中考培优第二轮复习专题 第8章 不确定性引起的多解问题学案(含答案)

第八章 不确定性引起的多解问题
数形结合是解题过程非常重要的一种思想，当题目没有给出图像时，需要自己动手操作画出来，若题目给的条件描述无法使图形确定，那么便会出现多解情况，例如“AB＝3，BC＝2，则AC＝？”的问题，这是最简单的多解问题。
那么，如何来判断题目是否有多解呢？有些类型题自带分类讨论属性，如等腰情况、直角情况、相切情况、相似等，除去这些，我大概将这种不确定性分为以下几类
①条件描述的不精确；
②作图中出现的不确定性；
③从全等的层面上理解三角形的确定性。
例如
①“使得正方形的一个点落在直线y＝2x＋1上”中“一个点”没有说清是哪一个点；
②“使得正方形ABCD中点D落在坐标轴上”中“坐标轴”没有说清是x轴还是y轴；
③“将正方形ABCD绕点A旋转60°”中“旋转60°”没有说清是逆时针还是顺时针；
④“在平移过程中，当t为何值时，正方形ABCD与△PQM的重叠部分面积为4？”中，涉及到图形运动，那么重叠部分面积必然会发生变化，这个变化可能满足一次、二次、反比例函数，那么面积为4的情况必然根据不同情况而定.
不精确描述
上面例子中的①②③均属于不精确描述
例题1、如图，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点M在AB上，且，点P在射线AC上，线段PM绕着点P旋转60°得线段PQ，且点Q恰好在直线AB上，则AP的长为__________.
【解析】
旋转60°，必有等边三角形，如图1，画出符合的图形，关注到圆圈内的图形，是一个双直角模型，如图2，设MD＝x，则AD＝DP＝，MP＝2x,∴ ,解的∴DP＝,AP＝.
由于题干中没有说明点P是逆时针还是顺时针，所以将点M与点Q换一下位置即可，方法相同，此种情况AP＝
圆内局部放大
图1 图2
例题2、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠B＝，AB＝10，点D以每秒5个单位长度的速度从点B出发沿射线BC方向运动，点F以相同的速度从点A出发沿边AB向点B运动，当F运动至点B时，点D，F同时停止运动，设点D运动时间为t秒.
（1）用含t的代数式分别表示线段BD和BF的长度，BD＝_______，BF＝________；
（2）如图2，以DF为对角线作正方形DEFG在运动过程中，是否存在正方形DEFG的一边恰好落在Rt△ABC的一边上，若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理
【解析】
（1）BD＝5t，BF＝10－5t；
（2）这题没有说是哪个点落在哪条边上，所以情况较多需要分类讨论。
首先有给到的图像先考虑点E落在BC边上的情况，此时发现∠FDC＝45°，于是立马可想到解决本题的关键点，即“FD与AB或BC的夹角为45°时，点会落在边上”
图1 图2 图3 图4
分别作出上图4种情况，均用双直角模型即可快速解决问题。
如图1，BD＝5t，DG＝FG＝BF＝（10－5t），∴BG＝BD＋DG＝2t＋6，根据FG＝BG，建立等式（10－5t）＝（21＋6），解得t＝.
如图2，t＝；如图3，t＝，如图4，t＝
即时训练
1、已知在直角坐标系中，A（1，1），B（3，5），在坐标轴上找一点P，使得△ABP周长最小，则P点坐标为________.
解：∵线段AB的长度是确定的，
∴△PAB的周长最小就是PA+PB的值最小，
∵3＜5，
∴点P在y轴上，
如图1，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，
∵A（1，1），
∴A′（﹣1，1），
设直线A′B的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴P（0，2）．
A′B＝＝4；
如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，
∵A（1，1），
∴A′（1，﹣1），
设直线A′B的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝3x﹣4，
当y＝0时，x＝，
∴P（，0）．
A′B＝＝2．
∵4＜2，
故选：B．

