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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第19讲 点、直线和圆的位置关系及其计算（提高版）
【学生版】
一、考点知识梳理
【考点1 切线的性质与判定】
1.点与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为点到圆心的距离)
位置关系,数量(d与r)
点在圆内d＜r,点在圆上d＝r,点在圆外d＞r，数量(d与r)
2.直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
3.判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
位置关系,相离,相切,相交
公共点个数,0,1,2
公共点的名称,无,切点,交点
数量关系,d＞r,d＝r,d＜r
4.切线的判定：
判定切线的方法有三种：①利用切线的定义，即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线的五个性质：
①切线与圆只有一个公共点；
②切线到圆心的距离等于圆的半径；
③切线垂直于经过切点的半径；
④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
6.切线长定理：
经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长．经圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
【考点2 三角形内切圆】
内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
二、考点分析
【考点1 切线的性质与判定】
【解题技巧】1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．
2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．
3.由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
【例1】（2019 浙江杭州中考）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【举一反三1-1】（2019 重庆中考）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【举一反三1-2】（2019上海中考）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【举一反三1-3】（2019 南京中考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝ ．
【举一反三1-4】（2019浙江温州中考）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于 度．
【考点2 三角形内切圆】
【解题技巧】1.任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
2.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
3.直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a，b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则(1)直角三角形的外接圆半径R＝；(2)直角三角形的内切圆半径r＝.
【例2】（2019 云南中考）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（ ）
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【举一反三2-1】（2019?台湾）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（ ）
A． B． C． D．
【举一反三2-2】（2019?山东济南模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．2
【举一反三2-3】（2019?青海）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S＝①
这是中国古代数学的瑰宝之一．
而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p＝（周长的一半），则S＝②
（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①?②或者②?①）；
（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝，S为三角形面积，则S＝pr．
【举一反三2-4】（2019 山西中考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德?欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．
∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．
∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA?ID＝IM?IN，①
如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．
∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE＝90°．
∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI＝90°，
∴∠DBE＝∠IFA．
∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB，
∴＝．
∴IA?BD＝DE?IF②
任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝ （用含R，d的代数式表示）；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019?哈尔滨）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．60° B．75° C．70° D．65°
2.（2019?广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
3.（2019 河北唐山中考模拟）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
4.（2019 天津北辰区中考模拟）如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD，如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于（ ）
A．70° B．64° C．62° D．51°
5.（2019 山东威海中考模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6.（2019 辽宁葫芦岛中考模拟）设正三角形△1的面积为S1，作△1的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为△2，面积为S2，如此下去作一系列的正三角形△3，△4，……，其面积相应为S3，S4，……，设S1＝1，Tn＝S1+S2+……+Sn，则当n充分大时，Tn的值最接近以下哪个值？（ ）
A． B． C． D．2
