中考培优第二轮复习专题 第4章 网格内求解三角函数值学案(含答案)

第四章 网格内求解三角函数值
网格内的图形特点:为格点图形，则边长均可求；若不是格点图形，多边形内角可转换．
例题讲解
一、构造直角
例题1、网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．
【解析】如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB＝AC＝2，BC＝2，AD＝3，可以得知△ABC是等腰三角形，由面积相等可得，BC?ADAB?CE，
即CE，sinA，故答案为．
【总结】由于格点三角形各边都可求，所以利用解直角三角形即可求出各个内角的三角函数值．
二、角度转换
例题2、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ．
思路一：构造直角
连接BE，由四边形EDBC为正方形可知，CD⊥BE，∴tan∠APD=tan∠BPF=，设小正方形边长为（思考一下为什么可以这么设？），可得BF=1，CD=2，由△ACP∽△BDP，且相似比为3∶1可得=3，∴=，∴PC=，∴PF=PC—CF=， ∴tan∠BPF．
思路二∶角度转换
连接BE，可知BE∥CD，∴∠APD=∠BPF=∠ABE，连接AE，AE和BE均为正方形对角线，易得AE⊥BE，tan∠ABE=．
例题3、在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于
【答案】3
【解析】
转化思路一：到格点三角形内，再用例题1的方法（此方法构造情况较多，解法较暴力，在此不一一列举，以下给出三种转化法）
转化思路二：思路一的情况下，存在转化出的格点三角形恰好为直角三角形，这类方法最巧妙，但需要学生有较强的观察能力！
直角构造思路三：通过连接某些辅助线，构造出直角后直接在直角三角形内求解．
巩固练习
1、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是 ．
【解析】连接AC，由网格特点和正方形的性质可知，∠BAC＝90°，根据勾股定理得，AC，AB＝2，则tan∠ABC，故答案为．
2、如图，在4x5的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC= ；sin∠ACB= ．
【解析】找到与A构成小正方形对角线的格点D、E，连接CD，AE，EB，AC与EB交于点F．由网格特点和正方形的性质可知，∠BAE＝90°，根据勾股定理得，AE，AB＝3，DB=2，DC=3，BE=，则tan∠ABC，又BE⊥AC，易得△AEF∽△BAF，故，∴，∴BF=，sin∠ACB=，故答案为3，．
3、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值＝　 ，tan∠APD的值＝　　．
【解析】∵四边形BCED是正方形，∴DB∥AC，∴△DBP∽△CAP，∴3，
连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PFCFBF，在Rt△PBF中，tan∠BPF2，
∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2，故答案为3，2．
4、如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为　　．
【解析】解：作AD⊥BC于D，由勾股定理得，AC，AB＝3，BC＝4，
△ABC的面积为：AB×CE＝6，∴CB×AD＝6，解得AD，
CD，tan∠ACB．故答案为．
5、如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是　　．
【解析】如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，AEa，EB＝2a，∴∠AEC＝90°，∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，
∴E、C、B共线，在Rt△AEB中，tan∠ABC．故答案为．
第5题
6、如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为　 ．
【解析】如图，连接AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BOBD，COAC，由勾股定理得，AC3，BD，所以，BO，CO3，所以，tan∠DBC3．故答案为3．
7、如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，点A、B、C、D都在网格的格点上，AC、BD相交于点O．
图1 图2 图3 图4
（一）探索发现
（1）如图1，当AB＝2时，连接AD，则∠ADO＝90°，BO＝2DO，AD，BO ，tan∠AOD＝　　．
如图2，当AB＝3时，画AH⊥BD交BD的延长线于H，则AH ，
BO＝　　，tan∠AOD＝　　．
如图3，当AB＝4时，tan∠AOD＝　　．
（2）猜想：当AB＝n （n＞0）时，tan∠AOD＝　　．（结果用含n的代数式表示），请证明你的猜想．
（二）解决问题
（3）如图，两个正方形的一边CD、CG在同一直线上，连接CF、DE相交于点O，若tan∠COE，求正方形ABCD和正方形CEFG的边长之比．
解∶（一）探索发现
（1）如图1，当AB＝2时，∵BO＝2DO，BO，∴OD，又∵∠ADO＝90°，AD，∴tan∠AOD3，即tan∠AOD＝3．
如图2，设DCBE为正方形，连接CE，交BD于F．∵四边形BCDE是正方形，
∴DF＝CF＝BFBDCE，BD⊥CE．根据题意得∶AB∥DC，∴△AOB∽△COD，
∴DO∶BO＝CD∶AB．当AB＝3时，DO∶BO＝1∶3，∴BO．∵S△ABDBD?AHAB?ED，∴BD?AH＝AB?ED，∴AH，DO∶BO＝CD∶AB＝1∶3，∴DO∶DF＝1∶2，∴OF∶DF＝1∶2，即OF∶CF＝1∶2．在Rt△OCF中，tan∠COF2，∵∠AOD＝∠COF，∴tan∠AOD＝2；如图3，当AB＝4时，DO∶BO＝CD∶AB＝1∶4，∴DO∶DF＝1∶2．5＝2∶5，∴OF∶DF＝3∶5，即OF∶CF＝3∶5．在Rt△OCF中，tan∠COF，∵∠AOD＝∠COF，∴tan∠AOD；故答案是3；；2；；
（2）猜想∶当AB＝n（n＞0）时，tan∠AOD（结果用含n的代数式表示）．
证明∶过点A作AH⊥BH于点H，则AH＝BHn．∵AB∥OD，∴△AOB∽△COD，
∴，∴OB．∴OH＝BH﹣OBn．∴tan∠AOD；故答案是；
（二）解决问题
（3）解：如图4，过点D作DH⊥CF于点H，则tan∠DOH．∵∠DOH＝∠COE，
∴tan∠DOH，又由（一）结论得：，
∴n，∴正方形ABCD和正方形CEFG的边长之比为 ．
图1 图2 图3 图4