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【专题讲义】备战2020中考总复习精编重难点
第23讲 三角函数及解直角三角形（提高版）
【学生版】
一、考点知识梳理
【考点1 锐角三角函数】
1.锐角三角函数的概念
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则∠A的
正弦 sinA＝＝
余弦 cosA＝＝
正切 tanA＝＝
2.特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
【考点2 解直角三角形—方位角问题】
解直角三角形
解直角三角形常用的关系： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则
三边关系 a2＋b2＝c2
两锐角关系 ∠A＋∠B＝90°
边角关系 sinA＝cosB＝cosA＝sinB＝tanA＝
方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角，如图③，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)
【考点3 解直角三角形— 仰角、俯角问题】
仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角
【考点4 解直角三角形—坡度问题】
坡度(坡比)、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tanα＝.
【考点5 解直角三角形与其它几何图形的关系】
主要是掌握相似的性质和判定，再结合图形选择正确的判断方法，辅助线的添加是解题关键，添辅助线有一个重要原则是“构造相似三角形”，要在直角三角形的基础上。
考点分析
【考点1 锐角三角函数】
【解题技巧】1.解决直角三角形的实际应用问题，最重要的是建立数学模型，将其转化为数学问题，其次是牢记特殊角的三角函数值及边角关系．
2.规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为、、；30°、45°、60°角的余弦值恰好是60°、45°、30°角的正弦值.
3.应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
4.特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
【例1】（2019 天津中考）2sin60°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【举一反三1-1】（2019 浙江杭州中考）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ ．
【举一反三1-2】（2019 河北中考）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝ ．
【举一反三1-3】（2019 甘肃中考）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）
【考点2 解直角三角形—方位角问题】
【解题技巧】1.解直角三角形的方法：
(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；
(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．
2.（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
（3）方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（4）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（5）画方向角：以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
【例2】（2019?济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北编东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（ ）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
A．225m B．275m C．300m D．315m
【举一反三2-1】（2019 辽宁大连中考）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝2，则AD的长为 ．
【举一反三2-2】（2019 湖北黄石中考）如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为 海里（结果保留根号）．
【举一反三2-3】（2019?呼和浩特）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
【考点3 解直角三角形—仰角、俯角问题】
【解题技巧】利用仰角、俯角可以测量底部不能到达的建筑物的高度。先构成直角三角形，利用锐角三角函数或边角关系或相似三角形的对应边成比例来解决此类问题。
【例3】（2019 辽宁大连中考）如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为 m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．
【举一反三3-1】（2019湖北孝感中考）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝ 米．
【举一反三3-2】（2019 广东中考）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 米（结果保留根号）．
【举一反三3-3】（2019 江苏徐州中考）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为 m．
（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）
【举一反三3-4】（2019 河南中考）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）
【考点4 解直角三角形—坡度问题】
【解题技巧】 在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
【例4】（2019 浙江杭州中考）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
【举一反三4-1】（2019?威海）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC＝2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三4-2】（2019?长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（ ）
A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米
【举一反三4-3】（2019 吉林中考）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）
【考点5 解直角三角形与其它几何图形的关系】
【解题技巧】解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
【例5】（2019 陕西中考）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（ ）
A．2+ B．+ C．2+ D．3
【举一反三5-1】（2019?新疆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①S△ABM＝4S△FDM；②PN＝；③tan∠EAF＝；④△PMN∽△DPE，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【举一反三5-2】（2019?宁夏）如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若DE＝AD，求tan∠AFE．
【举一反三5-3】（2019上海中考）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 浙江温州中考）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2.（2019 重庆中考）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（ ）
（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
3.（2019?日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）
A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米
4.（2019?广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（ ）
A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
5.（2019?广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
6.（2018 河北中考）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
8.（2017 河北中考））如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ）
A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
填空题
1.（2019 山西中考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为 cm．
2.（2019 陕西中考）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，这棵古树的高度AB＝ m．（小平面镜的大小忽略不计）
3.（2019?青海）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为 米．（结果保留根号）
4.（2019 浙江温州中考）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为 分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为 分米．
5.（2019?成都）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，起点拱门CD的高度是 分米．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
6.（2019?南通）如图，?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于 ．
7.（2019 河北邯郸中考模拟）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm. 图①是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图②的△ABC. 已知BC＝30 cm，AC＝22 cm，∠ACB＝53°，他的这种坐姿 （填是或不）符合保护视力的要求。 (参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)
8.（2019 攀枝花中考模拟）在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋＝0，那么∠C＝________.