7.（2019 河南郑州中考模拟）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8.（2019 河北沧州中考模拟）如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交BA的延长线于点A'，再以点B为圆心，BA'为半径作圆弧交CB的延长线于B'，依次进行．得到螺旋线，再顺次连结EA'，AB'，BC'，CD'，DE'，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，且满足S5﹣S2＝1，则S4﹣S3的值为（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.（2019 山东淄博中考模拟）如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为 ．
2.（2019 河北衡水中考模拟）点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI＝2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，则IE的长为 ．
3.（2019 湖北黄石中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE＝ ．
4.（2019 上海黄浦区中考模拟）如图，ABCDE是正五边形，已知AG＝1，则FG+JH+CD＝ ．
5.（2019天津南开区中考模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，AC⊥l于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．若AE＝3，CD＝2，则⊙O的直径为 ．
6.（2019 河北廊坊中考模拟）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
7.（2019四川成都中考模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是 ．
8.（2019山东济南中考模拟）图1为一锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′恰好与⊙O相切（如图2）．则边B′C′的长 ．
解答题
1.（2019 甘肃中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
2.（2019 广东中考）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC?BE＝25，求BG的长．
3.（2019 江徐州苏中考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．
（1）求证：∠A＝∠DOB；
（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
4.（2019 辽宁大连中考）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP
（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；
（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．
5.（2019 天津中考）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．
6.（2019 云南中考）如图，AB是⊙O的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB?DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED＝．
（1）求证：△DEB∽△DAE；
（2）求DA，DE的长；
（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．
7.（2019 浙江杭州中考）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．
（1）若∠BAC＝60°，
①求证：OD＝OA．
②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．
（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．
8.（2019 山东济南中考）（2019?济南）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．
（1）求证；∠ABD＝∠CAB；
（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．
9.（2019?青海）如图，在⊙O中，点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，sin∠ADE＝，求⊙O的半径．
10.（2019?呼和浩特）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第19讲 点、直线和圆的位置关系及其计算（解析版）
【教师版】
一、考点知识梳理
【考点1 切线的性质与判定】
1.点与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为点到圆心的距离)
位置关系,数量(d与r)
点在圆内d＜r,点在圆上d＝r,点在圆外d＞r，数量(d与r)
2.直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
3.判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
位置关系,相离,相切,相交
公共点个数,0,1,2
公共点的名称,无,切点,交点
数量关系,d＞r,d＝r,d＜r
4.切线的判定：
判定切线的方法有三种：①利用切线的定义，即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线的五个性质：
①切线与圆只有一个公共点；
②切线到圆心的距离等于圆的半径；
③切线垂直于经过切点的半径；
④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
6.切线长定理：
经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长．经圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
【考点2 三角形内切圆】
内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
二、考点分析
【考点1 切线的性质与判定】
【解题技巧】1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．
2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．
3.由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
【例1】（2019 浙江杭州中考）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B．
【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB＝PA＝3．
【解答】解：连接OA、OB、OP，
∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
在Rt△AOP和Rt△BOP中，
，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），
∴PB＝PA＝3，
故选：B．
【举一反三1-1】（2019 重庆中考）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】C．
【分析】由切线的性质得出∠BAC＝90°，求出∠ABC＝40°，由等腰三角形的性质得出∠ODB＝∠ABC＝40°，再由三角形的外角性质即可得出结果．
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC＝40°，
∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°；
故选：C．
【举一反三1-2】（2019上海中考）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C．
