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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第21讲 视图与投影、展开（提高版）
【学生版】
一、考点知识梳理
【考点1 三视图】
1.投影
平行投影 由平行光线照射在物体上所形成的投影，叫做平行投影
正投影 投影线垂直照射在投影面上的物体的投影叫做正投影
中心投影 由一点射出的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影
2.几何体的三视图
（1）一个几何体的正投影，又叫做这个几何体的视图．从正面得到的视图叫做主视图，从上面得到的视图叫做俯视图，从左面得到的视图叫做左视图．
（2）三种视图的关系
主视图可反映出物体的长和高，俯视图可反映出物体的长和宽，左视图可反映出物体的高和宽．
(3)在画三视图时，主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，俯、左视图要宽相等，看得见的轮廓线要画成实线，看不见的轮廓线要画成虚线．
3．常见几何体的三视图
几何体 主视图 左视图 俯视图
常见几何体的体积和表面积的计算公式
名称几何体 体积 表面积
正方体 a3 6a2
长方体 abc 2(ab＋bc＋ac)
三棱柱 h·S底面 2S底面＋h·C底长
圆锥 πr2h πr2＋πlr (l为母线长)
圆柱 πr2h 2πr2＋2πrh
球 πR3 4πR2
【考点2 正方体展开图】
正方体表面展开图的类型
一四一型
二三一型
三三型 二二二型
【考点3 圆柱、圆锥表面展开图】
常见几何体的展开图
常见几何体 展开图 图示(选其一种)
两个圆和一个矩形
一个圆和一个扇形
二、考点分析
【考点1 三视图】
【解题技巧】1.要求解几何体的体积或表面积，就要先确定几何体的形状：
（1）由三视图确定出实物的形状和结构．
（2）由部分特殊图确定出实物的形状和结构．
2.太阳光与影子的关系：物体在太阳光照射的不同时刻，不但影子的大小在变化，而且影子的方向也在变化. 在早晨太阳位于正东方，此时的影子较长，位于正西方；在上午，影子随着太阳位置的变化，其长度逐渐变短，方向向正北方向移动；中午，影子最短，方向正北；到了下午，影子的长度又逐渐变长，其方向向正东移动.
3.产生中心投影光源的确定：分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为光源的位置.
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
【例1】（2019 安徽中考）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三1-1】（2019 福建中考）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三1-2】（2019 广东中考）如图，由4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三1-3】（2019 海南中考）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三1-4】（2019 北京中考）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ．（写出所有正确答案的序号）
【考点2 正方体展开图】
【解题技巧】1.多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
正方体的侧面展开图是长方形．
3.三棱柱的侧面展开图是长方形．
【例2】（2019 山西中考）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．青 B．春 C．梦 D．想
【举一反三2-1】（2019 广东深圳中考）下列哪个图形是正方体的展开图（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三2-2】（2019 河北沧州十四中模拟）如图，在一个正方形盒子的六面上写有“祝、母、校、更、美、丽”六个汉字，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子的展开图（不考虑文字方向）不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三2-3】（2019 山东青岛中考）（2019?青岛）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 个小立方块．
【考点3 圆柱、圆锥表面展开图】
【解题技巧】1.常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．
2.立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
【例3】（2019 江苏徐州中考模拟）已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从C点出发，绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三3-1】（2019 河北张家口中考模拟）（选择题）如图②是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体，请类比梯形面积公式的推导方法（如图①），推导图②几何体的体积为 ．（结果保留π）
【举一反三3-2】（2019 江苏徐州中考）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为 cm．
【举一反三3-3】（2019 江苏南京中考）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 河南中考）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图相同 B．左视图相同
C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
2.（2019 湖北黄石中考）如图，该正方体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2019 湖北孝感中考）下列立体图形中，左视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（2019 河北中考）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x
5.（2019 江西中考）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