2、在正方形ABCD中，以AB为一边作等边△ABE，连接CE、DE，则∠CED＝_______.
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°．∵△ABE为正三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣60°＝30°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣30°）÷2＝75°．∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°．
同理可得∠ECD＝15°．∴∠CED＝180°﹣2×15°＝150°
3、在平面直角坐标系中，已知点A（3，0）、B（－1，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为_________.
解：如图
先作等腰直角△PAB，再以P点为圆心，PA为半径作⊙O交y轴于C点，
作PD⊥y轴于D，易得P（1，2），PA＝2，
∴PC＝2，
∴CD＝＝，
∴OC＝2＋，
∴C（0，2＋），
同理可得C′（0，﹣2﹣），
综上所述，满足条件的C点坐标为C（0，2＋）或（0，﹣2﹣）．
故答案为（0，2＋）或（0，﹣2﹣）．
4、如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，＝27，动点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从点C出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH.
（1）求tanA的值；
（2）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值.
【解答】解：（1）如图1，过点B作BM⊥AC于点M，∵AC＝9，S△ABC＝，
∴AC?BM＝，即×9?BM＝，解得BM＝3．由勾股定理，得
AM＝＝＝4，则tanA＝＝；故答案为：；
（2）①如图3，当点E在边HG上时，过P作PN⊥AC于N，由②知，NQ＝9﹣9t，
∵四边形PQEF，QCGH是正方形，
∴PQ＝QE，∠CQH＝∠PQE＝90°，
∴∠PQN＝∠EQH，在△PQN与△HQE中，，∴△PQN≌△HQE，
∴QN＝HQ，∴9﹣9t＝5t，解得t1＝；
②如图4，当点F在边HG上时，过E作ME⊥CQ于M，反向延长EM交HG于I，则四边形HQMI是矩形，
∴IM＝HQ＝5t，在△PNQ与△QEM中，，∴△PNQ≌△QEN，
∴PN＝QM＝3t，ME＝NQ＝9﹣9t，同理△FIE≌△EMQ，∴IE＝QM＝3t，∴ME＝2t，
∴2t＝9﹣9t，解得：＝；
③如图5，当点P边QH（或点E在QC上）时，∵PQ⊥CQ，∴AQ＝4t，∴9t＝9，解得：t3＝1；
④如图6，当点F边CG上时，过P作PN⊥AC于N，PM⊥HQ于M，反向延长交QC于I，则四边形PMQN是矩形，∴PM＝QN＝9t﹣9，同理证得△PNQ≌△PIF，∴PI＝PN＝3t，∴PM＝2t∴2t＝9t﹣9，解得：t4＝．
作图不确定
例题1、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC形外一点，且AD＝AC，则∠BDC的度数为________.
【解析】
画图时发现点D在如图1的位置时与在如图2的位置时，∠BDC的度数明显不同，图1中，
∠BDC＝∠BAC＝45°；在图2中，∠BDC＝180°－∠BD'C＝135°.

图1 图2
例题2、（2015·崇安区一模）在面积为60的□ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，若AB＝10，BC＝12，则CE＋CF的值为（）
A.22＋ B.22－
C.22＋11或22－11 D.22＋11或
【解析】
由于四边形具有不稳定性，可画出以下两种图形【其实本题还有个陷阱，可能有的学生会画出点F在线段CD上的情况，计算可知，DF＞CD】
图1 图2
易求得AE＝5，AF＝6,∴BE＝，DF＝(＞10）.
在图1中，CE＝BC－BE＝12－5，CF＝DF－CD＝－10，∴CE＋CF＝2＋；
在图2中，CE＝BC＋BE＝12＋5，CF＝DF＋CD＝6＋10，∴CE＋CF＝22＋11；
故选D.
例题3、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE，已知AE＝5，，则BE＋CE＝_______.
【解析】
等腰三角形需要分锐角与钝角的情况，如下图1与图2.
图1中，BE＝AE，∴BE＋CE＝AC＝2AD.∵AE＝5，，∴AD＝3，∴BE＋CE＝AC＝2AD＝6；
图2中，BE＝AE，∴BE＋CE＝2AE＋AC＝2AE＋AB，同上AB＝2AD＝6，∴BE＋CE＝2AE＋AB＝16.

图1 图2
即时训练
1、已知□ABCD，∠ABC与∠BCD的角平分线交AD于点E、F，若EF＝2，AD＝5，则AB＝_____.
解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，CD＝AB＝4，
∴∠AEB＝∠CBE
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝4，
同理：DF＝CD＝4，
分两种情况：
①如图1所示：∵EF＝3，
∴AD＝AE+EF+DF＝4+3+4＝11；
②如图2所示：∵EF＝4，AE＝DF＝4，
∴AF＝1，∴AD＝AF+DF＝1+4＝5；
综上所述：AD的长为11或5；
故答案为：11或5．