解答题
1.（2019 北京中考）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG＝，求AO的长．
2.（2019 安徽中考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
3.（2019 福建中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．
4.（2019 海南中考）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的
北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空：∠BAC＝ 度，∠C＝ 度；
（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．
5.（2019 江西中考）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．
（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．
①填空：∠BAO＝ °．
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）
6.（2019 山西中考）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题 测量旗杆的高度
成员 组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图 说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH 上．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
∠GCE的度数 25.6° 25.8° 25.7°
∠GDE的度数 31.2° 30.8° 31°
A，B之间的距离 5.4m 5.6m
… …
任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是 m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．
（参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
7.（2019 江苏南京中考）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．
（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）
（2019 上海中考）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E
（1）求证：∠E═∠C；
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．
9.（2019?新疆）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．
（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；
（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
10.（2019?深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
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第23讲 三角函数及解直角三角形（解析版）
【教师版】
一、考点知识梳理
【考点1 锐角三角函数】
1.锐角三角函数的概念
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则∠A的
正弦 sinA＝＝
余弦 cosA＝＝
正切 tanA＝＝
2.特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
【考点2 解直角三角形—方位角问题】
解直角三角形
解直角三角形常用的关系： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则
三边关系 a2＋b2＝c2
两锐角关系 ∠A＋∠B＝90°
边角关系 sinA＝cosB＝cosA＝sinB＝tanA＝
方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角，如图③，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)
【考点3 解直角三角形— 仰角、俯角问题】
仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角
【考点4 解直角三角形—坡度问题】
坡度(坡比)、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tanα＝.
【考点5 解直角三角形与其它几何图形的关系】
主要是掌握相似的性质和判定，再结合图形选择正确的判断方法，辅助线的添加是解题关键，添辅助线有一个重要原则是“构造相似三角形”，要在直角三角形的基础上。
考点分析
【考点1 锐角三角函数】
【解题技巧】1.解决直角三角形的实际应用问题，最重要的是建立数学模型，将其转化为数学问题，其次是牢记特殊角的三角函数值及边角关系．
2.规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为、、；30°、45°、60°角的余弦值恰好是60°、45°、30°角的正弦值.
3.应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
4.特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
【例1】（2019 天津中考）2sin60°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：2sin60°＝2×＝，
故选：C．
【举一反三1-1】（2019 浙江杭州中考）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ ．
【答案】或．
【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值．
【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
综上所述，cosC的值为或．
故答案为或．
【举一反三1-2】（2019 河北中考）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝ ．
【答案】．
【分析】法一：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解；
法二：利用正切求出∠A＝30°，∠B＝60°，再求cosB的值．
【解答】解：法一：
利用三角函数的定义及勾股定理求解．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
设a＝x，b＝3x，则c＝2x，
∴cosB＝＝．
法二：
利用特殊角的三角函数值求解．
∵tanA＝
∴∠A＝30°，
∵∠C＝90°
∴∠B＝60°，
∴cosB＝cos60°＝．
故答案为：．
【举一反三1-3】（2019 甘肃中考）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．
【解答】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，
∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，
∵∠C＝65°，AC＝900，
∴∠ABD＝65°，BD＝900，
∴BM＝BD?cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD?sin65°＝900×0.906≈815，
∵381÷3＝127，120＜127＜150，
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，
∵815÷3≈272，260＜272＜300，
∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
【考点2 解直角三角形—方位角问题】
【解题技巧】1.解直角三角形的方法：
(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；
(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．
2.（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
（3）方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（4）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（5）画方向角：以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
