中考培优第二轮复习专题 第5章 尺规作图学案(含答案)

第五章 尺规作图
基本知识
1．定义
只用没有刻度的________和________作图叫做尺规作图．
2．步骤
①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；
②分析作图的方法和过程；
③用直尺和圆规进行作图；
④写出作法步骤，即作法．
3．基本掌握要求
①能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．
②能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；己知两边及其夹角作三角形；已知两角及一边作三角形；已知底边和底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形．
③能利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；会作三角形的外接圆（外心）、内切圆（内心）；会作圆的内接正方形和正六边形．
④在尺规作图中，了解尺规作图的依据，保留作图痕迹，不要求写作法．
例题讲解
一、只用尺子
说明：一般指的是无刻度的直尺，无刻度直尺一般只能用来连接（部分题目也会给出直尺、有刻度尺子）
例题1　如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图1、图2中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图（1）中，在AB边上求作一点N，连接CN，使CN＝AM；
（2）在图（2）中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ∥AM．
【解析】
（1）如图1，连接BD交AM于点E，连接CE延长交AB于点N，CN＝AM；
（2）如图2，连接对角线BD与AC相交于点O，连接MO延长交AD于点Q，连接CQ，CO∥AM．
例题2　如图，AB为半圆⊙O1的直径，AO1为半圆⊙O2的直径，仅用无刻度的直尺完成下列作图，并证明（1）作图的正确性：
（1）如图1，C为半圆⊙O1上一点，请在半圆⊙O1找个点D，使得D恰为的中点；
（2）如图2，E为半圆⊙O2上一点，请在半圆⊙O2找个点F，使得F恰为的中点．
【解析】
（1）如图1，连接AC交⊙O2于点E，连接O1E延长交⊙O1于点D，该点即为所求【证明：证明∠AO1D＝∠CO1D即可】
（2）如图2，连接O1E延长交⊙O1于点G，连接AG与⊙02交点即为所求点F．
例题3　探索发现
已知：在四边形ABCD中，CD∥AB，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N．
（1）如图①，如果AD＝BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；
（2）如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由．
学以致用
仅用直尺（没有刻度），试作出图中的矩形ABCD的一条对称轴．（写出作图步骤，保留作图痕迹）
【提示】
（1）先证△EAB为等腰，则有EA＝EB；再证△CAB≌△DBA，证得△OAB为等腰三角形，则有OA＝OB，则AM垂直平分AB．
（2）＝＝＝＝，所以BM＝AM．
（3）如右图所示．
巩固训练
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边上一点，请用一把无刻度的直尺在AD边上作点F，使CF∥AE，并证明CF∥AE成立．
答案：如图，连接AC、BD相交于点O．连接EO交延长交边AD于点F，连接CF，CF即为所求．
证明：如图，连接AE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC．∴∠FAC＝∠ECA．又∵AO＝CO，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE．∴AF＝EC．又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．∴AE∥CD．
2．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：（1）仅用无刻度直尺；（2）保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中画一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线，并简要说明画图的方法（不要求证明）：
________________________________________________________________．
答案：（1）如图1，∠ABC即为所求．
（2）如图2，连接CD交BE于M，延长CF交AB于N，作直线MN，MN即为AB的垂直平分线．
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAD是它的一个外角，OP⊥BC交⊙O于点P，仅用直尺按下列要求分别画图：
（1）在图1中，画并标出△ABC的中线AE；
（2）在图2中，画并标出△ABC的角平分线AF；
（3）在图3中，画并标出△ABC的外角∠BAD的角平分线AG．
答案：（1）如图1，AE即为所求．
（2）如图2，AF即为所求．
（3）如图3，AG即为所求．
