中考培优第二轮复习专题 第6章 一次函数k的几何用法学案(含答案)

第六章 一次函数k的几何用法
一次函数的一次项系数：k
一次函数x轴的夹角的正切值：tanα
拓展：tanα＝|k|
常见的k
±1：与x轴夹角45°，与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形；
±：与x轴夹角60°；±：与x轴夹角30°；
±、±：与坐标轴围成的三角形为3、4、5的直角三角形；
±2、±：与坐标轴围成的三角形为1、2、的直角三角形；
例题讲解
例题1、若一次函数y＝－x＋b与坐标轴围成的三角形周长为16，则b＝ .
【解析】
由题意知，该直线与坐标轴围成的三角形三边比为3∶4∶5，且在y轴上的直角边为“3”，
∴当b＞0时，三边和b＋b＋b＝16，解得b＝4；同理，b＜0时，b＝－4
例题2、一次函数y＝x－b与y＝x－1的图象之间的距离等于3，则b的值为 .
【解析】
如图，直线y＝x－1与坐标轴围成的三角形（阴影区域）为三边比为3∶4∶5，且在x轴上的直角边为“3”，由此可推导出△ABC与△AB′C′均为“3、4、5”三角形，当BC＝B′C′＝3时，可计算出AB＝AB′＝5，∵OA＝1，∴B（0，4），B′（0，－6），∴－b＝4或－6，则b＝－4或6
例题3、在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，－2）、点B（3m，4m＋1）（m≠－1），点C（6，2），则对角线BD的最小值是 .
【解析】
由题意得，点B所在直线为y＝x＋1，且该直线与x轴的夹角的正切值为.求BD的最大值.①当BD为平行四边形的边时，BD＝AC＝2；当BD作为对角线时，BD与AC互相平分，本题AC与x轴交点E恰为AC中点，BD始终经过点E（3，0），BD＝2EB，当EB⊥直线y＝x＋1时，EB最小，F（－，0），∴EF＝，∴BE＝EF＝3，∴此种情况下BD的最大值为6.
例题4、如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M的圆心坐标为（m，2），半径为2，当直线l与⊙M有交点时，求m的取值范围.
【提示】将点M到直线AB的距离利用“k”转化为点M到直线AB的水平距离，本题点M与点B纵坐标相等，即转化为MB的距离即可
【解析】
如图，当⊙M与直线l：y＝2x＋2相切时，M1B＝M2B＝，∴－ ≤m≤.
例题5、如图，二次函数y＝x2－x－2的图象交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴于C，过A，C画直线.点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H.若⊙M的半径为，求点M的坐标.
【提示】相切即有垂直，问题即转化为“抛物线上一点M到AC的距离为”，同样的，将距离利用直线AC的“k”转化为水平或竖直长度求解.
【解析】
如图，在x轴上取一点D，过D作DE⊥AC于点E，使得DE＝.
在Rt△AOC中，AC＝.易证△AED∽△AOC，∴＝，∴AD＝2，∴D(1，0)或D(－3，0).
过D作DM∥AC交抛物线于点M，则yDM ＝－2x＋2或y＝－2x－6.
当－2x－6＝x2－x－2时，方程无实根；
当－2x＋2＝x2－x－2时，解得x＝，∴M(，3＋ )或M(，3－).
巩固练习
1、点P（－2，4）到直线y＝x－2的距离为 .
答案：6
2、如图，直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 .
答案：(2，4)
解析：∵A(2，0)，B(0，2)，∴OA＝2，OB＝2，∴AB＝4，∠BAO＝30°，又∵∠BAB′＝60°，∴∠OAB′＝90°，∴B′(2，4).
（第2题）（第3题）（第4题）
3、如图，点A的坐标为（－1，0），点B在直线y＝2x－4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是 .
答案：(，－)
解析：
如图，作AC⊥BC，∵yBC＝2x－4，∴设yAC＝－x＋b，将A点坐标代入得b＝－，∴yAC＝－x－，联立，解得，∴B(，－).
4、如图，直线y＝2x与双曲线y＝（x＞0）交于点A，将直线y＝2x向右平移3个单位后，与双曲线y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点C.若BC＝OA，则k的值为 .
答案：8
解析：
如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD＝2BE.
易得yBC＝2x－6＝2(x－3)，设xB＝3＋x，则yB ＝2x，∴BE＝2x，∴AD＝4x，∴OD＝2x，∴A(2x，4x)，∴2x×4x＝(3＋x)×2x，解得x＝1，∴k＝8.
5、如图，直线y＝－x－1与反比例函数y＝(x＜0)的图象交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴的垂线交双曲线于点C，连接AC，若AB＝AC，则k的值为 .
答案：－4
简析：
B(－2，0)，设C(－2，－).
过A作AD⊥BC，D(－2，－)，∴A(－4，－)，∴－＝－×(－4)－1，解得k＝－4.
6、已知直线l：y＝x与以（4，0）为圆心的⊙A相切，⊙A以每秒1个单位的速度在x轴上运动.
（1）⊙A的半径为 ；
（2）若⊙A在运动过程中截直线l所得的弦长为，求⊙A的运动时间；
（3）若直线l同时以每秒个单位的速度沿y轴负方向运动，求⊙A与直线l再次相切时的圆心坐标.