【例2】（2019?济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北编东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（ ）（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
A．225m B．275m C．300m D．315m
【答案】C．
【分析】如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．构建方程组求出x，y即可解决问题．
【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．
在Rt△ECB中，tan53°＝，即＝，
在Rt△AEC中，tan37°＝，即＝，
解得x＝180，y＝135，
∴AC＝＝＝300（m），
故选：C．
【举一反三2-1】（2019 辽宁大连中考）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝2，则AD的长为 ．
【答案】2．
【分析】AB＝AC＝BC＝CD，即可求出∠BAD＝90°，∠D＝30°，解直角三角形即可求得．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝60°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠BAD＝90°，
∴AD＝＝＝2．
故答案为2．
【举一反三2-2】（2019 湖北黄石中考）如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为 海里（结果保留根号）．
【答案】2．
【分析】根据“若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离为PT”，得PT⊥MN，利用锐角三角函数关系进行求解即可
【解答】解：由题意得，MN＝15×2＝30海里，
∵∠PMN＝30°，∠PNT＝60°，
∴∠MPN＝∠PMN＝30°，
∴PN＝MN＝30海里，
∴PT＝PN?sin∠PNT＝15海里．
故答案为：15．
【举一反三2-3】（2019?呼和浩特）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，．
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝230km．
CD＝AC＝230km．
∵丙地位于乙地北偏东66°方向，
在Rt△BDC中，∠CBD＝24°，
∴BD＝＝（km）．
∴AB＝BD+AD＝230+（km）．
答：公路AB的长为（230+）km．
【考点3 解直角三角形—仰角、俯角问题】
【解题技巧】利用仰角、俯角可以测量底部不能到达的建筑物的高度。先构成直角三角形，利用锐角三角函数或边角关系或相似三角形的对应边成比例来解决此类问题。
【例3】（2019 辽宁大连中考）如图，建筑物C上有一杆AB．从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为 m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．
【答案】3．
【分析】根据正切的定义分别求出AC、BC，结合图形计算即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，
则BC＝CD?tan∠BDC＝10，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，
则AC＝CD?tan∠ADC≈10×1.33＝13.3，
∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m），
故答案为：3．
【举一反三3-1】（2019湖北孝感中考）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝ 米．
【答案】（20﹣20）．
【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝，
则BD＝PD?tan∠BPD＝20，
在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，
∴CD＝PD＝20，
∴BC＝BD﹣CD＝20﹣20，
故答案为：（20﹣20）．
【举一反三3-2】（2019 广东中考）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 米（结果保留根号）．
【答案】15
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．
【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，
在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．
故教学楼AC的高度是AC＝15米．
答：教学楼AC的高度是（15）米．
【举一反三3-3】（2019 江苏徐州中考）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为 m．
（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）
【答案】15
【分析】作AE⊥BC于E，根据正切的定义求出AE，根据等腰直角三角形的性质求出BE，结合图形计算即可．
【解答】解：作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴EC＝AD＝62，
在Rt△AEC中，tan∠EAC＝，
则AE＝≈＝200，
在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，
∴BE＝AE＝200，
∴BC＝200+62＝262（m），
则该建筑的高度BC为262m，
故答案为：262．
【举一反三3-4】（2019 河南中考）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）
【分析】由三角函数求出AC＝≈82.1m，得出BC＝AC﹣AB＝61.1m，在Rt△BCD中，由三角函数得出CD＝BC≈105.7m，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55m，
∴tan∠CAE＝，
∴AC＝＝≈82.1m，
∵AB＝21m，
∴BC＝AC﹣AB＝61.1m，
在Rt△BCD中，tan60°＝＝，
∴CD＝BC≈1.73×61.1≈105.7m，
∴DE＝CD﹣EC＝105.7﹣55≈51m，
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
【考点4 解直角三角形—坡度问题】
【解题技巧】 在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
【例4】（2019 浙江杭州中考）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
【答案】D．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．
【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，
∴∠EAB＝x，
∴∠FBA＝x，
∵AB＝a，AD＝b，
∴FO＝FB+BO＝a?cosx+b?sinx，
故选：D．
【举一反三4-1】（2019?威海）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC＝2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【分析】在△ABC中，通过解直角三角形可得出sinA＝，则AB＝，即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，sinA＝sin20°＝，
∴AB＝＝，
∴按键顺序为：2÷sin20＝
故选：A．
【举一反三4-2】（2019?长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（ ）
A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米
【答案】A．
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinα＝＝，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，
故BC＝3sinα（m）．
故选：A．
【举一反三4-3】（2019 吉林中考）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）
【分析】过C作CF⊥AB于F，于是得到∠AFC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，