6.（2019 辽宁大连中考）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
7.（2019 江西中考）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
8.（2019云南中考）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）
A．48π B．45π C．36π D．32π
填空题
1.（2019 甘肃中考）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为 ．
2.（2019 浙江杭州中考）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 cm2（结果精确到个位）．
4.（2019?广州）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 ．（结果保留π）
5.（2019 山东青岛中考模拟）如图所示，是三棱柱的表面展开示意图，则AB＝ ，BC＝ ，CD＝ ，BD＝ ，AE＝ ．
6.（2019 河北衡水中考模拟）如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为 cm3．
7.（2019 湖北武汉中考模拟）把一个圆柱体的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是4π厘米，宽是2π厘米，这个圆柱体的底面半径是 厘米．
8.（2019 河南郑州中考模拟）如图，这是一个正方体的展开图，则原正方体中与“创“字所在的面相对的面上标的字是 ．
解答题
1.（2019?台湾）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分．敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
2.（2019 河北衡水中考模拟）如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答
（1）如果A面在长方体的底部，那么 面会在上面；
（2）求这个长方体的表面积和体积．
3.（2019 河南信阳中考模拟）如图是某种产品的展开图，高为3cm．
（1）求这个产品的体积；
（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装5件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸的厚度不计，纸箱的表面积尽可能小），求此包装纸箱的表面积．
4.（2019 山东德州中考模拟）如图所示，说出下列几何体截面（阴影部分）的形状．
5.（2019 四川成都中考模拟）（1）如图1，一个正方体纸盒的棱长为4厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的周长．
（2）如图2，一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a厘米、b厘米、c厘米（a＞b＞c）将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，画出周长最大的平面图形．
6.（2019 石家庄二十中学模拟）如图所示，太阳光线AC和A?C?是平行的，同一时刻两个建筑物在太阳下的影子一样长，那么建筑物是否一样高？请说明理由．
7.（2019辽宁大连中考模拟）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
（1）请说出这个几何体模型的最确切的名称是 ．
（2）如图2是根据 a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中的粗实线表示的正方形（中间一条虚线）和粗实线表示的三角形），请在网格中画出该几何体的左视图．
（3）在（2）的条件下，已知h＝20cm，求该几何体的表面积．
8.（2019 河北石家庄中考模拟）如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示，已知展开图中每个正方形的边长为1，
（1）求线段A′C′的长度；
（2）试比较立体图中∠BAC与展开图中∠B′A′C′的大小关系？并写出过程．
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第21讲 视图与投影、展开（解析版）
【教师版】
一、考点知识梳理
【考点1 三视图】
1.投影
平行投影 由平行光线照射在物体上所形成的投影，叫做平行投影
正投影 投影线垂直照射在投影面上的物体的投影叫做正投影
中心投影 由一点射出的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影
2.几何体的三视图
（1）一个几何体的正投影，又叫做这个几何体的视图．从正面得到的视图叫做主视图，从上面得到的视图叫做俯视图，从左面得到的视图叫做左视图．
（2）三种视图的关系
主视图可反映出物体的长和高，俯视图可反映出物体的长和宽，左视图可反映出物体的高和宽．
(3)在画三视图时，主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，俯、左视图要宽相等，看得见的轮廓线要画成实线，看不见的轮廓线要画成虚线．
3．常见几何体的三视图
几何体 主视图 左视图 俯视图
常见几何体的体积和表面积的计算公式
名称几何体 体积 表面积
正方体 a3 6a2
长方体 abc 2(ab＋bc＋ac)
三棱柱 h·S底面 2S底面＋h·C底长
圆锥 πr2h πr2＋πlr (l为母线长)
圆柱 πr2h 2πr2＋2πrh
球 πR3 4πR2
【考点2 正方体展开图】
正方体表面展开图的类型
一四一型 二三一型 三三型 二二二型
【考点3 圆柱、圆锥表面展开图】
常见几何体的展开图
常见几何体 展开图 图示(选其一种)
两个圆和一个矩形
一个圆和一个扇形
二、考点分析
【考点1 三视图】
【解题技巧】1.要求解几何体的体积或表面积，就要先确定几何体的形状：
（1）由三视图确定出实物的形状和结构．
（2）由部分特殊图确定出实物的形状和结构．
2.太阳光与影子的关系：物体在太阳光照射的不同时刻，不但影子的大小在变化，而且影子的方向也在变化. 在早晨太阳位于正东方，此时的影子较长，位于正西方；在上午，影子随着太阳位置的变化，其长度逐渐变短，方向向正北方向移动；中午，影子最短，方向正北；到了下午，影子的长度又逐渐变长，其方向向正东移动.
3.产生中心投影光源的确定：分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为光源的位置.
