中考培优第二轮复习专题 第1章 慧眼识平行学案(含答案)

第一章 慧眼识平行
平行和垂直是几何问题中非常重要的两种位置关系，由于这两种关系极其具有本质性，所以许多题的突破点就在这里，一旦发现了这些结论，对于解题会有相当大的帮助！
两直线平行，除了直接的：①同位角相等；②内错角相等；③同旁内角互补，还有一些其它基本图中也暗藏着平行，这需要同学们通过模式识别，找出题中的平行来，以此解决接下来的问题.
一、同侧共边三角形面积相等
例题1、如图，将□ABCD沿着对角线AC翻折，点B落在点E
处，连接ED，求证：ED//AC.
【解答】如图，连接ED.在□ABCD中，，由翻折知，，∴ED//AC.
例题2、在□ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=，将△ABC沿AC翻折至△ABC，使点B'落在□ABCD所在的平面内，连接B'D.若△AB'D是直角三角形，则BC的长为________.
【解答】4或6.
例题3、如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数交于A、B两点，过点A、B分别作x轴、y轴垂线，垂足分别为D、C，连接CD，求证：CD//AB.
【解答】连接AC，BD，由|k|的几何意义得：，∴AB∥CD.
例题4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（，0）.动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第一象限的抛物线上取一点G，使得，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠GBE=45°，求E点的坐标.
【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+4得：，解得
故抛物线的解析式为：.
（3）如图，过点G作GM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N，∵S△GCB＝S△GCA，∴只有CG∥AB时，G点才符合题意，∵C（0，4），∴，解得：x1＝1，x2＝0，∴G（1，4），∵∠GBE＝∠OBC＝45°，∴∠GBC＝∠ABE，∴△BGM∽△BEN，∴.设E（x，）
∴，解得，（舍去），则E（）.
即时练习
1、已知抛物线（a＜0）与x轴交于点A（8，0）和B（-12，0），与y轴交于点C（0，6）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上取一点P，使得，再在抛物线上找一点Q（不与点A、B、C重合），使得tan∠PBQ=，求点Q的坐标.

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（8，0）和B（﹣12，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣8）（x+12），又∵抛物线过点C（0，6），∴6＝﹣96a，解得a＝，
∴，即该抛物线的解析式为；
（2）∵S△PCA＝S△PCB，∴A、B到PC的距离相等，∴PC∥AB，∴P、C关于抛物线的对称轴x＝﹣2对称，∵C（0，6），∴P（﹣4，6）．∵tan∠PBQ＝，，∴∠PBQ＝∠CBA，∴∠PBQ﹣∠CBQ＝∠CBA﹣∠CBQ，即∠PBC＝∠QBA．作PG⊥BC于G，QH⊥AB于H．∵，，BG＝BC﹣CG＝＝，∴设点Q的坐标为（x，），∵tan∠QBA＝tan∠PBC，∴，解得或-12（舍去），故点Q的坐标是（，）．
二、角平分线+等腰
例题1、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC与∠BCD的角平分线交于AD边上的点E，AE=AB.
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB=2，则该四边形的周长为_________.
【解答】（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，又∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠EBC=∠AEB，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）12.
例题2、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF.
（1）求证：CF//AE；
（2）CF的长为________
【解答】（1）如图，连接BF，∵E为BC的中点，∴BE=EC，由折叠知，EF=BE，∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF，∴∠BFC=90°即BF⊥CF.又∵B和F关于AE对称，∴BF⊥AE，∴CF∥AE；（2）
例题3、如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，圆O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.
（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）当BD=6，A8=10时，求圆O的半径.
【解答】解：（1）AC与⊙O相切．理由如下：连结OE，如图，∵BE平分∠ABD，∴∠OBE＝∠DBO，∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OBE＝∠DBO，∴OE∥BD，∵AB＝BC，D是AC中点，∴BD⊥AC，∴OE⊥AC，∴AC与⊙O相切；
（2）设⊙O半径为r，则AO＝10﹣r，由（1）知，OE∥BD，∴△AOE∽△ABD，∴，即
，∴，即⊙O半径是．
即时练习
1、如图，□ABCD中，点E为AB边上的中点，点F在BC边上，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，点B落在B’处，连接AB’，写出该图中与∠BEF所有相等的角：________；
【解答】∠B’EF，∠EAB’，∠EB’A.
2、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于________.

【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，∴BC＝＝5，∵CD＝DB，∴AD＝DC＝DB＝，∵?BC?AH＝?AB?AC，∴AH＝，∵AE＝AB，∴点A在BE的垂直平分线上．∵DE＝DB＝DC，∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，∴AD垂直平分线段BE，∵?AD?BO＝?BD?AH，∴OB＝，∴BE＝2OB＝，在Rt△BCE中，EC＝＝＝，故答案为：．
3、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的圆O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为圆O的直径.
（1）求证：AE与圆O相切；
（2）当BC=4，cosC=时，求圆O的半径.