则∠AFC＝90°，
在Rt△ACF中，AC＝30，∠CAF＝43°，
∵cos∠CAF＝，
∴AF＝AC?cos∠CAF＝30×0.73＝21.9，
∴CE＝BF＝AB+AF＝170+21.9＝191.9≈192（cm），
答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．
【考点5 解直角三角形与其它几何图形的关系】
【解题技巧】解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
【例5】（2019 陕西中考）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（ ）
A．2+ B．+ C．2+ D．3
【答案】A．
【分析】过点D作DF⊥AC于F如图所示，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝1，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于F如图所示，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF＝1，
在Rt△BED中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
在Rt△CDF中，∠C＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CD＝DF＝，
∴BC＝BD+CD＝2，
故选：A．
【举一反三5-1】（2019?新疆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①S△ABM＝4S△FDM；②PN＝；③tan∠EAF＝；④△PMN∽△DPE，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A．
【分析】①正确．利用相似三角形的性质解决问题即可．
②正确．作PH⊥AN于H，求出PH，HN即可解决问题．
③正确．求出EN，AN即可判断．
④错误．证明∠DPN≠∠PDE即可．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，
∴∠DAN＝∠EDC，
在△ADF与△DCE中，，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DF＝CE＝1，
∵AB∥DF，
∴△ABM∽△FDM，
∴＝（）2＝4，
∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确；
由勾股定理可知：AF＝DE＝AE＝＝，
∵×AD×DF＝×AF×DN，
∴DN＝，
∴EN＝，AN＝＝，
∴tan∠EAF＝＝，故③正确，
作PH⊥AN于H．
∵BE∥AD，
∴＝＝2，
∴PA＝，
∵PH∥EN，
∴＝＝，
∴AH＝×＝，HN＝，
∴PN＝＝，故②正确，
∵PN≠DN，
∴∠DPN≠∠PDE，
∴△PMN与△DPE不相似，故④错误．
故选：A．
【举一反三5-2】（2019?宁夏）如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若DE＝AD，求tan∠AFE．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠A＝∠D＝90°，由垂直的定义得到∠FEC＝90°，根据余角的性质得到∠AFE＝∠DEC，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）由已知条件得到AE＝DE，由AF＝DE，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥CE，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝∠DEC，
在△AEF与△DCE中，，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AF＝DE；
（2）解：∵DE＝AD，
∴AE＝DE，
∵AF＝DE，
∴tan∠AFE＝＝．
【举一反三5-3】（2019上海中考）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．
【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE及D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离；
（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．
【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．
由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．
在Rt△AD′F中，D′F＝AD′?sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．
又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，
∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，
∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．
答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．
（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．
由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，
∴AE＝＝30厘米，
∴EE′＝30厘米．
答：E、E′两点的距离是30厘米．
三、【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 浙江温州中考）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，
则BD＝0.3＝，
∵cosα＝，
∴cosα＝，
解得，AB＝米，
故选：B．
2.（2019 重庆中考）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（ ）
（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
【答案】C．
【分析】如图，根据已知条件得到＝1：2.4＝，设CF＝5k，AF＝12k，根据勾股定理得到AC＝＝13k＝26，求得AF＝10，CF＝24，得到EF＝6+24＝30，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，∵＝1：2.4＝，
∴设CF＝5k，AF＝12k，
∴AC＝＝13k＝26，
∴k＝2，
∴AF＝10，CF＝24，
∵AE＝6，
∴EF＝6+24＝30，
∵∠DEF＝48°，
∴tan48°＝＝＝1.11，
∴DF＝33.3，
∴CD＝33.3﹣10＝23.3，
答：古树CD的高度约为23.3米，
故选：C．
3.（2019?日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）
A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米
【答案】B．
【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．
【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝10（米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10）米．
故选：D．
4.（2019?广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（ ）
A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
【答案】C．
【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．
【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，
设DF＝x，
∵tan65°＝，
∴OF＝xtan65°，
∴BF＝3+x，
∵tan35°＝，
∴OF＝（3+x）tan35°，
∴2.1x＝0.7（3+x），
∴x＝1.5，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15，
∴OE＝3.15+1.5＝4.65，
故选：C．
5.（2019?广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
【答案】A．
【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，
∴tan∠BAC＝，
