠5.
同旁内角：∠3与∠8，∠2与∠5．
对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8．
2.垂线及其性质
(1)定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
(2)基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．
(3)性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
(4)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度．
(5)线段垂直平分线：
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【考点4 平行线的判定及性质】
1.平行线的判定及性质
定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
两条平行线之间的距离处处相等．
性质：
(1)两直线平行，同位角相等，即∠1＝∠2；
(2)两直线平行，内错角相等，即∠2＝∠3；
(3)两直线平行，同旁内角互补，即∠3＋∠4＝180°.
判定：
(1)基本事实：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；
(2)同位角相等，两直线平行；
(3)内错角相等，两直线平行；
(4)同旁内角互补，两直线平行；
(5)平行于同一条直线的两条直线平行．
【考点5 命题与定理】
命题与定理
命题：判断一件事情的句子叫做命题，命题由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题．
假命题：题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．
定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，推理过程叫做证明．
考点分析
【考点1 线段与直线】
【解题技巧】直线可以看作是线段向两个方向无限延伸的，而射线可以看作是线段向一个方向无限延伸的；线段的中点是解决有“边”的图形的度量问题、大小问题、长短问题等的基础。
【例1】（2019 吉林中考）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【答案】A．
【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．
【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．
故选：A．
【举一反三1-1】（2019?广州）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是 cm．
【答案】5．
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
【解答】解：∵PB⊥l，PB＝5cm，
∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，
故答案为：5．
【举一反三1-2】（2019?日照）如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为 cm．
【答案】5．
【分析】先根据中点定义求BC的长，再利用线段的差求CD的长．
【解答】解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，
∴BC＝AB＝×8＝4（cm），
∵BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），
则CD的长为1cm；
故答案为：1．
【举一反三1-3】（2019 河南开封中考模拟）如图，点C在线段AB上，AC：BC＝3：2，点M是AB的中点，点N是BC的中点，若MN＝3cm，求线段AB的长．
【分析】设AC＝3x，BC＝2x，得到AB＝5x，根据点M是AB的中点，点N是BC的中点，列方程即可得到结论．
【解答】解：∵AC：BC＝3：2，
∴设AC＝3x，BC＝2x，
∴AB＝5x，
∵点M是AB的中点，点N是BC的中点，
∴BM＝2.5x，BN＝x，
∴MN＝BM﹣BN＝1.5x＝3，
∴x＝2，
∴AB＝10cm．
【考点2 角及角平分线】
【解题技巧】1.度、分、秒的加减运算：在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
2.度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
3.余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
【例2】（2019浙江宁波中考模拟）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A．20° B．30° C．45° D．50°
【答案】D．
【分析】由平行线的性质得∠2＝∠ABC＋∠1，再用角的和差计算即可．
【解析】∵m∥n
∴∠2＝∠ABC＋∠1
∴∠2＝30°＋20°
∴∠2＝50°
故选：50°．
【举一反三2-1】（2019 河北石家庄中考模拟）（改成选择题）如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，求∠2的度数．
【分析】先根据补角的定义求出∠BAD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°﹣∠1
＝180°﹣90°﹣30°
＝60°，
∵EF∥AD，
∴∠2＝∠BAD＝60°．
【举一反三2-2】（2019 河北沧州中考模拟）一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？
【分析】先根据余角的定义列出一个方程，然后求解．
【解答】设这个角为x.
由题意，得180°－x－24°＝3(90°－x)，
解得x＝57°.
答：这个角的度数为57°.
【举一反三2-3】（2019 山东青岛中考模拟）如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED＝∠BDE，试说明：EF是∠AED的平分线．
【分析】结合角的平分线定义，运用平行线的判定证明EF∥BD，从而有∠AEF＝∠ABD，根据平行线的性质及等量代换可得∠AEF＝∠DEF，即EF是∠AED的平分线．
【解答】证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC.
∵ED∥BC，∴∠BDE＝∠DBC.
∴∠ABD＝∠BDE.
∵∠FED＝∠BDE，
∴EF∥BD，∠ABD＝∠FED.
∴∠AEF＝∠ABD.
∴∠AEF＝∠FED.
