中考培优第二轮复习专题 第9章 从确定到不确定学案(含答案)

第九章 从确定到不确定
本专题主要讲的是命题中的逆向考察，即将一个确定的背景转变成一个不确定的背景，为什么要转变呢？由于背景的不确定性，一旦在此环境下提出问题，往往需要就情况的分类进行讨论与探究，对于学生就会提出较高的思维要求，而这类型恰恰是无锡比较喜欢考察的。
本专题从直角三角形、四边形、圆、二次函数四个背景下对此问题进行阐述。
直角三角形
例题1、如图，在Rt△ABC中，AB＝4，BC－5，∠BAC＝90°，点D为BC边上一动点，连接AD，作点B关于AD的对称点E，当点E在BC下方时，连接BE、CE，求△BEC的面积最大值.
【解析】
由于AE＝AB＝4，作出点E轨迹，为以A为圆心，AB长为半径的圆弧，过点A作BC垂线延长交该圆弧于点E'，此时点E到BC的距离最大，即面积最大，此时E'F＝AE'－AF，AE′＝4，AF＝AC＝，∴E′F＝，∴△BEC的面积最大值为4.
本题的背景是一个三边比3、4.5的直角三角形，背景为确定的，若将其中一条边改为参数m，问题的难度会提升吗？
（示例1）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝m，∠BAC＝90°，点D为BC边上一动点，连接AD，作点B关于AD的对称点E，当点E在BC下方时，连接BE、CE，当△BEC的面积最大值为2时，求m的值.
【解析】
当△BEC的面积最大值时，点E所处位置与例题1相同，EF的计算方法也一样，假设BC＝n，n＝，此时AF＝，EF＝4－,∴(n((4－)＝2，即n－m＝1，＝，即16＋＝，解得m＝.
（示例2）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝m，∠BAC＝90°，点D为BC边上一动点，连接AD，作点B关于AD的对称点E，连接BE、CE，设△BEC的面积S，S的值与点D的位置一一对应.
（1）当S取最大值时，对应的点D存在两个位置，求m的值.
（2）当S＝2时，点D有且仅有两个位置与之对应，求m的取值范围.
【解析】
（1）当点D到达点C时，此时点E在BC上方，且点E到BC距离最大，即面积最大；
点E在BC下方且到BC距离最大时，即AE⊥BC时，面积最大；
由于当S取最大值时，对应的点D存在两个位置，所以此时点E在上方的面积最大值与点E在BC下方的面积最大值相等，即距离相等.
当点D与点C重合时，BE＝8，设BC＝n，n＝，sin∠B＝，即，∴EP＝,点E在BC下方的最大距离为（示例1已求过），
∴＝，化简得3m＝n，即3m＝.
解得m＝
（2）当S＝2时，点D有且仅有两个位置与之对应，两种情况。
①点E在BC上方达到面积最大，不存在S＝2，即S＜2，下方面积最大S＞2；
②点E在BC上方存在S＝2，这样下方只能S最大为2.
①当点E在上方时，面积最大为4m，即4m＜2，m＜；下方面积最大S＞2，示例1已求
过S＝2时，m＝，∴此时m＜；∴m＜.
②当点E在BC上方存在S＝2，即m＞，下方S最大为2，m＝，∴m＝
∵m＞0，综上，0＜m＜或m＝
【思考】就条件与问题稍微改一下，难度会增加这么多吗？
平行四边形
例题2、（2017·锡山区一模）已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，当A、C、F在一条直线上时，CE＝_________.
【解析】
连接AC，A、C、F共线，∴∠FCE＝135°，过点F作FH⊥EC，∠HCF＝45°，△HCF为等腰Rt三角形，易证△FHE∽△ECD，由于DE＝2EG＝2EF，∴相似比为1：2，设FH＝HC＝x，∴CE＝2x，∴HE＝3x，∴DC＝2HE＝6x，则6x＝5，x＝，∴CE＝2x＝
（改编示例）已知在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝m，点E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF.
（1）若m＝4，当A、C、F在一条直线上时，求CE的长；
（2）若在点E的运动过程中，始终存在A、C、F共线的情况，求m的取值范围.
【解析】
（1）基本方法可参照原题，基本类似设CE长为x，易证△DCE∽△EHF，且相似比为1：2，∴FH＝x，DC＝2HE.由A、C、F共线可得△ABC∽△FHC，∴HC＝FH＝x，所以HE＝x，∴5＝2(x，解得x＝，即CE＝.
（2）首先思考，要使存在A、C、F无法共线，需要使得m的值是较大还是较小呢？
当AB比CD大许多（即m＞5或＞1）时，不管点E运动到哪，始终存在A、C、F共线，可见，m没有最大值。
再探究m＜5（即＜1）的情况，发现，当m很小时，不管点E如何运动，其中，点E和点B重合时，更有共线的倾向，当仍然不存在A、C、F共线的情况.
所以由此，我们可以断定：要使得存在A、C、F共线的情况，需要使得m大于某种临界情况，使得点E刚好与点B重合时，恰好使得A、C、F共线，此时计算出来的m值为最小值.
接下去的计算基本仿照第（1）问.
△DBC∽△BFH，且相似比为1：2，∴HF＝m，CD＝2HB，△ABC∽△FHC，∴＝,
∴HC＝，∴HB＝m＋，∴2（m＋）＝5，解得＝－5－5（舍），＝－5＋5，∴m≥5－5
圆
（改编）例题3、已知在平面直角坐标系中，A（1，0），B（5，0），⊙M经过A、B两点.
（1）若⊙M与y轴正半轴的两个交点分别为P、Q，满足∠APB＝∠AQB＝30°，求P、O两点的坐标；
（2）设点M的纵坐标为m（m＞0），当⊙M与y轴有两个交点时，求m的取值范围；
（3）在y轴正半轴上是否存在一点G，使得tan∠AGB最大，若存在，请求出该值；若不存在，请说明理由.
【解析】
（1）当∠AMB＝60°时，∠APB＝∠AQB＝30°，此时△AMB为等边三角形，过点M分别向两坐标轴作垂线，垂足分别为D、E，AD＝2，EM＝OD＝3，PM＝QM＝AM＝4，OE＝MD＝2，∴EQ＝PE＝
,∴P（0，），Q（0，）.
（2）与y轴有两个交点，即AM＞EM，AM＝，EM＝3，∴＞3，解得m＞.
（3）要使tan∠AGB最大，即∠AGB最大，由∠AGB＝∠AMB，即∠AMB最大，而仅当圆与y轴存在交点时，才有∠AGB＝∠AMB，∴当⊙M与y轴相切时，∠AGB最大，由（2）可知，此时m＝，tan∠AGB＝tan∠AMB＝tan∠AMD＝.
同样的，我们对确定的背景进行改变！
（示例）已知在平面直角坐标系中，A（m，0），B（m＋4，0），⊙M经过A、B两点.
（1）当点M的纵坐标为3时，⊙M与y轴始终有两个交点，求m的取值范围；
（2）问：是否存在这样的m，使得在y轴上总存在点P，使∠APB＝45°？若存在，求出m
的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】
（1）由题意可知，A8＝4，点A在点B左侧，⊙M与y轴始终有两个交点，考虑图1、图2两种临界情况时m的值即可。在图1中，ME＝3，EB＝2，∴MB＝，OE＝MF＝MB＝－m－2，∴－m－2＝，解得；在图2中，OE＝MF＝MB＝m＋2，∴m＋2＝，解得m＝－2＋，∴＜m＜－2＋

