中考培优第二轮复习专题 第3章 网格作图学案(含答案)

第三章 网格作图
网格作图的特点：仅利用无刻度直尺，利用格点来作图，所以在网格中作图时一定要体现出过的格点．
基本知识
一、网格中作平行
图1 图2
图1中虚线线段均与线段AB平行，仔细观察，可发现线段AB长宽比为3∶1的矩形对角线，故想要作出与AB线段平行的线，必然也要使得作出的线段是长宽比为3∶1的矩形对角线，所以图1、图2均满足要求，即都与AB平行．
二、网格中作垂直
图1
图1中虚线线段均与线段AB垂直，仔细观察，可发现线段AB长宽比为3∶1的矩形对角线，故想要作出与AB线段垂直的线，必然也要使得作出的线段是长宽比为3∶1的矩形对角线．【与平行的区别在于一个竖方向，一个横方向】
三、网格中作垂直平分线
在网格中垂直平分线的做法，利用垂直平分线性质逆定理，首先需要找到线段A、B两点距离相等的格点，图1中的C、D、E均满足到A、B距离相等，故连接CE（或者ED或者CD均可）．此方法也适用于在网格中作线段中点，如图2

图1 图2
四、网格中等分线段
以作三等分为例，在下列网格中，在线段AB上找一点P，使得BP=2AP．此类作图可利用相似的性质来解决，以下示范3种作法
作法一 作法二 作法三
五、网格中作相似三角形
请分别在图1、2中作出一个△DEF，使得△DEF与△ABC相似（图1和图2中的两个三角形不全等）

图1 图2
【解析】在网格图中，三角形的任意一条边均可计算出来，所以常规来说只需计算出每条边，同比放大或缩小即可！本题有个特殊角，即∠ABC=135°，所以先找到135°，该角两边同倍缩小或放大即可！（图1缩小为原来的，即相似比为1∶2；图2放大为原来的，即相似比为1∶）
例题讲解
例题1、已知在下列边长为1的网格图中，用3种不同的方法作一个直角三角形，使得该直角三角形面积为8．

作法一 作法二 作法三
【解析】由题意可知，直角边乘积为16，若均为整数，则有1×16，2×8，4×4；若均为无理数，常见的有×8，2×42；也可以从比例去解决，下面分别以上三中思路各作一个三角形．
例题2、如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．已知△ABC中，AB=2，AC=4，BC=6．
（1）请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似（画出一个即可，不需证明）；
（2）试直接写出在所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）．

【解析】
（1）先画个与△ABC全等的三角形（如图1），再以∠B为公共角，将∠B的边缩小一半即可（如图1）

图1 图2
（2）因为=相似比2，故只需使得相似比最大即可，我们找最长边AC=4，该网格中最长边为对角线，MN=10，所以相似比为，由此，所以可计算出DN=5，DM=3，于是找到如图2中点D即为关键点，连接DM、DN即可．
例题3、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．
（1）AB的长等于 ；
（2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=1∶2∶3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．
【解析】
（1）AB=；
（2）方法一：关注到S△PAB+S△PBC=S△PCA，可得到S△PCA =S△ABC．如图1，找到AB中点D，过点D作AC平行线，交BC与点E，所以点P必然在线段DE上．在网格中找到一点M，使得点C到MB的距离与点A到MB的距离之比为1∶2．如图2，点Q为AC三等分点，连接BO，与线段DE交点即为点P．