【分析】如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．构建方程组即可解决问题．
【解答】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．
由题意：，
解得，
故选：C．
【举一反三1-3】（2019 南京中考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝ ．
【答案】219°．
【分析】连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论．
【解答】解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，
故答案为：219°．
【举一反三1-4】（2019浙江温州中考）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于 度．
【答案】57°
【分析】连接OE，OF，由切线的性质可得OE⊥AB，OF⊥AC，由四边形内角和定理可求∠EOF＝114°，即可求∠EPF的度数．
【解答】解：连接OE，OF
∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F
∴OE⊥AB，OF⊥AC
又∵∠BAC＝66°
∴∠EOF＝114°
∵∠EOF＝2∠EPF
∴∠EPF＝57°
故答案为：57°
【考点2 三角形内切圆】
【解题技巧】1.任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
2.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
3.直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a，b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则(1)直角三角形的外接圆半径R＝；(2)直角三角形的内切圆半径r＝.
【例2】（2019 云南中考）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（ ）
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【答案】A．
【分析】利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠A＝90°，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE⊥AC，所以四边形OFAE为正方形，设OE＝AE＝AF＝r，利用切线长定理得到BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，所以5﹣r+12﹣r＝13，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的面积．
【解答】解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，
∴AB2+CA2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形OFAE为正方形，
设OE＝r，
则AE＝AF＝r，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，
∴5﹣r+12﹣r＝13，
∴r＝＝2，
∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×2＝4．
故选：A．
【举一反三2-1】（2019?台湾）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【分析】设AD＝x，利用切线长定理得到BD＝BE＝1，AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，然后根据勾股定理得到（x+1）2+52＝（x+4）2，最后解方程即可．
【解答】解：设AD＝x，
∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，
∴BD＝BE＝1，
∴AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，
在Rt△ABC中，（x+1）2+52＝（x+4）2，解得x＝，
即AD的长度为．
故选：D．
【举一反三2-2】（2019?山东济南模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A．
【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF＝BF＝AE＝BG＝2，由勾股定理列方程即可求出结果．
【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，
∴NM＝，
∴DM＝3＝，
故选：A．
【举一反三2-3】（2019?青海）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S＝①
这是中国古代数学的瑰宝之一．
而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p＝（周长的一半），则S＝②
（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①?②或者②?①）；
（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝，S为三角形面积，则S＝pr．
【分析】（1）由公式①得：S＝＝10，由②得：p＝＝10，S＝＝10；
（2）求出2p＝a+b+c，把①中根号内的式子可化为：（ab+）（ab﹣）＝（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）＝×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），即可得出结论；
（3）连接OA、OB、OC，S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，由三角形面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）由①得：S＝＝10，
由②得：p＝＝10，
S＝＝10；
（2）公式①和②等价；推导过程如下：
∵p＝，
∴2p＝a+b+c，
①中根号内的式子可化为：
（ab+）（ab﹣）
＝（2ab+a2+b2﹣c2）（2ab﹣a2﹣b2+c2）
＝[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2]
＝（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）
＝×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）
＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），
∴＝；
（3）连接OA、OB、OC，如图所示：
S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝rc+rb+ra＝（）r＝pr．
【举一反三2-4】（2019 山西中考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德?欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．
∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．
∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA?ID＝IM?IN，①
如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．
∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE＝90°．
∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI＝90°，