图1 图2
（2）要使在y轴上存在∠APB＝45°，需使得圆心角∠AMB＝90°，且以M为圆心、MB为半径的圆与y轴有交点，所以仍然考虑相切的临界情况。在图3中，ME＝EB＝2，∴MB＝MP ＝OE＝2，∴－m－2＝2，m＝－2－2；在图4中，m＋2＝2，m＝2－2，∴－2－2≤m≤2－2

图3 图4
二次函数
这类二次函数题可谓是无锡的特色了，平时刷多了固定二次函数题，考试突然遇到这类题，还是会突然蒙图。这类二次函数题需要学生有较好的探素能力、推理能力以及考察学生的思维严密性.
例题4、已知二次函数y＝－m＋2mx＋n的图象与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点D作平行于y轴的直线与x轴交于点E.
（1）若C（0，2）
①BC的垂直平分线过点E，求m的值；
②若CE＝AB，求m的值；
③若BD的垂直平分线经过点A，求该二次函数解析式；
（2）连接CD，延长交x轴于点F，若FC＝3CD，
①求F点坐标；
②若△FDB为直角三角形，求该二次函数解析式；
（4）若OB＝30A，直线CD与过点B且垂直于x轴的直线交于点G，当tan∠DGB＝时，求这个二次函数的关系式；
（5）若n＝3，过原点与点（4m，－3m）的直线l与抛物线交于M、N两点（点M在点N左侧），与对称轴交于点P.
①若PM＝PD，且，求m的值；
②点Q为抛物线上一点，若到l的距离为的点Q有且仅有三个，求m的值.
例题5、在平面直角坐标系中，抛物线y＝－＋（2－m）x＋2m（m＞－2）交x轴于A、B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C.
（1）直接写出A、B两点的坐标，分别为________和________；（可用含m的代数式表示）；
（2）若∠BCO＝∠CA0，求m的值；
（3）直线y＝x＋b过点C，与抛物线y＝－＋（2－m）x＋2m的另一个交点为点D，若△ACD是直角三角形，求m的值.
【解析】
（1）A（2，0），B（－m，0）；
（2）∵C（0，2m），∠DOC＝∠CA0，∴△ACO∽△CBO，求得m＝土
（3）∵直线y＝x＋b过点C，∴b＝2m，直线y＝x＋b交x轴于E（－4m，0）.
交抛物线y＝－＋（2－m）x＋2m交于另一点D（－m＋，m＋）
①若∠ACD＝90°，m＝2；
②若∠ADC＝90°，DH＝m＋，AH＝m＋，如图1.∵tan∠HAD＝tan∠ECO＝2，∴m＝－.
此时点D（2，0），故舍去.
③若∠CAD＝90°，DH＝－m－，AH＝－m－，如图2.∵tan∠HAD＝tan∠ACO，∴＝－（舍去），＝－综上，m＝2或－.