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
【例1】（2019 安徽中考）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：几何体的俯视图是：
故选：C．
【举一反三1-1】（2019 福建中考）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可．
【解答】解：几何体的主视图为：
故选：C．
【举一反三1-2】（2019 广东中考）如图，由4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形，如图所示．
故选：A．
【举一反三1-3】（2019 海南中考）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．
【解答】解：从上面看下来，上面一行是横放3个正方体，左下角一个正方体．
故选：D．
【举一反三1-4】（2019 北京中考）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ．（写出所有正确答案的序号）
【答案】①②．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．
【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，
圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，
圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，
故答案为：①②．
【考点2 正方体展开图】
【解题技巧】1.多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
正方体的侧面展开图是长方形．
3.三棱柱的侧面展开图是长方形．
【例2】（2019 山西中考）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．青 B．春 C．梦 D．想
【答案】B．
【分析】根据正方体展开z字型和L型找对面的方法即可求解；
【解答】解：展开图中“点”与“春”是对面，“亮”与“想”是对面，“青”与“梦”是对面；
故选：B．
【举一反三2-1】（2019 广东深圳中考）下列哪个图形是正方体的展开图（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：根据正方体展开图的特征，选项A、C、D不是正方体展开图；选项B是正方体展开图．．
故选：B．
【举一反三2-2】（2019 河北沧州十四中模拟）如图，在一个正方形盒子的六面上写有“祝、母、校、更、美、丽”六个汉字，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子的展开图（不考虑文字方向）不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D．
【分析】根据立方体的平面展开图规律解决问题即可．
【解答】解：由图可得，“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子的展开图可能是A，B，C选项，
而D选项中，“更”与“祝”的位置有误，互换后则符合题意．
故选：D．
【举一反三2-3】（2019 山东青岛中考）（2019?青岛）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 个小立方块．
【答案】16
【分析】根据表面积不变，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个．
【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，最多可以取走16个小正方体，只需留11个，分别是正中心的3个和四角上各2个，如图所示：
故答案为：16
【考点3 圆柱、圆锥表面展开图】
【解题技巧】1.常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．
2.立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
【例3】（2019 江苏徐州中考模拟）已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从C点出发，绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线．
【解答】解：∵C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，
∴侧面展开图BO为扇形对称轴，连接AC即可是最短路线，
∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C关于OA的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO的另一对称点，连接即可；
故选：C．
【举一反三3-1】（2019 河北张家口中考模拟）（选择题）如图②是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体，请类比梯形面积公式的推导方法（如图①），推导图②几何体的体积为 ．（结果保留π）
【答案】63π．
【分析】由图形可知：上部分是一个半圆柱底面直径是6，高为8﹣6＝2，；下部分是一个高为6，底面直径是6的圆柱，根据圆柱的体积公式：v＝sh，把数据代入公式解答即可．
【解答】解：π（）2×（8﹣6）×+π（）2×6，
＝9π+54π
＝63π．
故答案为：63π．
【举一反三3-2】（2019 江苏徐州中考）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为 cm．
【答案】6．
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，
设圆锥的母线长为R，则：＝4π，
解得R＝6．
故答案为：6．
【举一反三3-3】（2019 江苏南京中考）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm．
【答案】5．
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：＝15，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．
故答案为：5．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 河南中考）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图相同 B．左视图相同
C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
【答案】C．
【分析】根据三视图解答即可．
【解答】解：图①的三视图为：
图②的三视图为：
故选：C．
2.（2019 湖北黄石中考）如图，该正方体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断正方体的俯视图．
【解答】解：正方体的主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形都是正方形，
故选：A．