∴∠DBE＝∠IFA．
∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB，
∴＝．
∴IA?BD＝DE?IF②
任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝ （用含R，d的代数式表示）；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm．
【分析】（1）直接观察可得；
（2）BD＝ID，只要证明∠BID＝∠DBI，由三角形内心性质和圆周角性质即可得证；
（3）应用（1）（2）结论即可；
（4）直接代入计算．
【解答】解：（1）∵O、I、N三点共线，
∴OI+IN＝ON
∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d
故答案为：R﹣d；
（2）BD＝ID
理由如下：
如图3，过点I作⊙O直径MN，连接AI交⊙O于D，连接MD，BI，BD，
∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI
∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI
∴∠BID＝∠DBI
∴BD＝ID
（3）由（2）知：BD＝ID
∴IA?ID＝DE?IF
∵DE?IF＝IM?IN
∴2R?r＝（R+d）（R﹣d）
∴R2﹣d2＝2Rr
∴d2＝R2﹣2Rr
（4）由（3）知：d2＝R2﹣2Rr；将R＝5，r＝2代入得：
d2＝52﹣2×5×2＝5，
∵d＞0
∴d＝
故答案为：．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019?哈尔滨）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．60° B．75° C．70° D．65°
【答案】D．
【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°．
故选：D．
2.（2019?广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】C．
【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，
∵过圆外一点可以作圆的2条切线，
故选：C．
3.（2019 河北唐山中考模拟）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A．
【分析】连接DP，根据直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，求得AB的长，即可得出⊙P的半径，证△PED≌△PFD，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF面积的最小，利用锐角三角函数求出DP的长，即可得出四边形PEDF面积的最小值．
【解答】解：如图，连接DP，
∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，1），
∴AB＝，
∵过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，
∴DE＝DF，PE⊥DE，
∵PE＝PF，PD＝PD，
∴△PED≌△PFD（SSS），
∵⊙P的半径为，
∴DE＝，
当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD?sin∠BAO＝5×，
∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE，
∴四边形PEDF面积的最小值为．
故选：A．
4.（2019 天津北辰区中考模拟）如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD，如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于（ ）
A．70° B．64° C．62° D．51°
【答案】B．
【分析】连接OC．证明∠CAO＝∠OAB＝∠BAD，从而进一步求解．
【解答】解：连接OC．
则OC＝OB，AC＝AB，OA＝OA，△AOC≌△AOB．
∴∠CAO＝∠BAO．
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB．
∵BD＝OB，
∴AB是线段OD的垂直平分线，OA＝AD．
∴∠OAB＝∠DAB＝∠OAC＝×78°＝26°．
∠ADO＝180°﹣∠ABD﹣∠DAB＝180°﹣90°﹣26°＝64°．
故选：B．
5.（2019 山东威海中考模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D．
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
6.（2019 辽宁葫芦岛中考模拟）设正三角形△1的面积为S1，作△1的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为△2，面积为S2，如此下去作一系列的正三角形△3，△4，……，其面积相应为S3，S4，……，设S1＝1，Tn＝S1+S2+……+Sn，则当n充分大时，Tn的值最接近以下哪个值？（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C．
【分析】由题意Tn＝1++…+（）n﹣1①，两边乘4得到：4Tn＝4+1++…+（）n﹣2②，②﹣①得到：3Tn＝4﹣（）n﹣1，由此即可判断．
【解答】解：由题意：S1＝1，S2＝，S3＝（）2，…Sn＝（）n﹣1，
∴Tn＝1++…+（）n﹣1①
两边乘4得到：4Tn＝4+1++…+（）n﹣2②，
②﹣①得到：3Tn＝4﹣（）n﹣1，
当n充分大时，（）n﹣1接近0，
∴Tn的值接近，
故选：C．
7.（2019 河南郑州中考模拟）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A．
【分析】根据圆的性质得到AO⊥BE，故①正确；由A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，得到的度数＝＝72°求得∠COD＝72°根据圆周角定理得到∠CAD＝36°；连接CD求得∠CGD＝108°，于是得到∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；连接AB，AE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴＝，
∴AO⊥BE，故①正确；
∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴的度数＝＝72°
∴∠COD＝72°
∵∠COD＝2∠CAD
∴∠CAD＝36°；
连接CD
∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴＝＝＝，
∴∠BDC＝∠DCE＝∠CAD＝36°，
∴∠CGD＝108°，
∴∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；
连接AB，AE，
则∠BAM＝∠ABM＝∠EAN＝∠AEN＝36°，
∵AB＝AE，
∴△ABM≌△AEN（ASA），
∴BM＝EN＝AM＝AN，
∵∠MAN＝36°，
∴AM≠MN，③错误．
故选：A．
8.（2019 河北沧州中考模拟）如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交BA的延长线于点A'，再以点B为圆心，BA'为半径作圆弧交CB的延长线于B'，依次进行．得到螺旋线，再顺次连结EA'，AB'，BC'，CD'，DE'，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，且满足S5﹣S2＝1，则S4﹣S3的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【分析】设五边形的边长为a．求出各个阴影部分的面积，根据S5﹣S2＝1，寻找关系式，即可解决问题．
【解答】解：设五边形的边长为a．则S1＝﹣?a2?sin72°，
S2＝﹣?a?2a?sin72°，