4．在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，请仅用无刻度的直尺作图：
（1）在图1中，以点C或点B为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余；
（2）在图2中，已知AD∥BC交O0于点D，过点A作直线将△ACB的面积平分．
答案：（1）如图1，∠OBC即为所求．
（2）如图2，AM即为所求．
5．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．
（1）在图1中，画一个与∠B互补的圆周角；
（2）在图2中，画一个与∠B互余的圆周角．
答案：（1）如图1，∠D即为所求．
（2）如图2，∠DAC即为所求．
6．如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC中AB边上的高；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
答案：（1）如图1，CD即为所求
（2）如图2，CD即为所求．
7．如图，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）．
答案：如图，EF即为所求．
8．如图，△ABC中，D是BC的中点，点P在AB上．
（1）在图中只用直尺作过点P的直线l∥BC；
（2）求证：l∥BC．
答案：如图，直线l即为所求．
证明：如图，过点Q作MN∥BC，交AB、AC分别于点M、N．∵MN∥BC，∴△AMQ∽△ABD，△AQN∽△ADC．∴＝，＝．∴＝．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD．∴MQ＝NQ．∵MN∥BC，∴△PMQ∽△PBC，△EQN∽△EBC．∴＝，＝．∴＝．∴＝．又∵∠PQE＝∠CQB，∴△PQE∽△CQB．∴∠EPQ＝∠BCQ．∴PE∥BC，即l∥BC．
例题讲解
二、只用圆规
说明：只用圆规，只能确定“点”，无法出现“线”．
例题1　如图，所给两圆的圆心分别为O1，O2，半径都为3，根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中，仅用无刻度直尺作出圆上的两点A，B，使得＝3π；
（2）在图2中，仅用圆规作出圆上的两点A，B，使得＝2π．
【解析】
（1）画一条直径即可（直径AB）；
（2）以圆上任意一点为圆心，OO2的半径为半径画圆，与OO2的两个交点即为A、B．
例题2　如图，△ABC中（∠BAC＜60°），AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，试在AD上仅用圆规确定E点，使∠BEC＝60°；（保留痕迹，不写画法）
（2）如图2，试在AD上仅用圆规确定F点，使∠BFC＝45°；（保留痕迹，不写画法）
【解析】
（1）以B为圆心，BC长为半径画圆，与AD交点即为所求点E；
（2）以D为圆心，BD长为半径画圆，交AD于点G，再以点G为圆心，GB为半径画圆，与AD交点即为所求点F．
例题讲解
三、尺规作图
【基本作图】
作线段a
作∠α
作∠AOB的角平分线
作线段AB的垂直平分线
过点P作直线l的垂线
作点P关于直线l的对称点P′
作点P关于直线l的平行线
已知三条线段作△ABC
作△ABC，使得AB＝a，AC＝b，∠A＝α
作△ABC，使得∠A＝α，∠B＝β，AB＝a
作等腰△ABC，使得AB＝AC＝a，BC上的高为b
作△ABC的外接圆
作△ABC的内切圆
作AB和AC边上的高
作圆的一条直径
作OO的内接正三角形
作OO的内接正六边形
例题1　如图，一条公路的转弯处是一段圆弧．
（1）作出AB所在圆的圆心O；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AB的中点C到弦AB的距离为20 m，AB＝80 m，求所在圆的半径．
【答案】
（1）在圆弧上任取一点C，作线段AC、BC的垂直平分线交点即为圆心O；
（2）50 m．
例题2　如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1．
（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接OA、OA1、OB、OB1，如果∠AOA1＝∠BOB1＝α；OA＝OA1＝a；OB＝OB1＝b．则线段AB扫过的面积是________．
【答案】
（1）BB1与AA1的垂直平分线的交点即为旋转中心O；
（2））【大扇形减小扇形】
例题3　已知△ABC，∠A＞∠C＞∠B．
（1）如图1，在线段BC上找一点P，使得PA＋PC＝BC；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，在AB边上作一点Q，使得△AQC∽△ACB；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（3）求作一个△DEF，使得△DEF∽△ABC，且EF＝BC．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【提示】
（1）作AB的垂直平分线与BC交点即为点P；
（2）在∠C处以AC为一边在三角形内部作∠ACQ＝∠ABC即可；
（3）作出AB、AC的中点M、N，连接MN，再作一个△DEF≌△AMN．
答案：（1）如图所示
（2）如图所示：
（3）如图所示：