解得，AC＝75，
故选：A．
6.（2018 河北中考）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
【答案】A．
【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：如图，
AP∥BC，
∴∠2＝∠1＝50°．
∠3＝∠4﹣∠2＝80°﹣50°＝30°，
此时的航行方向为北偏东30°，
故选：A．
7.（2019 河北中考）如图，从点C观测点D的仰角是（ ）
A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
【答案】B．
【分析】根据仰角的定义进行解答便可．
【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，
∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，
故选：B．
8.（2017 河北中考））如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ）
A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
【答案】D．
【分析】根据已知条件即可得到结论．
【解答】解：∵甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，
∴乙的航向不能是北偏西35°，
故选：D．
填空题
1.（2019 山西中考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为 cm．
【答案】10﹣2．
【分析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED＝∠ADG＝45°，∠AFD＝60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出CF＝AC﹣AF＝10﹣2．
【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G，
由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，
∴∠AED＝∠ADG＝45°，
在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，
在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3，
在Rt△AFG中，GF＝＝，AF＝2FG＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝10﹣2，
故答案为：10﹣2．
2.（2019 陕西中考）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，这棵古树的高度AB＝ m．（小平面镜的大小忽略不计）
【答案】18
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5．解Rt△ACH，得出AH＝CH＝BD，那么AB＝AH+BH＝BD+0.5．再证明△EFG∽△ABG，根据相似三角形对应边成比例求出BD＝17.5，进而求出AB即可．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5．
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由题意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴＝即＝，
解之，得BD＝17.5，
∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．
∴这棵古树的高AB为18m．
故答案为：18
3.（2019?青海）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为 米．（结果保留根号）
【答案】4﹣4．
【分析】在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题．
【解答】解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM+AB＝12米，∠MBC＝30°，
∴CM＝MB?tan30°＝12×＝4，
在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，
∴∠MAD＝∠MDA＝45°，
∴MD＝AM＝4米，
∴CD＝CM﹣DM＝（4﹣4）米，
故答案为：4﹣4．
4.（2019 浙江温州中考）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为 分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为 分米．
【答案】5+5， 4．
【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．
【解答】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．
∵AM⊥CD，
∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，
∴四边形OQMP是矩形，
∴QM＝OP，
∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∵OP⊥CD，
∴∠COP＝∠COD＝30°，
∴QM＝OP＝OC?cos30°＝5（分米），
∵∠AOC＝∠QOP＝90°，
∴∠AOQ＝∠COP＝30°，
∴AQ＝OA＝5（分米），
∴AM＝AQ+MQ＝5+5．
∵OB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝2（分米），
在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）
∴BE＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）（分米），
在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），
在Rt△FJE′中，E′J＝＝2，
∴B′E′＝10﹣（2﹣2）＝12﹣2，
∴B′E′﹣BE＝4．
故答案为5+5，4．
5.（2019?成都）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，起点拱门CD的高度是 分米．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【答案】6
【分析】作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得到CE＝AB＝20，CD＝BE，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可．
【解答】解：作CE⊥AB于E，
则四边形CDBE为矩形，
∴CE＝AB＝20，CD＝BE，
在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，
∴AB＝DB＝20，
在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，
∴AE＝CE?tan∠ACE≈20×0.70＝14，
∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6，
故答案为6
6.（2019?南通）如图，?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于 ．
【答案】3
【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP＝PD，即PB+PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD
∴∠EDP＝∠DAB＝60°，
∴sin∠EDP＝
∴EP＝PD
∴PB+PD＝PB+PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠A＝＝
∴BE＝3
故答案为3
7.（2019 河北邯郸中考模拟）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm. 图①是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图②的△ABC. 已知BC＝30 cm，AC＝22 cm，∠ACB＝53°，他的这种坐姿 （填是或不）符合保护视力的要求。 (参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)
【答案】不
【分析】过点B作BD⊥AC于点D.然后构造直角三角形BDC,先利用正弦函数，求出BD，然后再利用余弦函数求出DC,AD＝AC－DC,再利用勾股定理求出AB的长，从而得到结论。
【解答】：他的这种坐姿不符合保护视力的要求．
理由：过点B作BD⊥AC于点D.