3.（2019 湖北孝感中考）下列立体图形中，左视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D．
【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意；
B、圆柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
D、球的左视图是圆形，故此选项符合题意；
故选：D．
4.（2019 河北中考）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x
【答案】A．
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），
∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，
则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，
故选：A．
5.（2019 江西中考）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：它的俯视图为
故选：A．
6.（2019 辽宁大连中考）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1．
故选：B．
7.（2019 江西中考）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】D．
【分析】根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解．
【解答】解：共有6种拼接法，如图所示．
故选：D．
8.（2019云南中考）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）
A．48π B．45π C．36π D．32π
【答案】A．
【分析】首先利用圆的面积公式即可求得侧面积，利用弧长公式求得圆锥的底面半径，得到底面面积，据此即可求得圆锥的全面积．
【解答】解：侧面积是：πr2＝×π×82＝32π，
底面圆半径为：，
底面积＝π×42＝16π，
故圆锥的全面积是：32π+16π＝48π．
故选：A．
填空题
1.（2019 甘肃中考）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为 ．
【答案】3cm2．
【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其左视图的面积为3×＝3（cm2），
故答案为3cm2．
2.（2019 浙江杭州中考）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 cm2（结果精确到个位）．
【答案】113．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积＝×2π×3×12＝36π≈113（cm2）．
故答案为113．
3.（2019江苏南通中考）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为 cm．
【答案】5．
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm，
圆锥的底面周长＝2π×2＝4π，
则×4π×R＝10π，
解得，R＝5（cm）
故答案为：5．
4.（2019?广州）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 ．（结果保留π）
【答案】2π．
【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长＝底面圆的周长即可解决问题．
【解答】解：∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，
∴斜边长为2，
则底面圆的周长为2π，
∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π，
故答案为2π．
5.（2019 山东青岛中考模拟）如图所示，是三棱柱的表面展开示意图，则AB＝ ，BC＝ ，CD＝ ，BD＝ ，AE＝ ．
【答案】4、5、6、4、8．
【分析】三棱柱的表面展开图知，棱AB与BD与4是相对的，棱BC与5是相对的，棱CD与6是相对的，棱AE与8是相对的，即可求解．
【解答】解：由图可知，棱AB与BD与4是相对的，棱BC与5是相对的，棱CD与6是相对的，棱AE与8是相对的，
所以AB＝4，BC＝5，CD＝6，BD＝4，AE＝8．
故填4、5、6、4、8．
6.（2019 河北衡水中考模拟）如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为 cm3．
【答案】27．
【分析】首先设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，然后延长FE交AC于点D，根据三角函数的性质，可求得AC的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：如图，设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，
延长FE交AC于点D，
则EF＝2xcm，EG＝xcm，DF＝4xcm，
∵DF∥BC，
∴∠EFG＝∠B，
∵tan∠EFG＝＝，
∴tanB＝＝，
∵BC＝24cm，
∴AC＝12cm，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣2x（cm）
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ACB，
∴＝，
即＝，
解得：x＝3，
即这个展开图围成的正方体的棱长为3cm，
∴这个展开图可折成的正方体的体积为27cm3．
故答案为：27．
7.（2019 湖北武汉中考模拟）把一个圆柱体的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是4π厘米，宽是2π厘米，这个圆柱体的底面半径是 厘米．
【答案】2或1．
【分析】由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后，当圆柱的底面周长大于圆柱的高时，得到的是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高；当圆柱的底面周长小于圆柱的高时，得到的是一个长方形，但此时长方形的宽是圆柱的底面周长，长是圆柱的高，由此根据圆的周长公式，考虑两种情况，分别求出这个圆柱体的底面半径．
【解答】解：（1）当圆柱的底面周长大于圆柱的高时：
4π÷π÷2≈2（厘米），
（2）当圆柱的底面周长小于圆柱的高时：
2π÷π÷2＝1（厘米），
答：这个圆柱体的底面半径是2厘米或1厘米；
故答案为：2或1．
8.（2019 河南郑州中考模拟）如图，这是一个正方体的展开图，则原正方体中与“创“字所在的面相对的面上标的字是 ．
【答案】2或1．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“明”与面“创”相对，
故答案为：明．
解答题
1.（2019?台湾）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分．敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．
（2）如图，连接AE，作FB∥EA．分别求出AB，BC的长即可解决问题．