∴EF是∠AED的平分线．
【考点3 相交、垂线及其性质】
【解题技巧】1.垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
2.实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
3.点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
【例3】（2019 河北唐山中考模拟）如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，则∠2的度数（ ）．
A．45° B．60° C．50° D．30°
【答案】
【分析】先根据补角的定义求出∠BAD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°﹣∠1
＝180°﹣90°﹣30°
＝60°，
∵EF∥AD，
∴∠2＝∠BAD＝60°．
故选：B．
【举一反三3-1】（2019 山东淄博中考模拟）（填空题）如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCB＝35°，求∠ACB的度数；
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数．
【分析】（1）根据角的和差关系可直接得到∠ACB＝90°+35°＝125°；
（2）首先计算出∠BCD的度数，然后再根据∠ABCE＝90°可得∠ECD的度数．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝90°，∠DCB＝35°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB
＝90°+35°
＝125°，
（2）∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD
＝140°﹣90°
＝50°，
又∵∠ECB＝90°
∴∠ECD＝∠ECB﹣∠DCB
＝90°﹣50°
＝40°．
【举一反三3-2】（2019 河北沧州中考模拟）（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E＝∠ABE+∠CDE．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）利用平行线的性质即可得出结论；
（2）先判断出∠EBD+∠EDB＝180°﹣（∠ABE+∠CDE），进而得出∠DBF+∠BDF＝90°﹣（∠ABE+∠CDE），最后用三角形的内角和即可得出结论；
（3）先由（1）知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
过点E作EH∥AB，
∴∠BEH＝∠ABE，
∵EH∥AB，CD∥AB，
∴EH∥CD，
∴∠DEH＝∠CDE，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝∠ABE+∠CDE；
（2）2∠F﹣（∠ABE+∠CDE）＝180°，
理由：由（1）知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∵∠EDB+∠EBD+∠BED＝180°，
∴∠EBD+∠EDB＝180°﹣∠BED＝180°﹣（∠ABE+∠CDE），
∵BF，DF分别是∠DBE，∠BDE的平分线，
∴∠EBD＝2∠DBF，∠EDB＝2∠BDF，
∴2∠DBF+2∠BDF＝180°﹣（∠ABE+∠CDE），
∴∠DBF+∠BDF＝90°﹣（∠ABE+∠CDE），
在△BDF中，∠F＝180°﹣（∠DBF+∠BDF）＝180°﹣[90°﹣（∠ABE+∠CDE）]＝90°+（∠ABE+∠CDE），
即：2∠F﹣（∠ABE+∠CDE）＝180°；
（3）2∠G＝∠ABE+∠CDE，理由：如图3，
由（1）知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∵BG是∠EBD的平分线，
∴∠DBE＝2∠DBG，
∵DG是∠EDP的平分线，
∴∠EDP＝2∠GDP，
∴∠BED＝∠EDP﹣∠DBE＝2∠GDP﹣2∠DBG＝2（∠GDP﹣∠DBG），
∴∠GDP﹣∠DBG＝∠BED＝（∠ABE+∠CDE）
∴∠G＝∠GDP﹣∠DBG＝（∠ABE+∠CDE），
∴2∠G＝∠ABE+∠CDE．
【举一反三3-3】（2019河南郑州中考模拟）如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求a与b的距离．
【分析】（1）依据直线a∥b，AC⊥AB，即可得到∠2＝90°﹣∠3＝30°；
（2）过A作AD⊥BC于D，依据×AB×AC＝×BC×AD，即可得到AD＝＝．
【解答】解：（1）∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝60°，
又∵AC⊥AB，
∴∠2＝90°﹣∠3＝30°；
（2）如图，过A作AD⊥BC于D，则AD的长即为a与b之间的距离．
∵AC⊥AB，
∴×AB×AC＝×BC×AD，
∴AD＝＝，
∴a与b的距离为．
【考点4 平行线的判定及性质】
【解题技巧】利用平行线性质和判定求角度：先观察要求角与已知角的位置关系，再选择合理的角度进行等量代换，因此需要熟练掌握平行线的性质和判定．另外在解题中要注意平角、直角及三角形内角和、三角形内外角关系等知识的运用．
【例4】（2019 海南中考）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
【答案】C．
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，
∴AC＝AB，
∴∠CBA＝∠BCA＝70°，
∵l1∥l2，
∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：C．
【举一反三4-1】（2019 河南中考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（ ）
A．45° B．48° C．50° D．58°
【答案】B．
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1，
∵∠1＝∠D+∠E，
∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，
故选：B．
【举一反三4-2】（2019 广东中考）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝ ．
【答案】105°
【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可．
【解答】解：∵直线L直线a，b相交，且a∥b，∠1＝75°，
∴∠3＝∠1＝75°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．
故答案为：105°
【举一反三4-3】（2019 湖北孝感中考）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B．
【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CAB＝70°，
∵BC⊥l3交l1于点B，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
故选：B．
【举一反三4-4】（2019 河北中考）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是（ ）
A．◎代表∠FEC B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
【答案】C．
【分析】根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．
【解答】证明：延长BE交CD于点F，
则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．
故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故选：C．
【考点5 命题与定理】