∵BC＝30 cm，∠ACB＝53°，
∴sin53°＝＝≈0.8，
解得：BD＝24，
cos53°＝≈0.6，
解得DC＝18,
∴AD＝AC－DC＝22－18＝4(cm)，
∴AB＝＝＝<，
∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．
故答案为：不
8.（2019 攀枝花中考模拟）在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋＝0，那么∠C＝________.
【答案】75°
【分析】先根据非负性，得tanA＝1，cosB＝，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
【解答】：∵在△ABC中，tanA＝1，cosB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B
＝75°.
故答案为：75°
解答题
1.（2019 北京中考）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG＝，求AO的长．
【分析】（1）由菱形的性质得出AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，得出AB：BE＝AD：DF，证出EF∥BD即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠G＝∠ADO，由三角函数得出tanG＝tan∠ADO＝＝，得出OA＝OD，由BD＝4，得出OD＝2，得出OA＝1．
【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴AB：BE＝AD：DF，
∴EF∥BD，
∴AC⊥EF；
（2）解：如图2所示：
∵由（1）得：EF∥BD，
∴∠G＝∠ADO，
∴tanG＝tan∠ADO＝＝，
∴OA＝OD，
∵BD＝4，
∴OD＝2，
∴OA＝1．
2.（2019 安徽中考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
【分析】连接CO并延长，与AB交于点D，由CD与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出OA，进而求出OD，由CO+OD求出CD的长即可．
【解答】解：连接CO并延长，与AB交于点D，
∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3（米），
在Rt△AOD中，∠OAB＝41.3°，
∴cos41.3°＝，即OA＝＝＝4（米），
tan41.3°＝，即OD＝AD?tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米），
则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．
3.（2019 福建中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∠ADB＝90°﹣∠CAD，从而得到∠BAC＝∠CAD，即可证得结论；
（2）易证得BC＝CF＝4，即可证得AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tan∠BAD的值．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴＝，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD；
（2）解：∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠BDC＝2∠DFC，
∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，
∴CB＝CF，
又BD⊥AC，
∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．
又BC＝4，
设AE＝x，CE＝10﹣x，
由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，
解得x＝6，
∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，
∴DE＝＝＝3，
∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，
作DH⊥AB，垂足为H，
∵AB?DH＝BD?AE，
∴DH＝＝＝，
∴BH＝＝，
∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，
∴tan∠BAD＝＝＝．
4.（2019 海南中考）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的
北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空：∠BAC＝ 度，∠C＝ 度；
（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．
【分析】（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，由三角形内角和定理即可得出∠C的度数；
（2）证出△BCP是等腰直角三角形，得出BP＝PC，求出PA＝BP，由题意得出BP+BP＝10，解得BP＝5﹣5即可．
【解答】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°；
故答案为：30，45；
（2）∵BP⊥AC，
∴∠BPA＝∠BPC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP＝PC，
∵∠BAC＝30°，
∴PA＝BP，
∵PA+PC＝AC，
∴BP+BP＝10，
解得：BP＝5﹣5，
答：观测站B到AC的距离BP为（5﹣5）海里．
5.（2019 江西中考）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．
（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．
①填空：∠BAO＝ °．
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）
【分析】（1）①过点A作AG∥BC，根据平行线的性质解答便可；
②过点A作AF⊥BC于点F，解直角三角形求出AF，进而计算AF+OA﹣CD使得结果；
（2）过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，求出CM，再解直角三角形求得∠MBC便可．
【解答】解：（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，
∵BC∥OE，
∴AG∥OE，
∴∠GAO＝∠AOE＝90°，
∴∠BAO＝90°+70°＝160°，
故答案为：160；
②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，
则AF＝AB?sin∠ABE＝30sin70°≈28.2（cm），
∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+0A﹣CD＝28.2+6.8﹣8＝27（cm）；
（2）过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，
则∠MBA＝70°，AF＝28.2cm，DH＝6cm，BC＝30cm，CD＝8cm，
∴CM＝AF+AO﹣DH﹣CD＝28.2+6.8﹣6﹣8＝21（cm），
∴sin∠MBC＝，