例题4、我们知道，等边三角形三边相等，若将一个等边△ABC如图1所示展开，我们可以发现A、B为线段C＇C＂的两个三等分点。
（1）试根据上述方法，利用尺规在图2中作出线段AB的三等分点；
（2）请用不同于（1）的方法在图3中做出线段AB的一个三等分点，并说明理由。

图1 图2 图3
【解析】
（1）作AB的垂直平分线，再作出等边△ABC，接着作BC的垂直平分线交AB垂直平分线于点D，连接AD、BD，最后分别作AD、BD的垂直平分线，与AB交点分别为E，F，E、F即为AB三等分点，
（2）答案不唯一，这边给出一种。分别过A、B作AB的垂线，然后在两条垂线上截钱段，使得BE=2AC，连接CE交AB于点G，点G即为一个三等分点。
答案：如图所示
例题5、“位似变化”是一种重要的几何变化。可以将图形放大或缩小，且与原图形相似.你能用位似变化解决下列问题吗？
如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，有矩形EFGH的一边EF在边AC上，点H在斜边AC上，EF=2，HE=1.
（1）请你用圆规和无刻度直尺在Rt△ABC内作一个最大的矩彩且与矩形EFGH位似。（不要求写作法，但必须保留作图痕迹）
（2）请证明你作图方法的正确性。
【解析】
（1）连接AG延长交BC于点P，过点P作BC垂线交AB于点M，最后再过点M作AC垂线，垂足为N，则矩形CPMN即为所求；
（2）根据（1）中的要求，一个是最大，一个是相似
① ,再加上∠HGF=∠MPC=90°，即可证得相似，所以
设CP=x，则MP=2x，BP=x，所以2x=6，解得x=3，即PC=3；
②设PC=m，则P8=6-m， ，所以，易知当m=3时，矩形面积最大，所以当PC=3时符合①要求。
例题6、【回归课本】
我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
【初步体验】
（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC.若AD=2，AE=1，DF=6，则EG= ， .
（2）如图2，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG.以AD、DF、FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG）.求证：∠M=∠N.
【深入探究】
（3）如图，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A＇B＇C＇.
满足：①△A＇BC＇∽△ABC；②△A＇B＇C＇的周长等于线段a的长度.（保留作图痕迹，并写出作图步骤）

【解析】
（1）3；2；
（2）∵DE∥NG∥BC，∴，，∴，∵DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，∴
∴△AMD∽△ANE，∴∠M=∠N
（3）过点A作任意射线AM，在射线AM上截取AB、BC、CD（CD=AC）的长度，连接DD＇（AD＇=a），过点C、B分别作DD＇的平行线，分别交AD＇于点C＇、B＇，最后以AB＇、B＇C＇、C＇D＇三边长度构建三角形即可
巩固练习
1、如图，在平行四边形ABCD中，已知AD>AB.
（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明.
答案：（1）如图所示
（2）四边形ABEF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠AEB
∴BE=AB，
由（1）得：AF=AB，
∴BE=AF，
又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形。
2、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP、PC，使得△BPC是一个等腰三角形.
（1）用尺规作图画出符合要求的点P.（保留作图痕迹，不要求写做法）
（2）求出PA的长.
答案：
（1）如图所示：P，P1，P2即为所示；
（2）当BC=BP1=6时，∵AB=4，∴；
当CB=CP2=6时，P2A=AD-P2D=
当PB=PC时，PA=AD=3.
综合得，PA的长为，，3.
3、点P在△ABC内，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称点P为△ABC的自相似点.如图，在△ABC中，∠A<∠B<∠C.如图，利用尺规作出△ABC的所有自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；

图1 备用图
答案：
作法：①在∠ABC内作∠CBD=∠A；
②在∠ACB内作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，则点P为△ABC的自相似点。
4、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，请用直尺（无刻度）和圆规按照要求作图.
（1）在图1中作一个平行四边形，使它的三个顶点恰好是△ABC的三个顶点（只需作一个，不写作法，保留作图痕迹）.
（2）如图2，在边AB上作一点P，使得点P到边AC、BC的距离相等，此时PB= .（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图3，在AC边上找一点E，使得CE+BE=4，此时BE= .（不写作法，保留作图痕迹）；
（4）如图4，在边AB上作一点G，使得点G到边AC的距离与GB相等（不写作法，保留作图痕迹）.