【解题技巧】掌握命题的概念.知道命题由“条件”和“结论”两部分组成，能够初步区分命题的条件和结论，能把命题改写成“如果……那么……”的形式.我们发现由观察、实验、归纳和类比等方法得出的命题，可能是真命题，也可能是假命题. 凡是我们学过的定理、定义、性质等都是真命题。
【例5】（2019 北京中考）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D．
【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜，真命题；
②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；
③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；
∴组成真命题的个数为3个；
故选：D．
【举一反三5-1】（2019 上海中考）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
【答案】D．
【分析】利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、矩形的对角线相等，正确，是真命题；
B、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；
C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；
D、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，
故选：D．
【举一反三5-2】（2019 重庆中考）下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A．
【分析】根据矩形的判定方法判断即可．
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；
B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
故选：A．
【举一反三5-3】（2019?呼和浩特）下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ．
【答案】①②．
【分析】由全等三角形的判定方法得出①②正确，③不正确．
【解答】解：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；
理由：已知：如图1，2，在△ABC和△A'B'C'中，AB＝AC，A'B'＝A'C'，BC＝BC，∠A＝∠A'，
求证：△ABC≌△A'B'C'，
证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
同理：∠B'＝90°﹣∠A'，
∵∠A＝∠A'，
∴∠B＝∠B'，
∵BC＝B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）
②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；
理由：已知：如图3，4
在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，且AD＝A'D'，AB＝A'B'，BC＝B'C'，
求证：△ABC≌△A'B'C'
证明：∵AD，A'D'是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴BD＝BC，B'D'＝B'C'，
∵BC＝B'C'，
∴BD＝B'D'，
∵AB＝A'B'，AD＝A'D'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）
③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；
例如：两直角三角形的斜边都是10，斜边的中线都是5，而其中一个直角三角形的两锐角是30°和60°，另一个直角三角形的两锐角是40°和50°
故答案为：①②．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 江苏南京中考）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵ ，∴a∥b．
【答案】∠1+∠3＝180°．
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：∠1+∠3＝180°．
2.（2019 山西中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C．
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，
∴∠ACB＝75°，
在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，
∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，
∵a∥b，
∴∠AED＝∠2+∠ACB，
∴∠2＝115°﹣75°＝40°，
故选：C．
3.（2019 陕西中考）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（ ）
A．52° B．54° C．64° D．69°
【答案】C．
【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠BOC＝64°，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．
【解答】解：∵l∥OB，
∴∠1+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝128°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝64°，
又l∥OB，且∠2与∠BOC为同位角，
∴∠2＝64°，
故选：C．
4.（2019?济南）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
【答案】B．
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠ABC＝70°，再根据角平分线的定义可得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝35°，
故选：B．
5.（2019?日照）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C．
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝35°，
∴∠3＝35°．
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝55°．
故选：C．
6.（2019?青海）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两个三角板的一直角边重合，含30°角的三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】A．
【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°．
【解答】解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1＝∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3＝∠4＝30°，
而∠2+∠3＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠1＝15°．
故选：A．
7.（2019?宁夏）如图，在△ABC中AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．70°
【答案】C．
【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝CB，∠C＝40°，
∴∠BAC＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣70°）＝55°，
∵GH∥DE，
∴∠GAD＝∠ADE＝55°，
故选：C．