2、已知在□ABCD中，AB＝10，BC＝12，过点A作AE⊥BC，若□ABCD的面积为96，则CE＝_____.
解：6
3、已知⊙O是△ABC的外接圆，已知∠BAC＝40°，则∠BOC＝___.
解：80°
4、如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小可以是________.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
分两种情况：
①如图，当正△AEF在正方形ABCD内部时，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）＝15°
②如图，当正△AEF在正方形ABCD外部时，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE＝∠DAF＝（360°﹣90°+60°）＝165°
故答案为：15°或165°．
5、我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.已知：
在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝5，AD＝4.则对角线AC的长为__________.
解：分两种情况：
①当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：
∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝5，
∴∠E＝30°，
∴AE＝2AB＝10，
∴DE＝AE﹣AD＝10﹣4═6，
∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，
∴CD＝2，
∴AC＝＝＝2；
②当∠BCD＝∠DAB＝60°时，
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：
则∠AMD＝90°，四边形BNDM是矩形，
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADM＝30°，
∴AM＝AD＝2，
∴DM＝2，
∴BM＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，
∵四边形BNDM是矩形，
∴DN＝BM＝3，BN＝DM＝2，
∵∠BCD＝60°，
∴CN＝，
∴BC＝CN+BN＝3，
∴AC＝＝2．
综上所述：AC的长为2或2．
6、在等腰△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝1.过点C作直线l//AB，P为直线l上一点，且AP＝AB.则点P到BC所在直线的距离是_______.
解：①如图1，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，
∵CP∥AB，∴∠PCD＝∠CBA＝45°，∴四边形CDPE是正方形，则CD＝DP＝PE＝EC，∵在等腰直角△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝AP，∴AB＝＝，∴AP＝；
∴在直角△AEP中，（1+EC）2+EP2＝AP2∴（1+DP）2+DP2＝（）2，解得，DP＝；
②如图2，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA于点E，同理可证，四边形CDPE是正方形，∴CD＝DP＝PE＝EC，同理可得，在直角△AEP中，（EC﹣1）2+EP2＝AP2，∴（PD﹣1）2+PD2＝（）2，解得，PD＝；
故DP＝或．
7、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝m，点P为BC中点，连接AP，将△ABP沿着AP翻折，点B落在B’处，当点B’到AD边的距离恰好为1时，求m的值；
8、已知二次函数y＝＋x＋n的图像与y轴交于点A，顶点为点C，直线AC交x轴于点B，点C关于原点的对称点为点D.
（1）顶点C的坐标（______,______）；（用n的代数式表示）
（2）试求出直线AC的解析式；（用含n的代数式表示）
（3）当△ABD的面积为16时，求抛物线解析式.
边边角的不确定性
∠B确定，AB的长度确定，AC的长度也确定，但△ABC不确定
例题1、在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A.一组对边平行，另一组对边相等
B.一组对边相等，一组对角相等
C.一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D.一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
【解析】
A选项错误，反例为等腰梯形；
B选项错误，将等边△ABC沿着AD分割成两块，再将△ADC翻转一下仍然使AD边贴合（如下图），满足B选项条件，但不是平行四边形

D选项错误，如下图，满足BO＝DO，AB＝CD，但不是平行四边形
C选项正确，证一次全等即可。
例题2、在△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，AC＝5，则△ABC的面积为
【解析】
如图，过点A作AD⊥BC，易得AD＝4，当AC＝5时，DC－3，则BC＝4－3或4＋3，∴或
例题3、如图所示，∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE，试说明：
∠ADC＝∠AEB.
【解析】
过点C、B分别作AB的、AC的垂线，垂足分别为H、G.
∵①∠GAB＝∠HAC；②∠G＝∠H＝90°；③AB＝AC；∴△AGB≌△AHC；则BG＝CH.
∵①CD＝BE；②CH＝BG：∠G＝∠H＝90°，∴△BGE≌△CHD.∴∠ADC＝∠AEB.
【总结】钝角三角形的“边边角”可以证明全等，两次全等。
例题4、如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝30°，AC＝m，当m取某一个值时，△ABC的形状唯一确定，则m的取值范围为_________.
【解析】
△ABC的形状唯一确定，即当m为某一个值时，点C的位置只有一种情况。
当m＝2时，AC⊥BC，此时点C位置唯一；
当2＜m＜4时，点C有两个位置；
当AC＞AB，即m＞4时，点C位置唯一；
∴m＝2或m＞4.
即时训练
1、在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
解：如图，AC⊥BC时，
∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴AC＝AB＝×4＝2，
∵垂线段最短，
∴AC≥2，
∴在1、2、3、4、5中可取的值有2、3、4、5，
当AC＝2时可以作1个三角形，当AC＝3时可以作2个三角形，当AC＝4时可以作1个三角形，当AC＝5时可以作1个三角形，共1+2+1+1＝5，
所以，三角形的个数是5个．
故选：C．
2、如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB/∥CD；
②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题.
（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明.（命题请写成“如果…，那么……”的形式）
解：（1）以①②作为条件构成的命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△COD中，
，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，另一组对边相等，那么四边形是平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；
根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA＝OC，AD＝BC，那么这个四边形是平行四边形，如图，
根据已知不能推出OB＝OD或AD∥BC或AB＝DC，即四边形不是平行四边形．
3、【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

图1 图2
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF.
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF.
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF.
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等。
（3）在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF
中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，若_______，则△ABC≌△DEF.
（1）解：如图①，
∵∠B＝∠E＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：HL；
（2）证明：如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，
∴180°﹣∠ABC＝180°﹣∠DEF，
即∠CBG＝∠FEH，
在△CBG和△FEH中，，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG＝FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图③中，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，
△DEF和△ABC不全等；
（4）解：由图③可知，∠A＝∠CDA＝∠B+∠BCD，
∴∠A＞∠B，
∴当∠B≥∠A时，△ABC就唯一确定了，
则△ABC≌△DEF．
故答案为：∠B≥∠A．