S3＝﹣?a?3a?sin72°，
S4＝﹣?a?4a?sin72°，
S5＝﹣?a?5a?sin72°，
∵S5﹣S2＝1，
∴5πa2﹣πa2﹣a2?sin72°＝1，
∴?π?a2﹣a2?sin72°＝1，
∴S4﹣S3＝πa2﹣πa2﹣a2sin72°＝π?a2﹣a2sin72°＝，
故选：D．
填空题
1.（2019 山东淄博中考模拟）如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为 ．
【答案】．
【分析】如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．因为AC＝CA′，DE＝EA，所以EC＝DA′，求出DA′的最大值即可解决问题．
【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．
由题意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB＝＝5，
∴BA′＝＝，
∵AC＝CA′，DE＝EA，
∴EC＝DA′，
∵DA′≤BD+BA′，
∴DA′≤5+，
∴DA′的最大值为5+，
∴EC的最大值为，
故答案为．
2.（2019 河北衡水中考模拟）点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI＝2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，则IE的长为 ．
【答案】4．
【分析】延长ID到M，使得DM＝ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题；
【解答】解：延长ID到M，使得DM＝ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，
∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，∠BCD＝∠IAB，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴DI＝DC＝DM，
∴∠ICM＝90°，
∴CM＝＝8，
∵AI＝2CD＝10，
∴AI＝IM，∵AE＝EC，
∴IE＝CM＝4，
故答案为4．
3.（2019 湖北黄石中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE＝ ．
【答案】6﹣．
【分析】设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE＝BH＝x，由切线长定理可知，ED＝EM，FC＝FM，由B、F关于EH对称，推出HF＝BH＝x，ED＝EM＝8﹣x，FC＝FM＝8﹣2x，EF＝16﹣3x，在Rt△EFH中，根据EF2＝EH2+HF2，列出方程即可解决问题．
【解答】解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．
由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE＝BH＝x，
由切线长定理可知，ED＝EM，FC＝FM，
∵B、F关于EH对称，
∴HF＝BH＝x，ED＝EM＝8﹣x，FC＝FM＝8﹣2x，EF＝16﹣3x，
在Rt△EFH中，∵EF2＝EH2+HF2，
∴42+x2＝（16﹣3x）2，
解得x＝6﹣或6+（舍弃），
∴AE＝6﹣，
故答案为：6﹣．
4.（2019 上海黄浦区中考模拟）如图，ABCDE是正五边形，已知AG＝1，则FG+JH+CD＝ ．
【答案】+1．
【分析】根据对称性可知：GJ∥BH，GB∥JH，推出四边形JHBG是平行四边形，推出JH＝BG，同理可证：四边形CDFB是平行四边形，推出CD＝FB，推出FG+JH+CD＝FG+BG+FB＝2BF，设FG＝x，由△AFG∽△BFA，推出AF2＝FG?FB，由此构建方程求出x即可解决问题；
【解答】解：根据对称性可知：GJ∥BH，GB∥JH，
∴四边形JHBG是平行四边形，
∴JH＝BG，
同理可证：四边形CDFB是平行四边形，
∴CD＝FB，
∴FG+JH+CD＝FG+BG+FB＝2BF，
设FG＝x，
∵∠AFG＝∠AFB，∠FAG＝∠ABF＝36°，
∴△AFG∽△BFA，
∴AF2＝FG?FB，
∵AF＝AG＝BG＝1，
∴x（x+1）＝1，
∴x＝（负根已经舍弃），
∴BF＝+1＝，
∴FG+JH+CD＝+1．
故答案为+1．
5.（2019天津南开区中考模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，AC⊥l于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．若AE＝3，CD＝2，则⊙O的直径为 ．
【答案】5．
【分析】利用切线的性质，易得OD∥AC，继而证明AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质定理可证得：CD＝DF，AF＝AC，进而证得△BDF≌△EDC，则BF＝CE；根据AC＝AF，BF＝CE即可求解．
【解答】解：连接DE，BD．
∵DC是圆的切线．
∴∠EDC＝∠DAC，OD⊥直线l，
∵AC⊥直线l．
∴OD∥AC，
∴∠ADO＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴DF＝CD＝2，∠ADF＝∠ADC，
∴AF＝AC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴CD：CA＝CE：CD，
∴CD2＝CE?CA，即4＝CE（CE+3），
解得：CE＝1，
∵DF⊥AB，AC⊥l于C，
∴∠BFD＝∠DCE＝90°，
在△BDF和△EDC中，
，
∴△BDF≌△EDC（AAS），
∴FB＝CE＝1，
∴AB＝BF+AF＝BF+AC＝1+AE+CE＝1+3+1＝5．
方法二：连接BE交OD于H，解直角三角形△OEH即可解决问题；
故答案为：5．
6.（2019 河北廊坊中考模拟）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
【答案】t＝或﹣1≤t＜1．
【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．
当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是45°，从而求得DOC＝45°，即可求出点C的坐标，进一步求得t的值；当直线过点B时，直接根据待定系数法求得t的值．
【解答】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．
直线y＝x+t与x轴所形成的锐角是45°．
当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，∠COD＝45°．
又OC＝1，则CD＝OD＝，即点C（﹣，），
把点C的坐标代入直线解析式，得
t＝y﹣x＝，
当直线过点A时，把点A（﹣1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝1．
当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝﹣1．
即当t＝或﹣1≤t＜1时，直线和圆只有一个公共点；
故答案为t＝或﹣1≤t＜1．
7.（2019四川成都中考模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是 ．
【答案】1．
【分析】设⊙O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．设圆的半径是x．根据切线长定理和勾股定理求解．
【解答】解：设⊙O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．
设圆的半径是x．在直角三角形ABC中，根据勾股定理得BC＝6．
又PC＝8﹣2＝6，则BC＝PC，
所以∠BPC＝45°，
∴PD＝OD＝x，AD＝x+2，
根据切线长定理得AE＝x+2，BE＝10﹣（2+x）＝8﹣x，OB＝BP﹣OP＝6﹣x；
在直角三角形OBE中，根据勾股定理得：
（6﹣x）2＝x2+（8﹣x）2，
∴x＝1，即⊙O的半径是1．
故答案为⊙O的半径是1．