8.（2019?新疆）如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40° B．50° C．130° D．150°
【答案】C．
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠A＝50°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
填空题
1.（2019 吉林中考）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝ °．
【答案】C．
【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED＝∠C＝50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠CED＝∠C＝50°，
又∵∠BAC＝70°，
∴△ABC中，∠B＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
故答案为：60．
2.（2019 辽宁大连中考））如图AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝ °．
【答案】130．
【分析】首先根据平行线的性质可得∠B＝∠C＝50°，再根据BC∥DE可根据两直线平行，同旁内角互补可得答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵BC∥DE，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130．
3.（2019 云南中考）如图，若AB∥CD，∠1＝40度，则∠2＝ 度．
【答案】140．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据邻补角的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝40°，
∴∠3＝∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140．
4.（2019?长春）如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为 57 度．
【答案】57．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABD的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵直线MN∥PQ，
∴∠MAB＝∠ABD＝33°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CDB＝90°﹣33°＝57°．
故答案为：57．
5.（2019?威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1＝23°，则∠2＝ °．
【答案】68．
【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠C＝45°，由三角形的外角性质得出∠AGB＝68°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．
【解答】解：∵△ABC是含有45°角的直角三角板，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵∠1＝23°，
∴∠AGB＝∠C+∠1＝68°，
∵EF∥BD，
∴∠2＝∠AGB＝68°；
故答案为：68．
6.（2019 河北衡水中考模拟）（填空题）已知：如图所示，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A+∠1＝70°，求：∠D的度数是 ．
【答案】55°．
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠1，求出∠1，即可求出∠ECD，根据垂直求出∠DEC，即可求出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
∵∠A+∠1＝70°，
∴∠1＝∠A＝35°，
∴∠ECD＝∠1＝35°，
∵DE⊥AE，
∴∠DEC＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠DEC﹣∠ECD＝55°．
故答案为：55°．
7.（2019 山东德州中考模拟）（填空题）如图，点C在线段AB上，AC：BC＝3：2，点M是AB的中点，点N是BC的中点，若MN＝3cm，则线段AB的长是 ．
【答案】10cm．
【分析】设AC＝3x，BC＝2x，得到AB＝5x，根据点M是AB的中点，点N是BC的中点，列方程即可得到结论．
【解答】解：∵AC：BC＝3：2，
∴设AC＝3x，BC＝2x，
∴AB＝5x，
∵点M是AB的中点，点N是BC的中点，
∴BM＝2.5x，BN＝x，
∴MN＝BM﹣BN＝1.5x＝3，
∴x＝2，
∴AB＝10cm．
故答案为：10cm．
8.（2019 湖北中考黄石模拟）（填空题）已知线段AB上有两点C、D，使得AC：CD：DB＝1：2：3，M、N也在线段AB上，且M是AC的中点，DN＝，AB＝48，则MN的长是 ．
【答案】10cm．
【分析】先作出图形，根据线段之间的关系求出MC＝4，DN＝6，然后求出MN的长度即可．
【解答】解：∵线段AB＝48，AC：CD：DB＝1：2：3，
∴AC＝8，CD＝16，DB＝24，
∵点M是AC的中点，DN＝，
∴MC＝4，DN＝6，
如图1，
∴MN＝MC+CD+DN＝4+16+6＝26．
如图2，
∴MN＝MC+CD﹣DN＝4+16﹣6＝14．
故MN的长为26或14．
解答题
1.（2019 浙江温州中考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝2，
∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3．
2.（2019 重庆中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
3.（2019?武汉）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．
【分析】根据平行线的性质可得∠ACE＝∠D，又∠A＝∠1，利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出∠E＝∠F．
【解答】解：∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
∵∠A＝∠1，
∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，
又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，
∴∠E＝∠F．
4.（2016 河北中考）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
【分析】（1）先证明BC＝EF，再根据SSS即可证明．
（2）结论AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明．
【解答】（1）证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝FC+CE，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
（2）结论：AB∥DE，AC∥DF．
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，
∴AB∥DE，AC∥DF．
5.（2019 河北张家口中考模拟）如图，AB∥DE，∠EFC＝∠ACB，∠CAB＝∠BAD，试说明：AD∥BC.
【分析】本题综合考查了角平分线定义，平行线的性质与判定等知识点
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠EFC.
∵∠EFC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠BAC.
∵∠CAB＝∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC.
∴∠ACB＝∠DAC.∴AD∥BC.