答案：
(1)2
(2)
如图，设⊙A与直线y＝x交于点M、N，作AB⊥MN于点B，连接AN，则BM＝BN＝，∴AB＝，∴OA＝，∴点A的运动距离为4－＝，∴t＝s.
根据对称性知A1(－，0)也满足条件，∴点A的运动距离为4＋＝，∴t＝s.
∴⊙A的运动时间为s或s.
(3)
如图，当⊙A向左运动时，⊙A与直线的切点为C，作AE∥l，作ED⊥l于点D，则四边形ACDE为矩形.
易知AC＝DE＝2，ME＝，∴OA＝4－t，OE＝(4－t)，∵OM＝t，∴t＝(4－t)＋，解得t＝2，∴A(2，0)；
当⊙A向右运动时，同法可得t＝(4＋t)＋，解得t＝4，∴A(8，0).
综上所述，满足条件的点A坐标为(2，0)或(8，0).
7、如图，直线y＝kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A（－4，0）、B（0，3），抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.
（1）求直线y＝kx＋b的函数解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
答案：
(1)y＝x＋3；
(2)
如图，作PH⊥AB于点H，作HQ⊥x轴，PQ⊥y轴，两垂线交于点Q.
易证△PQH∽△BOA，∴＝＝，设H(m，m＋3)，则PQ＝x－m，HQ＝m＋3－(－x2＋2x＋1)，∴＝＝，∴d＝x2－x＋＝(x－)2＋，
∵＞0，∴当x＝时，d有最小值，此时y＝－()2＋2×＋1＝，
∴当d取得最小值时P点坐标为(，).
8、一次函数y＝x的图像如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C.
（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图像的顶点为D，若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式.
答案：
(1)∵y＝ax2－4ax＋c＝a(x－2)2－4a＋c，∴当x＝2时，y＝x＝，∴C(2，)；
(2)
设A(m，m)（m＜2），过点A作AE⊥CD于点E，则AE＝2－m，CE＝－m，
∴AC＝＝＝(2－m)，∴CD＝AC＝(2－m).
∵△ACD的面积等于10，∴×(2－m)2＝10，解得m＝－2或6(舍去)，
∴m＝－2，∴A(－2，－)，CD＝5.
当a＞0时，则点D在点C下方，∴ D(2，－)，
由A(－2，－)，D(2，－)得，解得，∴y＝ x2－ x－3；
当a＜0时，则点D在点C上方，∴ D(2，)，
由A(－2，－)，D(2，)得，解得，∴y＝－x2＋2x＋.
9、如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为M（2，1），且过点N（3，2）.
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若一次函数y＝－x－4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，以PQ为直径作圆交直线AB于点D.设点P的横坐标为n，问：当n为何值时，线段DQ的长取得最小值？最小值为多少？
答案：
(1)y＝(x－2)2＋1或y＝x2－4x＋5；
(2)由题意知：P(n，n2－4n＋5），Q(n，－n－4)，∴PQ＝ n2－4n＋5－(－n－4)＝n2－n＋9＝(n－)2＋，
∴当n＝时，PQ取得最小值.
易证△DPQ∽△OAB，∴＝，∴DQ＝PQ，
∴当n＝时，DQ取得最小值，为.
10、如图，直线y＝－x＋6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y＝x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t s（t＞0）.
（1）求点C的坐标；
（2）当0＜t＜5时，求S的最大值；
（3）当t在何范围时，点（4，）被正方形PQMN覆盖？请直接写出t的取值范围.
答案：
(1)∵，∴，∴C(3，)；
(2)易得A(8，0)，B(0，6)，∴OA＝8，OB ＝6.
依题意得：AE＝t，OE＝8－t，∴点Q的纵坐标为(8－t)，点P的纵坐标为－(8－t)＋6＝t，
∴PQ＝(8－t)－ t＝10－2t.
当MN在AD上时，10－2t＝t，解得t＝；
当0＜t≤时，S＝t(10－2t)，即S＝－2t2＋10t＝－2(t－)2＋，S有最大值；
当＜t＜5时，S＝(10－2t)2，即S＝4t2－40t＋100＝4(t－5)2，
∵t＜5时，S随t的增大而减小，∴t＝时，S最大值＝，
∵＞，∴S的最大值为.
(3)当t＝5时，PQ＝0，P、Q、C三点重合；
当t＜5时，知OE＝4时是临界条件，即8－t＝4，即t＝4，∴点Q的纵坐标为5＞，
点(4，)在正方形边界PQ上，E继续往左移动，则点(4，)进入正方形内部，但点Q的纵坐标在减少，当Q点的纵坐标为时，OE＝，∴8－t＝，解得t＝，
此时OE＋PN＝＋PQ＝＋(10－2t)＝＞4，满足条件，∴4＜t＜.
当t＞5时，E(t－8，0)，PQ＝2t－10，则4＝PQ＋OE＝3t－18，即t＝6时，此时点Q的纵坐标为－ ×2＋6＝ ＞，满足条件，∴t＞6.
综上所述：4＜t＜或t＞6时，点（4，）被正方形PQMN覆盖