8.（2019山东济南中考模拟）图1为一锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′恰好与⊙O相切（如图2）．则边B′C′的长 ．
【答案】（3+）cm．
【分析】过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，由AC与A′C′，根据与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，得到OD与AC垂直，可得DE为三角尺的宽，由A′C′与圆O相切，根据切线的性质得到OD为圆的半径，根据直径AB的长，求出半径OA，OB及OD的长，在直角三角形AOE中，根据∠A＝30°，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出OE等于OA的一半，由OA的长求出OE的长，再由OD﹣OE求出DE的长，即三角尺的宽为1，设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，则有∠AMH＝30°，AH＝1，得到AM＝2AH＝2，可计算出MN，在Rt△MB′N中利用含30°的直角三角形三边的关系得到B′N长，即可得出答案．
【解答】解：过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，
∵AC∥A′C′，
∴AC⊥OD，
∵A′C′与⊙O相切，AB为圆O的直径，且AB＝4cm，
∴OD＝OA＝OB＝AB＝×4cm＝2cm，
在Rt△AOE中，∠A＝30°，
∴OE＝OA＝×2cm＝1cm，
∴DE＝OD﹣OE＝2cm﹣1cm＝1cm，
则三角尺的宽为1cm，
∵在Rt△ACB中，AB＝4cm，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝2cm，AC＝BC＝2cm，
设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，
则有∠AMH＝30°，AH＝1cm，得到AM＝2AH＝2cm，
∴MN＝AM+AC+CN＝（3+2）cm，
在Rt△MB′N中，∵∠B′MN＝30°，
∴B′N＝MN×tan30°＝（3+2）×＝（+2）cm，
则B′C′＝B′N+NC′＝（3+）cm，
故答案为：（3+）cm．
解答题
1.（2019 甘肃中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；
（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADE+∠BDO＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠BDO，
∴∠ADE＝∠A．
（2）解：连接CD．
∵∠ADE＝∠A，
∴AE＝DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线，
∴ED＝EC，
∴AE＝EC，
∵DE＝5，
∴AC＝2DE＝10，
在Rt△ADC中，DC＝6，
设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，
∴x2+62＝（x+8）2﹣102，
解得x＝，
∴BC＝＝．
2.（2019 广东中考）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC?BE＝25，求BG的长．
【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；
（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；
（3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BC?BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；
（2）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，
∴＝，
∴AB2＝BC?BE，
∴BC?BE＝25，
∴AB＝5，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝5．
3.（2019 江徐州苏中考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．
（1）求证：∠A＝∠DOB；
（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
【分析】（1）连接OC，由D为的中点，得到＝，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据平行线的判定定理得到AE∥OD，根据平行线性质得到OD⊥DE，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠BOD＝BOC，
∵∠BAC＝BOC，
∴∠A＝∠DOB；
（2）解：DE与⊙O相切，
理由：∵∠A＝∠DOB，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
4.（2019 辽宁大连中考）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP
（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；
（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．
【分析】（1）作DF⊥BC于F，连接DB，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠DBC＝∠DCB，得到DB＝DC，根据线段垂直平分线的性质、圆周角定理证明即可；
（2）根据垂径定理求出FC，证明△DEC≌△CFD，根据全等三角形的性质得到DE＝FC＝3，根据射影定理计算即可．
【解答】（1）证明：作DF⊥BC于F，连接DB，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°，
∴∠P＝∠DAC＝∠DBC，
∵∠APC＝∠BCP，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC，
∵DF⊥BC，
∴DF是BC的垂直平分线，
∴DF经过点O，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠BDC＝2∠ODC，
∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD；
（2）解：∵DF经过点O，DF⊥BC，
∴FC＝BC＝3，
在△DEC和△CFD中，
，
∴△DEC≌△CFD（AAS）
∴DE＝FC＝3，
∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，
∴DE2＝AE?EC，
则EC＝＝，
∴AC＝2+＝，
∴⊙O的半径为．
5.（2019 天津中考）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．
【分析】（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°计算；
（Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝50°；
（Ⅱ）连接CE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ACB＝50°，
∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°，
∴BAE＝∠BCE＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°．
6.（2019 云南中考）如图，AB是⊙O的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB?DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED＝．
（1）求证：△DEB∽△DAE；
（2）求DA，DE的长；
（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．