方法二：发现AC边上本身就存在点D、E使得AD:EC:DE=1∶2∶3，先作出如下图形，接着利用平行，将△ADB和△BEC面积转化．
过点B作AC平行线，与l1交于点H，与l2交于点G，连接EG、DH，易证EG∥BC，DH∥AB，所以EG与DH交点即为点P．
巩固练习
1、如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（ ）
A．3种 B． 6种 C．8种 D．12种
【解析】由网格可知：a，b＝d，c＝2，则能组成三角形的只有：a，b，d可以分别通过平移ab，ad，bd得到三角形，平移其中任意两条线段方法各有两种，即能组成三角形的不同平移方法有6种．故选B．
2、请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．
解：如图所示，PQ即为所求．
3、（1）在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH．
（2）判断EF、GH的位置关系是 ．
（3）连接AC和BC，则三角形ABC的面积是 ．
【解析】（1）如图，
（2）EF、GH的位置关系是EF⊥GH，故答案为EF⊥GH．
（3）如图，连接AC和BC，设小方格的边长为1，则三角形ABC的面积是4×5＝10．故答案为10．
4、如图，方格图中每个小格的边长为1，仅用直尺过点C画线段CD，使CD∥AB，D是格点，过C作AB的垂线CH，垂足为H．连结BC、AD．
（1）试猜想：线段BC与线段AD的关系为 ；
（2）请计算：四边形ABCD的面积为 ；
（3）若线段AB的长为m，则线段CH长度为 ．（用含m的代数式表示）
解：（1）∵AD＝BC，∴BC∥AD且BC＝AD．故答案为BC∥AD且BC＝AD；
（2）S?ABCD＝3×51×21×41×21×4＝15﹣1﹣2﹣1﹣2＝9．故答案为9；
（3）∵ABm，S?ABCD＝9m，∴AB?CH＝9，即CHmm．故答案为m．
5、（1）在如图所示的方格纸中，点P是∠AOB的边OB上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题：
①过点P画OB的垂线，交OA于点C；②过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）在上图中线段PH的长度是点P到直线　 的距离， 线段　　的长度是点C到直线OB的距离．PC、PH、OC这三条线段大小关系是 ．（用“<”号连接）
解：（1）如图，直线PK，PH即为所求；
（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离；线段CP的长度是点C到直线OB的距离；H＜PC＜CO．
6、在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）．
图1 图2 图3 图4
解：如图1，三角形的周长＝2；
如图2，三角形的周长＝42；
如图3，三角形的周长＝5；
如图4，三角形的周长＝3．
图1 图2 图3 图4
7、图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）在图1中画出等腰直角△MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；
（2）在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角△MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．
图1 图2
解：（1）如图1所示：∠MON＝90°；
图1 图2 图3
（2）如图2、3所示．
8、如图，△ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与△ABC相似．
（1）在图1中画△AlB1C1，使得△AlB1C1的周长是△ABC的周长的2倍；
（2）在图2中画出△A2B2C2，使得△A2B2C2的面积是△ABC的面积的2倍．
图1 图2
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
图1 图2
9、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，—4），B（3，—2），C（6，—3）
（1）画出△ABC关于x轴对称的△AlB1C1；
（2）以M点为位似中心，在网格中画出△AlB1C1的位似图形△A2B4C2，使△A2B2C2与△AlB1C1的相似比为2∶1．
（3）求出A2、B2、C2三点的坐标．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）△A2B2C2的面积为：4×82×42×62×8＝14．故答案为14．
10、如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP=，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，所以只需连接一对角线就行）
解：由勾股定理得，AB，所以，AP时AP∶BP＝2∶1．点P如图所示．
11、如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；
（3）判断点D（5，—2）与OM的位置关系．
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM2．
线段MD2，
所以点D在⊙M内．
12、如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，以点0为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题：
①OD的半径为（结果保留根号）；
②若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是；
③若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．
解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：
（2）①在Rt△AOD中，OA＝4，OD＝2，根据勾股定理得：AD2，则⊙D的半径为2；
②AC2，CD＝2，AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°．
扇形ADC的弧长π，圆锥的底面的半径；
③直线EC与⊙D的位置关系为相切，理由为：在Rt△CEF中，CF＝2，EF＝1，根据勾股定理得：CE，
在△CDE中，CD＝2，CE，DE＝5，∵CE2+CD2＝（）2+（2）2＝5+20＝25，DE2＝25，∴CE2+CD2＝DE2，∴△CDE为直角三角形，即∠DCE＝90°，则CE与圆D相切．