∴∠MBC＝36.8°，
∴∠ABC＝∠ABM﹣∠MBC＝33.2°．
6.（2019 山西中考）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题 测量旗杆的高度
成员 组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图 说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH 上．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
∠GCE的度数 25.6° 25.8° 25.7°
∠GDE的度数 31.2° 30.8° 31°
A，B之间的距离 5.4m 5.6m
… …
任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是 m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．
（参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【分析】任务一：根据矩形的性质得到EH＝AC＝1.5，CD＝AB＝5.5；
任务二：设EC＝xm，解直角三角形即可得到结论；
任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到等（答案不唯一）．
【解答】解：任务一：由题意可得，四边形ACDB，四边形ADEH是矩形，
∴EH＝AC＝1.5，CD＝AB＝5.5，
故答案为：5.5；
任务二：设EC＝xm，
在Rt△DEG中，∠DEC＝90°，∠GDE＝31°，
∵tan31°＝，
∴DE＝，
在Rt△CEG中，∠CEG＝90°，∠GCE＝25.7°，
∵tan25.7°＝，CE＝，
∵CD＝CE﹣DE，
∴﹣＝5.5，
∴x＝13.2，
∴GH＝CE+EH＝13.2+1.5＝14.7，
答：旗杆GH的高度为14.7米；
任务三：没有太阳光，或旗杆底部不可能达到．
7.（2019 江苏南京中考）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．
（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）
【分析】延长AB交CD于H，利用正切的定义用CH表示出AH、BH，根据题意列式求出CH，计算即可．
【解答】解：延长AB交CD于H，
则AH⊥CD，
在Rt△AHD中，∠D＝45°，
∴AH＝DH，
在Rt△AHC中，tan∠ACH＝，
∴AH＝CH?tan∠ACH≈0.51CH，
在Rt△BHC中，tan∠BCH＝，
∴BH＝CH?tan∠BCH≈0.4CH，
由题意得，0.51CH﹣0.4CH＝33，
解得，CH＝300，
∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，
∴AH＝AB+BH＝153，
∴DH＝AH＝153，
∴HF＝DH﹣DF＝103，
∴EF＝EH+FH＝323，
答：隧道EF的长度为323m．
（2019 上海中考）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E
（1）求证：∠E═∠C；
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．
【分析】（1）由题意：∠E＝90°﹣∠ADE，证明∠ADE＝90°﹣∠C即可解决问题．
（2）延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，由BD：DE＝2：3，可得cos∠ABC＝＝＝．
（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，同理∠ABD＝∠ABC，
∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，
∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣∠C，
∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．
（2）解：延长AD交BC于点F．
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，
∵BD：DE＝2：3，
∴cos∠ABC＝＝＝．
（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，
∴∠ABC中必有一个内角为90°
∵∠ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，
∵∠E＝∠C，
∴∠ABC＝∠E＝∠C，
∵∠ABC+∠C＝90°，
∴∠ABC＝30°，此时＝2﹣．
②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，
∴∠EDA＝45°，
∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC＝45°，此时＝2﹣．
综上所述，∠ABC＝30°或45°，＝2﹣或2﹣．
9.（2019?新疆）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．
（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；
（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【分析】（1）作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得：PA＝80，∠APC＝45°，∠BPC＝60°，得出△APC是等腰直角三角形，∠B＝30°，求出AC＝PC＝PA＝40即可；
（2）由直角三角形的性质得出BC＝PC＝40，得出AB＝AC+BC＝40+40，求出海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间，即可得出结论．
【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA＝∠PCB＝90°，
由题意得：PA＝80，∠APC＝45°，∠BPC＝90°﹣30°＝60°，
∴△APC是等腰直角三角形，∠B＝30°，
∴AC＝PC＝PA＝40，
答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；
（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处，理由如下：
∵∠PCB＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝PC＝40，
∴AB＝AC+BC＝40+40，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间＝＝≈≈5.15（小时）＞5小时，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处．
10.（2019?深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
【分析】作EM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝AD＝600，
作EM⊥AC于M，
则AM＝DE＝500，
∴BM＝100，
在Rt△CEM中，tan53°＝＝＝，
∴CM＝800，
∴BC＝CM﹣BM＝800﹣100＝700（米）
答：隧道BC长为700米．
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