【分析】（1）∠D＝∠D，DE2＝DB?DA，即可求解；
（2）由，即：，即可求解；
（3）在△BED中，过点B作HB⊥ED于点H，36﹣（﹣x）2＝（）2﹣x2，解得：x＝，则cosβ＝＝，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠D＝∠D，DE2＝DB?DA，
∴△DEB∽△DAE；
（2）∵△DEB∽△DAE，
∴∠DEB＝∠DAE＝α，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，又AE＝EF，
∴AB＝BF＝10，∴∠BFE＝∠BAE＝α，则BF⊥ED交于点H，
∵cos∠BED＝，则BE＝6，AE＝8
∴，即：，
解得：BD＝，DE＝，
则AD＝AB+BD＝，
ED＝；
（3）点F在B、E、M三点确定的圆上，则BF是该圆的直径，连接MF，
∵BF⊥ED，∠BMF＝90°，∴∠MFB＝∠D＝β，
在△BED中，过点B作HB⊥ED于点H，
设HD＝x，则EH＝﹣x，
则36﹣（﹣x）2＝（）2﹣x2，
解得：x＝，
则cosβ＝＝，则sinβ＝，
MB＝BFsinβ＝10×＝，
DM＝BD﹣MB＝．
7.（2019 浙江杭州中考）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．
（1）若∠BAC＝60°，
①求证：OD＝OA．
②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．
（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．
【分析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；
（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解．
【解答】解：（1）①连接OB、OC，
则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，
∴∠OBC＝30°，
∴OD＝OB＝OA；
②∵BC长度为定值，
∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，
当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，
△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OBsin60°×＝；
（2）如图2，连接OC，
设：∠OED＝x，
则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，
则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，
∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，
即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，
化简得：m﹣n+2＝0．
8.（2019 山东济南中考）（2019?济南）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．
（1）求证；∠ABD＝∠CAB；
（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据半径相等可知∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD，再根据对顶角相等和三角形内角和定理证明∠ABD＝∠CAB；
（2）连接BC．由CE为⊙O的切线，可得∠OCE＝90°，因为B是OE的中点，得BC＝OB，又OB＝OC，可知△OBC为等边三角形，∠ABC＝60°，所以BC＝AC＝4，即⊙O的半径为4．
【解答】解：（1）证明：∵AB、CD是⊙O的两条直径，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠ODB＝∠OBD，
即∠ABD＝∠CAB；
（2）连接BC．
∵AB是⊙O的两条直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE为⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵B是OE的中点，
∴BC＝OB，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BC＝AC＝4，
∴OB＝4，
即⊙O的半径为4．
9.（2019?青海）如图，在⊙O中，点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，sin∠ADE＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OA，如图，利用△AOB的中位线得到CD∥OA．则可判断AO⊥AE，即可证得结论；
（2）连接OD，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，再在Rt△AED中利用正弦定义计算出AD＝3，接着证明∠OAD＝∠ADE．从而在Rt△OAD中有sin∠OAD＝，设OD＝2x，则OA＝3x，利用勾股定理可计算出AD＝x，从而得到x＝3，然后解方程求出x即可得到⊙O的半径长．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，
∵DC∥OA，即EC∥OA，
∵AE⊥CD，
∴AE⊥AO，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，如图，
∵AD＝CD，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA＝90°，
在Rt△AED中，sin∠ADE＝＝，
∴AD＝3，
∵CD∥OA，
∴∠OAD＝∠ADE．
在Rt△OAD中，sin∠OAD＝，
设OD＝2x，则OA＝3x，
∴AD＝＝x，
即x＝3，解得x＝，
∴OA＝3x＝，
即⊙O的半径长为．
10.（2019?呼和浩特）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
【分析】（1）证明∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，E为直角三角形BDC的中线，即可求解；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定AD：BM＝，即HM：BH＝，得∠BMH＝30°＝∠BAC，即可求解．
【解答】解：（1）连接BD、OE，
∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，
∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，
∴∠DBC＝∠CAB，
∴∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，
∴E为BC的中点；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，
则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，
∴AD：BM＝，
而△ADH∽△MBH，
∴DH：BH＝，
则DH＝HM，
∴HM：BH＝，
∴∠BMH＝30°＝∠BAC，
∴∠C＝60°，E是直角三角形的中线，
∴DE＝CE，
∴△DEC为等边三角形，
⊙O的面积：12π＝（AB）2π，
则AB＝4，∠CAB＝30°，
∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，
四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，
等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，
故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．
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