【解答】解：（1）设敏敏的影长为x公分．
由题意：＝，
解得x＝100（公分），
经检验：x＝100是分式方程的解．
∴敏敏的影长为100公分．
（2）如图，连接AE，作FB∥EA．
∵AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB＝EF＝150公分，
设BC＝y公分，由题意BC落在地面上的影从为120公分．
∴＝，
∴y＝180（公分），
∴AC＝AB+BC＝150+180＝330（公分），
答：高圆柱的高度为330公分．
2.（2019 河北衡水中考模拟）如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答
（1）如果A面在长方体的底部，那么 面会在上面；
（2）求这个长方体的表面积和体积．
【分析】（1）根据展开图，可的几何体，A、B、C是邻面，D、F、E是邻面，根据A面在底面，F会在上面，可得答案；
（2）由矩形的表面积和体积计算公式解答．
【解答】解：（1）如图所示，A与F是对面，所以如果A面在长方体的底部，那么 F面会在上面；
故答案是：F；
（2）这个长方体的表面积是：2×（1×3+1×2+2×3）＝60（米2）．
这个长方体的体积是：1×2×3＝6（米3）．
3.（2019 河南信阳中考模拟）如图是某种产品的展开图，高为3cm．
（1）求这个产品的体积；
（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装5件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸的厚度不计，纸箱的表面积尽可能小），求此包装纸箱的表面积．
【分析】（1）根据已知图形得出长方体的高进而得出答案；
（2）设计的包装纸箱为15×12×8规格．
【解答】解：（1）设长方体的高为xcm，则长方形的宽为（12﹣2x）cm，根据题意可得：
12﹣2x+8+x+8＝25，
解得：x＝3，
所以长方体的高为3cm，宽为6cm，长为8cm，
长方形的体积为：8×6×3＝144（cm3）；
（2）因为长方体的高为3cm，宽为6cm，长为8cm，
所以装5件这种产品，应该尽量使得6×8的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
这样的话，5件这种产品可以用15×6×8的包装纸箱，再考虑15×8的面积最大，所以15×8的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
所以设计的包装纸箱为15×12×8规格，该产品的侧面积分别为：
8×12＝96（cm2），
8×15＝120（cm2）
12×15＝180（cm2）
纸箱的表面积为：120+96+180＝396（cm2）．
4.（2019 山东德州中考模拟）如图所示，说出下列几何体截面（阴影部分）的形状．
【分析】用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．以及几何体（正方体、圆锥、圆柱）的形状，进行截面即可判断形状即可．
【解答】解：（1）得到的截面的形状是三角形．
（2）沿圆锥的高线切割，得到等腰三角形截面．
（3）沿正方体的对角线切割，得到长方形截面．
（4）截面与两个底面平行，可以得到圆形截面．
5.（2019 四川成都中考模拟）（1）如图1，一个正方体纸盒的棱长为4厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的周长．
（2）如图2，一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a厘米、b厘米、c厘米（a＞b＞c）将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，画出周长最大的平面图形．
【分析】（1）根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着，可得出正方体表面展开要剪开的棱的条数；剪开1条棱，增加两个正方形的边长，依此即可求解．
（2）根据边长最长的都剪，边长最短的剪的最少，可得答案．
【解答】解：（1）∵正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，
∴要剪12﹣5＝7条棱，
4×（7×2）
＝4×14
＝56（cm）．
答：这个平面图形的周长是56cm；
（2）如图，
这个平面图形的最大周长是8a+4b+2c．
6.（2019 石家庄二十中学模拟）如图所示，太阳光线AC和A?C?是平行的，同一时刻两个建筑物在太阳下的影子一样长，那么建筑物是否一样高？请说明理由．
【分析】根据已知同一时刻两个建筑物在太阳下的影子一样长，即可得出BC＝B′C′，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．
【解答】解：建筑物一样高．
证明：∵AB⊥BC，A′B′⊥B′C′，
∴∠ABC＝∠A′B′C′＝90°，
∵AC∥A′C′，
∴∠ACB＝∠A′C′B′，
在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）
∴AB＝A′B′．
即建筑物一样高．
7.（2019辽宁大连中考模拟）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
（1）请说出这个几何体模型的最确切的名称是 ．
（2）如图2是根据 a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中的粗实线表示的正方形（中间一条虚线）和粗实线表示的三角形），请在网格中画出该几何体的左视图．
（3）在（2）的条件下，已知h＝20cm，求该几何体的表面积．
【分析】（1）利用包装盒的表面展开图即可得出其形状；
（2）根据题意结合主视图以及俯视图，即可得出左视图的宽和高，进而得出答案；
（3）首先求出a的值，进而得出侧面积以及上下底的面积即可得出答案．
【解答】解：（1）这个几何体模型的最确切的名称是：直三棱柱；
故答案为：直三棱柱；
（2）如图所示：
（3）由题意可得：a＝＝＝10，
S表面积＝×（10）2×2+2×10×20+202＝600+400（cm2）．
8.（2019 河北石家庄中考模拟）如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示，已知展开图中每个正方形的边长为1，
（1）求线段A′C′的长度；
（2）试比较立体图中∠BAC与展开图中∠B′A′C′的大小关系？并写出过程．
【分析】（1）由长方形中最长的线段为对角线，从而可根据已知运用勾股定理求得最长线段的长；
（2）要确定角的大小关系，一般把两个角分别放在两个三角形中，然后根据三角形的特点或者全等或者相似形来解．
【解答】解：（1）如图（1）中的A′C′，在Rt△A′C′D′中，∵C′D′＝1，A′D′＝3，由勾股定理得，
∴A'C'＝
（2）∵立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，
∴∠BAC＝45°．
在平面展开图中，连接线段B′C′，由勾股定理可得：A'B'＝，B'C'＝．
又∵A′B′2+B′C′2＝A′C′2，
由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'为直角三角形．
又∵A′B′＝B′C′，
∴△A′B′C′为等腰直角三角形．
∴∠B′A′C′＝45°．
∴∠BAC与∠B′A′C′相等．
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