图1 图2

图3 图4
答案：（1）如图所示：
（2）PB=，图形如下：
（3），图形如下：
（4）图形如下：
5．已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40°．
（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在备用图中，用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．
（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形有 个．
答案：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：满足这一条件，且彼此不全等的三角形有4个．
6．已知，如图，线段AB，利用无刻度的直尺和圆规，作一个满足条件的△ABC：①△ABC为直角三角形；②tan∠A=．（注：不要求写作法，但保留作图痕迹）
答案：如图所示：△ABC为所求作图形．
7．如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC．
（1）线段BC的长等于 ；
（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：
①以点 为圆心，以线段 的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于．②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于，请写出画法，并说明理由．
答案：（1）；（2）①A，BC；②如图所示：连接CD，过点A作AP∥CD交OD于点P．∵AP∥CD，∴＝＝，∵BC＝＝＝AD，∴OD＝＝，∴OP＝．
8．已知：线段a及∠ACB．求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO＝a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．
答案：如图所示作∠BAC的角平分线，在角平分线上取点CO＝a，以点O为圆心⊙O与AB、AC都相切．则⊙O即为所求作图形．
9．如图，已知∠BAC，在角的内部有一点P，请画一个⊙M，使得⊙M经过点P，且与AB、AC都相切．（注：并简要说明画法）【提示：用位似】
答案：如图所示：作∠BAC的角平分线，在角平分线上取点O作⊙O与AB、AC都相切，再连接AP，与⊙O与交于点N，过点P作PM∥ON交AO于点M，过点M作⊙M与AB、AC都相切．则⊙M即为所求作图形．
10．如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F、点H分别在边BC和AC上．
答案：（1）如图所示：点O即为所求图形．
（2）则六边形DEFGHI即为所求作图形．
11．在△ABC中，D为BC边上一点．
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿着AD折叠，点C落在AB边上．请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图②，将△ABC沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．
①若DE⊥AB，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
②若AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，则CD的取值范围是 ．
答案：（1）如图所示：点D即为所求．
（2）①如图所示：点D即为所求．
②6－6≤CD≤5．
12．如图，a、b、c是三条互相平行的直线，点A在直线a上，请用尺规完成以下作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（1）作等腰直角△APQ，其中∠APQ＝90°，P、Q都在直线c上（P在Q右侧）；
（2）作等腰直角△AMN，其中∠AMN＝90°，M、N分别在直线b、c上．
答案：（1）如图所示：△APQ即为所求．
（2）如图所示：△AMN即为所求．
13．（1）如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．
求证：＝．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
答案：（1）设BC＝CD＝x，则AB＝2BC＝2x．在Rt△ABC中，AB＝＝x，∴AE＝AD＝AC－CD＝(－1) x，∴＝．
（2）如图所示：△ABF即为所求．
作AB的垂直平分线，交AB于D，过B作AB垂线，在垂线上截取BC＝BD，连接AC，在AC上截取CE＝BC，分别以A、B为圆心，AB、AE为半径画圆，交于点F．△ABF即为所求图形．
14、【缘起】苏教版九下P56，“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，则△ACD与△CBD相似吗？”于是，学生甲发现CD2＝AD·BD也成立．
问题1：请你证明CD2＝AD·BD；
学生乙从CD2＝AD·BD中得出：可以画出两条已知线段的比例中项．
证明：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠ACD＋∠DCB＝∠ACB＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠DCB＝∠A，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴CD2＝AD·BD；
问题2：已知两条线段AB、BC在x轴上，如图2：请你用直尺（无刻度）和圆规作出这两条线段的比例中项．要求保留作图痕迹，不要写作法，最后指出所要作的线段．
答案：如图所示：线段DO即为所求．
学生丙也从CD2＝AD·BD中悟出了矩形与正方形的等积作法．
问题3：如图3，已知矩形ABCD，请你用直尺（无刻度）和圆规作出一个正方形BMNP，使得S正方形BMNP＝S矩形ABCD．要求：保留作图痕迹；简要写出作图每个步骤的要点．
答案：如图所示：四边形BMNP即为所求．

15．【回归课本】我们曾学习过这样的基本事实：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②同弧所对的圆周角相等．
【初步体验】如图，已知△ABC，用没有刻度的直尺和圆规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注．
（1）在图1中AC边上找点D，使DB＋DC＝AC；
（2）在图2中作△BCE，使∠BEC＝∠BAC，CE＝BE．
答案：（1）如图所示：点D即为所求．
（2）如图所示：△BCE即为所求．
【深入探究】小明运用上述基本事实解决了下面一个问题：
（3）如图3，已知线段a和等边△ABC，作△BCM，使∠BMC＝∠BAC，BM＋CM＝a．
他的做法是：
1画△ABC的外接圆；
2以A为圆心、AB长为半径画⊙A；
3以C为圆心、a为半径画弧与⊙A交于点F；
4连接CF与△ABC的外接圆交于点M，则△BCM是要画的三角形．
请你给出证明，并直接写出这样的点M有 个．
证明：连接BF．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BMC＝∠BAC＝60°，∠BFC＝∠BAC＝30°，∴∠MBF＝∠BMC－∠BFC＝30°，∴∠MBF＝∠BFC，∴MF＝BM，∵MF＋MC＝FC＝a，∴BM＋MC＝a．
如图所示：点M、M1、M2、M3为所求点，共4个．
（3）请你仿照小明的做法解决下面的问题：
如图4，已知线段b和△ABC，作△BCN，使∠BNC＝∠BAC，BN－CN＝b．
答案：作△ABC的外接圆，分别作∠ACB、∠ABC的平分线，交于点G，作△BCG的外接圆，以点B为圆心，b为半径交△BCG的外接圆于F，延长BF交△ABC的外接圆于点N，连接CN．则BN－CN＝b．