6.（2019 河北秦皇岛中考模拟）将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．
（1）如图①，若∠AOB＝155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数．
（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论．
（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．
【分析】（1）先计算出∠AOD＝∠BOC＝155°﹣90°＝65°，再根据∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°即可求解；
（2）根据余角的性质可得∠AOD＝∠BOC，根据角的和差关系可得∠AOB+∠DOC＝180°；
（3）利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，而∠AOC＝∠BOD＝90°，即可得到∠AOB+∠DOC＝180°．
【解答】解：（1）∠AOD＝∠BOC＝155°﹣90°＝65°，
∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；
（2）∠AOD＝∠BOC，
∠AOB+∠DOC＝180°；
（3）∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，
∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB+∠DOC＝180°．
7.（2019 辽宁大连中考模拟）如图，已知点C，D在线段AB上，M、N分别是AC、BD的中点，若AB＝20，CD＝4，
（1）求MN的长．
（2）若AB＝a，CD＝b，请用含有a、b的代数式表示出MN的长．
【分析】（1）先根据线段和差的定义得出AC+DB＝AB﹣CD＝16，再由线段中点的定义，得MC＝AC，ND＝DB，则MC+DN＝8，然后根据MN＝MC+CD+ND即可求解；
（2）同（1），先根据线段和差的定义得出AC+DB＝AB﹣CD＝a﹣b，再由线段中点的定义，得MC＝AC，ND＝DB，则MC+DN＝（a﹣b），然后根据MN＝MC+CD+ND即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝20，CD＝4，
∴AC+DB＝AB﹣CD＝16．
∵M、N分别是AC、BD的中点，
∴MC＝AC，ND＝DB，
∴MC+DN＝AC+DB＝（AC+DB）＝8，
∴MN＝MC+CD+DN
＝（MC+DN）+CD
＝8+4
＝12；
（2）∵AB＝a，CD＝b，
∴AC+DB＝AB﹣CD＝a﹣b．
∵M、N分别是AC、BD的中点，
∴MC＝AC，ND＝DB，
∴MC+DN＝AC+DB＝（AC+DB）＝（a﹣b），
∴MN＝MC+CD+DN
＝（MC+DN）+CD
＝（a﹣b）+b
＝．
8.（2019?南通）定义：若实数x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）．
（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点 是“线点”；
（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；
（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．
【分析】（1）若x，y满足x2+2y＝t，y2+2x＝t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，由新定义即可得出结论；
（2）由新定义得出a2+2b＝t，b2+2a＝t，得出a2+2b﹣b2﹣2a＝0，a2+2b+b2+2a＝2t，分解因式得出（a﹣b）（a+b﹣2）＝0，得出a+b＝2，ab＝4﹣t，由完全平方公式得出（a+b）2﹣4ab＞0，得出ab＜1，即可得出结果；
（3）证出△AOB是等腰直角三角形，求出∠POQ＝120°或60°，得出P、Q两点关于y＝x对称，再分两种情况讨论，求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵当M点（x，y），若x，y满足x2﹣2y＝t，y2﹣2x＝t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，
又∵P1（3，1），则32﹣2×1＝7，（1）2﹣2×3＝﹣5，7≠﹣5，
∴点P1不是线点；
∵P2（﹣3，1），则（﹣3）2﹣2×1＝7，12﹣2×（﹣3）＝7，7＝7，
∴点P2是线点，
故答案为：P2；
（2）∵点P（m，n）为“线点”，
则m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，
∴m2﹣2n﹣n2+2m＝0，m2﹣2n+n2﹣2m＝2t，
∴（m﹣n）（m+n+2）＝0，
∵a≠b，
∴m+n+2＝0，
∴m+n＝﹣2，
∵m2﹣2n+n2﹣2m＝2t，
∴（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）＝2t，
即：（﹣2）2﹣2mn+2×2＝2t，
∴mn＝4﹣t，
∵m≠n，
∴（m﹣n）2＞0，
∴m2﹣2mn+n2＞0，
∴（m+n）2﹣4mn＞0，
∴（﹣2）2﹣4mn＞0，
∴mm＜1，
∵mn＝4﹣t，
∴t＞3；
（3）设PQ直线的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：k＝﹣1，
∵直线PQ分别交x轴，y轴于点A、B，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵|∠AOB﹣∠POQ|＝30°，
∴∠POQ＝120°或60°，
∵P（m，n），Q（n，m），
∴P、Q两点关于y＝x对称，
①若∠POQ＝120°时，如图1所示：
作PC⊥x轴于C，QD⊥y轴于D，作直线MN⊥AB．
∵P、Q两点关于y＝x对称，∴∠PON＝∠QON＝∠POQ＝60°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON＝BON＝45°，
∴∠POC＝∠QOD＝15°，
在OC上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°，
∴∠CTP＝30°，
∴PT＝2PC＝2n，TC＝﹣n，
∴﹣m＝n+2n，
由（2）知，m+n＝﹣2，
解得：m＝﹣1﹣，n＝﹣1，
由（2）知：mn＝4﹣t，t＞3，
∴（﹣1﹣）（﹣1+）＝4﹣t，
解得：t＝6，
②若∠POQ＝60°时，如图2所示，
作PD⊥x轴于D，QC⊥y轴于C，作直线MN⊥AB．
∵P、Q两点关于y＝x对称，
∴∠PON＝∠QON＝∠POQ＝30°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON＝BON＝45°，
∴∠POD＝∠QOC＝15°，
在OD上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°，
∴∠DTP＝30°，
∴PT＝2PD＝﹣2n，TD＝﹣n，
∴﹣m＝﹣n﹣2n，
由（2）知，m+n＝﹣2，
解得m＝﹣1﹣，n＝﹣1+，
由（2）知：mn＝4﹣t，t＞3，
∴（﹣1﹣）（﹣1+）＝4﹣t，
解得：t＝，
综上所述，t的值为：6或．
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