【解答】（1）证明：连接OM，则OM＝OB∴∠1＝∠2，∵BM平分∠ABC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OM∥BC，∴∠AMO＝∠AEB，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°∴∠AMO＝90°，∴OM⊥AE，∵点M在圆O上，∴AE与⊙O相切；
（2）解：在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴BE＝BC，∠ABC＝∠C，∵BC＝4，cosC＝
∴BE＝2，cos∠ABC＝，在△ABE中，∠AEB＝90°，∴AB＝＝6，设⊙O的半径为r，则AO＝6﹣r，∵OM∥BC，∴△AOM∽△ABE，∴，∴，解得：.∴⊙O的半径为．
三、“k”相等
例题1、已知四边形ABCD的各点坐标分别为A（0，0）、B（5，0）、C（m+2，3）、D（m-3，3），若一次函数恰好平分该四边形面积，则m的值为________.
【解答】.
例题2、若与之间的距离为4，则b=________.
【解答】4或-6.
四、中位线（暗藏中点》
例题1、如图，过点B作等腰Rt△ABC的角平分线的垂线，垂足为D，点E为AB中点，连接DE，已知AB=2.
（1）DE的长为________；
（2）点F为CD与AB的交点，则EF=________.
【解答】（1）；（2）.
例题2、如图，以△ABC中的AB边为直径作圆O交AC中点D，连接BD、OC交于点E，已知AB=2，∠A=30°，则OE的长为________.
【解答】.
五、利用特殊四边形证平行
例题1、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°，点D是CB延长线上一点，连接DA，以DA为直角边向左侧作等腰直角三角形，AD=DE，∠ADE=90°（如图所示），在AB上取一点F，使得BF=BD，连接EF.求证：EF∥BC.
【解答】如图，延长线段CF与AD相交于点H.∵AB=BC，∠ABC=∠DBA，BD=BF，∴△ABD≌△CBF.∴∠FCB=∠BAD，∴∠BAD+∠AFH=90°，∴∠AHF=90°即CF⊥AD.又∵ED⊥AD，∴CF∥ED.
例题2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE.求证：FK∥AB.
证明：过点K作MK∥BC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BAE+∠DKA=∠CAE+∠CEA=90°，∴∠DKA=∠CEA，又∵∠DKA=∠CKE，∴∠CEA=∠CKE，∴CE=CK，又∵CE=BF，∴CK=BF，而MK∥BC，∴∠B=∠AMK，∴∠BCD+∠B=∠DCA+∠BCD=90°，∴∠AMK=∠DCA.∴在△AMK和△ACK中，∠AMK=∠ACK，AK=AK，∠MAK=∠CAK，.△AMK≌△ACK，∴CK=MK，∴MK=BF，MK∥BF，∴四边形BFKM是平行四边形，∴FK//AB.
六、成比例线段平行
例题1、如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°.点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时，P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts.当P异于A、C时，请说明PQ//BC；
【解答】连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD是菱形，且边长为2cm，∠DAB＝60°，∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠BAD＝30°，∵AC⊥BD，OA＝AC＝，∴AC＝2，∵AB＝2，AP＝t，AQ＝t，∴．即，又∵∠PAQ＝∠CAB，∴△PAQ∽△CAB，∴∠APQ＝∠ACB，∴PQ∥BC．
例题2、已知二次函数，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）.
（1）求此二次函数关系式；
（2）若过点A作AG⊥x轴，交直线l于点G，连接OG、BE，试证明：OG//BE.
【解答】解：（1）二次函数y＝x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），∴，
解得：，∴此二次函数关系式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）如图②，过点E作EH⊥x轴于点H，设直线CE的解析式为：y＝kx+3，∵A（1，0），AG⊥x轴，∴点G（1，k+3），即OA＝1，AG＝k+3，∵E是直线与抛物线的交点，∴，解得：，∴点E（k+4，（k+1）（k+3）），∴BH＝OH﹣OB＝k+1，EH＝（k+1）（k+3），∴，∵∠OAG＝∠BHE＝90°，∴△OAG∽△BHE，∴∠AOG＝∠HBE，∴OG∥BE．
即时练习
1、如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，
（1）求证：直线EF⊥AB；
（2）当点C运动了_________s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线CF相切.
【解答】（1）设运动的时间为t，∴AC=2t，BD=1.5t，∴AC：AO=t：4，BD：BO=t：4，∴AC：AO=BD：BO，即CD∥AB，∵EF⊥CD，∴EF⊥AB.（2）